[M. Gubinelli - Processus discrets - M1 MMD 2009/ v.6] IV Martingales

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1 Filtratios et martigales 1 [M. Gubielli - Processus discrets - M1 MMD 2009/ v.6] IV Martigales 1 Filtratios et martigales O cosidère u espace probabilisé (Ω, F, P). Défiitio 1. Ue filtratio est ue famille (F ) 0 de sous-tribus de F telles que F F +1 pour tout 0. OposeF 1 = {, Ω} et F = σ(f, 0) (F est la plus petite tribu qui cotiee les F pour 0). Soit (X ) 0 u processus stochastique, sa filtratio aturelle (F X ) 0 est la filtratio défiie par F X = σ(x 0,,X ). Défiitio 2. Soit (X ) 0 u processus stochastique et (F ) 0 ue filtratio, o dit que (X ) 0 est adapté (à la filtratio (F ) 0 ) ssi X ˆF pour tout 0. Oditque(X ) 0 est prévisible (par rapport à la filtratio (F ) 0 ) ssi X ˆF 1 pour tout 0. La filtratio aturelle de X est la plus petite filtratio à laquelle X est adapté. Défiitio 3. U processus (X ) 0 réel, adapté et itégrable (c-à-d tel que E[ X ] < + pour tout 0) est i. ue martigale ssi E[X +1 F ]=X p.s. pour tout 0 ; ii. ue sur-martigale ssi E[X +1 F ] X p.s. pour tout 0 ; iii. ue sous-martigale ssi E[X +1 F ] X p.s. pour tout 0. Si o iterprète (X ) 0 comme les gais das u jeux d hasard et la filtratio (F ) 0 comme l iformatio à dispositio à chaque istat de temps, alors ue martigale est u jeux équitable, ue sur-martigale est u jeux défavorable et ue sous-martigale u jeux favorable. Remarque 4. Si X est ue martigale, alors par récurrece de la défiitio o a que E[X m F ]=X pour tout m 0. Ue propriété aalogue est valable pour les sous/sur-martigales. Si o ote X = X X 1 alors o a que la propriété de (sous-/sur-)martigale est équivalet à E[ X +1 F ]=0(ou, ou ) pour tout 0. Exemple 5. Soit Z ue v.a. réelle et itégrable. Alors X = E[Z F ] est ue martigale. Si (A ) 0 est u processus réel adapté et croissat (décroissat) alors il est aussi ue sous-(sur-) martigale. Propositio 6. ( Décompositio de Doob) Soit (X ) 0 ue suite adapté et itégrable, alors il existe u uique martigale (M ) 0 et u uique processus (I ) 0 prévisible, itégrable et tel que I 0 =0 tels que o a X = X 0 + M + I, 0. De plus a) I =0 pour tout 0 ssi (X ) 0 est ue martigale ; b) (I ) 0 est croissat ssi (X ) 0 est ue sous-martigale ; c) (I ) 0 est décroissat ssi (X ) 0 est ue sur-martigale.

2 2 Sectio 1 Démostratio. O démotre l uicité de la décompositio d abord: si M,Ĩ sot ue autre possible décompositio de X e partie martigale et processus prévisible itégrable, alors o doit avoir M + Ĩ = M + I = X X 0 et doc si o pose N = M M = I Ĩ o a que N est ue martigale et au même temps u processus prévisible itégrable, doc pour tout 0 N = E[N +1 F ]=N +1 car N +1 ˆF ce qu implique que N estcostate et doc que N = N 0 =0 car I 0 = Ĩ 0 =0. Doc I = Ĩ et M = M. Pour l existece o remarque que M = X I et e preat l espérace coditioelle o obtiet que 0=E[ M +1 F ]=E[ X +1 F ] E[ I +1 F ]=E[ X +1 F ] I +1 car par la prévisibilité de I o a I +1 ˆF. Doc o peut poser 1 I = E[ X i+1 F i ], I 0 =0 i=0 ce qui ous doe u processus prévisible et itégrable. Il est aussi évidet que si o pose M = X X 0 I alors (M ) 0 est ue martigale. La formule pour I doe directemet que si (X ) 0 est martigale alors I =0pour tout 0, l implicatio opposée est évidete. Si (X ) 0 est ue (sur-)sous-martigale alors pour tout : E[ X +1 F ] X (ou )etdocleprocessusi est (de-)croissat. Propositio 7. Soit (X ) 0 ue (sous-)martigale et Φ ue foctio covexe (covexe et croissate) et telle que E[ Φ(X ) ] < + pour tout 0, alors(φ(x )) 0 est ue sous-martigale. Démostratio. Par l iégalité de Jese o a que E[Φ(X +1 ) F ] Φ(E[X +1 F ]) = Φ(X ) ou la derière égalité est due à la propriété de martigale de X. Si X est sous-martigale o a que E[Φ(X +1 ) F ] Φ(E[X +1 F ]) Φ(X ) par le fait que o suppose Φ croissate. Propositio 8. Soit (X ) 0 ue martigale de carre itegrable (c-à-d E[X 2 ] < + pour tout 0). Alors la sous-martigale (X 2 ) 0 admet la décompositio avec X 2 = X N +[X] N =2 X i 1 X i, [X] = ( X i ) 2 où le processus (M ) 0 estumartigaleetleprocessus([x] ) 0 est u processus croissate appelé variatio quadratique de X. Démostratio. (exercice) Exercice 1. Soit (X ) 0 ue martigale. Détermier la décompositio de Doob de (X 2 ) 0 : X 2 = X M + X avec (M ) 0 martigale et ( X ) 0 processus prévisible (et croissate). Motrer que X = E[( X ) 2 F 1 ]=E[ [X] F 1 ].

