Cours n 10 : Régimes transitoires des circuits du premier ordre.
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- Joëlle Côté
- il y a 7 ans
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1 Cours n 0 : égimes ransioires des circuis du premier ordre. Avez- vous déjà observé le circui d allumage d une lampe fluorescene (à or appelée ube néon) di circui ballas, il s agi d un circui,l (il y en a au dessus de nos êes). La descripion du emps d allumage nécessie d éablir e de résoudre une équaion différenielle don la soluion avec la condiion iniiale décri la variaion de la ension en foncion du emps. Il s agi de vore seconde modélisaion dynamique quaniaive d un phénomène physique après celle de la chue d un corps. C es un peu plus compliqué, il faudra uiliser un peu de mahémaiques, mais c es frucueux ; on pourra d ailleurs revenir sur la chue des corps pour voir au bou de combien de emps le parachuise aein sa viesse de chue limie... Dans cee leçon, après avoir observé la lene charge d un condensaeur élecrolyique à ravers une résisance, on s aache à éablir e résoudre l équaion différenielle du premier ordre qui décri le phénomène. On voi ensuie que le même comporemen es obenu pour un circui,l série.
2 I) ésoluion des équaions différenielles du premier ordre ) quaion canonique e Condiions Iniiales, consane de emps caracérisique =a/b dy a by c avec la C.I y(=0) = y 0 dy a a es homogène avec by, a es homogène avec b, es homogène avec, T bt a es homogène à un emps b a dy c y es la forme canonique de l'équaion différenielle avec la C.I y(=0) = y0 b b 2) ape : ésoluion de l équaion sans second membre (homogène), séparaion des variables dy dy a by 0 a by dy b c'es la séparaion des deux varuables y e le emps, y à gauche e le emps à droie y a d Ln y dy On sai que l'on préfère écrire d Ln y dy y y une dérivée c'es une peie variaion sur une aure la première correspondan à la seconde : Il es légiime de faire un produi en croix b b On a donc d Ln y d( C) C éan une consane die consane d'inégraion a a b Ln y ( C ) a b b b C a a a un pei coup d'exponenielle donne sans effor y()=e a a e e C2e b C avec C2 e a qui es une consane puisque C l'es e pour l'insan forcémen ou aussi indéerminée que C on applelera C consane d'inergraion comme C don elle es la nouvelle incarnaion 2 3) ape 2 : echerche de la soluion pariculière qui es la soluion permanene de l équaion avec second membre. dy a by c dy() y()= consan peu ere soluion de l'équaion avec second membre en effe =0 reporé dans l'équaion donne c a.0 b c soi = b 4) ape 3 : Consrucion de la somme des 2 soluions précédenes e enfin déerminaion de la consane d inégraion apparue dans l éape grâce à la Condiion Iniiale. dy c a la soluion générale de l'équaion avec second membre a by c es la somme des deux soluions précédenes y( ) C2e b la consane C peu enfin ere déerminée grace à la CI y(=0)=y en effe c c c y 0 =C 2e donne y 0 =C2 soi C 2 = y0 - b b b la soluion complee de l'équaion avec second membre s'écri enfin : y()= y0 - b b b C c e b a c b b II) Charge d un circui, C série par un généraeur idéal de ension u u C =u
3 A =0 on ferme l inerrupeur Le condensaeur éan iniialemen déchargé q(=0 - )=0 dq q i( ) uc ( ) u( ) u uc U si 0 C dq q d( C. u) C. u d. u comme q C u C u C C par raison de dimension C es homogène à un emps on noe =.C le emps carcaérisique du circui du. u forme canonique ) Coninuié de la charge e de la ension condensaeur La loi i = dq/ implique que q() doi êre une foncion coninue, si il y avai à un insan quelconque une disconinuié de q(), soi un sau de q() la pene de q() serai infinie or la pene de q() c es le couran qui en an que quanié physique ne peu êre infini. On reiendra donc que la charge e la ension condensaeur (qui lui es proporionnelle q=cu ) son des grandeurs coninues du emps. Pour nore problème on aura donc : q(=0 + )=q(=0 - )=0
