Continuité des fonctions numériques d une variable réelle

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1 Mths PCSI Cours Continuité des fonctions numériques d une vrible réelle Tble des mtières Générlités 2. Du vocbulire Monotonie Prité Fonctions lipschitziennes Notion de voisinge Limite d une fonction, continuité 4 2. Limite en un point de R Limites à droite et à guche Opértions sur les limites Limites et ordre Composition des limites Limite monotone Propriétés globles des fonctions continues 8 3. L lgèbre C(I) Imge d un intervlle Imge d un segment Homéomorphismes Comprison des fonctions 4. Vocbulire et nottions Des propriétés élémentires Petits rppels Fonctions usuelles u voisinge de Fonctions usuelles u voisinge de Des dévelopements limités clssiques Quelques pplictions

2 Le cuchemr d un mthémticien, c est une suite (ε n ) qui tend vers l infini qund n tend vers zéro. Générlités. Du vocbulire Les dessins sont utorisés... Définition Si f est une ppliction de D dns R, f + (resp. f ) désigne l ppliction de D dns R telle que f + (t) = Mx ( f(t), ) (resp. f (t) = Min (, f(t) ) ). On note f g (resp. f < g) lorsque pour tout x D, on f(x) g(x) (resp. f(x) < g(x) ). BIEN EN- TENDU, si f et g sont données, on n ps forcément l une des deux reltions f g ou g f (exemple?). L borne supérieure de f sur D, notée Sup D f ou bien Sup x D {f(x) x D}. Si cet ensemble n est ps mjoré, on note Sup D f(x) est l borne supérieure, si elle existe, de f = +. Le mximum de f sur D est, s il existe, le mximum de {f(x) x D}. On le note Mx D f ou bien Mx x D f(x). On dit que f dmet en un mximum locl s il existe ε > tel que pour tout x D ] ε, + ε[, f(x) f(). On dit que f dmet en un mximum locl strict s il existe ε > tel que pour tout x D ] ε, +ε[ différent de, on f(x) < f(). On dit que f dmet en un mximum globl si f(x) f() pour tout x D. f dmet lors un mximum sur D, qui vut f(). On dit que le mximum est pris en. Il peut d illeurs être pris en plusieurs points (exemple?). On dit que f dmet en un mximum globl strict si f(x) < f() pour tout x D différent de. f dmet lors sur D un mximum, pris uniquement (pourquoi?) en. Remrques On f + et f positives (u sens lrge), vec f = f + f. Le mximum d une fonction quelconque définie sur un ensemble quelconque D n existe ps toujours, pr contre on peut toujours prler de Sup f, qui est un élément de R {+ }. D Exercice Donner trois exemples de ntures différentes de fonctions n dmettnt ps de mximum. Exercice 2 Si f et g sont définies sur I, montrer : Sup I Donner un exemple où l inéglité est stricte. (f + g) Sup I f + Sup g. I.2 Monotonie Définition 2 f est dite croissnte (resp. décroissnte) lorsque pour tout x, y D tels que x < y, on f(x) f(y) (resp. f(x) f(y)). On note f (resp. f ). f est dite strictement croissnte (resp. strictement décroissnte) lorsque pour tout x, y D tels que x < y, on f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)). On note f (resp. f ). f est dite monotone (resp. strictement monotone) lorsque f est croissnte ou décroissnte (resp. strictement croissnte ou strictement décroissnte). Exercice 3 Soient f : I J et g : J R. Que dire de g f lorsque : 2

