Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés

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1 Fonction continue sur un intervalle Continuité Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : montrer qu une fonction est continue en un point Exercice 2 : dire si une fonction est continue sur un intervalle d après sa représentation graphique Exercice 3 : préciser sur quel intervalle une fonction est continue (continuité des fonctions usuelles) Exercice 4 : étudier la continuité d une fonction construite par opérations (somme, produit, différence) Exercice 5 : définir une fonction continue sur un intervalle en fonction d un paramètre Exercice 6 : étudier le prolongement par continuité d une fonction Exercice 7 : étudier la continuité d une fonction composée Exercice 8 : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue sur un intervalle) Exercice 9 : utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue strictement monotone sur un intervalle) Exercice 10 : étudier la continuité d une fonction en utilisant le théorème des gendarmes Exercice 11 : écrire un algorithme d encadrement par dichotomie Accès direct au site 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Soit la fonction définie sur par {. Montrer que est continue en 2. Correction de l exercice 1 Retour au menu Rappel : Continuité d une fonction en un point Soit une fonction définie sur et soit. est continue en si et seulement si a une limite en égale à, c est-à-dire si et seulement si. En particulier est continue en si et seulement si. Remarque : On note indifféremment la limite à gauche de la fonction en ou et la limite à droite de la fonction en ou. Etudions la continuité de la fonction en 2. D une part,. D autre part, on a. Ainsi, donc la fonction est continue en 2. Rappel important : Une fonction ne peut pas être continue en un point (ou un intervalle) où elle n est pas définie. Autrement dit, l étude de la continuité d une fonction en un point qui n appartient à l ensemble de définition de la fonction n a aucun sens. 2

3 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Dans un repère orthonormé ( ) du plan,, et sont les représentations graphiques respectives des fonctions, et, définies sur [ ]. Pour chacune de ces trois fonctions, dire si la fonction est continue sur [ ]. Correction de l exercice 2 Retour au menu Rappel : Représentation graphique d une fonction et continuité Graphiquement, on peut reconnaître qu une fonction est continue sur un intervalle lorsqu on peut tracer sa courbe représentative de manière continue, c est-à-dire sans lever le crayon. Par ailleurs, une fonction n est pas continue en un point lorsqu on doit lever le crayon en. La fonction est continue sur [ ]. De même, la fonction est continue sur [ ]. La fonction est continue sur [ [ et sur ] ] mais n est pas continue en 3 puisque et. 3

4 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Pour chacune des fonctions suivantes, rappeler sur quel(s) ensemble(s) la fonction est définie et continue. Correction de l exercice 3 Retour au menu 1) La fonction est une fonction polynôme (à coefficients réels), définie et continue sur. 2) La fonction est la fonction valeur absolue, définie et continue sur. 3) La fonction est la fonction racine carrée, définie et continue sur. 4) La fonction est la fonction inverse, définie et continue sur ] [ et sur ] [. 5) La fonction est la fonction cosinus, définie et continue sur. 6) La fonction est la fonction sinus, définie et continue sur. 7) Rappel : Partie entière d un réel et fonction partie entière La partie entière d un nombre réel est l unique entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal. On la note. Pour tout, on a donc. La fonction partie entière est la fonction définie sur qui, à tout réel, associe sa partie entière. La fonction partie entière est donc ainsi définie : 4

5 La fonction est la fonction partie entière, définie sur. Cette fonction est continue en toute valeur réelle non entière mais n est pas continue en toute valeur réelle entière. Autrement dit, la fonction est continue sur { }. En effet, pour tout, d une part et d autre part. 8) La fonction est la fonction exponentielle, définie et continue sur. 9) La fonction est la fonction logarithme népérien, définie et continue sur. 5

