Exercice (4 points) Deux bateaux et sont au large d une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. Ils constatent qu ils sont séparés de 80

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1 Les exercices présentés sont soit des exercices DST DE MATHEMATIQUES de brevet, soit extraits d ouvrages Mardi Mars 205 Nom : Prénom ( : Nathan et Hatier je crois ). Classe :. Le copyright ne s applique qu aux corrections. CONSIGNES GENERALES A faire sur une copie double sur laquelle vous aurez réalisé un bandeau de présentation. Rendre le sujet avec la copie. Calculatrice autorisée. Total sur 40 points Rédaction / Présentation : 4 points Durée : 2 heures Ex Ex2 Ex Ex4 Ex5 Ex6 R/P /40 /20 Moyenne Exercice (6 points) On considère l expression : = ( + 2) (5 2 )( + 2). Développer réduire. 2. Factoriser.. a. Résoudre = 0 b. Résoudre = 6 Exercice 2 (0 points) est un carré de côté 0, est le point de [ ] tel que =,6, est un point de [ ]. On pose = ( en cm) où est compris entre 0 et 0 :. a. Calculer b. Dans le triangle, exprimer ² en fonction de. c. De même dans le triangle, on a : ² = (0 ) +,6² ( égalité admise ) En déduire que : = ² ,56. d. Déduire des trois questions précédentes que : ² + ² = 2( 0 + 6). 2. a. Montrer que : «si le triangle est rectangle en, alors ² = 0» b. Montrer que : «si ² = 0, alors le triangle est rectangle en». On vient de montrer que : les valeurs de pour lesquelles le triangle est rectangle en sont les solutions de l équation : ² = 0.. a. Démontrer que : ² = ( 5) 9. b. Résoudre l équation : ² = 0. c. Quelles sont les valeurs de pour lesquelles le triangle est rectangle en?

2 Exercice (4 points) Deux bateaux et sont au large d une île et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. Ils constatent qu ils sont séparés de 800, et chacun voit l île sous un angle différent comme indiqué sur la figure ci-contre. Déterminer, en arrondissant au mètre, la distance qui sépare chaque bateau de l île. Exercice 4 (4 points) Un lampadaire est constitué d un cylindre de révolution surmonté d une calotte sphérique de rayon 0. Le cylindre a pour hauteur 45 et pour base un disque de rayon 8 cm.. Calculer la distance. 2. En déduire la hauteur du lampadaire, c est-à-dire la longueur. On pourra introduire toutes les notations nécessaires en veillant à donner leur signification. Exercice 5 (7 points) Sur un parking, une commune veut regrouper des conteneurs à déchets du même modèle ou, voir figure ci-contre. Les deux modèles sont fabriqués dans le même matériau qui a partout la même épaisseur : le conteneur est un pavé droit à base carrée de côté et de hauteur 2. Le conteneur est constitué de deux demi-sphères de rayon 0,58 et d un cylindre de même rayon et de hauteur,5.. a. Calculer le volume du conteneur A et du conteneur B. On remarque que les volumes des deux conteneurs sont pratiquement les mêmes. b. Quels peuvent être les avantages du conteneur? 2. On souhaite savoir quel est le conteneur le plus économique à fabriquer. a. Calcule l aire totale des 6 faces du conteneur. b. Vérifier que, pour le conteneur, l aire totale, arrondie à 0,, est 8,4. c. Quel est le conteneur le plus économique à fabriquer? Justifier la réponse. 2

3 Exercice 6 ( 5 points) On considère un cône de révolution de hauteur 5 pour rayon 2. et dont la base a Le point est le sommet du cône et le centre de sa base.. Calculer le volume exact du cône en. 2. Construire le triangle AOC en vraie grandeur et positionner le point B tel que : B [ ] et =.. On effectue la section du cône par le plan parallèle à la base et passant par. On obtient ainsi un petit cône. a. Quelle est la nature de la section du cône par le plan? b. Construire cette section en vraie grandeur et sans calcul. Expliquer brièvement la démarche suivie. 4. Calculer le rapport de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône. 5. En déduire le volume du petit cône, arrondi à 0,.

