Ecoulement laminaire de fluide visqueux en conduite circulaire

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1 oiseille_tbe, Licence LA, Année , Daniel Hilie (ié web e Ryhing, Mei, Ecole olyechniqe Fééale e Lasanne ), h://linc3.el.ch/e-lin/ryhing/ Ecoleen lainaie e lie visqe en conie ciclaie Eqaions e Navie Sokes en cooonnées cyliniqes (,, θ) (0.) (0.) (0.3) a l'inocion 'n sysèe e cooonnées cyliniqes selon la ige ci-essos, la viesse longiinale ans le be evien ne oncion e, (). Les éqaions (0.) e (0.3) eeen e ie qe la ession ne éen ni e, ni e, onc (). Le gaien e ession / es consiéé coe consan e les éqaions e Navie-Sokes en cooonnées cyliniqes s'éciven :, z y z y () 'où () Fige: Cooonnées cyliniqes e l'écoleen ans n be ciclaie.

2 oiseille_tbe, Licence LA, Année , Daniel Hilie (ié web e Ryhing, Mei, Ecole olyechniqe Fééale e Lasanne ), h://linc3.el.ch/e-lin/ryhing/ En ai l éqaion () s éci :, le ebe e gache es ne oncion e, celi e oie ne oncion e, onc chacn es ees es consan, ce qi onne n gaien e ession consan. Les coniions a liies son eiées a 0 à la aoi a be e a la syéie e la oncion () ao e l'ae 0. Ceci signiie qe o 0, on obien selon la coniion / 0. a inégaion e (), on obien C (3) La coniion e syéie ao e 0 onne C 0. En inégan (3) e en enan coe e la coniion à la liie à la aoi ( R a), le ésla inal s'éci a ( ) 4 a (4) Le oil e viesse es onc aaboliqe (ige ci-essos). o évale le ébi-asse ans le be, on a besoin e la viesse oyenne. En se ééan à la ige, on obien a a a ( )π πa a a a a (5) 8 Fige : oil e viesse aaboliqe ans n be ciclaie. Fige : Foces e oeen e e ession s n vole e conôle ans le be ciclaie.

3 oiseille_tbe, Licence LA, Année , Daniel Hilie (ié web e Ryhing, Mei, Ecole olyechniqe Fééale e Lasanne ), h://linc3.el.ch/e-lin/ryhing/ La isibion e viesse e onc s'écie ( ) (6) a e la ession baisse onc le long be si > 0 Selon (5), on obien 8 8 M&, M & π a 4 a a (7) Le ébi-asse M & ans le be es onc ooionnel à a 4 e a gaien e ession. La iinion e la ession es e a oeen à la aoi be. Le héoèe e qanié e oveen, aliqé a vole e conôle e longe ans la iecion i selon la ige, onne (aenion, la conaine τ > 0 es éjà oienée hysiqeen ves les osiis e ce qi agi s le vole e conôle es : - τ ) π a τ π a 0, 4τ a (8) où τ, la conaine e cisailleen à la aoi, a éé eiée en oncion iaèe a be. Il es 'sage e éini n coeicien e ee e chage λ (o ) a ( / ) a 4τ 3 64 λ (9) (/ ) (/ ) a Re où le nobe e Reynols es éini a ao a iaèe a e à la viesse. es onc niqeen ne oncion e Re. La généalisaion e (9) aelée loi e oiseille o Hagen- oiseille o n écoleen blen ans ne conie e aoi lisse o gese e e secion abiaie es onnée ailles (lois e Blasis e iagaes e Moy-Nikase). On e égaleen évale τ selon la éiniion. Dans ce cas il a éini ne cooonnée y esée à ai e la aoi e oienée ves le cene be (ig. ci-essos). a conséqen, on ose y a - e on obien τ ( y 0) ( a) (0) y ς 3

4 oiseille_tbe, Licence LA, Année , Daniel Hilie (ié web e Ryhing, Mei, Ecole olyechniqe Fééale e Lasanne ), h://linc3.el.ch/e-lin/ryhing/ En ilisan (6) e (7) il vien conian le ésla selon (8). a τ 4 () a a a Fige: Evalaion e τ 'aès la ole (0). Généalisaion es ee e chages églièes (linéaies) ans les conies Raels héoiqes Eqaion e Dacy-Weisbach (854,845) :Loi généale e la ee e chage Δh, Δ es LU LU Δ hλ., Δ gδh λ. D.g. D avec : λ : coeicien e ee e chage U : viesse oyenne e ébi (Q/S) Q : ébi voliqe, S : secion e la conie, D : iaèe e la conie, L : longe onçon e la conie, λ es oncion nobe e Reynols - o Re < 400, égie e oiseille : λ 64.Re - - o Re > 400, égie e Blasis : λ Re -/4 Nobe e Reynols Re U.D/ν avec ν : viscosié cinéaiqe lie 4

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