I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; ["

Transcription

1 A. Limites d'une fonction I. Limite en et en. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ où a R. DÉFINITIONS Soit l un réel. On dit que f tend vers l lorsque tend vers quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f pour suffisamment grand. On note lim f =l On dit que f tend vers lorsque tend vers quand tout intervalle de la forme [ A; [ contient toutes les valeurs de f pour suffisamment grand On note lim f = Eercice : Définir la limite de f égale à l lorsque tend vers et la limite de f égale à lorsque tend vers Interprétations graphiques : lim f =l On dit que : La droite d'équation y=l est... En d'autres termes, l'écart entre un point de la courbe et un point de la droite pour un donné, tend vers 0 lorsque tend vers. Fonctions usuelles : lim f = lim f = lim f =0 2 n n entier naturel non nul 2 n n entier naturel non nul 200 My Maths Space Page /9

2 2. Limites et ordre THÉORÈME Soit l un nombre réel et f, g et h trois fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [. Si pour tout a, g f h lim g =l lim h =l Alors Théorème analogue en. ( f, g et h définies sur ], a] ) Ce théorème est connu sous le nom de "théorème des gendarmes". lim f =l THÉORÈMES de comparaison Soit f et g deu fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [. et Si Si pour tout a, f g lim g = Alors lim f = pour tout a, f g lim g = Alors lim f = Théorèmes analogues en ( f et g définies sur ], a] ) Eemples : Déterminer la limite de f en et de g en 0 : f = 2sin et g = sin 3. Asymptote oblique DÉFINITION Si f =a b avec lim =0, on dit que la droite d équation y=a b est asymptote à la courbe de f en. Définition est analogue en. Eemple : On considère la fonction f définie pour tout 0 par f = Étudier son comportement en. 200 My Maths Space Page 2/9

3 II. Limite en a (a réel) Soit a dans R et une fonction f dont l'ensemble de définition est un intervalle contenant a ou un intervalle de la forme ]...,a[ ou ]a,...[.. Limite finie en a DÉFINITION Soit l un nombre réel. On dit que f tend vers l lorsque tend vers a quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f pour assez proche de a. On note... Fonction définie en a : Pour toutes les fonctions de référence et la somme, le produit, le quotient ou la valeur absolue de telles fonctions : Si f définie en a alors lim f =f a a eemple : lim 2 = 2 Fonction non définie en a : Si pour a, f =g, où g est une fonction usuelle définie en a, alors f admet une limite en a, et lim f =g a a eemple : Limite de f en 3, où f est la fonction définie sur R-{3} par f = Limite infinie en a DÉFINITION On dit que f tend vers lorsque tend vers a quand tout intervalle de la forme ]A;+ [ contient toutes les images f pour assez proche de a. On note... Définition analogue pour une limite égale à Interprétations graphiques : Lorsque lim f = (ou ) on dit que a la droite : =a est asymptote verticale à C f ( définition valable au limites à gauche et à droite ) 200 My Maths Space Page 3/9

4 Remarque importante : Le théorème des gendarmes et les théorèmes de comparaison restent valables pour des limites en un réel a. Fonctions usuelles : lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 0 = lim 0 2 = III. Limites et opérations Lorsque deu fonctions f et g ont des limites connues, on peut en général en déduire la limite de la fonction somme f f g, de la fonction produit f g, de la fonction quotient g. Ces règles opératoires sont rassemblées dans les tableau qui suivent. Les limites sont prises soit en, soit en, soit en un réel a. l et l ' sont deu réels. Limite d'une somme Si f a pour limite l l l Si g a pour limite l' Alors f +g a pour limite Limite d'un produit Si f a pour limite l l 0 l 0 l 0 l 0 0 Si g a pour limite l' - ou Alors fg a pour limite Limite d'un quotient Cas où la limite de g n'est pas nulle Si f a pour limite l l ou Si g a pour limite l' 0 ou l' 0 l' 0 l' 0 l' 0 ou f Alors g a pour limite Cas où la limite de g est nulle Si f a pour limite l 0 ou l 0 ou l 0 ou l 0 ou 0 Si g a pour limite f Alors g a pour limite 0 en restant positif 0 en restant négatif 0 en restant positif 0 en restant négatif My Maths Space Page 4/9

