Simulation : application au système bonus-malus en responsabilité civile automobile

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1 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Simulaion Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus en responsabilié civile auomobile

2 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Programme Nombres pseudo-aléaoires Méhode de l inverse Méhode d accepaion-reje Méhode polaire pour une générer un variable aléaoire disribuée selon une loi Normale Bus e mécanismes des sysèmes bonus-malus Esimaion des disribuions en régimes ransioire e saionnaire

3 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Nombres pseudo-aléaoires Algorihmes - Eemple «Congrueniel muliplicaif» n «Congrueniel mie» n an Eemple de calculs de la récurrence a n modulo «Congrueniel mie» ( c) modulo m a 6'87 m '34'567 6'87 6'87 3 mod mod m m ' 47'483'647 '4'4' '38'559 m m m m

4 Nombres aléaoires - Eemple 3 a 6'87 m ' 47 '483'647 muliplicaif mie irages moyenne var. moyenne var [ ].5 ar[ U ].83 E U 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus '34 '567

5 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Inégraion - Mone-Carlo k i θ g( ) d θ E sin( ) d cos() g( U k ) i [ g( U )] E[ g( U )] quand k Eemple d inégraion pour nombres :777:73 [ [

6 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Méhode de l inverse discrèe p p p P() u p p p 3

7 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Inverse discrèe Rappel sur la famille a-b b P{ N n} a P{ N n } n 3... n Disribuion P{ N } a b Poisson( λ ) Binomiale(np) Binomiale Négaive(rp) λ e λ p p ( n ) q q r p q q( r ) n q Géomérique(p) p q Disribuion Poisson( λ ) Binomiale(np) Binomiale Négaive(rp) Géomérique(p) fdp λ λ e f ( )! n f p q n ( ) r f ( ) p r q f ( ) p q

8 Inverse discrèe - Famille a-b Eemple de la loi Poisson P{ N λ λ n} P{ N n } n 3... P{ N } e n Pseudo-code. Générer un nombre aléaoire uniforme U. λ. Poser n p e F p. 3. Si U < F alors poser n e arrêer. 4. Poser p λ p F F p e incrémener n. n 5. Coninuer au poin 3. Ce algorihme sera uilisé dans le cadre de nore simulaion pour le nombre des sinisres 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus

9 Méhode de l inverse coninue F() u f() /5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus

10 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Inverse coninue Eponenielle e Gamma F ( ) e F β log(u ) ( U ) β log( U ) β > d' où or U log( u) β ~ Uniforme () donc U ~ Uniforme () F ( ) β e log( U β βy ( βy) ( n )! ) log( U β n dy )... avec α enier log( U β n ) log( U β U U n )

11 Méhode d accepaion-reje Principe (Eemple: loi Normale)..8 c g e π ( ) e c G() rejeé u.6.4. f ( ) e π accepé 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus 3 4

12 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Méhode d accepaion-reje Organigramme e pseudo-code Débu NON Génère Y ~ g Génère U f ( Y) U cg( Y) OUI Y Fin. Générer Y une variable aléaoire eponenielle de paramère.. Générer un nombre aléaoire U. ( Y ) 3. Si U ep alors poser Y e arrêer sinon aller à l'éape. 4. Générer un nombre aléaoire U e poser Z si U si U >.

13 4/5/98 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Méhode polaire - Loi Normale Méhode polaire - Loi Normale π θ π θ θ θ π π π θ ) ( ) ( an ) ( an < < < < < < d e d f d J y y d y e e e y f Y Y R d y y

14 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Bo-Muller Pseudo-code e eemple. Générer deu nombres aléaoires uniformes U e U.. Poser R logu e θ πu. 3. Poser R cosθ logu cos(πu ). 4. Poser Y R sinθ logu sin(πu ). Poins 3 e 4 Transformaion de Bo-Muller Moyenne de nombres aléaoires Г4:7

15 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Méhode polaire - Loi Normale U U -.5 -

16 4/5/98 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Méhode polaire Méhode polaire log log cos sin U Y U R R θ θ S S S S Y S S S S R S log log log log

17 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Méhode polaire - Pseudo-code. Générer deu nombres aléaoires uniformes U e U.. Poser U U e S. 3. Si S > alors reour à l'éape. log S 4. Poser. S 5. Poser Y log S. S

18 Bus e mécanismes - Mécanisme appliqué de 99 à 996 Ea Prime Ea Prime Ea Prime Ea Prime 45% 6 75% 3% 8 5% 5% 7 8% 3 4% 9 3% 55% 8 9% 4 55% 5% 3 6% 9 % 5 7% 7% 4 65% % 6 85% 5 7% % 7 % ma( ; ) min( n s ; ) 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus pas de sinisre si n sinisres son survenus s 4 dans ce sysème

19 4/5/98 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Esimaion des disribuions Esimaion des disribuions ) ~ Poisson( si si si si si λ > N N N N s Y n Y n n Y Y Y

20 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Esimaion des disribuions Pseudo-code de la simulaion. Iniialisaion de la marice de résula z à.. Pour k à par pas de répéer 3. Poser 9 4. Poser z[ ;] z[ ;] 5. Pour à par pas de répéer 6. Poser n InversePoisson(.) 7. Poser y - si n e y 4 n sinon 8. Poser min(ma( y ;); ) 9. Poser z[ ; ] z[ ; ]. Fin pour.fin pour

21 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Esimaion des disribuions en régime ransioire e saionnaire Disribuion saionnaire F ( ) lim F ( ) Ea e m p s

22 4/5/98 Simulaion : applicaion au sysème bonus-malus Prime e classe moyenne Classe moyenne [ ] E f ( ) E[ b ] b( ) Prime moyenne Temps Classe Prime f ( ) Temps Classe Prime