3 f et g sont croissntes ; f et g sont strictement croissntes ; f est croissnte et g strictement croissnte ; f est strictement décroissnte et g croissnte. Remrques 2 Dns le cs où l fonction n est ps définie sur un intervlle mis pr exemple sur l réunion de deux intervlles I et I 2, on peut très bien voir f monotone sur I et sur I 2 sns voir f monotone sur I I 2. Inutile de chercher un exemple tordu : considérer l ppliction t R t Si f et g sont croissntes (ou décroissntes), ON NE SAIT RIEN A PRIORI de l monotonie du produit f g (vérifier sur des exemples). Pour montrer des résultts élémentires sur l monotonie, il est inutile de dériver! (d illeurs, on n ps toujours le droit... ) Cel dit, si on ucune idée du résultt, on peut déjà regrder ce qui se psse dns le cs de fonctions dérivbles..3 Prité On suppose f définie sur un domine symétrique pr rpport à. SI CETTE CONDITION N EST PAS VERIFIEE, LA PARITE EST UNE NOTION CREUSE : INUTILE DE PERDRE DU TEMPS EN LE PRECISANT A CHAQUE FOIS. Définition 3 f est dite pire (resp. impire) si pour tout x D, on f( x) = f(x) (resp. f( x) = f(x) ). Exemple L ppliction t t n est de l prité de n. L ppliction cos est pire et l ppliction sin est impire. Proposition Si f est une ppliction de R dns R, il existe un unique couple d pplictions (f, f 2 ) telles que f est pire, f 2 est impire, et f = f + f 2. f (resp. f 2 ) est l prtie pire (resp. impire) de f. Preuve : On commence pr chercher les formes NECESSAIRES de f et f 2. On obtient lors l unicité d une EVENTUELLE solution (f, f 2 ). Dns un deuxième temps, il n y qu à VERIFIER qu en prennt pour f et f 2 ce qu on trouvé vnt, on obtient EFFECTIVEMENT une solution u problème initil. Le type de risonnement précédent doit être bien compris : il fut psser du temps dessus (si cel n ps été fit en terminle). Exemple 2 Si f est l fonction t e t, s prtie pire s ppelle l fonction cosinus hyperbolique, notée ch, ou (en prticulier pour Mple) cosh ; s prtie impire s ppelle l fonction sinus hyperbolique, notée sh ou sinh..4 Fonctions lipschitziennes Définition 4 Soit K >. Une fonction f : I R est dite : K-lipschitzienne sur I lorsque : x, y I, f(x) f(y) K x y. lipschitzienne si elle est K-lipschitzienne pour un certin K >. Exercice 4 Montrer que si f est K-lipschtzienne sur [, b] et sur [b, c], lors f est K-lipshitzienne sur [, c]. Le résultt reste-t-il exct si f est K-lipschitzienne sur [, b] et ]b, c]? 3

4 .5 Notion de voisinge Certines propriétés des suites sont intéressntes même si elles ne sont vérifiées qu à prtir d un certin rng. De même, les fonctions d une vrible réelle peuvent vérifier certines propriétés u voisinge d un réel, ou bien u voisinge de + ou. Exemple 3 f : R R est bornée u voisinge de signifie : ρ >, M R; x ] ρ, + ρ[, f(x) M. Exemple 4 f prend des vleurs strictement négtives u voisinge de signifie : M R; x M, f(x) <. Exercice 5 Donner un exemple de fonction f : [, + [ R strictement négtive et décroissnte u voisinge de, mis strictement positive et décroissnte u voisinge de + (on se contenter d esquisser un grphe). 2 Limite d une fonction, continuité On v donner un sens à : f(x) x b, lorsque, b R = R {, + }, vec f définie sur un domine D tel que est dns D ou u bord de D. Concrètement, si D est un intervlle non mjoré, + est u bord de D lors que si D est un intervlle ouvert en α (de l forme ]α,...]) lors α est u bord de D. Lorsque D n est ps un intervlle, ce ser une réunion finie d intervlles disjoints (pr exemple, R ). 2. Limite en un point de R A priori, on 9 définitions à donner... Nous n en donnerons que 4. Lorsque celles-ci sont comprises, les utres s en déduisent. Le lecteur est invité à ne ps se reporter ux livres des nciens, dns lesquels l définition des limites est différente (on n y tient ps compte du point en lequel on prend l limite). Définition 5 Soit f définie sur D,, b R, vec élément ou u bord de D. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers, et on note f(x) b ou bien 2 f b lorsque : x R, b R : ε >, α > ; x D, x α f(x) b ε. R, b = + : = +, b = + : =, b R : M R, α > ; x D, M R, A R; x D, ε >, A R; x D, Remrques 3 On montrer sns ml que lorsque b R, lors f(x) x α f(x) M. x A f(x) M. x A f(x) b ε. De même, si R, lors f(x) x b si et seulement si f( + h) h b. x b si et seulement si f(x) b non, il ne s git ps d un lpsus : c est bien comprises qui est écrit, et non pprises... 2 mis ps un mélnge des deux nottions, qui m gce un peu, mis surtout qui lisse Mple perplexe... x. 4