5 Eercice : A partir des tableau précédents et en signalant la propriété utilisée, déterminer les limites suivantes: lim Eercice 2: lim Eercice 3: lim IV. Limite de la composée de 2 fonctions THÉORÈME a, b, c désignent des réels ou ou, f et g sont des fonctions. Si lim f =b a g =c lim b Alors... Eemple : h = 4 sur ]0 ; [. (à venir) B. Continuité Introduction : Annee "Fonctions?" I. Fonctions continues DÉFINITION Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I. Soit a un réel de I. La fonction f est continue en a, si lim f =f a. a La fonction f est continue sur l'intervalle I, si elle est continue en tout nombre réel a de I. Interprétation graphique : On peut tracer la courbe C sans lever le crayon. Si C est la courbe de la fonction f sur [ a 0 ; a ] alors f est continue sur [ a 0 ; a ]. On ne peut pas tracer C 3 sans lever le crayon donc si C 3 =C g alors g n'est pas continue sur [ a 0 ; a ]. g n'est pas continue en a 2 (saut) ; elle est discontinue en a 2. En effet lim g a n'eiste pas My Maths Space Page 5/9

6 Cas des fonctions usuelles : Les fonctions polynômes, sinus, cosinus, racine carré, valeur absolue, ainsi que les sommes, produits, quotients et composées de telles fonctions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. Eercices :. Justifier la continuité de la fonction h définie sur ] ; ] par h = 2 2. La fonction k définie sur [ 0 ; [ par k si [ 0 ; [ ={ 2 est-elle continue sur [ 0; [? si [ ; [ II. Propriétés des fonctions continues. Théorème des valeurs intermédiaires THÉORÈME Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deu réels dans I. Pour tout k compris entre f a et f b, il eiste un réel c compris entre a et b tel que : f c =k Ce théorème porte le nom de "Théorème des valeurs intermédiaires" Remarque : Eercice : Démontrer que l'équation 3 3 = admet au moins une solution ( voir Méthode ) 2. Image d'un intervalle par une fonction continue DÉFINITION et NOTATION Soit f une fonction définie sur D f et I un intervalle inclus dans D f. L'image de l'intervalle I par la fonction f est l'ensemble de toutes les images des réels appartenant à I. On note f I cet ensemble. Attention : f(i) n'est pas obligatoirement un intervalle. ( Annee) PROPRIÉTÉ Si f est continue sur l'intervalle I (inclus dans D f ) alors f I est un intervalle. Eercice : Epliciter f I si f = 2 et I =[ ; 2 ]. III. Fonction continue strictement monotone THÉORÈME Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [ a; b ]. Pour tout k compris entre f a et f b, l'équation f c =k a une solution unique dans [ a; b]. Ce théorème porte le nom de "Théorème de la bijection" 200 My Maths Space Page 6/9

7 Important : Ce théorème reste valable si f est définie sur un intervalle ouvert ] a; b[ ( a et b finis ou infinis ) ou semi-ouvert dans le cas où les limites au bornes de l'intervalle sont connues. Remarque : Les deu théorèmes précédents s'utilisent pour la résolution approchée d'une équation du type f =k. (à condition que f remplisse les conditions requises) Eemple : Reprendre l'équation 3 3 = et dénombrer le nombre de solutions. Algorithmique : Recherche de valeur approchée de solution par dichotomie (Site), par balayage (Calculatrice) C. Dérivation I. Définition. Dérivabilité en a DÉFINITION Soit f une fonction définie sur D f et a un réel de D f. On dit que f est dérivable en a lorsque le tau d'accroissement de f en a admet une limite l finie f f a f a h f a en a : lim =l ou, écrit autrement, lim =l a a h 0 h Dans ce cas, l est appelé le nombre dérivé de f en a et se note f ' a. Interprétation graphique : Si f est dérivable en a, le réel f ' a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative C f au point A a; f a. Équation de la tangente : y=f ' a a f a Fonctions non dérivables en a : en 0 ; en Utilisation de la dérivabilité en a Calcul de limite (f.i) : lim 0 sin =? Continuité en a : Toute fonction dérivable en a est continue en a. Approimation affine : Si f est dérivable en a alors, pour proche de a : f f ' a a f a (Méthode d'euler) Cinématique : Si t f t est la loi horaire d'un mouvement, f ' t 0 est alors la vitesse instantanée à l'instant t My Maths Space Page 7/9