4 Corrigé Exercice. = ( + 2) (5 2 )( + 2). Développons ( + ) = Exercice.2 x = 0 ou x =. 5 L équation de départ admet pour solutions : 0 et. 5 Pensez à rappeler l égalité remarquable que vous utilisez. On en déduit que : = ( ) + 2( )(2) + (2)² ( ) = 9 ² = 5 ² Factorisons. 2 E = (x + 2) (5 2 x)(x + 2) E = (x + 2)(x + 2) (5 2 x)(x + 2). Soulignez en couleur le facteur commun. [ ] E = (x + 2) (x + 2) (5 2 x) E = (x + 2)(x x) E = (x + 2)(5x ) a. Résoudre = 0 En utilisant la forme factorisée de, l équation = 0 s écrit : (x + 2)(5x ) = 0. On reconnaît une équation produit nul. On utilise la règle : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. L'équation précédente est donc équivalente à : x + 2 = 0 ou 5x = 0 x = 2 ou 5x = 2 x = ou x =. 5 L équation de départ admet pour solutions : 2 et 5. Si vous manquez de temps, vous pouvez utiliser la rédaction accélérée : ( + 2)(5 ) = = 0 ou 5 = 0 b. Résoudre = 6. En utilisant la forme développée de = 6 s écrit : 5 x ² + x 6 = 6 5 x² + x = x² + x = 0 x(5 x + ) = 0 x = 0 ou 5x + = 0, l équation a. Calculons On sait que le triangle est rectangle en. On utilise le théorème de Pythagore. On en déduit que : + =. (0,6) + 0 = 8,4 + 0 = 70, = = 70,56. b. Exprimons ² en fonction de On sait que : le triangle est rectangle en. On utilise le théorème de Pythagore. On en déduit que : ² + ² = ². ² + 0² = ² Finalement : ² = ² c. Développons : ² = (0 ) +,6². ( ) = ² 2 + ² On en déduit que : ² = (0) 2(0)( ) + ( ) +,6 ² = ,56 ² = ² ,56 d. On a, en utilisant les expressions précédentes de ², ² et ² : ² + ² ² = ² ² ,56 70,56 = 2 ² = 2( 0 + 6) a. Montons que : «si le triangle est rectangle en, alors ² + =» On sait que : le triangle est rectangle en. On utilise : le théorème de Pythagore. On en déduit que : ² + ² = ²

5 ² + ² = 0 En utilisant la question. d, cela revient à dire que : 2( 0 + 6) = 0 et donc : ² = 0. b. Montrons que : «si ² + =, alors le triangle est rectangle en» On sait que : ² = 0. donc : 2( 0 + 6) = 2 0 c est-à-dire : 2( 0 + 6) = 0. En utilisant la question.d., on en déduit que : ² + ² = 0 ² + ² = ² On sait que : ² + ² = ². On utilise : la réciproque du théorème de Pythagore. On en déduit que : le triangle est rectangle en. On peut donc en déduire que : le triangle est rectangle en si et seulement s :i = 2 ou = 8. On pouvait conjecturer l existence de deux valeurs de en traçant le cercle de diamètre [ ] :. On vient de démontrer l équivalence : est rectangle en = 0 a. Démontrons : ² + = ( ). Développons : ( 5) 9. ( ) = ² 2 + ² On en déduit que : ( 5) 9 = ( ) 2( )(5) + (5) 9 = ² = ² On a donc bien : ² = ( 5) 9. Exercice. b. Résolvons l équation : ² + =. L équation : ² = 0 s écrit aussi : ( 5) 9 = 0 ( 5) () = 0 ² = ( + )( ) L équation précédente s écrit donc aussi : ( 5 + )( 5 ) = 0 ( 2)( 8) = 0 On reconnaît une équation produit nul. On utilise la règle : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. L'équation précédente est donc équivalente à : 2 = 0 ou 8 = 0 = 2 ou = 8 L équation ² = 0 admet pour solutions : 2 et 8. c. Le triangle est rectangle en si et seulement si ² = 0 ( synthèse question 2. ). Nous venons de montrer que les solutions de cette équation sont 2 et 8. Montrons que ABI est rectangle en I On sait que : ABI est un triangle. On utilise : dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 80. On en déduit que : + + = 80. En utilisant les angles connus, on obtient : = = = = 90. On en déduit que le triangle ABI est rectangle en I. Avant d utiliser la trigonométrie, il est nécessaire de s assurer que le triangle est rectangle! 5