5 Si f +, lors f ne peut ps être définie en (pourquoi?), donc / D. Exercice 6 Dns le cs, b R, observer ce qui se psse si on inverse l ordre de ε > et de α > dns l définition de l limite, et en déduire qu il s girit d une définition grotesque (et non ps presque correcte ). Proposition 2 Unicité de l limite Si f l et f l 2, lors l = l 2. On peut lors noter lim f = l. Remrque 4 Si f dmet une limite en D, on peut directement montrer que cette limite vut f(). Définition 6 Une fonction est continue en un point de son domine de définition si elle dmet une limite en ce point. Remrques 5 Avec les termes de l ncien progrmme concernnt l limite, on définissit l continuité en pr le fit que f dmettit une limite en et que cette limite vlit f() (certins ont peut-être vu cette définition en terminle). Ici, le problème ne se pose ps puisque, lorsqu elle existe, l limite vut toujours f(). Notons le crctère locl de l continuité : l continuité de f en est indépendnte des vleurs de f sur [ +, + [, ou encore [ +!, + ]... Exercice 7 Montrer que si f est une fonction lipschitzienne, lors f est continue en tout point. Exercice 8 Montrer que f : x x est continue en tout point de R +. Si >, on pourr montrer que f est lipschitzienne sur [ 2, + [, lors que pour l continuité en, on pourr trviller en ε. 2.2 Limites à droite et à guche Définition 7 f : D R dmet une limite à droite (resp. à guche) en si f D ],+ [ (resp. f D ],[ ) dmet une limite en. Si elle existe, cette limite l est unique, et notée f( + ) ou lim f ou lim f(x) (resp. f( ) + x + ou lim f ou lim f(x) ). On noter églement (et de préférence) : f(x) l. x x + f est continue à droite (resp. guche) en D si f dmet une limite à droite en, et que cette limite vut f(). Proposition 3 f dmet une limite en si et seulement si f dmet une limite à droite et à guche, et si ces limites sont égles à f(). Remrque 6 Si f n est ps définie en (i.e. : / D), f dmet une limite en si et seulement si elle dmet deux limites à droites et à guches, qui sont égles. Pr contre, l continuité de f en un tel point n ps de sens (tnt que f n ps été prolongée en ). Exemple 5 L fonction prtie entière E est continue sur R \ Z, discontinue en tout point de Z. Cette fonction est continue à droite en tout entier n Z, mis dmet en ce point une limite à guche distincte de E(n). 5