8 3. Fonction dérivée Lorsqu'une fonction f est dérivable en tout réel d'un intervalle I, on définit la fonction dérivée f ' : f ' sur I. II. Variation d'une fonction et etremums THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée f ' est nulle sur I, alors f est constante sur I ; Si f ' est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule, alors f est strictement croissante sur I. Si f ' est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule, alors f est strictement décroissante sur I. Utilisation : Recherche des variations d'une fonction. (déjà vu en première) THÉORÈME Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et 0 I. Si f admet un etremum local en 0 alors f ' 0 =0 ; (réciproque fausse) Si en 0 la dérivée f ' s'annule en changeant de signe alors f admet un etremum local en 0.. Utilisation : Les etremums locau d'une fonction sont à chercher parmi les nombres qui annulent la dérivée mais à un tel nombre ne correspond pas forcément un etremum local ( f = 3 et =0 ) III. Dérivée d'une fonction composée. Epression du nombre dérivé d'une fonction composée THÉORÈME Soit u une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel 0, et v une fonction définie sur un intervalle J contenant y 0 =u 0 Si u est dérivable en 0 et si v est dérivable en y 0, alors la fonction f =v ou est dérivable en 0 et f ' 0 =u ' 0 v' u 0 Eemple : Montrer que f : sin 2 est dérivable sur R et calculer f '. 200 My Maths Space Page 8/9

9 2. Applications Soit u une fonction dérivable en 0. Fonction f : [ u ] n Fonction g : u IV. Tableau récapitulatifs Fonction Dérivée Fonction Dérivée k u v n au uv sin : sin v cos : cos u v tan : tan ep : ln : e ln Fonction ep : e Dérivée ln : vou : ln vou u n : [ u ] n u : u 200 My Maths Space Page 9/9

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail

TS Limites de fonctions Cours

TS Limites de fonctions Cours TS Limites de fonctions Cours I. Limites à l infini. Limite infinie en + ( 3 ) Définition Une fonction f a pour limite + en + si pour toute valeur réelle A, on a f() > A pour assez grand c est à dire pour

Plus en détail

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions T.S Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. L 2 Le second degré, vu en classe de ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d une équation du second degré, signe d une epression

Plus en détail

Cours sur les limites de fonctions et la continuité M. HARCHY TS 2 -Lycée Agora-2015/2016

Cours sur les limites de fonctions et la continuité M. HARCHY TS 2 -Lycée Agora-2015/2016 Cours sur les limites de fonctions et la continuité M. HARCHY TS 2 -Lycée Agora-205/206 Limite d une fonction. Limite à l infini.. Limite finie d une fonction à l infini Définition Soit f une fonction

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

f : I R 2x + x2 x 1 x 2 w : R R x x h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)).

f : I R 2x + x2 x 1 x 2 w : R R x x h un réel non nul tel que a + h I. On considère les points A(a; f(a)) et M(a + h; f(a + h)). 1S1: doc 5 Dérivation 2015-2016 I Pour bien commencer I.1 Limite en 0 d une fonction Soit I un intervalle contenant 0, I = I\ {0} et f : I R D é f i n i t i o n : On dit que f admet une limite finie L

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation Ce que dit le programme : Nouveautés par rapport à la première : Dérivée de la composée et écriture différentielle (pour la physique)

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 11 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation ) Définition et interprétation géométrique : Soient f une fonction définie sur un intervalle I de R et a I. La fonction est dérivable

Plus en détail

Chapitre 2 : Dérivation et continuité T-ES2,

Chapitre 2 : Dérivation et continuité T-ES2, Chapitre 2 : Dérivation et continuité T-ES2, 206-207.Rappel sur la dérivation.. Règles de dérivation.. Dérivées des fonctions usuelles Fonction f f Fonction dérivée Domaine de validité f() = k (k R) f

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS T ale S LIMITES DE FONCTIONS Analyse - Chapitre 6 Table des matières I Limite d une fonction à l infini 2 I Limite finie à l infini........................................ 2 I a..........................................

