Chapitre 10 Intégrales. Table des matières. Chapitre 10 Intégrales TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chpitre Intégrles TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre Intégrles Tble des mtières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I-7 Offre, demnde, surplus des fournisseurs I-7 II Cours II- Intégrle d une fonction II- Aire sous une courbe II- Vleur moyenne d une fonction II- Propriétés de l intégrle II- Linérité II- b Signe d une intégrle et comprison d intégrles II- c Reltion de Chsles II- TES Mthémtiques TDM

2 Chpitre Intégrles I EXERCICES pge I- I Exercices Évluer pproximtivement l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C ci-dessous, l xe des bscisses, et l droite d éqution x = TES Mthémtiques TDM

3 Chpitre Intégrles I EXERCICES pge I- Les fonctions définies pr f(x) = et g(x) = x + sur l intervlle [ ; ] sont représentées grphiquement ci-dessous.. () Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. (b) Déterminer une primitive F de f (c) Clculer F() F() et comprer vec l ire précédente.. () Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C g, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. (b) Déterminer une primitive G de g (c) Clculer G() G() et comprer vec l ire précédente. x = x = x = x = y = f(x) y = g(x) unité d ire Les fonctions f et g de l exercice précédent sont à nouveu représentées grphiquement ci-dessous et pge suivnte, chcune dns un repère orthogonl, d unité cm en bscisse et cm en ordonnée. Dns ce cs l unité d ire est l ire du «rectngle unité», c est à dire cm.. () Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = en unité d ire puis en cm. (b) Lquelle est égle à F() F()?. () Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C g, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = en unité d ire puis en cm. (b) Lquelle est égle à G() G()? x = x = unité d ire y = f(x) TES Mthémtiques TDM

4 Chpitre Intégrles I EXERCICES pge I- x = x = y = g(x) L fonction définie pr f(x) =, x + est représentée ci-dessous. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions x = et x =.. En s idnt du qudrillge, donner un encdrement de l ire A pr deux nombres entiers.. Clculer l ire A en clculnt une intégrle.. Vérifier que le résultt précédent est bien compris entre les deux entiers de l première question. Ci-dessous, fig. pour l exercice et fig.,, pour l exercice Fig. Fig. 6 x = x = y =, x + Fig. Fig. 6 7 TES Mthémtiques TDM

5 Chpitre Intégrles I EXERCICES pge I- Même exercice que l exercice vec chcune des fonctions et des ires indiquées. Les figures sont à l pge précédente. 6. L fonction définie pr f(x) = x + + e,x est représentée sur l figure. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =.. L fonction définie pr f(x) = + e,x est représentée sur l figure. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = 7.. L fonction définie pr f(x) = + est représentée sur l figure. L ire A est l ire de x + l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. L fonction définie pr f(x) =, x est représentée ci-dessous (fig. ) dns un repère orthogonl d unité cm pour l xe des bscisses et d unité cm pour l xe des ordonnées. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. 7. En s idnt du qudrillge, donner un encdrement de l ire A pr deux nombres entiers, d bord en unités d ire, puis en cm.. Clculer l ire A en clculnt une intégrle.. Clculer l ire A en cm.. Vérifier vec les encdrements trouvés à l première question. Même exercice que l exercice 6 vec l fonction f et l ire indiquée ci-dessous. L fonction définie pr f(x) =, x+e x est représentée ci-dessous (fig. ) dns un repère orthogonl d unité cm pour l xe des bscisses et d unité cm pour l xe des ordonnées. L ire A est l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe C f, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. Fig. Fig. TES Mthémtiques TDM