6 2.3 Opértions sur les limites Les résultts qui suivent sont nturels, et sont surtout l occsion de fire des preuves en ε. Ils sont de même nture que ceux vus pour les suites. On commence pr trois résultts préliminires : Lemme Si f g u voisinge de et g, lors f. Si f b R, lors f est bornée u voisinge de. Si f b >, lors il existe m > tel qu u voisinge de, on f m. Preuve : Bon exercice d entrinement pour le tupin ; bonne question de cours pour le khôlleur... On distinguer bien entendu les cs où R et {, + }. Les deux résultts qui suivent seront utiles dns le théorème à venir. Proposition 4 Si f, g, et λ R, lors f + g et λf. Si f et g est bornée u voisinge de, lors fg. Théorème Si f l et g l 2, on résume dns ce qui suit les comportements possibles de λf, f + g, fg et f en fonction de l et l 2. Si l R, lors λf λl. Dns le cs où l {, + }, on distingue selon le signe (strict) de λ, le (difficile) cs λ = étnt lissé u lecteur : l λ + > + < + Limite de λf en, lorsque l / R et λ. Dns le tbleu suivnt, les? signifient il y plusieurs comportements possibles : le lecteurs donner des exemples significtifs. l l 2 R + R l + l ?? Limite de f + g en. Pour l limite éventuelle de fg en, on peut voir conflit entre une limite nulle et une limite infinie. Dns ce cs, on peut obtenir une limite finie, infinie, ou ps de limite du tout : exhiber de tels cs. l l 2 R R ? R + l l 2 l l 2?? R + l l 2 l l 2 + +? + + Limite de fg en. Enfin, f peut dmettre ou non une limite en selon l vleur de l. l R + R + + lim? + f l l 6

7 Limite de en. f Dns le tbleu précédent, l = + signifie : f, vec f > u voisinge de. Preuve : L pluprt des preuves se feront sns ε grâce ux résultts préliminires. Corollire Si f et g sont continues en, et λ R, lors λf +g et fg sont continues en. De même, si f est continue en et f() >, lors f est à vleurs non nulles u voisinge de, et (qui est donc f définie u voisinge de ) est continue en. Preuve : Voir l définition de l continuité Limites et ordre Théorème 2 Pssge des inéglités LARGES à l limites Si f c u voisinge de (c est un réel fixé) et f b, lors b c. Si f g u voisinge de, vec f l et g l 2, lors l l 2. b Bien entendu, le premier cs peut être vu comme un cs prticulier du second... mis en fit, pour l preuve, on montrer d bord le premier cs (pr l bsurde), puis on considerer g f. Théorème 3 Théorème des (du) gendrme(s) Si g f h u voisinge de et g, h l R, lors f l. Si f g u voisinge de et f +, lors g Composition des limites Théorème 4 fonction-fonction Si f(t) b et g(x) c, lors (g f)(t) c. t x b t Preuve : Fire un ou deux des 27 cs... Remrque 7 Dns l énoncé précédent,, b et c peuvent même être de l forme α + ou α, vec α R : il y vit donc 25 cs... Corollire 2 Si f est continue en et g est continue en f() lors g f est continue en. Théorème 5 fonction-suite Si f(x) b et u n, lors f(u n ) b. x n n Corollire 3 Si u n n l et f est continue en l, lors f(u n ) n f(l). Remrques 8 Ce résultt est en prticulier utile pour prouver (pr l bsurde) l discontinuité d une fonction f en un point : on exhibe UNE suite (u n ) n N telle que u n mis f(u n ) f(). n On peut préciser le résultt précédent : en fit, f est continue en si et seulement si pour toute suite u tendnt vers, on f(u n ) f(). On prle de crctéristion séquentielle de l continuité. Cette n réciproque du théorème précédent est hors progrmme, mis constitue un résultt intéressnt et de preuve tout à fit bordble... lissée u lecteur (qui pourr l étblir pr l bsurde). 7