Plus en détail

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions les fonctions LPO de Chirongui - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56 - Limite finie à l infini

Plus en détail

Chapitre 4 : Fonctions dérivées

Chapitre 4 : Fonctions dérivées 1. Limite en 0. Accroissement moyen. Limite en 0 : Si f est une fonction définie sur un intervalle I contenant 0, on admet que chercher la limite de f en 0 revient à calculer l'image de 0 par f. On note

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITE

LIMITES ET CONTINUITE LIMITES ET CONTINUITE I) LIMITES A L'INFINI ) Limite infinie à l'infini Si tout intervalle ]A;+ [ contient tous les f(x) pour x assez grand, on dit que f a pour ite + en +. on écrit f x = f x = A > 0,

Plus en détail

Les fonctions : Limites, Continuité

Les fonctions : Limites, Continuité Les fonctions : Limites, Continuité f désigne une fonction définie sur un intervalle I ; On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan I) Limite d une fonction au voisinage de l infini I

Plus en détail

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES

ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES I. La continuité : Définition : ÉTUDE DE FONCTIONS, FONCTIONS CONTINUES 1 ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Graphiquement, on reconnaît qu'une fonction est continue sur un

Plus en détail

Table des matières. 1- Limites en l'infini- Asymptotes LIMITES- CONTINUITÉ

Table des matières. 1- Limites en l'infini- Asymptotes LIMITES- CONTINUITÉ Table des matières - Limites en l'infini- Asmptotes... -- Limite finie en l'infini... --- Définition... --2- Interprétation graphique:... 2 --3- Eemple:... 2-2- Limite infinie en l'infini... 2-2-- Définition...

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M "pour x assez grand"

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M pour x assez grand Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page I) Limites ) Limites à l infini a) Limite finie Définition : Etant donnée une fonction f et un réel α, on dira quelle tend vers α

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité ANALYSE Limites et continuité Connaissances nécessaires à ce chapitre Déterminer la ite éventuelle d une suite géométrique Étudier la ite d une somme, d un produit ou d un quotient de deu suites Auto-évaluation

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 2016-2017 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de

Plus en détail

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors

Plus en détail

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal Cours de Terminale S / Fonctions : ites et continuité E. Dostal Août 204 Table des matières 2 Fonctions : ites et continuité 2 2. Limites.............................................. 2 2.2 Théorèmes.............................................

Plus en détail

Chapitre II : Limite de fonctions

Chapitre II : Limite de fonctions Chapitre II : Limite de fonctions Etrait du programme : I Limite d une fonction en l infini Limite finie en + Définition f () = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f ()

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

Chap 5. Dérivation. Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a.

Chap 5. Dérivation. Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a. Chap 5 Dérivation Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a. Objectifs : faire le lien entre nombre dérivé et tangente à la courbe en un point

Plus en détail

Titre du dossier : Calculs de dérivées. Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction. Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine

Titre du dossier : Calculs de dérivées. Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction. Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Titre du dossier : Calculs de dérivées Sujet : Etudier les dérivées et le sens de variation d une fonction Auteur : MAIRONE Yvon, SESE Sandrine Société : Ecole de la deuième Chance Marseille Mots clés

Plus en détail

Cours informel sur la fonction réciproque.

Cours informel sur la fonction réciproque. Cours informel sur la fonction réciproque. Ce cours aborde de nombreuses parties du programme de terminale scientifique. Les parties qui n'appartiennent pas au programme seront signalées par le sigle hp,

Plus en détail

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque

DÉRIVÉE. I Nombre dérivé - Tangente. Définition. Exemple 1. Remarque DÉRIVÉE I Nombre dérivé - Tangente Eemple Considérons la fonction carré f() = 2, et effectuons avec une calculatrice un zoom de sa représentation graphique au voisinage de son point 0 d'abscisse 0 = 2

Plus en détail

Dérivation Continuité

Dérivation Continuité Dérivation Continuité Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2009/2010 Table des matières 1 Nombre dérivé Fonction dérivé 2 1.1 Nombre dérivé.......................................... 2 1.2 Fonction dérivée.........................................

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

Étude de fonctions Limites et continuité

Étude de fonctions Limites et continuité Chapitre 3 Term.S Étude de fonctions Limites et continuité Ce que dit le programme : CONTENUS Limites de fonctions Limite finie ou infinie d une fonction à l infini. Limite infinie d une fonction en un

Plus en détail

Continuité Compléments de dérivation

Continuité Compléments de dérivation Continuité Compléments de dérivation Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 015/016 Table des matières 1 Notion de continuité 1.1 Limite finie en un réel a......................................... 1. Définitions

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Fonctions d une variable réelle

Fonctions d une variable réelle Fonctions d une variable réelle BTS Table des matières Fonctions usuelles. Fonctions en escalier.......................................... Fonctions affines............................................