6 Exercice 4 (3 questions) Niveau : facile Soit la fonction définie sur par {. 1) Montrer que est continue sur { }. 2) Etudier la continuité de en 1. 3) En déduire la continuité de la fonction sur son ensemble de définition. Correction de l exercice 4 Retour au menu 1) Montrons que est continue sur { }, c est-à-dire que est continue sur ] [ et sur ] [. Rappel : Continuité d une fonction construite algébriquement par opération Soient et deux fonctions continues sur un intervalle et soit un réel. Alors, on a les résultats suivants : la fonction est continue sur. Autrement dit, la somme de deux fonctions continues sur un même intervalle est continue sur cet intervalle. la fonction est continue sur. Autrement dit, la différence de deux fonctions continues sur un même intervalle est continue sur cet intervalle. la fonction est continue sur. Autrement dit, le produit de deux fonctions continues sur un même intervalle est continue sur cet intervalle. la fonction est continue sur. Autrement dit, le produit d un réel par une fonction continue sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Remarque : Le quotient de deux fonctions continues sur un même intervalle est abordé dans un prochain exercice. Pour tout ] [,. Sur cet intervalle, est la somme de la fonction valeur absolue, continue sur ] [, et de la fonction affine, continue sur ] [. Par conséquent, est continue sur ] [. Pour tout ] [,. Sur cet intervalle, est le produit de la fonction racine carrée, continue sur ] [, par la fonction polynôme, continue sur ] [. Par conséquent, est continue sur ] [. Il en résulte que est continue sur ] [ et sur ] [. 2) Etudions la continuité de en 1. D une part,. 6

7 D autre part,. Ainsi,. Autrement dit, la fonction est continue en 1. 3) Montrons que la fonction est continue sur. D après la première question, est continue sur { } et d après la question précédente, est également continue en 1. On en déduit que est continue sur. 7

8 Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur par { soit continue sur son ensemble de définition.. Déterminer la(les) valeur(s) du réel pour que Correction de l exercice 5 Retour au menu Pour tout ] [,. Sur cet intervalle, est la différence de la fonction racine carrée, continue sur donc sur ] [, et de la fonction inverse, continue sur donc sur ] [. Par conséquent, étant la différence de fonctions continues sur un même intervalle, est continue sur ] [. Pour tout ] [,. Sur cet intervalle, est une fonction polynôme, continue sur donc sur ] [. Il en résulte que est continue sur ] [ et sur ] [. Reste à étudier la continuité de en 4. D une part et d autre part. Or, la fonction est continue en 4 si et seulement si, c est-à-dire si et seulement si. Pour tout,. Rappel : Racines d un trinôme du second degré Soit le discriminant du trinôme. Alors. 1 er cas : Le trinôme admet une racine réelle double : 2 e cas : Le trinôme admet deux racines réelles distinctes : 3 e cas : Le trinôme n admet aucune racine réelle (mais admet deux racines complexes conjuguées). 8

9 Soit le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Comme, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Finalement, la fonction est continue en 4, et donc sur, si et seulement si { }. 9

10 Exercice 6 (3 questions) Niveau : moyen Définition : Prolongement par continuité d une fonction (hors programme) Soit un intervalle et soit. Soit une fonction définie et continue sur { }. On dit que est prolongeable par continuité en si et seulement si. Le prolongement par continuité de la fonction est alors la fonction définie et continue sur par { { }. 1) Montrer que la fonction définie sur { } par est prolongeable par continuité sur. 2) La fonction définie sur { } par est-elle prolongeable par continuité sur? 3) La fonction définie sur par est-elle prolongeable par continuité sur? Correction de l exercice 6 Retour au menu 1) La fonction est définie sur { } par. Rappel : Continuité d une fonction définie par le quotient de deux fonctions Soit une fonction continue sur un intervalle et soit une fonction non nulle continue sur. Alors, la fonction est continue sur. Autrement dit, le quotient d une fonction continue sur un intervalle par une fonction non nulle continue sur un même intervalle est continue sur cet intervalle. Remarque importante : En particulier, toute fonction rationnelle (c est-à-dire toute fonction quotient de fonctions polynômes) est continue sur son ensemble de définition. La fonction { }. est une fonction rationnelle donc elle est continue sur son ensemble de définition, à savoir sur Pour tout { },. Dès lors, et. Comme, est prolongeable par continuité en 1. Le prolongement par continuité en 1 de la fonction est la fonction définie et continue sur par { { }. 10

