Limitations et problèmes de l équation de Stokes Ecoulements de particules, suspensions

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1 ENSTA Cours de ème année e MF 6 Limitations et problèmes de l équation de Stokes Ecoulements de particules, suspensions Jean-Pierre Hulin et Benoît Semin (Laboratoire FAST CNRS, Universités Paris 6 et 11, UMR 768, Bat. 5, Campus Paris-Sud, 9145 Orsay) Mars 9 Forme de l écoulement autour d une sphère Sphère en mouvement à la vitesse U Re = UL << 1 ν R R v=u r cos ϕ - r r v = -U sin ϕ R R + ϕ 4r 4r Perturbations à longue portée par le mouvement de la sphère (variation en 1/r ) Influence de parois solides sur la dynamique de la sphère. 1

2 Estimation de l énergie cinétique de l écoulement de Stokes autour d une sphère dans un volume infini R R A grande distance : v r U cos ϕ v ϕ - U sin ϕ r 4 r Borne inférieure de l'énergie cinétique par unité de volume : 1 9 e= v(r) > U c ρ ρ Energie cinétique totale (de c /dr )dr entre les rayons r et r +dr : 9π de c = ec 4 π r dr > ρ U R dr 8 Energie cinétique totale infinie pour la solution de l équation de Stokes L équation de Stokes reste-t-elle valable à grande distance?? R r Limite de l équation de Navier-Stokes à grande distance pour un écoulement à Re << 1 autour d une sphère en mouvement Champ induit par la sphère au point fixe M : v(o(t)m) Variation de vitesse induite en M entre t et t+δt : v v( t+ δt) v( t) = v( O'O + OM) v( OM) = ( O'O.grad) v = - ( U.grad) v t Ordre de grandeur des différents termes pour OM >> R v v R 1 U R 1 - U U (U ) = μ Δ v μu R μ UR t x L L L LL L v L 1 U R UR ν Δ v si mais on garde: ( v.grad) v «ν Δv ν t R Re L L Equation d Oseen valable à grande distance : v 1 L 1 = - ( U.grad) v =- grad p + ν Δv si >> t ρ R Re

3 Solution de l équation d Oseen Champ de vitesse dissymétrique avec lignes de courant plus resserrées en arrière. RU Pour une sphère: FOseen = 6πμRU 1+ Re Re = 16 ν Coefficient de traînée sur une sphère F UR C= d Re= 1 ( πr ) ρu ν Valeur du coefficient de traînée sous estimée par l équation de Stokes et surestimée par l équation d Oseen

4 Décroissance de la vitesse autour d un cylindre en écoulement de Stokes? Régime stationnaire : - Flux de quantité de mouvement dans une surface cylindrique de grand rayon r >> R = impulsion associée sur le cylindre solide en mouvement = cst /r et /t. (sera compté par unité de longueur du cylindre - Hypothèse : V r α - Flux de quantité de mvt.par unité de surface : - μ V i / x j μr α 1 - Flux total par unité de longeur de cylindre : Φ π r μ r α 1 r α Φindépendant de r α = V cst avec r!!!!!!! Impossibilité de trouver une solution de l équation de Stokes autour d un cylindre en mouvement dans un volume infini de fluide. Première approximation utilisable obtenue en résolvant l équation d Oseen. Ecoulement d Oseen autour d un cylindre infini Fonction courant: Ψ U ( rln r r+ R )sinθ LnRe R r Composantes de vitesse: v sr v sθ UR Re = ν 1 Ψ U r R = ( Ln 1 + )cosθ r θ LnRe R r Ψ U r R = ( Ln )sinθ r LnRe R r Force par unité de longueur: 4π μ U F unité de longueur Ln Re Force sur un bâtonnet circulaire : 8π μu F par unitédelongueur = - L 1 Ln + R 4

5 Influence des parois sur la chute d une sphère dans un fluide visqueux Chute de deux sphères loin et près d une paroi Sphère proche de la paroi fortement ralentie Chute parallèle à la paroi (pas de déviation) Document NCFMF-G.I. Taylor Sédimentation d une sphère près d une paroi plane verticale U U 1 (renversement des champs de vitesse et g -g) U U (symétrie plan diamétral horizontal et g -g). Les champs transformés doivent coincider U 1 U vitesse de sédimentation U verticale // g comment tenir compte de la condition aux limites de vitesse nulle sur la paroi? 5

6 Vitesse de sédimentation près d une paroi plane verticale Condition aux limites de vitesse tangentielle nulle à la paroi pouvant être R imposée par une sphère image se déplaçant en sens inverse. -U mg d d U Vitesse induite par la sphère image : UR Vimage si R<< d 8d Force de frottement visqueux augmentée R F = - 6 πμr U 1+ 8 d Vitesse normale nulle sur la paroi non respectée: facteur exact (1 + 9R/16d) Force de frottement sur une sphère dans un tube F R b = - 6 πμr U 1+,1,7 R T R T R T R Vitesse supposée nulle loin de la sphère. Correction de l ordre de grandeur de R/R T par rapport à la force de Stokes Vitesse induite à la distance R T UR/4R T Condition aux limites de vitesse nulle sur la paroi du tube : équivalence à vitesse globale opposée UR/4R T b F U 6