Plus en détail

Nombre dérivé. Tangente et approximation affine. Définitions :

Nombre dérivé. Tangente et approximation affine. Définitions : Nombre dérivé S T f ' (a) a f(a+) M f(a)+f'(a) N 0.6 f'(a) f(a) A P Approimation affine : f(a)+f ' (a) 0.6 Valeur eacte : f(a+).98 Différence :.38 a a+ variable (ou ) Définitions : f( a + ) f( a) une fonction

Plus en détail

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité Notations

Plus en détail

1 ère S 2004/2005. Ch.12. Applications de la dérivation. A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N.

1 ère S 2004/2005. Ch.12. Applications de la dérivation. A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N. 1 ère S 4/5 Ch1 Applications de la dérivation J TAUZIEDE A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N I- DERIVEE ET SENS DE VARIATION D UNE FONCTION 1 ) Sens de variation et dérivées Théorème liant

Plus en détail

Chapitre 3 : Limites de fonctions Terminale ES 2, , Y. Angeli

Chapitre 3 : Limites de fonctions Terminale ES 2, , Y. Angeli Chapitre 3 : Limites de fonctions -28-09-- Terminale ES 2, 20-202, Y. Angeli. Notion de ite : les différentes situations. Le plan est muni d un repère orthogonal (; ı, j). Dans ces illustrations, a et

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre 1 Fonctions de référence...2 I Fonctions affines...2 a) Signe d'une fonction affine...2 II

Plus en détail

Résumé du cours. Fonction dérivable

Résumé du cours. Fonction dérivable Résumé du cours Fonction dérivable Nombre dérivé et fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant a. On dit que f est dérivable en a et de nombre dérivé f (a) si Définition

Plus en détail

Terminale S Exercices limites et continuité Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x) = x.

Terminale S Exercices limites et continuité Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f(x) = x. Terminale S Eercices limites et continuité 0-0 Eercice : limite finie en l'infini Soit f la fonction définie sur]0;+ [ par f() = +. ) Soit r un réel strictement positif et I = ] r; + r[. Montrer que, si

Plus en détail

FONCTION LOGARITHME. 2 exemple 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f 5

FONCTION LOGARITHME. 2 exemple 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f 5 FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE La fonction carrée La fonction carrée est dérivable et strictement monotone sur [ 0 ; 2 ] D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire pour tout

Plus en détail

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h)

Dérivation : Exercices. , et M le point du cercle. ( h) Amerinsa - Ecole d été Dérivation : Eercices Eercice : Nombre dérivé de fonctions de base Soit 0 un réel. Pour chacune des fonctions suivantes, préciser à quel intervalle doit appartenir 0 pour que la

Plus en détail

BTS Maintenance industrielle - Les fonctions

BTS Maintenance industrielle - Les fonctions de référence. en escaliers Une fonction en escaliers est une fonction constante par intervalles. Eemple. la fonction f définie sur [,[ - 5 6 7 8. affines Une fonction affine f est définie sur par où a

Plus en détail

soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P

soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non pas un cercle). Or, si l on trace P Limite d une fonction Approche intuitive de la notion de limite Dans ce chapitre, nous avons besoin d un outil mathématique appelé «Limite» qui est une notion fort nécessaire pour la compréhension et la

Plus en détail

Chapitre 2 CONTINUITE - CONVEXITE TES

Chapitre 2 CONTINUITE - CONVEXITE TES Chapitre 2 CONTINUITE - CONVEXITE TES I Quelques rappels Définition Soit a et (a + h) appartenant à I. Dire que f est dérivable en a signifie que le taux d'accroissement entre a et a + h, τ a,h, tend vers

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0

DERIVATION. ou f'(x 0 ) = lim. h 0 DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Limite d une fonction à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant

Plus en détail

Dérivées et continuité

Dérivées et continuité Dérivées et continuité TS Exercice 1 [Côté exercices Réactivation de notions de la classe de Première? ] QCM p 90 Déclic I Rappels sur les dérivées A Les principale idées vues en Première 1 Les dérivées,

