Exos corrigés sur limites, continuité...classe : TS. Prof. MOWGLI Ahmed. Année scolaire

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1 Eos corrigés sur ites, continuité...classe : TS Prof. MOWGLI Ahmed Année scolaire Je suis un ancien élève du lycée Victor Hugo de Marrakech Bac C 986. Je donne des cours en maths et physique-chimie tous niveau... Je peu également fournir une aide en SVT mais dont le niveau ne dépasse pas la classe de seconde... Ci-joint quelques eercices sur les ites, continuité etc... N hésitez surtout pas à jeter un coup d oeil à la correction si vous n arrivez pas à résoudre un eo... Les tarifs que je pratique sont très raisonnables pour au moins une bonne raison, c est qu en général les élèves ont besoin de plusieurs séances de cours par semaine cela leur permettra d en prendre au moins deu s ils le désirent... TARIFS :50 DHS par séance d une heure trente... BON COURAGE! : Prof. Ahmed Mowgli

2 si vous trouvez des erreurs, ce n est pas grave, corrigez les, vous êtes grands maintenant! EXERCICE Calculer les ites suivantes : Calcul de 4 : On a 4 0 et 0 nous sommes devant une forme indéterminée de la forme 0 0,on a : et pour tout réel R { } : par conséquent. calcul de : On a : 0 et Nous sommes également devant une forme indéterminée de la forme 0, on va essayer de faire une simplication : 0 est une racine du trinôme +3 4 on peut le factoriser sous la forme , d où pour tout R { 4; } : Calcul de + : on a + 0 et + 0 on a encore une forme indéterminée, pour tout R { } : 4. Calcul de : on a et 0 On a encore une forme indéterminée, on va utiliser l epression conjuguée la fonction f : est définie si et seulement si pour tout [ 3 [ ; ];+ [, on a : EXERCICE [ 3 [ ; ];+ [ Répondre par VRAI ou FAUX en justifiant la réponse :. Si f et + + g + alors : f + g. Si f et si, pour tout réel strictement positif, g > 0, + alors : f g + 3. Si f, alors f f + 4. Si a est une valeur interdite pour f, alors : f + a 5. Si f 0, alors a + a + f Si C f a pour asymptote la droite d équation 4 alors la ite de f en 4, par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures à 4 est infinie. Prof. MOWGLI Page /0 https ://

3 . FAUX contre eemple : prendre f + et g, on a f + g. FAUX contre eemple : prendre f et g f g FAUX contre eemple : prendre f, on a, : + f f + f f et, on a f 4. FAUX contre eemple : est une valeur interdite de la fonction f : et FAUX contre eemple : et on a et + on ne peut calculer cette ite directement on a pour tout ] ; 3 ] [; + [ : d où : or : X X car > 0 {}}{ : 6. VRAI ce n est que la définition d une asymptote EXERCICE 3. considérons la fonction f : et considérons un réel A strictement positif, on a pour tout réel : Les questions sont indépendantes :. Calculer : On considére la fonction définie sur [ ; + [ par : f > A > A > A + > A + > + A + forme canonique de f car f Montrer en revenant à la définition que : sin 3. Calculer + f Calcul de + 3 : + La fonction + 3 f : est définie si et seulement si et 0 or le trinôme + 3 a pour discriminant > 0 il admet deu racines distinctes : le coefficient de est strictement positif le trinôme est négatif entre ses racines et positif à l etérieur d elles le domaine de définition D f de la fonction f est : pour avoir f > A, il suffit d avoir > + A + par conséquent, on a montré que tout intervalle de la forme ]A; + [ contient tout les f pour assez grand, ce qui prouve que : + + Remarque : en utilisant les quantificateurs, on a montré que : A > 0 B + + A D f > B f > A sin 3. Calculons : + pour tout ] 0; + [ : or sin sin car > 0 0 et : sin 0 d après le théorème des gendarmes + D f ] ; 3 ] [; + [ Prof. MOWGLI Page 3/0 https ://

4 EXERCICE 4 Les deu questions sont indépendantes :. Montrer en revenant à la définition que :. Soit f + sin +. 0 a Déterminer le domaine de définition D f de la fonction f. b Montrer que si D f alors + 3 f + c En déduire que f admet une ite en + dont on déterminera la valeur. c Limite de f lorsque tend vers + : on a : EXERCICE On montre de la même façon que : on en déduit grace au théorème des gendarmes que : + f 0. Les deu questions sont indépendantes :. Soit A un réel strictement positif, on a pour tout réel 0 : f < A < A < A > + A < + A < < + A + A. Montrer en revenant à la définition que : +. On considére la fonction : + sin sin f : a Déterminer le domaine de définition de la fonction f. 0 sin b On rappelle que, calculer : 0 on a ainsi montré que tout intervalle de la forme tous les f pour assez proche de zéro ] ; A [ contient. 0 + sin sin ce qui montre que 0. En utilisant les quantificateurs, cela donne : A > 0 B 0 B < < B f < A + A. a Domaine de définition D f de la fonction f : On a : D f 0 et + 0 }{{} toujours vérifié pour 0 0 le domaine de définition de f est D f [ 0; + [. Soit ɛ > 0, pour tout ] ; + [, on a }{{} dites pourquoi? ɛ < f < ɛ ɛ < < ɛ 0 < < ɛ > ɛ > ɛ > + ɛ > + ɛ car > Ainsi, l intervalle ouvert ] ɛ ; ɛ [ contenant 0, contient toutes les valeurs f pour assez grand ce qui prouve que : b Pour tout 0, on a : sin sin + sin sin pour tout 0, + 3 f + car 0 + > Avec les quantificateurs : ɛ > 0 B + ɛ > > B ɛ < f < ɛ Prof. MOWGLI Page 4/0 https ://