4 2) ésoluion du u du du du eape u 0 u dln( u) d( C ) u ici je n'ai pas mis -/ en faceur mais c'es ou aussi correc que le raisonnemen du I C C 2 Ln( u) C u e e e C e eape 2 recherche de la soluion pariculière ou permanene du on repore u() = =consane dans u on en dédui.0+ = soi = eape 3 u()=+ Ce 2 déerminaion de la consan d'inégraion C grace à la Condiion iniiale q()=0 qui a pour conséquence u()=0 0 = + C e C C soluion générale de l'équaion avec second membre : u() = + e = (- e ) d C i() = C (- e ) e e 2 3) emarques Déerminaion de : sur les oscillogrammes qui donnen des ensions ce n es pas possible Ceres le couran iniial i(=0) es /, mais la ension aux bornes de la résisance i es e e ne dépend pas de Il faudrai un ampèremère pour déerminer Déerminaion de en examinan la compléude de la charge d d u( ) ( e ) i( ) C( e ) Ce Ce e u τ 2τ 3τ
5 u( ) ( e ) ( ) 0.63 e 2 u(2 ) ( e ) ( ) 0.86 e² 3 u(3 ) ( e ) ( ) e Déerminaion de avec la angene u τ i / τ equaion de la angene à la courbe i() à l'insan =0 angene 0 di di on a i()= e e ( 0) e noons i ( ) la foncion angene à i() en =0 iangene ( ) car cee droie doi passer en / à = 0 e avoir cherchons mainenan la dae à laquelle i s ' annule c ' es à angene comme dérivée La soluion pariculière représene le couran permanen, la soluion de l équaion homogène éan évanescene
6 III) nergie emmagasinée par le condensaeur d d d Cu²( ) Cu²( ) C²( ) On a vu nergieemmagasinée d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 p 0 u i 0 u q u Cu d Q² avec Q C la charge finale nergieemmagasinée 2C e si on aime les calculs : nergieemmagasinée u( ) i( ) ( e ) ( e ) ( e e ) e e e e C² ² 2 ² ² 2 C² IV) Charge d un circui, L série. ) Coninuié du couran dans la bobine. u L di L une disconinuié du couran aurai pour conséquence une ension infinie aux bornes de la bobine - + ce que l'on refuse. On aura donc pour le couran dans la bobine i( = 0 ) = i( =0 ). 2) ésoluion énergie emmagasinée. di L L i i( 0) 0 on pose LI ² L i( ) ( e ) ul( ) e lim i( ) emmagasinée Chercher pour demain l exercice VI-2 suivan Fin du cours mardi 8 novembre
7 V) xpérience : Charge de deux condensaeurs élecrolyiques en // Les condensaeurs élecrolyiques doiven êre polarisés dans le bon sens, sinon une réacion chimique a lieu elle produi des gaz qui fon enfler le condensaeur qui explose e peu projeer des morceaux rès violemmen. Deux condensaeurs élecrochimiques de 6000F chacun son monés en //. La capacié globale es C eq = C +C 2, en effe la charge sur l ensemble des deux armaures de gauche es : Q = q +q 2 = C u + C 2 u = (C +C 2 )u C I q I 2 q 2 C 2 u 0 r Une formule que l on admera énonce que la capacié d un condensaeur es C S S où es la l l permiivié du maériau diélecrique( isolan) qui rempli l espace enre les plaques ou armaures Les plaques on une surface d aire S e son espacées de l. Il es clair que si on me deux condensaeurs en //, on connece élecriquemen les plaques de gauche e les plaques de droie e on a un condensaeur équivalen de surface S +S 2 ce qui implique que les capaciés s ajouen. On charge donc 6000F+6000F soi F sous =+5V à ravers k, C=2 secondes e on observe la charge à l oscilloscope avec une base de emps rès lene. On consae une charge asympoique mais à une ension légèremen inférieure à. u C Inerpréaion : Le condensaeur doi êre modélisé avec une résisance de fuie. I i C q C i F F