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS

TERMINALE S Chapitre 2 : LIMITES DE FONCTIONS SOMMAIRE LIMITES DE FONCTIONS *. 1. LIMITES D UNE FONCTION... 2 LIMITES A L INFINI... 2 LIMITE REELLE ( OU FINIE) EN + ET -... 2 LIMITE INFINIE EN + ET -... 2 LIMITES EN UN REEL A... 3 LIMITE INFINIE EN

Plus en détail

Remise à Niveau Mathématiques

Remise à Niveau Mathématiques Mathématiques RAN - Fonctions Remise à Niveau Mathématiques Deuième partie : Fonctions Corrigés des eercices Page sur 0 RAN Fonctions Eercices corrigés - Rev 03 Mathématiques RAN - Fonctions DÉFINITIONS

Plus en détail

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives

Limites : Exercices. Amerinsa - Ecole d été. Exercice 1 : Notions intuitives Amerinsa - Ecole d été Limites : Eercices Eercice : Notions intuitives Dans la figure ci-contre, vers quoi tend f() lorsque tend vers : a) - b) + c) 0 d) -4 e) 4 Eercice : Notions intuitives Vers quelle

Plus en détail

Introduction aux limites de fonctions

Introduction aux limites de fonctions Introduction aux ites de fonctions 1. Définition de la ite d'une fonction Une fonction est le lien entre 2 quantités qui évoluent ensemble. L'intérêt est qu'à partir de l'une on peut connaître l'autre.

Plus en détail

4. Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ;

4. Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du sinus sur l intervalle ; Vdouine Terminale S Chapitre Fonctions, limites, continuité, dérivabilité La fonction cosinus Tracer la courbe représentative du cosinus Etablir le tableau de variations et le tableau de signes du cosinus

Plus en détail

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre Fonctions de référence...3 I Fonctions affines...3 a) Signe d'une fonction affine...3 II

Plus en détail

LIMITES DE FONCTIONS

LIMITES DE FONCTIONS LIMITES DE FONCTIONS I- Limites à l infini. Limites infinies Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ]A; + [. On dit que f a pour ite + quand x tend vers + lorsque pour tout réel M, fx)

Plus en détail

Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition.

Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition. LSMarsa Elriadh Dans chacun des cas suivants déterminer l ensemble de définition de f et justifier la continuité de f en tout réel de son ensemble de définition (5 ² 1) f ( ) = 3 ² + 5 + 1 ; f ( ) = ;

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

LIMITES et CONTINUITE

LIMITES et CONTINUITE LIMITES et CONTINUITE I. LIMITES EN L INFINI a) Limite infinie Par exemple, considérons la fonction f dont la courbe représentative est : Lorsque x s'en va vers +, f(x) devient de plus en plus grand. il

Plus en détail

COURS DE BTS, premie re anne e.

COURS DE BTS, premie re anne e. COURS DE BTS, premie re anne e. Contenu ALGORITHMIQUE...3 I GENERALITES...3 II AVEC UNE CALCULATRICE....3 III L instruction conditionnelle....4 IV La boucle itérative....5 V La boucle conditionnelle....5

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Chapitre 2 : Limites et asymptotes

Chapitre 2 : Limites et asymptotes I Eercices 1 Limites sans indétermination Calculer les ites des fonctions suivantes, et préciser lorsque la courbe représentative de f (notée (C f )) admet une asymptote horizontale ou verticale. 1. f()

Plus en détail

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point

Plus en détail

2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'(x).

2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'(x). Eercice 1: Soit f la fonction définie sur IR - {-2 ; 0 } par f() = ( + 1) 2 2 + 2 1 ) Donner les limites de f au bornes de son ensemble de définition 2 ) Justifier que f est dérivable et calculer f'()

Plus en détail

Continuité d une fonction et équation

Continuité d une fonction et équation Continuité d une fonction et équation I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative sur l intervalle I se fait

Plus en détail

2 cos x =. 0 ;2π l équation sin x =. Corrigés des exercices de trigonométrie

2 cos x =. 0 ;2π l équation sin x =. Corrigés des exercices de trigonométrie Corrigés des eercices de trigonométrie I. Résoudre algébriquement des équations, des inéquations Pour les eercices suivants, on utilisera le cercle trigonométrique Eercice 1 Résoudre dans l intervalle