3 Théorèmes de covergece 3 2 Théorèmes de covergece Théorème 9. ( Doob) Soit(X ) 0 ue sous-martigale positive et X = sup 0 i X i pour 0. Alors E[(X N ) 2 ] 4E[X 2 N ] pour tout N 0. Démostratio. O pose X 1 =0 par coveace. O a que (X +1 ) 2 (X ) 2 =(X +1 X )(X +1 + X ) 2X +1 (X +1 X ) pour tout 1 car si X +1 X > 0 alors X +1 = X +1 et X X +1.Doc E[(X +1 ) 2 ] E[(X ) 2 ] 2E[X +1 (X +1 X )] 2E[E[X N F +1 ](X +1 X )] = 2E[E[X N (X +1 X ) F +1 ]] =2E[X N (X +1 X )] où o a utilisé la propriété de sous-martigale de (X ) 0. Par sommatio sur etre 1 et N cela doe E[(X N ) 2 ] 2E[X N X N ] Théorème 10. Soit (M ) 0 ue martigale telle que α = sup 0 E[M 2 ] < +. Alors la suite M coverge das L 2 (Ω) et p.s. Démostratio. O décompose la martigale selo ses icrémets: M = M 0 + M k et o remarque que les icrémets sot orthogoaux: si >k: E[ M M k ]=E[E[ M M k F 1 ]] = E[E[ M F 1 ] M k ]=0 car M k ˆF k F 1.Doc et E[M 2 ]=E[M 2 0 ]+ E[( M k ) 2 ] E[M 2 0 ]+ E[( M k ) 2 ]=α ce que implique que la suite M k coverge das L 2 (Ω) et doc que M = lim M das L 2 :eeffetpourtoutk k E[ M k M k 2 ]= k E[( M l ) 2 ] E[( M l ) 2 ] 0 l=k+1 l=+1 quad +. Lasuite(M ) 0 estdocdecauchydasl 2 (Ω). O veut maiteat motrer la covergece presque sûre. Pour cela o cosidère la v.a. O a E[V 2 ]=E[ lim sup N i,j N V = sup M i M j. i,j M i M j 2 ]= lim E[ sup N i,j N M i M j 2 ] 4 lim E[ sup M i M 2 ] N i N