8 i ic if q q if if C C dq dq q q i C F dq dq C C i i C C q q ic F i F i F ic if F i F C C dq q q dq q d CU F CU F du F F ( ) ( ) C U ( ) C C C C C du C U forme canonique qui perme d'denifier = F F F ( ) ( ) ( ) remarque : es grand le couran de fuie es pei e C F andis que la ension asympoyique ension en régime permanen rese voisinede F ( ) VI) Décharge du circui, C e du circui, L ),C n conservan les convenions récepeur de la charge u( ) e i( ) e 2),L ul e i() e 3) xercice : Décharge avec deux condensaeurs i q u q 2 C u 2 C 2 A =0 les charges des condensaeurs e 2 son respecivemen Q e Q 2, déerminer l évoluion élecrique du sysème. dq dq2 dq dq2 i q q2 cs q0 q20 q q2 q2 dq q q2 dq q q2 q q2 dq q 0 0 i 0 0 C2 C C2 C C2 C C2 C q0 q20 q dq q q0 q20 q dq q q dq 0 C2 C2 0 q0 q20 q C2 C2 C C C C 2 C dq q C q q avec CI q ( 0) q C
9 4) Inerpréaion physique de la charge e de la décharge du condensaeur C i i C u C u C Charge uc ( e ) i e Décharge uc e i e Pendan la charge le condensaeur se compore comme un généraeur moné en opposiion don la fem croi jusqu à s opposer oalemen à la pile en régime permanen e bloquer le couran. Pendan la décharge le condensaeur es équivalen à un généraeur de fem iniiale oujours polarisé dans une direcion inverse à la pile qui réalisé la charge, la fem de ce généraeur équivalen décroi. On a vu que l on doi avoir coninuié de la charge ou de la ension condensaeur (pour que le couran rese fini) Lors de la décharge bien que la pile soi brusquemen amenée à une fem nulle, le condensaeur qui es chargé conserve à ses bornes la ension. Du poin de vue microscopique, les élecrons provenan de la plaque chargée négaivemen (celle à droie) se son déplacés à ravers le fil e la résisance pour combler le défici d élecron sur la plaque chargée posiivemen ( celle à gauche). Inerpréaion physique de la charge e de la décharge de la bobine i i u L u L Charge ul i ( e ) Décharge ul e i e Lors de la charge la bobine se compore comme un généraeur en opposiion à la pile de fem donc de fem iniiale de même valeur absolue de sore que le couran iniial es nul e soi coninu, lors de la décharge la bobine se subsiue à la pile don la fem a éé annulée pour assurer la coninuié du couran à parir de la valeur / Heureusemen que la ension bobine u= e es négaive pour faire circuler un couran i > 0.
10 Les condensaeurs, les résisances, les ransisors, les diodes s inègren bien (ils se miniaurisen dans une puce élecronique). Ce n es pas le cas des bobinages don le fil ne peu êre rédui sans faire apparaire une résisance inaccepable (formule =l/s). Fin du cours mercredi 9 novembre xercice à faire pour vendredi le V-3 ci-dessus
11 VI) Analyse de documens ) xemples de circuis, L série Un moeur élecrique es consiué de bobinages e l allumage d un moeur peu donc suivre une loi de charge de circui, L Mais on peu encore donner comme exemple de circui,l le ballas d une lampe fluorescene : Wikipedia Ballas e sarer d une lampe fluorescene Travail : dans le exe suivan dire où la loi u = L di/ es invoquée e le nom qu on lui donne ésumé : D une façon générale : Un ballas es un limieur de couran, quand les puissances dissipées son faibles c e une simple résisance mais quand elles son grandes il s agi d un,l comme par exemple dans le circui d allumage d un ube fluorescen. De plus dans un ube fluorescen, le rôle du ballas inducance avec noyau ferro-magnéique es double : il perme de fournir la haue ension nécessaire à l'allumage du ube puis, une fois le ube allumé, il perme de limier le couran le raversan. À cause de la puissance dissipée par effe joule, on n'uilise généralemen plus les résisances ballas dès que la puissance à fournir dépasse ou 2 Wa. Pour les puissances plus imporanes, on uilise donc des inducances. Une inducance parfaie ne généran pas de peres par effe joule, elle limiera donc le couran par inducance sans générer de baisse du rendemen. n réalié, une inducance possède une ceraine résisance inerne : Donc les peres par effe joule son minimisées mais non éliminées. L'inconvénien des inducances ballass es qu'elles déphasen le couran par rappor à la ension, dégradan ainsi le faceur de puissance. Afin de compenser ce effe, les ballass hau de gamme associen un condensaeur à l'inducance. Celui-ci ayan un effe élecriquemen idenique à l'inducance, il déphase à l'inverse le couran réablissan ainsi le faceur de puissance global de l'appareillage. ballas pour lampe fluorescene
