Version du 7 décembre 2016 (11h53)

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1 CHAPITRE 4. ÉOMÉTRIE DE MAE Descrpton d un système matérel Noton de pont matérel ystèmes matérels Utlté de la géométre des masses Centre de masse Défnton du centre de masse A) Epresson vectorelle B) Coordonnées du centre de masse Centre de masse et centre de gravté A) Champ gravfque unforme B) olde homogène ystèmes rectlgnes et systèmes plans ystèmes à symétre matérelle Prncpe de subdvson Théorèmes de uldn A) Premer théorème B) econd théorème Moments d nerte Défntons du moment d nerte Théorème de Köng-Huyghens (changement d ae) Rayon de graton Moment d nerte polare Produt d nerte (moment d nerte centrfuge) Moments d nerte par rapport à toutes les drotes ssues d un pont Cas partculers : les systèmes plans A) Moments de surface (moment d nerte statque ou quadratque) B) Théorème de Köng-Huyghens (changement d'ae) C) Produt d nerte D) Inerte polare E) Rayon de graton Ordre de calcul Verson du 7 décembre 16 (11h53)

2 4.1. Descrpton d un système matérel Noton de pont matérel CHAPITRE 4. ÉOMÉTRIE DE MAE Les objets matérels qu, dans certanes crconstances, peuvent être consdérés comme petts et dont la poston sera repérée avec suffsamment de précson par tros coordonnées, seront appelés des ponts matérels (les crconstances sont parfos telles qu un objet, énorme à notre échelle, le solel par eemple, pusse être consdéré comme pett au sens c-dessus). On appelle ans pont matérel un pont doué de masse. Ce concept est donc une déalsaton, souvent utle, de la noton famlère d objet matérel ystèmes matérels On appelle système de ponts matérels, ou plus smplement système matérel, tout ensemble (fn ou non) de ponts matérels. Dans le cas des systèmes consttués d un nombre fn de ponts, on appelle masse m du système matérel la somme des masses m de chacun de ses n ponts : m n 1 m (éq. 4.1.) Dans les cas où on est amené à déalser un objet par un ensemble de ponts matérels très nombreu et très rapprochés les uns des autres (en fasant par eemple correspondre un pont matérel à chaque atome de l objet), on facltera les calculs pratques en adoptant une représentaton contnue du système, en assocant à chaque élément dfférentel dω (élément d une courbe, d une surface ou d un volume) une masse élémentare : dm d ρ étant la masse untare (respectvement par unté de longueur, ou par unté de surface, ou par unté de volume). La masse totale du système matérel aura ans l epresson : (éq. 4.3.) m dm d Utlté de la géométre des masses La géométre des masses regroupe les défntons et la recherche des proprétés d un certan nombre de paramètres caractérsant les systèmes matérels. A tout système matérel on assoce un pont appelé centre de masse et dont la connassance fournt une nformaton globale sur la stuaton du système (le centre de masse est une sorte de pont moyen du système). A tout système on assoce auss une famlle de paramètres appelés moments et produts d nerte, qu caractérsent la dsperson (ou nversement la concentraton) des ponts du système autour d un pont, d une drote ou d un plan donnés. Le centre de masse, les moments et produts d nerte donnent donc une dée sommare de la stuaton et de la confrmaton du système. On verra qu en plus de leur rôle de caractérsaton globale des systèmes, les paramètres étudés dans la géométre des masses jouent un rôle fondamental et tout à fat précs dans l étude dynamque des systèmes. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

3 4.. Centre de masse Défnton du centre de masse A) Epresson vectorelle fg Défnton du centre de masse. Consdérons le système des n ponts A ( 1 n ) et assocons à chacun de ces ponts une masse non nulle m, par défnton postve. Remarque : Il peut être utle de trater certans problèmes en y admettant partellement des ponts à masse négatve, à condton que : système). n m m, non nul, m étant la masse totale du 1 On peut défnr un pont par la relaton : m O m OA n 1 (éq. 4.6.) sot encore : O n 1 m OA n 1 m n 1 m OA m (éq. 4.7.) Remarque : Défnton dynamque : On peut dre que la vtesse d un système dans son ensemble est J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

4 la vtesse de déplacement dans l espace d un pont dont le vecteur poston est donné par l équaton éq Ce pont est appelé centre d nerte du système. Ce pont est ndépendant du pont O qu sert à défnr : en effet sot analogue à mas détermné à partr de O 1 : m O m O A m O1O O1 m O1O OA1 m O O m O m O O m OA m O m OA m O et ans 1 coïncde avec. 1 O 1 O et 1 le pont Le pont est dès lors défn sans ambguïté; on l appelle centre de masse, ou encore centre d nerte, ou barycentre. Remarques : 1) On peut encore défnr de façon ntrnsèque (c est-à-dre ndépendamment du pont de référence O) par la relaton : m A ce qu revent à fare coïncder l orgne du système d aes avec. ) Pour les réparttons contnues de masses, les formules c-dessus restent valables, à condton de substtuer au sommes des ntégrales : m O OA dm OA d dω étant un élément dfférentel de courbe (fg. 4..a), de surface (fg. 4..b) ou de volume (fg. 4..c) de masse untare ρ, localsé en A. 3) OA est le vecteur poston du centre de gravté de l élément dω. fg Poston du centre de masse. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