8 2.6 Limite monotone On donne ici un nlogue continu du théorème de convergence croissnte des suites réelles. Théorème 6 Soit f une fonction définie sur un intervlle I de l forme [α, β[ ou ]α, β[, vec α, β R et f croissnte u voisinge de β. Alors : ou bien f est mjorée, et lors f dmet une limite finie en β ; ou bien f tend vers + en β. (dns les deux cs, il s git de limites à guche si β R). Preuve : Même chose que pour les suites... Remrque 9 Le lecteur énoncer et prouver les trois utres théorèmes ssociés : d bord, le cs où f est croissnte à droite de α, puis le cs où f est décroissnte à guche de β et à droite de α. Proposition 5 Si f est définie et croissnte u voisinge de, vec intérieur à D 3, lors f dmet une limite à droite et à guche en, vec lim f f() lim f. + Remrque Qund l existence d une limite (à droite pr exemple) est cquise, on peut obtenir l inéglité f() f( + ) en considérnt l inéglité vlble pour tout n N f() f( + n ), puis en fisnt tendre n vers + dns cette inéglité. 3 Propriétés globles des fonctions continues 3. L lgèbre C(I) Définition 8 Si I est un intervlle de R, C(I) désigne l ensemble des pplictions de I dns R continues en tout point de I. L proposition suivnte regroupe des résultts qui sont conséquences simples du crctère locl de l continuité, et des résultts de l prtie précédente. Proposition 6 Si f, g C(I) et λ R, lors λf + g et fg sont dns C(I). On dit que C(I) est une lgèbre. Si f est à vleurs non nulles, lors est églement dns C(I). f Si f C(I) est à vleurs dns J et g C(J), lors g f C(I). Si f, g C(I), lors f, Mx(f, g) et f + sont dns C(I). Preuve : Pour g f, on compose les limites, et pour f, on considère l ppliction g : x x. Pour comprendre le problème de l continuité des restrictions/prolongements de f vis-à-vis de l continuité de f, on commencer pr triter l exercice suivnt. Exercice 9 Soit g l ppliction de R dns R définie pr g(x) = si x [, [, et g(x) = sinon. Soit églement f l restriction de g à [, ]. Discuter l continuité de g en R et f en b [, ]. Proposition 7 Continuité des restrictions et prolongements Si f C(I) et J I, lors f J C(J). Si J I et f J est continue en x J, lors f n est ps forcément continue en x (donner un contre-exemple). Cependnt, si x est un point intérieur à J, lors f est continue en x. 3 ce qui signifie qu il existe λ > tel que [ λ, + λ] D 8

9 Si < b < c, f : [, c] R dmet des restrictions à [, b] et [b, c] continues, lors { f C([, b]). f(x) si x > Si I =], b], et si f C(I) dmet une limite finie l en, lors l ppliction x l sinon un prolongement de f continu sur [, b]. C est même l unique prolongement continu. est Preuve : Bien utiliser le crctère locl de l continuité. 3.2 Imge d un intervlle Théorème 7 Théorème des vleurs intermédiires Si f est continue sur [, b] et γ est compris entre f() et f(b), lors il existe c [, b] tel que γ = f(c). Preuve : (HP) On se rmèner u cs où f() < γ = < f(b), et on pourr risonner pr dichotomie, ou bien considérer l borne supérieure de l ensemble des x [, b] tels que f(t) pour tout t [, x]. Le corollire qui suit est une reformultion efficce du théorème des vleurs intermédiires. Corollire 4 Si f est continue sur un intervlle I, lors f(i) est un intervlle. L exercice suivnt est un clssique prmi les clssiques tupinux. Exercice Soit f une ppliction continue de [, ] dns lui-même, lors f dmet un point fixe. Le résultt suivnt est une conséquence simple du TVI, et est souvent utilisé dns les interpréttions de tbleux de vritions. Proposition 8 Si f : [, b[ R est continue, strictement croissnte, et tend vers l en b, lors f est une bijection de [, b[ sur [f(), l[. Remrque Lorsqu on dresse un tbleu de vrition d une fonction, le TVI et le résultt précédent permettent de lire sur le tbleu les différentes bijections induites pr f, et pr exemple l loclistion des solutions de f(x) =. Si, ps plus qu un dessin, le tbleu de vrition ne constitue une preuve de quoi que ce soit, il est tout de même indispensble de le dresser, et criminel d interdire de le dresser (sous le prétexte fllcieux d être rigoureux). On peut en effet difficilement prouver un résultt que l on ne voit ps... On comprendr donc que l bsence de tbleux de vritions dns mes corrigés n est ps d origine idéologique, mis typogrphique Imge d un segment Théorème 8 Si I est un segment et f C(I), lors f dmet un mximum et un minimum globux. Preuve : (HP) On pourr pprocher l borne supérieure vec des f(x n ), puis extrire grâce u théorème de Bolzno Weierstrß, ou bien trviller pr dichotomie, en prennt des intervlles emboités (de plus en plus petits) sur lesquels l borne supérieure de f vut Sup f. I Exercice Exhiber des contre-exemples, en enlevnt une seule des trois hypothèses continuité-ferméborné. Ici encore, on peut reformuler le théorème de fçon synthétique : Corollire 5 Si f est continue sur un segment I, lors f(i) est un segment. 9