6 Calculons On sait que : le triangle ABI est rectangle en. On utilise : la définition du cosinus. On en déduit que : cos =. En utilisant les distance et angle connus, on obtient : AI cos5 = 800 AI cos5 800 = AI = 800 cos 5 A l aide de la calculatrice, on obtient : AI 655. Le bateau est à environ de l île, arrondi au mètre. Calculons On sait que : le triangle est rectangle en. On utilise : la définition du cosinus. On en déduit que : cos BI ABI =. AB En utilisant les distance et angle connus, on obtient : BI cos55 = 800 cos5 5 BI 800 = BI = 800 cos 55 A l aide de la calculatrice, on obtient : BI 459. Le bateau B est à de l île, arrondi au mètre. Autre méthode On peut réutiliser la valeur exacte de et en appliquant le théorème de Pythagore, en déduire que : ² + ² = ² Exercice 4 (4 points) Calotte sphérique de rayon 0. Cylindre de hauteur 45, disque de base de rayon 8 cm.. Calculons la distance. Soit un point du cercle de la base supérieure du cylindre, cercle de centre et de rayon 8, donc : = 8. Ce point appartient aussi à la sphère de centre et de rayon 0, donc : = 0. On sait, d après le cours, que le triangle est rectangle en. On utilise le théorème de Pythagore. On en déduit que : ² + ² = ². 8² + ² = 0² 24 + ² = ² 24 = ² = 576 = 576 A l aide de la calculatrice, on obtient : = Les points,,, sont alignés dans cet ordre donc : = + + = = 99 Le lampadaire a une hauteur de 99. Exercice.5. a. Volume du conteneur Le conteneur est un pavé droit de dimensions = = et de hauteur h = 2. On utilise la formule du volume d un pavé droit : volume = h. On en déduit que : = 2 = 2. Le volume du conteneur est 2. Volume du conteneur Il s obtient en ajoutant le volume d une boule de rayon = 0,58, et d un cylindre droit de même rayon et de hauteur h =,5. On a la formule : = 4 donc pour = 0,58, on obtient : = 4 (0,58) D autre part, on a la formule : = ² h, donc le cylindre dont le disque de base a pour rayon = 0,58 et de hauteur est h =,5, a pour volume : = 0,58²,5. On a donc : = 4 (0,58) + 0,58,5 A l aide de la calculatrice : 2,0. Les deux conteneurs ont effectivement pratiquement un même volume égal à. b. Les avantages du conteneur est que l on peut le poser directement sur le sol : il sera lui parfaitement stable, et comme il ne contient pas de surface courbe il est probablement plus facile à fabriquer. 6

7 2. a. Les faces inférieure et supérieure du conteneur sont des carrés de de côté, donc d aire ². Les quatre faces latérales sont des rectangles de par 2, et donc chacun d entre eux à une aire de 2 ². L aire totale des faces du conteneur A est par conséquent : 2 ² ² = ². On obtient : b. L aire d une sphère de rayon est 4 ² donc une sphère de rayon = 0,58 a une aire de 4 0,58² =,45 6 π. L aire latérale d un cylindre de rayon et de hauteur h est : 2 h, donc l aire latérale du conteneur est égale à : 2 0,58,5, c est-à-dire :,4. L aire totale du conteneur est donc :,45 6 π +,4π = 2,679 6 π. A l aide de la calculatrice, on obtient, ² arrondi à 0, ². c. Pour quasiment le même volume de 2, le conteneur à une aire nettement inférieure à celle du conteneur, donc sa fabrication nécessitera bien moins de matériaux : c est le conteneur qui sera le plus économique à fabriquer. Exercice.6. a. La section d un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque. b. Sur la figure précédente, on trace la perpendiculaire à ( ) passant par : elle coupe [ ] en. On trace ensuite le cercle de centre passant par, puis on colorie le domaine situé à l intérieur de ce cercle.. Le volume d un cône de révolution de hauteur h et dont le disque de base a pour rayon est donné par la 2 formule : Vcône = π R h, donc pour un cône de rayon = 2 et de hauteur h = 5, on obtient : ( ) 2 Vcône = π 5 Vcône = π Vcône = π. 20 Le volume du cône est : Vcône = π. A l aide de calculatrice on obtient : ô, arrondi au. Pour les deux solides pointus ( pyramide et cône ), on a : V = aire de la base hauteur 2. Pour construire le triangle AOC en vraie grandeur on peut : h ' 4. Le rapport de réduction est donné par : k =, h où h est la hauteur du cône initial et h celle du petit AB cône, donc k =. AO k = En déduire le volume du petit cône, arrondi à,. Lors d une réduction de coefficient, les distances sont multipliées par, les aires par et les volumes par, donc : = En utilisant les résultats précédents, on obtient : = 20 = = 6 25 A l aide de la calculatrice, on obtient : 4,5 arrondi à 0, a. tracer un segment [OC] de longueur 2cm, b. tracer avec l équerre une demi-droite perpendiculaire à (OC) passant par O, c. placer un point sur cette droite à 5 cm de O à l aide du cercle de centre O et de rayon 5 cm, d. placer le point, intersection du cercle de centre et de rayon et du segment [ ]. 7