5 B) Coordonnées du centre de masse Elles sont mmédates à trouver, à partr de la formulaton vectorelle : pour un système de n ponts A, on a : m A m y m z A A ; y ; z (éq ) m m m De même, pour un système contnu, on aura : dm dm y dm dm z ; y ; z m m dm m dm (éq ) Remarque mportante :, y et z représente les coordonnées du centre de gravté de dm Centre de masse et centre de gravté A) Champ gravfque unforme ot un système de n ponts matérels A. ous l acton de la pesanteur, chaque pont A de masse m est soums à l acton d une force p (pods du pont). La résultante P de ces forces p : n P 1 dot être applquée sur son ae central. p Défnton : On appelle centre de gravté le pont d applcaton de la résultante de ces forces de pesanteur. C est l équvalent de la recherche de l ae central. on suspend le système en un pont A 1 (quelconque), en le lassant pendre sous l acton de la pesanteur, l va prendre sa poston d équlbre (fg. 4.3.a); sot d 1 la vertcale menée par A 1. On suspend ensute le système par le pont A, et, à l équlbre, on mène cette fos la vertcale d par A (fg. 4.3.b). Dans le cas où le système est placé dans un champ gravfque unforme (vecteur accélératon de la pesanteur, g, constant en grandeur et en drecton), on constate que d 1 et d se coupent, en un pont qu coïncde avec le centre de masse (et, comme le cho de A 1 et A est arbtrare, on peut en dre autant s on suspend le système par un autre pont, par eemple A 3 ; à l équlbre, la vertcale d 3 tracée par A 3 passe auss par ). J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

6 fg Poston du centre de gravté. En effet, suspendre le système en A 1 et mener la vertcale d 1 revent en fat à consdérer en tous ponts A du système des vecteurs pods p m g. le champ gravfque est unforme, ces vecteurs sont tous parallèles à la vertcale (fg. 4.4.). Leur résultante n n P p m g 1 1 stuée sur son ae central, dot passer par le pont A, afn de former avec la réacton d appu f A1 un système de deu forces équvalent à zéro ( P et f A1 dovent être des vecteurs récproques). Or la drote d 1, qu est donc l ae central des forces p, admet pour équaton (vor théorème de Vargnon) : fg Epresson analytque de la poston. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

7 y d d 1 1 p m g P m g y p y y m g P m g y m m y m m (éq. 4.7.) (la smplfcaton par g ne pouvant se fare que s le champ gravfque est unforme). Cec prouve ben que, centre de masse, se trouve sur d 1 (pusque ses tros coordonnées vérfent les deu équatons c-dessus). De même, on montrerat que appartent à d, d 3,... d. Le centre de gravté d un système matérel, sous l hypothèse énoncée, est ans confondu avec le centre de masse. Remarque : La généralsaton pour les systèmes contnus est mmédate (l sufft de remplacer le sgne somme par ntégrale, et on retrouve les epressons de 4..1.B)). B) olde homogène Un système est dt homogène s sa masse untare ρ (par unté de longueur, ou par unté de surface, ou par unté de volume) est constante pour tout élément dfférentel dω. Dans ce cas, on peut écrre (pour les systèmes contnus par eemple) : y z dm dm d y dm d dm d z dm dm dm dm y d dm d z d d d d z d y d d d d d d d d (éq. 4.8.) ce qu sgnfe que pour un solde volumque homogène, par eemple, le centre de masse est confondu avec le centre de volume. Remarque : Dans la sute du tete, et sauf menton eplcte du contrare, nous consdérerons les systèmes matérels envsagés comme homogènes et placés dans un champ gravfque constant. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

8 Applcaton 4.1. Détermner le centre de masse d un solde consttué d un hutème de sphère plene homogène, de rayon r. oluton : Calculons d abord la poston du centre de gravté en Applcaton de la formule de base avec dm dv (c V et ρ constant) : E dm E dm dm E dv E dv dv et prenons pour dv le plus grand élément dfférentel assocé à une valeur de dv ( dv représentant la poston sur l ae O du centre de gravté de l élément dv) donnée : dv 1 r d 4 fg Applcaton 4.1. avec, dans le trangle OPQ, la relaton, sachant que : OP r r r OQ Résoluton des ntégrales r 1 r 1 a) dv r d r d 4 4 E r r r 6 3 r b) dv dv r E r r r r r r r r r 16 On trouve ans pour : 4 dv r dv E r dv r 8 E J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