11 2) La fonction est définie sur { } par. La fonction est la différence de deux fonctions rationnelles donc elle est continue sur son ensemble de définition { }. Pour tout { }, Il vient et. Comme, est prolongeable par continuité en 1. En revanche, et. Comme n admet pas de limite finie en 1, n est pas prolongeable par continuité en 1. 3) La fonction est définie sur par. La fonction est le quotient de la fonction, continue sur (fonction sinus), par la fonction, continue sur (fonction linéaire). De plus, pour tout,. Par conséquent, est continue sur son ensemble de définition. Rappel : Dérivabilité d une fonction en un point Limite d un taux d accroissement Soit une fonction définie sur et soit. Pour tout, tel que, le nombre noté est appelé taux d accroissement de en. Si ce taux d accroissement admet une limite finie en, on dit que est dérivable en. Autrement dit, est dérivable en si et seulement si ( réel fini). Remarque : Ce nombre réel est alors appelé nombre dérivé de en et noté. 11

12 En définitive, donc est prolongeable par continuité. Le prolongement par continuité de la fonction est la fonction définie et continue sur par {. 12

13 Exercice 7 (2 questions) Niveau : moyen 1) Montrer que la fonction est définie et continue sur. 2) En déduire que la fonction définie sur par { est continue sur. Correction de l exercice 7 Retour au menu 1) Montrons que la fonction est définie et continue sur. Rappel : Définition et continuité d une fonction composée Soient et deux fonctions numériques définies respectivement sur et. La fonction composée de par, notée, est définie par ( ) pour et. Autrement dit, pour et, on a ( ). Si et sont continues respectivement sur et, alors la fonction composée est continue sur. La fonction est la composée de la fonction, définie sur par, par la fonction, définie sur par. Cette fonction composée, notée, est définie si les conditions suivantes sont satisfaites : et. Or, d une part, la fonction est une fonction polynôme donc elle est définie et continue sur. Autrement dit, avec. D autre part, la fonction est la fonction racine carrée donc elle est définie et continue sur. Vérifions que, pour tout,. Posons le discriminant du trinôme :. Comme, le trinôme n admet pas de racine réelle et est du signe de son monôme de plus haut degré (ici ). Par conséquent, pour tout,. Autrement dit, avec. Par composition, la fonction est définie sur par et cette fonction est continue sur. 2) Montrons que la fonction est continue sur. Etudions tout d abord la continuité de sur { }. 13

14 Pour tout { }, est définie par. Cette fonction est le quotient d une fonction continue sur { } par une fonction (affine) non nulle continue sur { } donc est continue sur { }. Montrons désormais que est continue en 1. Pour tout, Posons le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Comme, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Après factorisation du trinôme (au numérateur), il vient alors que, pour tout, Or, d une part, (par continuité en 1) et, d autre part, (par continuité en 1). Par quotient des limites, il résulte que. Et comme, par définition de la fonction,, on a finalement. De ce résultat, il découle que la fonction est continue en 1. Finalement, la fonction est continue sur. 14

15 Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen Soit une fonction continue sur [ ] et à valeurs dans [ ]. Montrer que l équation admet au moins une solution. Correction de l exercice 8 Retour au menu Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Soit une fonction continue sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies). Alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en, il existe au moins un réel de tel que. Autrement dit, l équation admet au moins une solution dans. Notons la fonction définie sur [ ] par. Tout d abord, est la différence de la fonction, continue sur [ ], et de la fonction linéaire, continue sur [ ] ; par conséquent, est continue sur [ ]. Ensuite,. Or, pour tout [ ],. Ainsi,, c est-à-dire. Enfin,. Or, pour tout [ ],. Ainsi,, c est-à-dire. Or, [ ] donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation admet au moins une solution dans [ ]. Autrement dit, l équation admet au moins une solution dans [ ]. 15

16 Exercice 9 (7 questions) Niveau : moyen On considère l équation :. Première partie Encadrement d une solution 1) Justifier que admet une unique solution dans. 2) Proposer un encadrement de d amplitude. Deuxième partie Valeur exacte d une solution par la méthode de Cardan Soient et deux réels. 3) Démontrer que. 4) En déduire que si et vérifient le système {, alors est solution de. 5) Démontrer que, pour tous réels et non nuls, { {. 6) Résoudre dans l équation :. 7) En déduire la valeur exacte de. Correction de l exercice 9 Retour au menu 1) Justifions que l équation admet une unique solution dans. Rappel : Théorème de bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies), alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en, il existe un unique réel de tel que. Monotonie de Intervalle croissante décroissante [ ] [ ] [ ] [ [ [ [ ] ] ] ] ] ] [ [ ] [ ] [ ] [ Soit la fonction définie sur par. Comme est une fonction polynôme, elle est continue sur. De surcroît, et. Ainsi, (] [) ] [. Or, ] [ donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation admet au moins une solution dans ] [. Montrons que cette équation n admet qu une solution en étudiant la stricte monotonie de. 16