12 Uilisaion avec une lampe fluorescene Dans un ube fluorescen, le rôle du ballas ferro-magnéique es double : il perme de fournir la haue ension d'amorçage nécessaire à l'allumage du ube puis, une fois le ube allumé, il perme de limier le couran. Schéma classique d'un monage ube fluorescen (A) ballas (G) démarreur ou «sarer»(c). Un sarer perme l'allumage de la lampe, lorsqu'elle es uilisée avec un ballas élecromagnéique. Les élémens enran en jeu son : Le ube fluorescen. Il es rempli d'un gaz don l'ionisaion, conjoinemen à une couche de maière fluorescene produi la lumière. Il possède quare bornes, deux à chaque exrémié. Les deux bornes de la première exrémié son reliées par un filamen élecrique. Il en es de même pour l'aure exrémié. L'échauffemen de ces filamens prépare le passage du couran dans le gaz du ube. Le ballas es une inducance. Le «sarer» es un dipôle élecrique qui se compore comme un inerrupeur. Au dépar, il n'es pas conduceur. Il devien conduceur pendan une coure durée, lorsqu'on lui applique une ension supérieure à une ension v (c'es le cas lorsqu'on le branche au seceur). Il es isolan lorsqu'on lui applique une ension inférieure à une ension v0 (c'es le cas lorsqu'un couran raverse le ballas avec lequel il es moné en série). Pour obenir ce effe, le «sarer» conien un gaz, qui à la ension v s'ionise e laisse passer un rès faible couran. Cee ionisaion réchauffe un bilame qui fini par se fermer, rendan le «sarer» conduceur.
13 Une fois le bilame fermé, le gaz cesse d'êre ionisé e le bilame fini par se rouvrir en refroidissan. n dessous de v0, la ension n'es pas suffisane pour ioniser le gaz. Le ballas es en série avec le ube, andis que le «sarer» es en parallèle (voir figure). Un cycle d'allumage peu se décomposer en rois éapes : Première éape Lors de la mise sous ension, aucun couran ne raverse le circui, e la ension du réseau se rouve rapporée aux bornes du «sarer». La présence de cee ension aux bornes du «sarer» ionise le gaz présen dans le «sarer». Cee ionisaion réchauffe le bilame présen dans le «sarer», qui se ferme. Seconde éape Une fois le «sarer» en posiion fermée, un couran circule à ravers les élecrodes du ube, réchauffan ainsi le gaz se siuan à proximié. Pendan ce emps, le gaz présen dans le «sarer» n'éan plus ionisé, son bilame se refroidi au poin de s'ouvrir. Troisième éape L'inerrupion bruale du couran dans la bobine ballas, enraîne une fore surension, du fai de la loi de Lenz-Faraday. Cee surension es suscepible d'amorcer le ube en ionisan suffisammen le gaz qu'il conien pour qu'il puisse reser durablemen conduceur e rende lumineuse la couche fluorescene siuée à sa périphérie. Si el es le cas, le ube e le ballas coninuen d'êre raversés par un couran. Le ballas limie alors le couran dans le ube, en raison de son impédance (loi d'ohm généralisée). La ension aux bornes du «sarer» n'es plus suffisane pour provoquer la fermeure de celui-ci. Le cycle d'allumage es erminé. Si le ube fluorescen n'es pas allumé à la fin du cycle de démarrage, le cycle recommence depuis la première éape. Le gaz présen dans le ube es plus chaud que lors du débu du cycle précèden. Ballass à démarrage rapide xemples de ballass à