10 3.4 Homéomorphismes Tout d bord, il fut bien comprendre que si f est une ppliction continue bijective, lors l fonction réciproque de f n priori ucune rison d être continue. Exercice 2 Trouver f : [, ] ]2, 3] R continue induisnt une bijection sur son imge, mis telle que l bijection réciproque n est ps continue. Définition 9 Un homéomorphisme est une ppliction f bijective, continue, vec f continue. Le résultt suivnt est intrinsèquement lié u crctère ordonné de R : si l notion de continuité s étend à des ensembles plus gros que R, ce résultt reste spécifique à R. Proposition 9 Si f est une ppliction continue strictement croissnte d un intervlle I dns R, lors f rélise une bijection de f sur f(i), de bijection réciproque continue. Remrque 2 On déduit le grphe de f de celui de f pr réflexion pr rpport à l digonle principle (le montrer soigneusement constitue un exercice tout à fit élémentire : fites le tout de même... ). Exemples 6 L fonction sin induit un homéomorphisme de [ π/2, π/2] sur [, ]. L bijection réciproque est l fonction rcsin. L fonction cos induit un homéomorphisme de [, π] sur [, ]. L bijection réciproque est l fonction rccos. L fonction tn induit un homéomorphisme de ] π/2, π/2[ sur R. L bijection réciproque est l fonction rctn. 4 Comprison des fonctions Les notions d équivlence, négligebilité et domintion vues pour les suites vont être étendues à des fonctions, u voisinge de R élément de D, ou u bord. 4. Vocbulire et nottions Définition Soient f et g deux fonctions définies sur un domine D, et R dns D ou à son bord, vec g ne s nnulnt ps en dehors de (si D). On dit que : f est négligeble devnt g u voisinge de, et on note f = o(g), si f g ; f est dominée pr g u voisinge de, et on note f = O(g), si f g est bornée u voisinge de ; f est équivlente à g, et on note f g, si f g. Remrques 3 Dns les définitions précédentes, si I et g() =, l écriture f g l signifie f g l et f g l. + Il est équivlent de dire f est bornée u voisinge de (resp. tend vers en ) et f = O() (resp. f = o()). f = o(g) implique évidemment f = O(g). Si f g, lors f est à vleurs non nulles sur un voisinge de (privé éventuellement de ) (pourquoi?), et g f.

11 D près les définitions, une fonction ne ser JAMAIS négligeble devnt, dominée pr ou équivlente à l fonction nulle BIEN ENTENDU. f g si et seulement si f g = o(g) ; on note lors prfois : f = g + o(g). Exemple 7 t 55 = o(t 52 ) mis t 52 = + o(t 55 ). 4.2 Des propriétés élémentires Tous les résultts de cette prtie sont élémentires. Il fut les comprendre, et svoir les prouver RAPI- DEMENT, puisqu il n est ps question de les APPRENDRE. Proposition Trnsitivité des comprisons Soient f, g, h trois fonctions : définies u voisinge de R. o(g) et g = o(h) lors f = o(h). o(g) et g = O(h) lors f = o(h). O(g) et g = o(h) lors f = o(h). O(g) et g = O(h) lors f = O(h). o(g) et g h lors f = o(h). O(g) et g h lors f = O(h). Proposition Comprisons de sommes et de produits Soient f, g, u, v qutre fonctions définies u voisinge de R : o(u) et g = o(u) lors f + g = o(u). O(u) et g = O(u) lors f + g = O(u). Si f g et u v, lors fu gv et f u 4.3 Petits rppels Comme pour les suites... g v ON NE SOMME PAS LES EQUIVALENTS Et bien entendu... ON NE PASSE PAS LES EQUIVALENTS A L EXPONENTIELLE 4.4 Fonctions usuelles u voisinge de + On v ici comprer les fonctions de référence suivntes u voisinge de +, d bord à l intérieur d une même clsse, puis entre deux clsses : t t α, t (ln t) β et t e γx (α, β, γ R). Proposition 2 si α < α, lors t α = + o(t α ) ; si β < β, lors (ln t) β = + o ( (ln t) β ) ; si γ < γ, lors e γt = + o(e γ t ).