6 Chpitre Intégrles I EXERCICES pge I- 8. L fonction f définie pr f(x) = ln x est représentée grphiquement ci-dessous sur l intervlle [, ; ] (figure ). () Justifier que l fonction définie pr F(x) = x ln x x est une primitive de f sur l intervlle [, ; ]. (b) Mettre en évidence sur le grphique ci-dessous, l intégrle (c) Justifier pr un clcul que cette intégrle est égle à 6 ln. ln x dx. (d) Arrondir le résultt précédent u dixième près et préciser ce que signifie le résultt.. L fonction g définie pr g(x) = x + est représentée grphiquement ci-dessous sur x l intervlle [ ;,] (figure ). () Mettre en évidence sur le grphique ci-dessous, l intégrle suivnte (b) Justifier pr un clcul que cette intégrle est égle à 9 8 ln., g(x) dx. (c) Arrondir le résultt précédent u dixième près et préciser ce que signifie le résultt. Fig. Fig. 9. Sur l figure ci-dessous, construire une courbe pouvnt représenter une fonction f définie et continue sur [- ; ] et vérifint f(x)dx 9. Sur l figure ci-dessous, construire une courbe pouvnt représenter une fonction g définie et continue sur [- ; ] et vérifint g(x)dx 6 Fig. Fig. TES Mthémtiques TDM

7 Chpitre Intégrles I EXERCICES pge I-6 L fonction définie pr f(x) =, x est représentée grphiquement ci-contre.. Mettre en évidence sur cette figure l intégrle 6, x dx et l clculer.. Plcer les points A ( ; ) et B (6 ; ).. On veut trcer le rectngle ABCD dont l ire soit égle à l intégrle précédente. () Quelle est s longueur (sns justifier)? (b) Clculer s lrgeur. Arrondir u dixième près. On ppelle ce nombre l vleur moyenne de f sur l intervlle [ ; 6] (c) Trcer le rectngle ABCD. 6. Clculer. Clculer. Schnt que. Schnt que (x + x ) dx et 7 7 x + dx et x e x dx = e 6 ln, dx = x x dx + x + dx et que clculer x dx et comprer les résultts. et comprer les résultts. xe x dx = e + clculer (x e x +xe x ) dx x dx Deux fonctions f et g sont représentées grphiquement ci-dessous.. Sns justifier : () l intégrle (b) comprer les intégrles f(x) dx et f(x) dx est-elle positive? g(x) dx. Les fonctions f et g sont définies pr : f(x) = et g(x) =, x x + () Clculer f(x) dx et les réponses précédentes. g(x) dx et vérifier (b) Clculer l ire de l prtie du pln comprise entre les courbes C f et C g, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x =. C f C g 6 7 TES Mthémtiques TDM

8 Chpitre Intégrles I EXERCICES pge I-7 Clculer l ire coloriée de l exercice pge du mnuel. Offre, demnde, surplus des fournisseurs Un produit est mis sur le mrché. Soit x le nombre d unités pouvnt être vendues, exprimée en milliers. L fonction d offre de ce produit est l fonction f définie sur l intervlle [ ; ] pr f(x) = e,x. Cel veut dire que pour un prix unitire f(x), on peut trouver x milliers de fbricnts prêts à vendre ce produit à ce prix unitire. L fonction de demnde de ce produit est l fonction g définie sur l intervlle [ ; ] pr g(x) = ln(x + ) +. Cel veut dire que pour un prix unitire g(x), on peut trouver x milliers de consommteurs prêts à pyer ce prix pour ce produit. Les fonctions f et g sont représentées grphiquement ci-dessous pr les courbes C f et C g.. Sns justifier, déterminer quelle courbe est C f et lquelle est C g.. Le prix d équilibre est le prix unitire tel que l offre est égle à l demnde. () Déterminer grphiquement ce prix d équilibre en euros, à euros près. (b) Déterminer grphiquement le nombre d unités correspondnt u millier près.. On pose h(x) = f(x) g(x) et on dmet que l éqution h(x) = dmet une unique solution x sur l intervlle [ ; ]. À l ide de l clcultrice, déterminer l rrondi de x u millième.. On pose y = f(x ). Clculer l rrondi de y u centième.. En déduire le prix d équilibre en euros, à euro près et le nombre d unités correspondnt à l unité près. 6. On ppelle surplus des fournisseurs (*) le nombre réel S défini pr : S = x y x f(x) dx () Colorier sur le grphique le domine du pln dont l ire en unités d ire est le nombre réel S. (b) Déterminer l vleur rrondie u millième du nombre S. (*) L fonction d offre f indique que certins fournisseurs serient prêts à vendre le produit moins cher à l unité que le prix d équilibre. Lorsque ces fournisseurs vendent finlement le produit u prix unitire d équilibre, ils rélisent ensemble un gin qu on ppelle le surplus des fournisseurs. TES Mthémtiques TDM