17 La fonction est la somme de la fonction (fonction cube), strictement croissante sur, et de la fonction (fonction affine de taux d accroissement positif), strictement croissante sur. Comme est la somme de deux fonctions strictement croissantes sur, est strictement croissante sur. Finalement, est une fonction continue et strictement monotone sur ] [ et, d après ce qui précède, (] [) ] [ ] [ donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation admet une unique solution dans ] [, ce qui revient à dire que l équation admet une unique dans ] [. 2) Proposons un encadrement de d amplitude. Utilisons pour ce faire un tableau de valeurs et la méthode par balayage ,1-1,699 0,2-1,392 0,3-1,073 0,4-0,736 0,5-0,375 0,6 0,016 0,7 0,443 0,8 0,912 0,9 1, De cette première étude, on conclut que ] [ (encadrement d amplitude ). 0,5-0,375 0,51-0, ,52-0, ,53-0, ,54-0, ,55-0, ,56-0, ,57-0, ,58-0, ,59-0, ,60 0,016 De cette deuxième étude, on conclut que ] [ (encadrement d amplitude ). 0,590-0, ,591-0, ,592-0, ,593-0, ,594-0, ,595-0, ,596-0, ,597 0, ,598 0, ,599 0, ,600 0,016 De cette dernière étude, on conclut que ] [ (encadrement d amplitude ). Un encadrement de la solution à l équation, d amplitude est :. 3) Démontrons que. Pour tous réels et, Formule du binôme de Newton (hors programme) Pour tous réels et et pour tout entier naturel non nul, on a : En particulier,. 4) Déduisons-en que si et vérifient le système {, alors est solution de. 17

18 Par conséquent, si et vérifient le système {, alors est solution de. 5) Démontrons que, pour tous réels et non nuls, { {. Pour tous réels et non nuls, { ) {( { { { 6) Résolvons dans l équation :. Soit le discriminant du trinôme.. Comme, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : L équation admet deux solutions réelles : et. 7) Donnons la valeur exacte de. Posons. Alors, d après la question 6), en posant, est solution de. Posons de plus. Alors l équivalence établie à la question 5) prouve que les réels et satisfont le système {. On en déduit, d après la question 4), que est solution de. Finalement,. Remarques : ( )( ) d où. Autrement dit, 18

19 Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen Soit la fonction définie sur par {. Montrer que est continue sur. Correction de l exercice 10 Retour au menu Montrons tout d abord que est continue sur. Pour tout non nul, est le produit de la fonction carré d une part par la composée de la fonction inverse par la fonction sinus d autre part, toutes continues sur. Par conséquent, est continue sur. Montrons enfin que est continue en 0. Rappel : Théorème des gendarmes Théorème d encadrement des limites Soient, et trois fonctions et soit un nombre réel. Si pour «assez voisin» de ( fini ou infini),, si et si, alors. Pour tout réel,. D où, en multipliant par,. Il vient alors que. Autrement dit,, c est-à-dire. Or, donc, d après le théorème des gendarmes en 0, il résulte que. Par conséquent,. Et comme par définition de la fonction,, on a bien, résultat qui traduit la continuité de la fonction en 0. Il résulte que est continue sur. 19