12 Proposition 3 lorsqu il y combt, ce sont les exponentielles qui l emportent sur les polynômes, qui l emportent eux-même sur les logrithmes : e γt γ< t α α< (ln t) β α > tα γ > eγ t. On ici utilisé l nottion f(t) g(t) qui signifie f(t) = o ( g(t) ) (ici, c est implicitement u voisinge de + ). 4.5 Fonctions usuelles u voisinge de On compre enfin les polynômes et les logrithmes u voisinge de +. Les fonctions t e γt tendnt vers en, ne nous intéressent plus. Exercice 3 A FAIRE ABSOLUMENT (et à retenir) Etudier et représenter le grphe de t > t ln t (rppel : t ln t ). t + Proposition 4 si α < α, lors t α = + o(t α ) ; si β < β, lors (ln t) β = + o( (ln t) β). Proposition 5 lorsqu il y combt, ce sont les polynômes, qui l emportent sur les logrithmes : t α α< (ln t) β α > tα. (implicitement, il s git de reltions u voisinge de + ). Remrque 4 Il suffit en fit de retenir que t ln t, et que les puissnces n y chngent rien t Des dévelopements limités clssiques Un dévelopement limité à l ordre n d une fonction f u voisinge de x est l donnée d un polynôme P de degré n tel que f(x) P (x) = o(x n ). Si un tel polynôme existe, il est unique (le prouver), et on écrit f(x) = P (x) + o(x n ). Pr exemple, ( + t) 8 = + 8t + 28t 2 + o(t 2 ). Notons que dns ce cs, on même le résultt plus fort : ( + t) 8 = + 8t + 28t 2 + O(t 3 ). Exercice 4 Montrer que si f(t) = O(t 8 ), lors f(t) = o(t 7 ). En revnche, donner un exemple de fonction telle que f(t) = o(t 7 ) sns voir f(t) = O(t 8 ). p est ici un entier strictement positif FIXE. Tous les dévelopements limités donnés ici sont u voisinge de. IL EST EXCLU DE LES UTILISER EN DEHORS DE, BIEN ENTENDU. Proposition 6 ( + t) α = + αt + α(α ) t ! t = + t + t2 + + t p + o(t p ). e t = + t + t2 2! + + tp p! + o(tp ). sinh t = t + t3 3! + + (2p + )! t2p+ + o(t 2p+ ). ( ) α t p + o(t p ), où α R. p 2