Plus en détail

Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats suivants :

Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats suivants : Cours DERIATION 0 ACTIITE DERIATION et CALCUL FORMEL - Odyssée Le professeur de mathématiques a donné le «devoir maison» suivant : Tom utilise Xcas, un logiciel de calcul formel, qui affiche les résultats

Plus en détail

2 : LIMITE ET CONTINUITE

2 : LIMITE ET CONTINUITE : LIMITE ET CONTINUITE LISTE DES COMPTENCES CODE L0 L0 L0 L04 L05 L06 L07 L08 L09 L0 DENOMINATION Savoir calculer la ite en un point d un monôme Savoir calculer la ite en l infini d un monôme Savoir calculer

Plus en détail

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire.

Plan d'étude d'une fonction. , f x = f x alors f est impaire. 1 Recherche de l'ensemble de définition Plan d'étude d'une fonction. Fonctions rationnelles. f x existe si le dénominateur n'est pas nul. 2n Fonctions avec radical du type. f x existe si la quantité sous

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité 1 Limites et continuité Table des matières 1 Limites - Rappels de première 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Asymptotes parallèles aux axes..................... 3 1.3 Limites des

Plus en détail

4.6 Application de la dérivée à l étude des fonctions

4.6 Application de la dérivée à l étude des fonctions 54 4.15. Théorème Règle de l Hôpital. f() Soit f et g deu fonctions telle que la limite lim est une forme indéterminée ( 0 0 ou f () 0 g() ). Alors si lim 0 g eiste (soit un nombre réel, soit + soit ()

Plus en détail

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES)

DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE. a) Tangente et nombre dérivé. Ch2 : Dérivation (TES) DERIVATION I. DE LA TANGENTE A LA DERIVABILITE a) Tangente et nombre dérivé Aux origines la dérivation, était un problème purement géométrique : il s'agissait de connaître le coefficient directeur ou pente

Plus en détail

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x Calculs et entraînement. Eercice 1. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1. lim + e + ln. lim + (ln ) 3 + sin 3. lim + 1 + + 4. lim + e 1 sin + cos 7. lim + + 1 1 10. lim + 1 13. lim 5. lim e 1

Plus en détail

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Stépane PASQUET, 4 octobre 06 C Sommaire Limites aux infinis....................................... Limite en un nombre fini, ite à droite, ite à gauce d un nombre fini........

Plus en détail

Partie A : Limites de fonctions

Partie A : Limites de fonctions Chapitre 2 I Limite d une fonction en ou en A) Limite finie en ou en 1) Activité 1 Partie A : Limites de fonctions On considère la fonction définie pour tout par de courbe représentative a) A l aide d

Plus en détail

Dérivation et fonctions trigonométriques

Dérivation et fonctions trigonométriques Dérivation et fonctions trigonométriques 1. Compléments sur la dérivation Théorème. Soit une fonction à valeurs positives dérivable sur un intervalle. Alors est dérivable sur et. Soit. La fonction est

Plus en détail

Exercices : Étude de fonctions

Exercices : Étude de fonctions Eercices : Étude de fonctions Eercice : Calculer les limites suivantes : (. lim 3 2 +(ln) 3 ) 0 + 2. lim 3. lim ln(e +) ln 3 2 + 4. lim 5. lim 6. lim 7. lim e 2 3 2 e 3+ (ln) (e 4 3 ) + e2 ln+ ln+e 8.

Plus en détail

( e ) x 2 e x 1 = 1. CORRIGÉ PARTIEL Fonction exponentielle. Ch 5. = donc lim x. Exercice 2. e x e2 =. = +. Par produit lim ( 3 x)e x =.

( e ) x 2 e x 1 = 1. CORRIGÉ PARTIEL Fonction exponentielle. Ch 5. = donc lim x. Exercice 2. e x e2 =. = +. Par produit lim ( 3 x)e x =. C 5 CORRIGÉ PARTIEL Fonction eponentielle Eercice e + = e e = e e. En + : + e = 0 (ite de référence), donc + e e = 0. En : e 0 + = donc e =. e > 0, donc e e =. En + : 3 = et e = +. Par produit ( 3 )e =.

