( ) Alerte compétence : Vous devez absolument améliorer : M1 M2 M3 M4

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1 ype BREVET Epreuve : MATHEMATIQUES Session : Janvier 011 Durée : h Nombre de pages : ACADEMIE DE MARRAKECH La qualité, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l appréciation des copies. L emploi de la calculatrice est autorisé. Rappel : Les compétences que vous devez acquérir cette année sont : M1 : Rechercher, extraire et organiser l information M : Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes M : Raisonner, argumenter, engager une démarche, démontrer. M4 : Présenter la démarche suivie, communiquer à l aide d un langage. Alerte compétence : Vous devez absolument améliorer : M1 M M M4 Exercice 1 : (6 points) [M : A et B] a) Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible : PARTIE I - Activités numériques (1 points) A = et B = b) Donner l'écriture scientifique des nombres 7 4 C = 1 5 suivants : 4 ( ) et 4 45 D = ( ) c) Écrire sous la forme a m b n avec a et b deux nombres entiers les plus petits possibles : E = et F = Exercice : (6 points) [M : a, b, c et d ; M : e et f ] On considère l'expression E(x) = (4x 5) (x + )². a) Développer E. b) Factoriser E. E(x) =... E(x) =... E(x) =... E(x) =... E(x) =... E(x) =... c) Calculer E pour x = 1 d) Calculer E pour x = 0 E( 1) =... E(0) =... E( 1) =... E(0) =... e) Résoudre l'équation : E(x) = 0 f) Résoudre l équation : E(x) = 16 1

2 Exercice : (.5 points) [M : 1 et ; M :, 4 et 5] On propose deux programmes de calcul : Programme A : Choisir un nombre Multiplier ce nombre par Ajouter 7 Programme B : Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 5 Retrancher 4 Multiplier par 1) On choisit comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est. ) On choisit ( ) comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A? ) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit ( )? 4) Quel nombre de départ faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 0? 5) Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes? Exercice n 4: (.5 points) Voici la liste de quelques constantes de physique et de chimie. Complète le tableau : Constante de physique et de chimie : Ecriture décimale Ecriture en notation scientifique : Masse de l électron en kg Constante d Avogadro en mol Charge élémentaire en coulons Masse de proton en kg Masse du neutron en kg Vitesse de la lumière en m. s -1 8 Une année lumière en km 9,5 millions de millions Exercice 4 : ( points) [M ; M4] Le tableau ci-dessous indique la masse volumique de quelques espèces de bois. Espèce de bois Cèdre Châtaignier Buis Pin maritime Masse volumique (kg.dm - ) 0,40 0,75 0,90 0,55 Un cube de 5 cm d arête, réalisé en bois d une seule espèce, a une masse de 68,75 g. Déterminer l espèce de bois utilisée pour sa fabrication. Exercice 1 : (6.5 points) [M ; M ; M4] Les segments [OA] et [UI] se coupent en M. On a : MO = 1, MA = 7, MU = 8, MI = 6, AI = 45 (l'unité de longueur étant le millimètre). 1. Prouver que les droites (OU) et (AI) sont parallèles.. Calculer la longueur OU.. Prouver que le triangle AMI est un triangle rectangle. 4. Déterminer, à un degré près, la mesure de l'angle AIM. 5. Montrer que les angles MAI et MOU ont la même mesure. PARTIE II - Activités géométriques (1 points)

3 Exercice : (5.5 points) [M ; M ; M4] On considère la figure ci-contre, on a : MN = 8 cm, ML = 4,8 cm et LN = 6,4 cm. 1. Démontrer que le triangle LMN est rectangle.. Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l angle LMN.. Soit K le pied de la hauteur issue de L. Montrer que [LK] mesure exactement,84 cm. 4. Soit S le point de [MN] tel que NS = cm. La perpendiculaire à (LN) passant par S coupe [LN] en R. Calculer la valeur exacte de RS. PARTIE III - Problème (8 points) Partie A : [M ; M ; M4] 1. Construire ci-contre un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 4 cm et placer le point M sur le segment [AB] tel que BM =.5 cm et tracer la droite passant par le point M et perpendiculaire à la droite (AB) ; elle coupe le segment [BC] en E.. Calculer AM.. Démontrer que (AC) et (ME) sont parallèles. 4. Calculer EM (on donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible) 5. Le triangle AEM est-il un triangle isocèle en M? Partie B : On souhaite placer le point M sur le segment [AB] de façon à ce que le triangle AEM soit isocèle en M comme sur la figure ci-dessous que l on ne demande pas de refaire. On rappelle que : AB = 6 cm et AC = 4 cm. Les droites (ME) et (AB) sont perpendiculaires. 1) On pose BM = x. (On a donc 0 x 6 ). Démontrer que ME = x ) Déterminer x pour que le triangle AME soit isocèle en M. Total : 41 points Bon travail! Joyeux anniversaire Asma.