13 cosh t = + t2 2! + + (2p)! t2p + o(t 2p ). ln( + t) = t t ( )p t p + o(t p ). p sin t = t t3 3! + + ( )p (2p + )! t2p+ + o(t 2p+ ). cos t = t2 2! + + ( )p (2p)! t2p + o(t 2p ). tn t = t + t t5 + o(t 6 ). Preuve : Attendre quelques semines, vec les formules de Tylor... Certines peuvent être étblies dès mintennt : cf TD. 4.7 Quelques pplictions Les DLs servent UNIQUEMENT à des études locles : ou bien u voisinge d un point, ou bien u voisinge de +. On peut chercher des limites, mis ussi l position d une fonction pr rpport à une symptote. Exercice 5 Montrer que ln( + sin x) tn x ln cos 2 2x x 8 Solution : ln(+sin x) = sin x sin2 x +o(sin 2 x) = x x o(x2 ) et tn x = x+o(x 2 ), donc le numérteur est équivlent à x2 2 Pr illeurs, cos2 2x = ( (2x)2 + o(x 2 ) ) 2 = 4x 2 + o(x 2 ), or ln( + u) u, donc 2 ln cos 2 2x 4x 2, donc l frction est équivlente à 8, puis tend vers 8 : pourquoi? Exercice 6 Donner un équivlent simple de ln( + tn x) tn ( ln( + x) ) u voisinge de. Solution : tn x = x( + x 2 /3) + o(x 4 ) x et ln( + u) = u u2 2 + u3 3 u4 4 + o(u4 ). On écrit donc tn 2 x = x 2 ( + 2x 2 /3) + o(x 4 ), tn 3 x = x 3 + o(x 4 ), tn 4 x = x 4 + o(x 4 ), de sorte que : ln( + tn x) = x 2 x2 + (/3 + /3)x 3 + ( /3 /4)x 4 + o(x 4 ). De même, ln( + x) = x ( x 2 + x2 3 x3 ) + o(x 4 ) x et tn u = u + u 3 /3 + o(u 4 ). On écrit donc ln 3 ( + x) = 4 x 3( 3 2 x) + o(x 4 ), puis : tn ( ln( + x) ) = x 2 x2 + (/3 + /3)x 3 + ( /4 /2)x 4 + o(x 4 ). Finlement : ln( + tn x) tn ( ln( + x) ) = x4 6 + o(x4 ) x 4 6 Exercice 7 Montrer que (3 + 2e tn x ) π 2x e 2. Donner le comportement de cette même expression x π 2 lorsque x tend vers π + 2 3

14 Solution : Lorsque x tend vers π 2 +, près un pssge pr l forme exponentielle, les termes en jeu sont d ccord pour dire que l expression tend vers. Mintennt, si on pose f(x) = (3 + 2e tn x ) π 2x, le comportement de f u voisinge de π 2 se rmène à celui de f(π/2 u) lorsque u tend vers +. Mis pour u > : f(π/2 u) = exp ( 2u ln(3 + 2e / tn u ) ). On écrit donc : tn u = u + u 2 /3 + o(u 2 ) = ( u 2 /3 + o(u 2 ) ) = u u + o(), de sorte que (pourquoi?) e / tn u e /u, puis 3 + 2e / tn u 2e /u. Ces termes tendent vers +, de sorte que (pourquoi???) les logrithmes sont équivlents : ln(3 + 2e / tn u ) ln 2 + /u /u, puis 2u ln(3 + 2e / tn u ) 2, et on conclut pr continuité de l fonction exponentielle. u + Remrque 5 On ur noté que pour voir des précisions sur f lorsque f(t) Atk, on FACTORISE At k, pour se rmener à un DL de l forme + o(t) Exercice 8 Etudier l limite éventuelle de x 2 e /x 3 x 6 + 3x 5 + x 4 lorsque x tend vers +. Solution : lors que : x 2 e /x = x 2( + x + ) 2x 2 + o(x2 ) = x 2 + x o(), 3 x6 + 3x 5 + x 4 = x 2( + 3 x + ) ( /3 = x 2 x ( x + ) /3.( 2/3) + x ) x 2 + o(/x2 ), soit 3 x 6 + 3x 5 + x 4 = x 2 + x o(), et l différence tend donc vers 7 6 lorsque x tend vers +. Exercice 9 Montrer que le grphe de x x 2 + 2x 5 + 4x 2 + dmet une droite symptote en + et, et donner les positions respectives du grphe et de l droite. Solution : Après clculs, f(x) = 3x + + o(/x), de sorte que l droite d éqution y = x + 3 est + 4x symptote u grphe de f, et situé en dessous, puisque f(x) (x + 3) < pour x ssez grnd. + 4x Au voisinge de, le clcul précédent chnge, puisque x 2 = x, de sorte qu on trouve que le grphe est situé u dessous de son symptote, qui est l droite d éqution y = 3x. 4

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