4 4 Sectio 2 car par iégalité triagulaire M i M j M i M + M j M et (a + b) 2 2a 2 +2b 2 pour a, b 0. Fixos 0 et soit Y k = M +k M et G k = F +k. Le processus (Y k ) k 0 est ue martigale de carré itégrable relative à la filtratio (G k ) k 0 et doc par l iégalité de Doob (car ( Y k ) k 0 est ue sous-martigale positive par rapport à la filtratio (G k ) k 0 )oaque ce que ous doe E[ sup Y 2 k ]=E[( sup Y k ) 2 ] 4E[Y 2 N ] 0 k N 0 k N E[V 2 ] 4 lim E[ sup Y 2 k ] 16 lim E[Y N 2 ]=16 lim E[ M N M 2 ]=16E[ M M 2 ] N 0 k N N N car la covergece de M vers M alieudasl 2. Maiteat si o preds la limite o obtiet par covergece mootoe (la suite V est décroissate) E[ lim V 2 ]= lim E[V 2 ]= lim 16E[ M M 2 ]=0 et doc lim V =0 presque sûremet. Mais cela implique que pour presque tout ω Ω la suite réelle (M (ω)) 0 coverge vers u limite M (ω). De la covergece L 2 de (M ) 0 vers M o peut déduire qu il existe ue sous-suite M k qui coverge p.s. vers M et doc o doit avoir M = M. Lemme 11. Soit (X ) 0 ue sur-martigale positive et borée par K. La martigale (M ) 0 de la décompositio de Doob est uiformémet de carré itégrable et E[M 2 ] 2 K E[X 0 ] E[X 0 2 ]. Démostratio. La martigale M est défiie par M = X X 0 + A où A est u processus prévisible, itégrable et positif croissate (car X est ue sur-martigale). Par costructio X, A et doc M sot de carré itégrable, e particulier E[M 2 ]= E[( M i ) 2 ]. O observe que E[( M i ) 2 ]=E[( X i E[ X i F i 1 ]) 2 ] E[( X i ) 2 ] compte teu des propriétés de la variace coditioelle. Observos que Par sommatio, il viet E[( X i ) 2 ]=E[X 2 2 i ] E[X i 1 ] 2E[X i 1 (X i X i 1 )] = E[X 2 2 i ] E[X i 1 ]+2E[X i 1 (A i A i 1 )]. E[M 2 ] E[X 2 ] E[X 2 0 ]+2 E[X i 1 (A i A i 1 )] E[X 2 ] E[X 2 0 ]+2K E[A i A i 1 ]=E[X 2 ] E[X 2 0 ]+2K E[A ] = E[X 2 2KX ] E[X 0 2 ]+2K E[A + X ] = E[X 2 2KX ] E[X 0 2 ]+2K E[X 0 ] 2K E[X 0 ] E[X 0 2 ] car X 2 2KX = X (X 2K) 0 et où o a utilisé la propriété de martigale de A + X. Lemme 12. Soit (X ) 0 uesous-martigaletellequesup E[(X ) + ]=K<+. AlorsX = Y Z où (Y ) 0 est ue martigale positive et (Z ) 0 est ue sur-martigale positive. Démostratio. Le processus ((X ) + ) 0 estuesous-martigalededécompositiodedoob (X ) + =(X 0 ) + + M + I où I est u processus croissat, positif, prévisible et itégrable tel que E[I ] E[ X 0 ]+E[(X ) + ] E[ X 0 ]+K.

5 Arrêt optioel 5 La v.a. I = lim I (qu existe car I est croissate) est doc aussi itégrable (par covergece mootoe E[I ]=lim E[I ]). Soit Y =(X 0 ) + + M + E[I F ], (Y ) 0 est ue martigale par costructio et elle est positive car Y (X 0 ) + + M + I =(X ) + 0 du fait que E[I F ] E[I F ]=I.AlorsZ = Y X (X ) + X =(X ) 0 est ue sur-martigale (car différece d ue martigale et d ue sous-martigale) positive, d où le résultat. Théorème 13. (Doob) Soit (X ) 0 ue sur-martigale positive. Alors (X ) 0 coverge p.s. vers ue v.a. X L 1 (Ω). Soit(X ) 0 ue sous-martigale telle que sup E[(X ) + ] <. Alors (X ) 0 coverge p.s. vers ue v.a. X L 1 (Ω). Démostratio. Supposos d abord que (X ) 0 soit ue sur-martigale (X ) 0 positive et borée par K. D après le lemme 11, elle admet ue décompositio e X = M A,oùlamartigale est borée das L 2 et doc coverge p.s. vers ue v.a. fiie M et comme la suite (X ) 0 est borée alors il existe aussi la limite fiie A = lim A (car A est croissat). La suite (X ) 0 coverge doc p.s.. Par chagemet de sige, il e est de même pour les sousmartigales borées. Cosidéros maiteat ue sur-martigale positive (Z ) 0 et soit X = e Z. Le processus (X ) 0 est ue sous-martigale positive et borée par 1. Pour ce que o viet de voir, elle coverge doc p.s. et e est de même pour la suite Z = log X à coditio d admettre + comme limite. Mais E[Z ]=E[limif Z ] limif E[Z ] E[Z 0 ]. La limite est itégrable et doc fiie p.s. Si (X ) 0 est ue sous-martigale borée das L 1 alors o peut utiliser le lemme 12 pour la décomposer e X = Y Z avec (Y ) 0 martigale positive et (Z ) 0 sur-martigale positive. Ce deux processus coverget p.s. vers des limites Y et Z fiis et itégrables. Doc o obtiet aussi le derier résultat. Remarque 14. Bie que la limite d ue sous-martigale borée das L 1 soit ue v.a. das L 1, cette covergece a pas a priori lieu e L 1. Voici u cotre exemple. Soit (Z ) 0 ue suite iid avec P(Z =+1)=1 P(Z = 1) = p. Soitu>1. OposeX 0 = x et X +1 = u Z+1 X. Supposos que p =1/(1+u) de telle sorte que E[u Z+1 ]=1. Alors il est facile de vérifier que (X ) 0 est ue martigale et doc E[X ]=E[X 0 ]=x. Par la loi forte des grads ombres o a d où 1 lim Z k = E[Z 1 ]=2p 1= 1 u 1+u < 0 ( ) 1/ X u 2p 1 < 1 p.s. x Aisi X 0 p.s., alors que so espérace est costate! (et doc X 0 das L 1 ). 3 Arrêt optioel Défiitio 15. ( Trasformatio de Martigale) Soit (X ) 0 u processus adapté et (C ) 1 u processus prévisible. O défiit le ouveau processus ((C X) ) 0 par (C X) 0 =0 et (C X) = C X pour tout 1. Alors (C X) = C i (X i X i 1 ). Lemme 16. Soit (C ) 1 u processus prévisible borée (c-à-d C K pour tout 1). i. Si (X ) 0 est ue martigale alors ((C X) ) 0 est ue martigale.