9 Un calcul analogue, suvant et y, donnerat eactement les mêmes valeurs : r y z ystèmes rectlgnes et systèmes plans un système de n ponts matérels est contenu dans une drote (respectvement un plan), le centre de masse de ce système appartent à la drote (respectvement au plan) en queston. Autrement dt : s D : on prend Oy dans le plan de la fgure z m z A s 1D : On prend O suvant la fgure lnéare y z m y m z A A oent A les ponts de masse m, tels que : m m fg ystème rectlgne. upposons que ces ponts soent contenus dans la drote d défne par le pont O et le vecteur untare (fg. 4.6.). On a donc : 1 d OA 1d (λ est un réel) sot encore : De là on tre : 1 m O m OA m m O 1 m d d ce qu prouve que appartent ben à la drote d. Pour le cas du système plan, la démonstraton est analogue (à partr de deu vecteurs non parallèles du plan, 1 d et 1e ). J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

10 Remarque : Pour des systèmes dsposés suvant une courbe non rectlgne (respectvement une surface non plane), le centre de masse n appartent pas nécessarement à cette courbe (respectvement à cette surface). Le centre de masse n est pas nécessarement un des ponts matérels du système. Applcaton 4.. Détermner le centre de masse de deu ponts A 1 (masse m 1 ) et A (masse m ). oluton : Prenons l orgne O de la drote d confondue avec A 1 : dès lors : m OA m OA O m m m O m OA m A m A A 1 1 m OA m A1 m m1 m A1 m A1 A m A En partculer, s m1 m le centre se trouve au mleu du segment; snon l est toujours le plus près de la masse la plus lourde. (Règle des segments nverses). fg Applcaton Applcaton 4.3. Détermner la poston du centre de masse d une surface A homogène consttuée d un quart de dsque de rayon r. oluton : Cho du repère Pour une surface plane, on sat que appartent au plan qu la content; sot Oy ce plan : l sufft de détermner et y. ot : y D y da D da da avec : da le plus grand élément dfférentel assocable à la coordonnée y : da dy r cos y r sn dy r cos d Résoluton des ntégrales fg Applcaton 4.3. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

11 a) cos cos D avec : da dy r r d D r cos d cos 4 sn et donc : sn da r r D r 4 4 b) y da da r d r cos sn cos 3 D 3 r 3 et dès lors : 3 r r y 3 r On trouverat la même valeur pour, par un calcul analogue (estence d un ae de symétre). Applcaton 4.4. Détermner le centre de masse d un quart de crconférence homogène, de rayon r. oluton : Remarque : La crconférence (qu ne dot pas être confondue avec un dsque!) est une courbe non rectlgne; le centre de masse n appartendra donc pas nécessarement à cette courbe. Il faut ans calculer les deu coordonnées et y. Applcaton de l équaton de base avec : l ds l ds ds ds r d (ou : ds d dy ) r cos fg Applcaton 4.4. Résoluton des ntégrales J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

12 a) ds r d r l r b) ds ds r cos d r sn l r ce qu entraîne : r r r On trouverat la même valeur pour y (ae de symétre à 45 par rapport à O). r Le pont ( r ; ) n est donc pas un pont de la courbe elle-même ystèmes à symétre matérelle On appelle élément de symétre matérelle d un système, tout élément de symétre (centre, ae ou plan) du système à condton que deu ponts quelconques qu se correspondent soent affectés de la même masse (symétre géométrque et massque). un système de n ponts matérels possède un élément de symétre matérelle, le centre de masse du système appartent à l élément de symétre. En effet, pour un système possédant un élément de symétre matérelle, s le centre de masse n appartenat pas à cet élément, l lu correspondrat son symétrque, qu serat auss centre de masse (fg. 4.1.). Or, le centre de masse est unque; l ne peut donc pas ne pas appartenr à l élément de symétre du système. (Cette proprété justfe notamment le résultat trouvé au eemples 4.3. et 4.4.). fg ystème à symétre. La fgure fg regroupe quelques systèmes dont on peut ans drectement détermner le centre de masse. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

13 fg ystèmes à symétre. Applcaton 4.5. Détermner le centre de masse d un cône de révoluton, homogène, de rayon de base r et de hauteur h. oluton : Poston du système d ae Le centre de masse appartent à l ae de symétre du cône; plaçons dès lors notre système d aes avec Oz confondu avec l ae de symétre, d où : y Il reste à calculer z. Applcaton de l équaton de base z E z dv E dv dv avec : dv r dz où : r r h h z r h z r h fg Applcaton 4.5. Résoluton des ntégrales h h r h a) dv r dz h z E h dz r h r h z h z z 3 r 3 h h 3 h 3 r h 3 h h h z z dz J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

14 h r h 3 b) z dv dv z r dz E r h r h 1 ce qu nous donne : r h h z 1 r h 3 4 h h z h z z dz h z h h z h z h r h h h h Prncpe de subdvson un système de n ponts matérels A peut se subdvser en un nombre fn de sous-ensembles dsjonts, son centre de masse s obtendra à partr des centres de masse des sous-ensembles, chacun de ceu-c étant doté de la masse totale du sous-ensemble. C est évdemment un cas partculer de l epresson (éq. 4.7.). Applcaton 4.6. Détermner la poston du centre de masse d une plaque homogène en forme d équerre, de dmensons précsées c-contre. Premère soluton : Constatons que la symétre matérelle de la pèce entraîne y. Prncpe de subdvson Décomposons la surface en deu rectangles A 1 et A, de centres de masses et de surfaces mmédatement connus : A 1 a b avec : b a et y 1 1 et A a b b avec : a b a et y b fg Applcaton 4.6. Applcaton de la formule de base fg Premère soluton. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