démarrage rapide pour 2 ubes de 40W. xemplaires desinés au marché canadien, daan d'aoû 964. Ces ballass on éé développés au débu des années 950 comme un remplacemen des ballass à préchauffage (avec sarer). Leur popularié, bien que moyenne en urope, ne s'es pas démenie, en pariculier en Amérique du Nord, où d'innombrables insallaions son encore en service aujourd'hui. Un ballas à démarrage rapide se caracérise par, en plus de l'auoransformaeur rerouvé dans les ballass à préchauffage, des bobines (enroulemens) basse ension qui chauffen les cahodes du ube en même emps que la haue ension es appliquée. Grossièremen, on peu dire que par rappor à un ballas à préchauffage qui préchauffe, puis applique la haue ension, un ballas à démarrage rapide effecue ces deux opéraions simulanémen. Le ballas es aussi conçu de manière à empêcher le démarrage des ubes si une des cahodes se brise. Dans un el cas, les ubes n'allumen que faiblemen e vacillen. Ces ballass, comme ceux illusrés ci-conre, peuven alimener une ou deux lampes, dépendan du modèle. Ils permeen l'uilisaion des mêmes ubes qu'avec les anciennes insallaions, moyennan quelques modificaions mineures (riple bobinage des cahodes enre aures). Aujourd'hui cependan, avec l'adopion quasigénéralisée des fluorescens aux riphosphores e des ballass élecroniques, les ballass à démarrage rapide (e les ballass élecromagnéiques en général) enden à disparaîre.
14 Ballas élecronique Un ballas élecronique pour Lampe fluorescene de 8 à 58W Vue inerne d'un ballas élecronique Un ballas élecronique uilise un circui à semi-conduceur afin de fournir un démarrage plus rapide, sans clignoemen, ou en pouvan alimener plusieurs lampes. n général, les ballass élecroniques augmenen la fréquence de ravail à 20kHz ou plus afin d'éliminer les clignoemens à 00 ou 20Hz (deux fois la fréquence d'alimenaion). De plus, le rendemen des lampes fluorescenes augmene de 9 % aux environs des 0kHz puis coninue à augmener lenemen jusqu'à 20kHz. L'augmenaion de la fréquence perme donc d'augmener le rendemen énergéique de l'ensemble lampe-ballas. Le ballas élecronique remplace l'ensemble ballas convenionnel, sarer e condensaeur. Aures avanages : Parfaiemen silencieux e rendemen énergéique > 98 % ce qui es considérable par rappor aux ballass passifs. Le rendemen lumineux augmene avec la fréquence jusqu à quelques cenaines de KHz, avec 32W* on obien le même flux lumineux qu'à 36W* avec ballas passif [* consommé ube seul] Cerains son gradables par une ension à0v ou commande numérique. Avec une large gamme par exemple pour allumer un passage e mere en veille économique auomaiquemen, ou sur un disposiif de purificaion par UV de n allumer en pleine puissance que s il y a écoulemen, ce qui perme de diminuer radicalemen la mainenance, le cou en énergie e d augmener la durée des ubes par 20 si l écoulemen se produi une heure par jour. Leur forma es en longueur pour prendre l emplacemen des anciens ballass dans les luminaires. Un seul ballas peu allumer un ou plusieurs ubes. Cerains ballas élecroniques n uilisen plus d'élecrodes de chauffage, ce qui limie la durée de vie des ubes en cas de cycles d allumage souven répéés. 2) Aure inervenion classique d un,l série incelle de rupure Quand on ouvre un inerrupeur, on devrai héoriquemen provoquer une disconinuié de couran les bobines présenes dans le circui rompu présenen alors une rès grande ension qui se repore aux bornes de l inerrupeur ; le champ disrupif de l air V/cm es alors aein, l air s ionise devien un plasma conduceur e une éincelle passe, le couran ne s annule donc pas insananémen.
15 3), C : Baeau à super-condensaeur à Lorien Correcion
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