Plus en détail

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires

TD 11 : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Université Paris Est Créteil DAEU TD : Fonctions Continues et le Théorème des Valeurs Intermédiaires Dans cette fiche on définie une propriété très importante qui est vérifiée par un très grand nombre

Plus en détail

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com

Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Intégrale et aire On considère la fonction affine f dont la courbe ci-contre passe par les points A et B. ) Déterminer l epression de f(). ) En déduire une primitive F de f. ) a) Déterminer l intégrale

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre: LIMITES DE FONCTIONS

TERMINALE S Chapitre: LIMITES DE FONCTIONS 1. Limites à l infini Limite réelle ( ou finie) en + et - Dire qu une fonction f a pour limite le nombre l en + signifie que tout intervalle ouvert de centre l contient toutes les valeurs f() prises pour

Plus en détail

Chapitre 7. Etudes de fonctions

Chapitre 7. Etudes de fonctions . Dérivée première et croissance.. Croissance et décroissance Chapitre 7. Etudes de fonctions Au début de ce cours d analyse, nous avons défini la croissance et la décroissance d une fonction. Pour rappel

Plus en détail

GÉNÉRALITÉS. f étant définie sur un intervalle de borne, f(x) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les

GÉNÉRALITÉS. f étant définie sur un intervalle de borne, f(x) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les 1 Limites GÉNÉRALITÉS Définitions Dans les énoncés suivants, L et a sont deux réels. f étant définie sur un intervalle de borne +, f(x) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs

Plus en détail

Chapitre 2 - Continuité et convexité

Chapitre 2 - Continuité et convexité Chapitre 2 - Continuité et convexité I Rappels : sens de variation et dérivée Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Si la dérivée est strictement positive sur l intervalle I, alors

Plus en détail

Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47 Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions

Plus en détail

LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2)

LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2) LIMITES ET CONTINUITE (Partie 2) 1 I. Limite d'une fonction composée 1 Exemple : Soit la fonction f définie sur 2 ;+ par f (x) = 2 1 x. On souhaite calculer la limite de la fonction f en +. On considère

Plus en détail

Chapitre 6 Comportement asymptotique et limites de fonctions Limites de suites

Chapitre 6 Comportement asymptotique et limites de fonctions Limites de suites Chapitre 6 Comportement asymptotique et ites de fonctions Limites de suites 1. Limite d une fonction en ou en. 1.1 Limite infinie d une fonction en ou en Cadre : Soit I=]a ; [, où a est un réel fixé (NB

Plus en détail

Sujets de bac : Exponentielle

Sujets de bac : Exponentielle Sujets de bac : Exponentielle Sujet : Polynésie septembre 2002 On considère la fonction définie sur par ) Etudier la parité de. 2) Montrer que pour tout,. 3) Déterminer les ites de en et en. Donner l interprétation

Plus en détail

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS

LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS I. Définitions des ites en l infini. - Limite infinie. a) Limite de suites. Définition : On dit que la suite (U n ) tend vers + lorsque pour tout réel A, l intervalle

Plus en détail

I. Limites : 1. Limites usuelles : Dans la suite, f est une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté D f.

I. Limites : 1. Limites usuelles : Dans la suite, f est une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté D f. Fonctions numériques d une variable réelle Dans la suite, f est une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté D f. On note alors : D f = { R ; f() eiste} On note C f sa courbe représentative.

Plus en détail

Continuité, dérivabilité et convexité

Continuité, dérivabilité et convexité Continuité, dérivabilité et conveité A) Fonction dérivée et sens de variation 1 Fonction dérivée Déinition : Soit une onction déinie sur un intervalle I et telle que, en toute valeur dérivée '( eiste La

Plus en détail

I. Limites d une fonction à l infini

I. Limites d une fonction à l infini T STI SIN Limites de fonctions 6//202 Lycée Don Bosco 202-203 I. Limites d une fonction à l infini Activité a. Limites infinies On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = x 2 x +, et

Plus en détail

CONTINUITE ET CONVEXITE

CONTINUITE ET CONVEXITE CONTINUITE ET CONVEXITE I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires Le mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815 ; 1897) apporte les premières définitions rigoureuses au concept de limite

Plus en détail

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako A- / Ensemble de définition d une fonction : - / Définition : Soit f : A B une fonction. On appelle ensemble de définition D f

Plus en détail