15 A A A 1 A 1 a b b a b a b b a a b a b b a a b b 4 a b 1 En applquant la formule pour y, on trouve la même valeur que pour. Deuème soluton : Prncpe de subdvson Il est également possble de décomposer l équerre en un carré A 3 (de côté a) mons un carré A 4 (de côté a b ), de centres de masse respectfs 3 et 4. Cec revent à dre qu l faut consdérer A 4 comme une surface négatve : A3 a avec : a y et avec : 3 3 A a b 4 y 4 4 a b fg Deuème soluton. Applcaton de la formule de base A3 A 1 4 A A 3 4 a a a b a b a a b a a b b 4 a b Ce qu confrme le premer résultat. Trosème soluton : Calcul ntégral Le même résultat aurat pu être obtenu par calcul ntégral, comme précédemment : sans détaller tous les calculs, on peut écrre : fg Trosème soluton. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

16 D da D da da a b b a a b a a b b 4 a b Et de même pour y. b b da 1 a d b b a d a b b b a a da b d b d Quatrème soluton : raphostatque Remarquons que peut être détermné de façon purement graphque : l appartent à l élément de symétre matérelle (par 4..3.B) et appartent à la drote jognant 1 à (par 4..3.A). D autres décompostons auraent pu convenr (en deu autres rectangles, ou en tros rectangles...). Cnquème soluton : Théorème de uldn Vor fg Quatrème soluton. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

17 4..6. Théorèmes de uldn (1) A) Premer théorème Consdérons un arc de courbe s homogène, dans le plan Oyz, et ne traversant pas l ae Oz (fg ). En fasant tourner cet arc de courbe autour de l ae Oz, on engendre une surface de révoluton dont l are A l vaut : A r s (éq. 4.9.) l r : représentant la longueur de la crconférence décrte par, centre de masse de la courbe s (le centre de gravté ne se trouvant pas nécessarement sur la courbe s). fg Premer théorème de uldn : prncpe. Démonstraton : En effet, un élément d arc ds engendre un tronc de cône dont l are latérale da vaut : da y ds On obtent dès lors : 1 Al y ds l y ds l l l y l y l r g fg er théorème de uldn. Premer théorème de uldn : La surface de révoluton engendrée par une lgne tournant autour d un ae a, stué dans son plan et ne la traversant pas, est égal au produt de la longueur de la lgne par la crconférence que décrt son centre de masse. (1) uldn Paul (uldn Habakuk), (1577 [Mels] [raz] : jésute susse, astronome et mathématcen. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

18 Applcaton 4.7. Détermner le centre de masse d un quart de crconférence homogène de rayon r (vor applcaton 4.4.). oluton : La pèce est symétrque : y Applquons le théorème de uldn En fasant tourner le quart de crconférence autour de Oy, on engendre une surface hémsphérque : A r l L 1 r r 4 ce qu donne : r y déjà trouvé précédemment. fg Applcaton 4.7. Remarque : Dans l eemple c-dessus, nous avons supposé connu la surface etéreure d une sphère, sot : Asphère 4 r Applcaton 4.8. Recherchez la surface latérale d un tore (surface d une chambre à ar) dont on connaît : le rayon de la crconférence r 1. m le rayon d enroulement R. 5 m. oluton : Applquons uldn A r l R r 4 R r m fg Applcaton 4.8. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

19 B) econd théorème econd théorème de uldn : Le volume de révoluton engendré par une surface tournant autour d un ae, stué dans son plan et ne la traversant pas, est égal au produt de l are de cette surface par la crconférence que décrt son centre de masse. V r A (éq ) A fg econd théorème de uldn : prncpe Démonstraton : Un élément de surface da engendre par sa rotaton un volume élémentare : dv y da et ans, on obtent : 1 VA y da A y da E A A y y r A A Remarques : 1) On peut évdemment, par uldn, sot trouver r s on connaît le volume sot trouver le volume, s on connaît r ) Pas de trosème théorème de uldn... car s on fat tourner un volume nous avons la 4 ème dmenson... Applcaton 4.9. Détermner la poston du centre de masse d un quart de dsque homogène de rayon r (vor applcaton 4.3.). J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

20 oluton : La pèce est symétrque : y Hypothèse On suppose connu le volume d une sphère : Vsphère 4 r 3 3 Applquons le théorème de uldn En fasant tourner le quart de dsque autour de Oy, on engendre un volume hémsphérque : V r A 1 4 r 3 A r 4 3 ce qu donne : 4 r y 3 déjà trouvé précédemment. fg Applcaton 4.9. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