9 Chpitre Intégrles II COURS pge II- II Cours Intégrle d une fonction Définition Si F est une primitive d une fonction f sur un intervlle I, et si et b sont deux nombres de cet intervlle, on ppelle intégrle de à b de f l expression F(b) F(). On écrit : Exemple f(x) dx = F(b) F() f(x) = x + F(x) = x + x ( ) ( ) (x + ) dx = F() F() = + + Utilistion de l clcultrice TI 8 Clculons l intégrle précédente à l ide de l clcultrice. Appuyer sur les touches mth Compléter insi : fonctintégr(x+,x,,) Aire sous une courbe = 6 + = 8 9. On obtient l ffichge : fonctintégr( Soit f une fonction positive sur un intervlle [ ; b] représentée grphiquement pr une courbe C. L ire, exprimée en unités d ire, de l prtie du pln comprise entre l courbe C, l xe des bscisses, et les droites d équtions respectives x = et x = b est égle à f(x) dx Exemple L fonction f de l exemple précédent est représentée grphiquement ci-dessous et l intégrle (x + ) dx donne l ire grisée ci-dessous, soit 8 unités d ire. x = x = unité d ire y = f(x) TES Mthémtiques TDM

10 Chpitre Intégrles II COURS pge II- Vleur moyenne d une fonction Définition Soient et b deux nombres tels que < b et une fonction f dmettnt une primitive sur l intervlle [ ; b]. L vleur moyenne de f sur [ ; b] est le nombre f(x) dx. b b Remrque Si on ppelle m cette vleur moyenne, on l églité m = f(x) dx b donc m (b ) = f(x) dx Donc pour une fonction f positive, cel signifie grphiquement que l ire du rectngle de lrgeur b et de huteur m est égle à f(x) dx. m b Propriétés de l intégrle Linérité Propriétés Soient f et g deux fonctions dmettnt chcune une primitive sur un intervlle I, et et b deux nombres de cet intervlle. lors : (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et et b deux nombres de cet intervlle. lors : (k f(x)) dx = k f(x) dx. Exemples : voir l exercice sur fiche n o b Signe d une intégrle et comprison d intégrles Propriété Signe d une intégrle Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et et b deux nombres de cet intervlle. Si f sur l intervlle I, et si b lors : Si f sur l intervlle I, et si b lors : Propriété Comprison d intégrles b f(x) dx. f(x) dx. Soient f et g deux fonctions dmettnt chcune une primitive sur un intervlle I, et et b deux nombres de cet intervlle. Si f g sur l intervlle I, et si b lors : f(x) dx g(x) dx. TES Mthémtiques TDM

11 Chpitre Intégrles II COURS pge II- Remrque Interpréttion pour les ires Pour deux fonctions positives f et g, cette propriété de comprison signifie que si l courbe C f est en dessous de l courbe C g, lors l ire sous l courbe C f est inférieure à l ire sous l courbe C g. Exemple : voir l exercice sur fiche n o c Reltion de Chsles Soient f une fonction dmettnt une primitive sur un intervlle I, et, b, c trois nombres de cet intervlle, lors : f(x) dx + c b f(x) dx = Remrque Interpréttion pour les ires c f(x) dx. Pour une fonction f positive, si b c, l reltion de Chsles trduit le fit que les ires s joutent comme on le voit sur l figure ci-dessous. C f b c TES Mthémtiques TDM