20 Exercice 11 (2 questions) Niveau : difficile 1) Montrer que l équation admet deux solutions réelles. 2) Ecrire un algorithme avec AlgoBox permettant d obtenir un encadrement de chaque solution avec une amplitude de. Correction de l exercice 11 Retour au menu 1) Montrons que l équation admet deux solutions réelles. Soit la fonction définie sur par. est continue et dérivable comme somme de fonctions continues et dérivables sur. Pour tout réel, on a : Or, pour tout réel,, d où (par décroissance de la fonction ). Par conséquent, comme pour tout réel, est du signe de. Autrement dit, si et seulement si et si et seulement si. On en déduit que est strictement décroissante sur ] ] et strictement croissante sur [ [. Montrons que l équation admet une et une seule solution dans ] ]. D une part, par continuité de la fonction en 0,. D autre part, pour tout réel non nul,. Or, et, d où les résultats suivants, en multipliant respectivement par et : et. Comme limites par encadrement que, c est-à-dire. (par composition des limites), il vient d après le théorème des De même, comme, il vient d après le théorème des limites par encadrement que, c est-à-dire. Finalement, par somme des limites,. Comme enfin, par produit des limites, il résulte que. On vient de montrer que, sur ] ], est non seulement continue et strictement décroissante mais aussi que (] ]) [ [ [ [. Par conséquent, comme [ [, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation admet une unique solution telle que ] ]. 20

21 Montrons que l équation admet une et une seule solution dans [ [ en utilisant la même méthode que précédemment. On a montré d une part que et d autre part que, pour tout réel non nul. Comme et et comme et, il vient, en utilisant le théorème des limites par encadrement, que et. Finalement, par somme puis par produit des limites,. On vient de montrer que, sur [ [, est non seulement continue et strictement croissante mais aussi que ([ [) [ [ [ [. Par conséquent, comme [ [, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation admet une unique solution telle que [ [. En définitive, l équation admet deux solutions et deux seules (l une négative et l autre positive), notées et. Autrement dit, l équation admet deux solutions et. 2) Ecrivons un algorithme avec AlgoBox permettant d obtenir une valeur approchée de et à près. Rappel : Variante du théorème de bijection (variante du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies) et si, alors l équation admet une unique solution dans. Explications : Appuyons-nous sur la variante du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci-dessus. Pour commencer, on détermine un intervalle [ ] contenant l une des solutions de l équation avec. On calcule alors le de l intervalle [ ] puis, parmi les intervalles [ ] ou [ ], on détermine celui auquel appartient la solution de l équation. En effet, si et sont de même signe, c'est que la solution se trouve dans l intervalle [ ] et, dans ce cas, on affecte à la valeur de. On réitère la démarche en faisant jouer à la variante le rôle de ou de selon l intervalle retenu, jusqu à obtenir la précision demandée. Remarque : L intervalle initial [ ] peut être choisi après avoir représenté la fonction dans un repère. Ci-contre est représentée la fonction f dans un repère orthonormé ( ) du plan. 21

22 Algorithme écrit avec le logiciel AlgoBox 1 VARIABLES 2 precision EST_DU_TYPE NOMBRE Fonction numérique utilisée : 3 borne_inferieure EST_DU_TYPE NOMBRE F1(x)=pow(x,2)-x*sin(x)-cos(x) 4 borne_superieure EST_DU_TYPE NOMBRE 5 milieu EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 AFFICHER "Indiquer la précision désirée : " 8 LIRE precision 9 AFFICHER precision 10 AFFICHER "Indiquer la borne inférieure : " 11 LIRE borne_inferieure 12 AFFICHER borne_inferieure 13 AFFICHER "Indiquer la borne supérieure : " 14 LIRE borne_superieure 15 AFFICHER borne_superieure 16 TANT_QUE (borne_superieure-borne_inferieure>precision) FAIRE 17 DEBUT_TANT_QUE 18 milieu PREND_LA_VALEUR (borne_inferieure+borne_superieure)/2 19 SI (F1(milieu)*F1(borne_superieure)>0) ALORS 20 DEBUT_SI 21 borne_superieure PREND_LA_VALEUR milieu 22 FIN_SI 23 SINON 24 DEBUT_SINON 25 borne_inferieure PREND_LA_VALEUR milieu 26 FIN_SINON 27 FIN_TANT_QUE 28 AFFICHER borne_inferieure 29 AFFICHER " < solution < " 30 AFFICHER borne_superieure 31 FIN_ALGORITHME Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox Recherche d un encadrement de ***Algorithme lancé*** Indiquer la précision désirée : Indiquer la borne inférieure : -2 Indiquer la borne supérieure : < solution < ***Algorithme terminé*** Recherche d un encadrement de ***Algorithme lancé*** Indiquer la précision désirée : Indiquer la borne inférieure : 1 Indiquer la borne supérieure : < solution < ***Algorithme terminé*** 22

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