21 4.3. Moments d nerte Introducton Le centre de masse (gravté) permet de rédure un solde (surface ou lgne) en un pont. Cependant, la répartton des masses (surfaces, lgnes) autour de ce centre de masse à auss son mportance. C est la noton de moment d nerte. En effet, par eemple, deu masses de 1 kg séparer de 1 m va réagr dfféremment à sa mse en rotaton que s le deu masses étaent séparées de m. Pour tant le système à même centre de gravté. En résstance des matérau, dsposer une poutre rectangulare à plat ou sur sa tranche, aura un effet drect sur la déformée de celle-c Défntons du moment d nerte On appelle moment d nerte du système par rapport à un élément de référence r, qu peut être un pont, une drote, ou un plan, la somme des produts des masses élémentares du système par le carré de leur dstance à l élément de référence r. ot : J n m d r 1 (éq ) kgm Le moment d nerte caractérse ans grossèrement la dsperson des masses autour de l élément de référence : l est d autant plus grand qu l y a plus de masses élevées à grande dstance de l élément de référence r (pont, drote ou plan, selon le cas). fg Moment d nerte. Dans le cas d un système matérel contnu, nous aurons la défnton suvante : Jr d dm (éq ) kgm dans laquelle d désgne la dstance de la masse élémentare dm à l élément de référence r (dans le cas de la fgure fg r est un ae). J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

22 Applcaton 4.1. Tros ponts matérels de masses 3, 5 et klogrammes sont stuées respectvement au ponts A (-1; ; 1), B (; 1; 3) et C (-; ; 1). Les coordonnées sont en mètres. Trouver les moments d nerte par rapport à chacun des aes de coordonnées. oluton : Moment d nerte par rapport à l ae : Par défnton : J m y z kgm Moment d nerte par rapport à l ae y : Par défnton : J y m z kgm Moment d nerte par rapport à l ae z : Par défnton : Jz m y kgm Applcaton Calculer le moment d nerte d un cylndre plen homogène, de hauteur h et de rayon r, par rapport au plan Oy. Le système d aes est centré en, centre de masse du cylndre. Calculer ensute le moment d nerte de ce cylndre par rapport à l ae Oz. oluton : Moment d nerte par rapport au plan Oy La masse volumque ρ étant constante, on peut écrre : dm r dz Applquons la défnton : J z dm z r dz Oy h h r h h h h z dz 3 h r m h 1 1 m représentant la masse totale du cylndre. fg Applcaton fg Résoluton. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

23 Moment d nerte par rapport à l ae Oz Applquons la défnton : J r dm z m Avec : dm dv r h dr D où : J h r dr z 4 r h r r h r m r 3 fg Résoluton Théorème de Köng-Huyghens (changement d ae) Le théorème de Köng () -Huyghens (3) (auss appelé théorème du changement d ae) permet de calculer un moment d nerte par rapport à un ae parallèle à un ae passant par le centre de gravté de la surface et dont on connaît déjà le moment d nerte. De par la défnton du moment d nerte, on remarque que les valeurs des moments d nerte d un système matérel dépendent du pont (ou drote, ou plan) par rapport auquel on les calcule. oent a et a deu drotes parallèles, a étant la drote passant par le centre de masse du solde fg fg Mouvement plan du solde. Par chaque pont A, condusons un plan perpendculare à ces deu drotes, et appelons B et C les ponts de percée respectfs. Le vecteur C B est dentque pour chacun des ponts A : sot C B d. () Köng (Koeng), amuel (171 [Büdngen] [Zulensten] : mathématcen allemand. (3) Huygens, Chrstaan (Huygens Chrstanus - Hugenus Chrstanus), (169 [La Haye] [La Haye]) : mathématcen, astronome et physcen néerlandas. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

24 Dès lors, par constructon et par défnton du produt scalare, on a : J m A B a m A B A B m A C C B A C C B m A C A C m C B C B m A C C B d aa m A C Ja m d m A C aa m A C n est autre que la projecton sur un plan normal à a de la relaton de défnton du centre de masse. Autrement dt : les masses sont répartes de façon égales autour du centre de masse. Dès lors : C B a a aa J J m d (éq. 4.1.) Défnton : Le moment d nerte d un corps par rapport à un ae a donné est égal au moment d nerte par rapport à un ae parallèle au premer et passant par le centre de masse du corps (nerte propre) augmenté du produt de la masse totale du corps par le carré de la dstance entre les aes. Remarque : J a porte auss le nom d nerte propre On en dédut l mportante proprété : de tous les moments d nerte d un système par rapport à tous les ponts de l espace, le plus pett est celu calculé par rapport au centre de masse. Le centre de masse est donc le pont (manfestement unque) qu rend mnmum le moment d nerte par rapport à lu. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