7 Chute d une sphère à l intérieur d un tube de diamètre double Re =.1 Visualisation dans un référentiel fixe par rapport à la sphère Visualisation dans le référentiel fixe par rapport au tube Document M. Coutanceau (Poitiers) Contre écoulement près de la paroi du tube (conservation de la masse) recirculation dans le référentiel du tube. Très forte influence de la paroi sur la chute de la sphère Viscosité des suspensions Formule d Einstein μ = μ o (1+, 5 Φ) Estimation du temps de diffusion visqueuse DE EF = 1- = 1- Φ DF DF DF DE [ DF(1 Φ)] τ D = = = μ/ ρ μ / ρ μ / ρ μo μ μ o (1+ Φ) (1 Φ) Temps de diffusion visqueuse réduit car instantanée dans les particules solides équivalence à une augmentation de la viscosité o o 7

8 Sédimentation de particules dans un fluide Film du National committee for Fluid Mechanics Fiilms (NCFMF). Suspensions browniennes et non browniennes Nombre de Péclet τ D 6π μγ& R Pe = = τ kt C Pe = UR D B kt B D = 6 πμr Règle empirique: Nombre de Péclet de l ordre de 1 pour une taille des particules de l ordre de 1μm R D & γ τ Pe 1 γ& D Avec en s -1, τ en s, D en mm s -1 et R en μm 8

9 Influence de la géométrie des particules Sédimentation de particules sphériques Sédimentation de fibres Billes sphériques : front très net en haut de la suspension qui reste homogène avec formation d un sédiment au fond. Fibres:pas de front net et apparition d hétérogénéités avec des zones de chute rapide et des zones de recirculation. Document B. Metzger et E. Guazzelli (IUSTI-Marseille) Influence de la géométrie des parois: sédimentation dans un récipient sphérique v cf v s Structuration de l écoulement avec apparition d une recirculation Vitesse de sédimentation v ss (Φ) = v so (1 -,55 Φ): plus rapide qu au dessus d un plan infini à grande distance : v s = v so (1-6,55 Φ). 9

10 Effet Boycott (sédimentation dans un tube incliné Sédimentation plus rapide dans un tube vertical que dans un tube incliné Application aux décanteurs lamellaires. Comportement collectif de paquets de particules Sédimentation de particules sphériques (à droite) et d une goutte de colorant dense (à droite) Document B. Metzger et E. Guazzelli (IUSTI-Marseille) (Expérience) Vue de dessous de la chute d'un nuage de particules de verre en sédimentation dans de l'huile silicone. Le rayon des particules vaut 4 microns et la viscosité du fluide 1 cp 1

11 Flux de particules pour une suspension vérifiant la loi de Richardson-Zaki Vitesse de sédimentation : V s (x) = V so (1 -Φ(x)) p avec p 6.55 Formation d un sédiment immobile de concentration volumique Φ s Vitesse de propagation des points d égale concentration Φ.5 Φ s Vitesse du point de concentration Φ : U(Φ) = V so df(φ)/dφ Vitesse vers le bas dans le haut du sédiment, vers le haut dans la partie inférieure Extremum de vitesse U(Φ) entraînant l apparition de discontinuités (chocs) 11

12 Construction de la distribution des vitesses et des concentrations dans une suspension en cours de sédimentation. F(Φ).5 A + A -.4<Φ ο <.65 Φ s+ =.565 Φ ο <.4.5 Φ.5 Φ s =.64 + Vitesse d un front de type «choc»: ( ) ( ) V=V F F Φ Φ f so + Φ Φ Le segment AA représentant un choc ne doit pas croiser F(Φ) F(Φ).5 Φ i <.4 Sédimentation d une suspension de concentration Φ i =.7. W f1 =V s (Φ i ) Φ i.5 Φ.5 Φ s =.64 W f1 W f W f1 Apparition de chocs Front supérieur descendant Surface du sédiment montant W f t >t 1 W f h x t 1 1

13 F(Φ).5.4<Φ i <.65 W f W f1 =V s (Φ i ) Φ s+ =.565 Φ A W f Φ i.5 Φ.5 Φ s =.64 W f1 h x W f t >t 1 W t f 1 W f1 W f W f Sédimentation d une suspension de concentration Φ i =.7. Apparition de chocs et d une zone de variation continue Front supérieur descendant Surface du sédiment et front intermédiaire montent Sédimentation de particules monodisperses x/h. Profils de concentration verticaux expérimentaux et théoriques après : 8, 15,, 9, 6, 4, 56, 111 jours Φ Sédimentation d une suspension de particules de diamètre,7μm avec une concentration volumique initiale de 1% observée à l aide d un scanner X Observation de fronts Document F. Auzerais, Schlumberger 1

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