4 Correction : PARTIE I - Activités numériques (1 points) Exercice 1 : (6 points) a) A = = = = = et B = = 5 = 5 = = b) C = = = 14 = 14 = ( ) D = = = 0 = 0 = ( ) c) E = = = = F = = = = Exercice : (6 points) On considère l'expression E(x) = (4x 5) (x + )². a) Développer E. E(x) =16x² 40x + 5 (4x² + 1x + 9) E(x) =16x² 40x + 5 4x² 1x 9 E(x) = 1x² 5x + 16 b) Factoriser E. E(x) = (4x 5 + x + ) (4x 5 (x + )) E(x) = (6x ) (4x 5 x ) E(x) = (6x )(x 8) c) E ( 1) = 1 ( 1)² 5 ( 1) + 16 = = 80 d) E(0) = 16 e) Résoudre l'équation : E(x) = 0 (6x )(x 8) = 0 Ssi 6x = 0 ou x 8 = 0 Ssi 6x = ou x = 8 Ssi x = 1 ou x = 4 Les solutions de l équation sont 1 et 4. f) Résoudre l équation : E(x) = 16 1x² 5x + 16 = 16 1x² 5x = 0 x(1x 5) = 0 Ssi x = 0 ou 1x 5 = 0 Ssi x = 0 ou 1x = 5 Ssi x = 0 ou x = Les solutions de l équation sont = = 1 6 Exercice : (.5 points) 1) On a : 5 = 15 ; 15 4 = 11 et 11 = donc si on choisit comme nombre de départ, le résultat du programme B est bien. ) Si on choisit ( ) comme nombre de départ pour le programme A, alors le résultat vaut : 1 car = 6 et = 1. ) Si x est le nombre de départ alors le résultat du programme A est : x + 7 donc résolvons : x + 7 = donc x = 7 = 9 donc x =. Le nombre de départ était. 4) Si x est le nombre de départ alors le résultat du programme B est : (5x 4) = x 8 d où résolvons : x 8 = 0 donc x = 8 donc x = 0.8. Le nombre de départ était ) Résolvons : x 8 = x + 7 donc x x = donc 7x = 15 d où x = Pour x = 15 7, on obtient le même résultat avec les deux programmes. et 0. 4

5 Exercice n 4: (.5 points) Voici la liste de quelques constantes de physique et de chimie. Constante de physique et de chimie : Ecriture décimale Ecriture en notation scientifique : Masse de l électron en kg ,11 1 Constante d Avogadro en mol ,0 Charge élémentaire en coulons 0, Masse de proton en kg ,67 7 Masse du neutron en kg ,675 7 Vitesse de la lumière en m. s Une année lumière en km 9,5 millions de millions 9,5 1 Exercice 4 : ( points) On a : Vcube = 5 = 15cm = 0.15 dcm donc la masse volumique de ce cube vaut : = 0.55 donc ce 0.15 cube est réalisé en pin maritime Exercice 1 : (6.5 points) 1. Dans les triangles MOU et MAI, les points O, M, A et U, M, I sont alignés dans le même ordre. MO 1 7 De plus : MA = 7 = 9 et MU 8 7 MO MU = =, on constate que = donc d après la réciproque du MI 6 9 MA MI théorème de Thalès les droites (OU) et (AI) sont parallèles. M [ UI]. Dans les triangles MOU et MAI, on a : M [ OA] donc d après le théorème de Thalès on a : ( OU ) // ( AI ) MO MU OU 7 OU 7 45 = = c'est-à-dire. = donc OU = = 5 Donc le segment [OU] mesure 5 mm. MA MI AI Dans le triangle AMI, on a : AI² = 45² = 05 et AM² + MI² = 7² + 6² = 05 d où AI² = AM² + MI² donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMI est un triangle rectangle en M. 4. Dans le triangle AMI rectangle en M, on a : cos ( MI 6 AIM ) = = donc AIM 7 AI Les angles MAI et MOU sont des angles alternes-internes or les droites (OU) et (AI) sont parallèles donc les angles MAI et MOU ont la même mesure. PARTIE II - Activités géométriques (1 points) Exercice : (5.5 points) 1. Dans le triangle LMN, on a : MN² = 8² = 64 et LM² + LN² = 4.8² + 6.4² = 64 d où MN² = LM² + LN² donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle LMN est un triangle rectangle en L.. Dans le triangle LMN est un triangle rectangle en L, on a : LM cos LMN = = 4.8 donc la valeur arrondie MN 8 au degré de la mesure de l angle LMN est 5. LM LN MN LK LK. On a : ALMN = = donc = d où mesure exactement,84 cm. 5. Dans le triangle RSN rectangle en N, on a : sin RS RS RNS = =. NS LK = =.84 donc [LK] 8 5

6 Dans le triangle LKN rectangle en K, on a : LK sin LNK = =.84 or LN RS = = Donc la valeur exacte de RS est 1. cm. LNK = RNS donc.84 RS = d où 6.4 PARTIE III - Problème (8 points) Partie A : 1. Cf dessin ci-contre.. M [ AB] et BM =.5 donc AM = 6.5 =.5 cm.. Les droites (AC) et (ME) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (AB) donc les droites (AC) et (ME) sont parallèles. M [ BA] 4. Dans le triangle ABC, on a : E [ BC] donc ( ME) / / ( AC) BM BE EM d après le théorème de Thalès on a : = = BA BC AC c'est-à-dire..5 EM = donc EM On a : AM =.5 cm et EM = 7 6 Partie B : 1) Dans le triangle ABC, on a : E [ BC] = = = = Donc le segment [EM] mesure cm. donc le triangle AEM n est pas un triangle isocèle en M. M [ BA] donc d après le ( ME) / / ( AC) BM BE EM théorème de Thalès on a : = = c'est-à-dire. BA BC AC x EM 4x x = donc EM = =. Donc ME = x ) On a : AM = 6 x donc le triangle AME soit isocèle en M si AM = ME donc résolvons : x x 5x 6 x = donc 6 = x + d ' où 6 =. Donc 6 x = =.6 cm. Donc si x =.6 cm alors le triangle AME soit 5 isocèle en M. 6