25 Applcaton 4.1. Calculer le moment d nerte d un cylndre plen homogène, de hauteur h et de rayon r, par rapport à un ae a tangent à une génératrce du cylndre. oluton : Applcaton du théorème d Huyghens : J J m d a Oz a Oz Pour le calcul de J Oz vor applcaton D où : J m r a m r 3 m r fg Applcaton Rayon de graton Pour un système de masse totale m et de moment d nerte J r par rapport à un pont (une drote, un plan), on appelle rayon de graton par rapport à ce pont (cette drote, ce plan), la longueur g r défne par : g r J r (éq ) m m Il eprme la dstance à laquelle l faudrat placer toute la masse m par rapport à l ae de référence afn d avor une nerte équvalente Moment d nerte polare Le moment d nerte polare est le moment d nerte par rapport à un pôle O (pont), généralement le centre du système d aes utlsés. De par la défnton du moment d nerte, le moment d nerte polare s écrt : J O dm ou m Avec ρ la dstance du pole O à l élément de masse dm. achant que y z, le moment d nerte polare peut auss s eprmer par la dem somme des 3 moments d nerte par rapport au 3 aes orthogonau passant par le pôle O : 1 O Oy Oz J O y z dm J J J (éq ) J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

26 Produt d nerte (moment d nerte centrfuge) Il sera utle auss pour la sute de défnr les tros produts d nerte J y, J yz et J z, sot : J y dm ou y m y 1 J y z dm ou y z m yz J z dm ou z m z n n 1 n 1 (éq ) D où leur sgnfcaton en mécanque : les moments d nerte centrfuges J z et J yz caractérsent le degré de déséqulbre dynamque des masses du corps lorsque celu-c tourne autour de l ae Oz. Autrement dt, pour qu l y at équlbre complet, autour de l ae Oz, l faut remplr les condtons suvantes : J z et J yz. L ae Oz, pour lequel les moments d nerte centrfuges J z et J yz (c est-à-dre ceu dont les ndces contennent le symbole de cet ae) sont nuls, s appelle l ae prncpal d nerte du corps par rapport au pont O. De ce qu vent d être dt l résulte que s un solde admet un ae de symétre, ce derner est ae prncpal d nerte du solde pour tout pont de cet ae. Par eemple, s le plan Oy est plan de symétre matérelle du corps, l ae Oz sera l ae d nerte prncpal par rapport au pont O car alors, pour chaque partcule du corps de coordonnées, y, z, l y a une partcule symétrquement dsposée de coordonnées, y, - z, et par conséquent, les sommes (éq.4.17.) seront égales à zéro. L ae prncpal d nerte qu passe par le centre d nerte du corps est appelé ae central prncpal d nerte (A.C.P.I.) (vor ). On peut auss applquer le théorème de Huyghens (changement d aes) au produts d nerte ce qu donne que: Le produt d nerte d un corps par rapport à aes donnés est égal au produt d nerte par rapport au aes parallèles au premers et passant par le centre de masse du corps (produt d nerte propre) augmenté du produt de la masse totale du corps par le produt des dstances entre les aes. J J m d d (éq ) ab ab propre aa bb J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

27 Moments d nerte par rapport à toutes les drotes ssues d un pont ot un trèdre Oyz et une drote a passant par O (fg. 4.3.). drote a, ses composantes vaudront : a a a y z a a a cos cos cos cos cos cos 1 a est le vecteur untare de la fg Moment d nerte par rapport au drotes ssues d un pont. Le moment d nerte par rapport à la drote a vaut : a J m d m A B m 1a OA 1a OA En effet : 1 OA 1 OA sn 1 A B a a a Et donc en développant : J m a z a y a a z a y a a y z z y m a y z a z a y y z a y a z y z az a z a a y y J a J O cos JOy cos JOz cos (éq ) J cos cos J cos cos J cos cos y yz z J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

28 J a vare ans avec la drecton de la drote a. Il este tros drectons (orthogonales entre elles) parm toutes celles ssues du pont O, pour lesquelles le moment d nerte correspondant est un etremum local. Ces tros drectons sont appelées aes prncpau d nerte en ce pont. le pont consdéré est le centre de masse, ces tros drectons seront appelées aes centrau prncpau d nerte (en abrégé A.C.P.I.) Cas partculers : les systèmes plans Le cas des systèmes plans est sngulèrement mportant : on verra dans le cours de Résstance des Matérau pour quelles rasons on est amené à devor connaître des moments d nerte de fgures planes, qu sont en général des sectons de poutre. Prenons pour plan Oy le plan de la fgure. Une surface plane étant par défnton contnue, on va assocer à chaque pont A (; y) (sa coordonnée en z étant toujours nulle), un élément de masse dm dv l da, avec da élément nfntésmal de surface (fg ). fg ystèmes plans. On pourra ans défnr des caractérstques de surfaces, au leu de masse. A) Moments de surface (moment d nerte statque ou quadratque) Remarque : On utlsera comme symbole pour le moment d nerte plan I ; J étant réservé pour symbolser le moment d nerte de masse. I y da D da I da y D da (éq ) (m 4 ) J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