6 6 Sectio 3 ii. Si (X ) 0 est ue (sous-)sur-martigale et C 0 pour tout 1 alors ((C X) ) 0 est ue (sous-)sur-martigale. Ces propriétés sot aussi valables sas coditio de boritude si C L 2 pour tout 1 et X L 2 pour tout 0. Démostratio. L itegrabilité et l adaptatio de ((C X) ) 0 sot laisse e exercice. O a que, pour tout 1, E[ (C X) F 1 ]=E[C X F 1 ]=C E[ X F 1 ] par la prévisibilité de (C ) 1 et doc o peut coclure. Défiitio 17. Ue v.a. T :Ω N = N {+ } est u temps d arrêt si {T } F pour tout 0 +. DemaièreéquivaleteT est u t.a. ssi {T = } F pour tout 0 +. Exemple 18. Soit (X ) 0 u processus adapté et A u borelie de R, alors T A = if {>0:X A} (avec T A =+ si X A pour tout >0) est u temps d arrêt: pour tout 0 + o a {T } = 0<k {X k A} F. Si T est u t.a. et (X ) 0 u processus adapté alors le processus X T (ω) =X T (ω) (ω) est ecore adapté (exercice) et s appelle processus arrêté e T. Il est facile de motrer que si o pose C =1 T alors le processus (C ) 1 est prévisible et (C X) = X T doc o peut coclure que Théorème 19. Si T est u temps d arrêt et (X ) 0 est ue (sur-)martigale, alors (X T ) 0 est ue (sur-)martigale et e particulier E[X T ] E[X 0 ] das le cas des sur-martigales (avec égalité pour les martigales). Remarque 20. Soit (X ) 0 la marche aléatoire simple sur Z avec X 0 =0,alors(X ) 0 est ue martigale et pour tout t.a. T o a que Mais e gééral E[X T ]=E[X 0 ]=0 E[X T ] 0 e effet si T = if { >0: X =1} alors par récurrece o a que P(T <+ )=1 et X T =1qui doe E[X T ]=1. Doc la covergece L 1 de X T vers X T a pas toujours lieu. Théorème 21. ( théorème d arrêt optioel de Doob) SoitT u t.a. et (X ) 0 ue sur-martigale, alors X T est itegrable et E[X T ] E[X 0 ] das les cas suivates : i. T est boré ii. X est boré et T<+ p.s. iii. E[T ] < + et pour tout K>0 et tout 1 X X 1 K. iv. X 0 pour tout 0 et T<+ p.s. Démostratio. O sait que pour tout 1 E[X T X 0 ] 0.

7 Arrêt optioel 7 (i) Si T N il suffit de predre = N. (ii) O peut utiliser la covergece domiée pour motrer que 0 lim E[X T X 0 ]=E[lim (X T X 0 )] = E[X T X 0 ]. (iii) O a que T X T X 0 X k KT si X k K pour tout k 0. DufaitqueE[T ] < + o e déduit par covergece domiée que E[X T ] E[X 0 ]. (iv) La suite (X T ) 0 est positive et coverge p.s. à X T doc par le lemmedefatouoaque E[X 0 ] limif E[X T ] E[limif X T ]=E[X T ].

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