29 Applcaton Quelle est le moment d nerte d une secton trangulare, de hauteur h, par rapport à sa base b? oluton : Moment d nerte par rapport à sa base Plaçons l ae O sur la base du trangle et par défnton : h I y d Avec : da e dy e h y e b h y b h h D où : h I y b h y dy h b b y h y h 3 4 h b h b h b h fg Applcaton résoluton. B) Théorème de Köng-Huyghens (changement d'ae) Il s énonce comme sut (fg ) : a P a I I A d (éq ) Notatons : I P I a A nerte par rapport à l ae passant par le centre de gravté de la surface (connu) (moment d nerte propre) nerte par rapport à un ae parallèle à O surface de la secton m 4 m 4 m d a dstance séparant les deu aes m fg Théorème de Köng-Huyghens. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

30 L applcaton du théorème d Huyghens est ntéressant afn de calculer l nerte d une surface complee en la décomposant en éléments de base dont on connaît déjà l nerte par rapport à leur propre centre de gravté. Applcaton Calculez le moment d nerte d un rectangle de base b et de hauteur h par rapport à un ae passant par sa base en connassant l nerte de ce rectangle par rapport à son centre de gravté (moment d nerte propre). ( I P b h 3 1 ). oluton : Applquons le théorème d Huyghens I I A d a P a b h h b h 1 b h fg Applcaton Applcaton Rechercher la poston du centre de gravté de la poutre composée d un IPE, d un UPN 1 et d un carré de 5. Rechercher ensute le moment d nerte mamum par rapport à ce centre de gravté. oluton : Décomposton en 3 partes le IPE le carré de 5 le UPN 1 Les données du catalogue sont les suvantes : IPN ( ) 4 I ae fort 1943 cm I ae fable. cm A 8. 5 cm UPN 1 ( ) 4 I ae fort 364 cm I 43 4 ae fable. cm A 17. cm Poston du centre de gravté par rapport à la base de la semelle : 1.61 cm fg Applcaton Recherche du centre de gravté Prenons comme référence pour calculer la poston du centre de gravté, le centre de gravté du I. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

31 A (cm ) y (cm) A y (cm 3 ) = = = y A y cm A 75. Cela revent à dre que le centre de gravté de la poutrelle composée, s on prend comme référence le centre de gravté du I, monte de 16.3 mm. Recherche du moment d nerte Applcaton du théorème d Huyghens I P (cm 4 ) A (cm ) d y (cm) A d (cm 4 ) h = y L nerte totale vaut : I I A d Tot P y cm 4 C) Produt d nerte I y y da (éq ) D D autre part : I I yz z Remarque : Le produt d nerte I y s O et/ou Oy est un ae de symétre. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

32 Applcaton Calculez le produt d nerte d un rectangle par rapport à de ces côtés. oluton : Applcaton de la formule de base ot : I y g da y y da da D Avec : da d dy D où : I y D Intégrale double. y d dy I d y dy y b h fg Applcaton soluton. b h b h Remarque : nous avons calculé le moment d nerte par rapport à aes perpendculare passant par son centre de gravté, nous aurons trouvé. En effet : b I" " d y dy b h h Applcaton de la formule du changement d ae Nous aurons pu auss utlser le théorème de Huyghens applqué au produt d nerte. ot : I I A d d y y P P y yp b h b h h b D) Inerte polare De par la défnton générale : 1 I I I I O y z Mas c avec : I I I, pusque nous sommes en dmensons. D où : z y I O I I y (éq ) J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

33 Applcaton Quelle est le moment d nerte polare d un dsque plen homogène par rapport à son centre? oluton : Applcaton de la formule de base I D d r da 4 r 4 d 3 4 r dr d fg Applcaton résoluton. E) Rayon de graton Par défnton le rayon de graton g r (par rapport à un ae de référence r) est : g r I r (éq ) A m Il représente la dstance à l ae référence r, d un pont où l on pourrat concentrer toute la surface pour obtenr le même moment d nerte I r. En effet : I A g Il sera surtout employé dans les calculs de résstance au flambage. Remarque : L ndce dont est affecté le symbole du rayon de graton représente l ae par rapport auquel l est mesuré perpendcularement. Par eemple g est mesuré perpendcularement à l ae O. F) Aes centrau prncpau d nertes on veut connaître le moment d nerte par rapport à la drote a, passant par, l sufft d applquer la formule du paragraphe (éq ) en constatant que et que (fg ) : J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

34 fg A.C.P.I a y y I I cos I sn I sn (éq ) La drote a sera un ae prncpal d nerte s I a est sot mamum, sot mnmum. a drecton α peut être détermnée : di a I cos sn I y sn cos I y cos d sot encore : I I sn I cos I I et s : y y y I y tan I I y 1 I y arctan I y I k (éq ) Il y a donc deu aes prncpau d nerte, passant par O, et ls sont perpendculares entre eu. Dans le cas où O est confondu avec, centre de masse du système, on en conclura qu l este deu aes centrau prncpau d nerte, perpendculares entre eu. Remarques : 1) I I, alors 4 ; y ) sot l ae O, sot l ae Oy et un ae de symétre matérelle du système, alors I y, et le système d aes Oy est prncpal d nerte: 3) Pour un système plan possédant un ae de symétre, cet ae est un A.C.P.I.; le deuème A.C.P.I. est perpendculare au premer, et passe par (fg. 4.4.) 4), pour un système d aes centré en, on a I I et I y alors, pour tout α : I I I cst, et l y a a y donc une nfnté d A.C.P.I. (tout ae central d nerte est y fg ACPI et ae de symétre. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

35 prncpal d nerte) Ordre de calcul Lors de l analyse des caractérstques géométrques des fgures planes auss complees qu elles soent, le problème 1e.plus mportant est de détermner la dsposton des aes prncpau et des valeurs des moments d nerte prncpau. On peut recommander l ordre suvant de détermnaton de la dsposton des aes prncpau et des valeurs des moments d nerte centrau prncpau d une fgure complee composée de partes smples dont les caractérstques se détermnent plus faclement. 1. Traçons un système d aes rectangulares arbtrare. Dvsons la fgure en partes smples et, au moyen des équatons éq. 4.7., détermnons son centre de gravté.. Le système ntal d aes centrau Oy sera tracé de façon à smplfer au possble le calcul des moments d nerte des partes de la fgure par rapport à ces aes. Pour ce fare, en usant des formules de transport à des aes parallèles (théorème d Huyghens) détermnons les moments d nerte des partes de la fgure par rapport à leurs propres aes centrau parallèles au aes Oy. De cette façon, nous obtenons les valeurs de I, I y et I y. 3. Détermnons d après éq l angle d nclnason des aes centrau prncpau. ACPI 1 : ae tracé sous le plus pett angle (postf ou négatf), ACPI la perpendculare à cet ae. 4. Au moyen de l éq détermnons les valeurs des moments d nerte centrau prncpau I ACPI 1 et I ACPI. J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

36 Applcaton Pour la cornère à branches négales représentée c-contre, détermner la poston des A.C.P.I. et les moments d nerte correspondants (cotes en mm). 6 oluton : Détermnaton du centre de gravté 1. Traçons un système d aes rectangulares arbtrare. Dvsons la fgure en partes smples et, au moyen des équatons éq. 4.7., détermnons son centre de gravté. 5 Dans notre cas : système d ae Oy et rectangle 1 et rectangle (vor fgure c-dessous). Ensute calcul du centre de gravté vor tableau Ecel, parte supéreure. 3 6 fg Applcaton y yac ACPI 6 1 ACPI alpha AC 6 3 fg chéma pour la résoluton.. Le système ntal d aes centrau Oy sera tracé de façon à smplfer au possble le calcul des moments d nerte des partes de la fgure par rapport à ces aes. Pour ce fare, en usant des J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

37 formules de transport à des aes parallèles (théorème d Huyghens) détermnons les moments d nerte des partes de la fgure par rapport à leurs propres aes centrau parallèles au aes Oy. De cette façon, nous obtenons les valeurs de I propre, I y propre et I y propre. Dans notre cas : on prends le système d ae O AC y AC comme cela les moments d nerte propre 3 b h des rectangles seront faclement calculable avec la formule I r. 1 Pour applquer le théorème d Huyghens, le Δ et Δy c est la varaton de la poston de l ae de référence par rapport auquel on calcule le moment d nerte. Donc c est la dstance entre l ae (respectvement y) passant par et le nouvel ae AC (respectvement y AC ) passant par. Le sgne est donné par le sens du déplacement (ae (ae y) vers ae AC ae y AC )). On applquera la formule de changement d ae (éq ), c est-à-dre dans notre cas : I AC I propre A d y I y AC I y propre A d 3. Détermnons d après éq l angle d nclnason des aes centrau prncpau. ACPI 1 : ae tracé sous le plus pett angle (postf ou négatf), ACPI la perpendculare à cet ae. Dans notre cas : la formule devent : 1 arctan I 4. Au moyen de l éq détermnons les valeurs des moments d nerte centrau prncpau I ACPI 1 et I ACPI. I y AC y AC Dans notre cas : la formule devent : I ACPI 1 I AC cos I y AC sn I y AC sn I ACPI I AC cos I y AC sn I y AC sn I AC J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page

38 Ttre : Equerre à branches négales Objet A (mm ) (mm) y (mm) A (mm 3 ) A y (mm 3 ) 1 Rectangle 1 64, 3, 8, 79, 739, Rectangle 18, 15, 3, 7, 54, Σ 444, 349, 793, = y = 7,865 (mm) 17,865 (mm) I propre I y propre d = Δ d y = Δy A d A d y I y propre A d d y (mm 4 ) (mm 4 ) (mm) (mm) (mm 4 ) (mm 4 ) (mm 4 ) (mm 4 ) 1 459, 79, 4,86-1,14 648,6 7118,33, -1316,8 54, 135, -7,14 14, , ,56, -1991,31 Σ 4313, 149, 15411, ,89, -318,11 I AC = 113,89 (mm 4 ) I y AC = -318,11 (mm 4 ) I y AC = 973,89 (mm 4 ) alpha =,34 (rad) I ACPI 1 = 1181,36 (mm 4 ) I ACPI = 18446,4 (mm 4 ) a lpha = 19,3 (degré) J-P. Bauche - R. Itterbeek Mécanque - éométres des masses Page