5 . a Domaine de définition de la fonction f : f eiste + sin 0 et sin 0 et 0 Or, on a pour tout réel, sin + sin 0, de même pour tout réel, sin sin 0 d où le domaine de définition D f de f est : D f R b Calcul de 0 + sin sin On est devant une forme indéterminée de la forme 0 on ne 0 peut calculer directement cette ite, on a pour tout 0 : + sin sin + sin sin + sin + sin + sin + sin On a : + sin 0 X X : + sin sin + sin + sin sin + sin + sin }{{} par composition + sin 0. On a : 3 + X + X + Donc la courbe C 3. On a : f admet une asymptote d équation y en X 0 X f + Donc la courbe C admet une asymptote d équation 3. EXERCICE. Écrire la définition de : f.. Utiliser ] [ cette définition pour démontrer que la fonction f, définie sur ; 0 par f, a pour ite en. on a de même Sachant que EXERCICE 6 sin 0 sin il vient : 0 sin f sin + sin On considére la fonction suivante : f + 3. Déterminer le domaine de définition de la fonction f.. Démontrer que la courbe représentative de f admet une asymptote en. 3. Indiquer une équation de l autre asymptote.. Avec les quantificateurs : A > 0 B > 0 D f < B f < A. Soit A un réel strictement positif donné, on a : f < A < A et < 0 < A et < 0 > A et < 0 > A + et < 0 A + < Remarque : Essayer de comprendre chaque équivalnce, surtout la dérniere. On a montré que : A > 0 B ce qui prouve que A + f. D f < B f < A. Domaine de définition de f : f eiste 3 > 0 < 3 le domaine de définition de f est : D f ] ; 3 [ EXERCICE 8 a, b, et c sont trois réels, f est la fonction définie sur ] 0; + [ par : f a + b + c Prof. MOWGLI Page 5/0 https ://

6 . On sait que f : calculer a. +. Sachant que f 0 et f 3 0, calculer b et c. 3. Calculer la ite de f en Préciser les asymptotes à la courbe C f.. On a pour tout > 0 et a 0 : a + b + c a + a b + c a a + b a + c a or, + b + a + c a + f + a + b a + c a a on sait d autre part que par hypothèse : + f : on en déduit que a. on a g 0 et g 3 0 d où la résolution du système d équation d inconnues b et c : g 0 + b + c 0 g b + c 0 9 c b b + c 0 c b 9 + 3b + c 0 c b 9 + 3b b 0 b 4 c 3 la fonction f sécrit : ] 0; + [ f Limite de f en 0 : calcul de + 6 : on a 0 et forme indéterminée de la forme 0 0, simplifions : est racine du trinôme , d où pour { 3; }, on a :. calcul de 3 on a : et on a également une forme indéterminée de la forme 0, utilisons l epression conjuguée : 0 on a pour tout et 3 : }{{} pourquoi? On a : Asymptotes à la courbe C f : d après les questions précedente, C f admet deu asymptotes d équations 0 et y EXERCICE 9 Calculer les ites suivantes : 0 f calcul de : on a encore une forme indéterminée, on va multiplier par les epressions conjuguées des deu epressions au numérateur et au dénominateur, d où : Prof. MOWGLI Page 6/0 https ://

7 or le trinôme a pour racines évidentes et sinon on serait passé par le discriminant etc... on peut le mettre sous la forme +, par conséquent : calcul de + : Dressons le tableau de signes du trinôme : On a : + on a de même : EXERCICE et On considére la fonction f m définie sur R par : f m + m où m est un réel. Calculer suivant les valeurs du réel m les ites suivantes :. calcul de + f m : + f m et f m Pour tout ] 0; + [, on a : + m m m m m m car > 0 sachant que + f m + et si m alors : + m m si m < si m > + f en résumé : + f m. calcul de f m : Pour tout ] ; 0 [, on a : sachant que + m f m et il vient : si m < si m > 0 si m m m m m + + m + m + + si m > si m < + m car < 0 il vient : Prof. MOWGLI Page /0 https ://

8 si m alors : f 0 en résumé : f m si m > si m < 0 si m b Soit A > 0 un réel donné, on a pour tout > 3 : f < A + 3 < A + 3 < A + 3 > + A + 3 < + A + 3 < + A < A on a montré que : A > 0 B + A > 3 3 < < 3 + B f < A EXERCICE ce qui signifie que f 3 + On considére la fonction f définie sur ] 3; + [ par :. calculer 3 + f. f + 3. a Déterminer les deu réels a et b tel que pour tout > 0 : f a + b + 3 b Calculer f en utilisant la définition a Calculer + f. b montrer le résultat précèdent en utilisant la définition.. calcule de 3 + f : on a f 3 +. a on a pour tout réel > 3 : f 3 + f Remarque : Tout intervalle de la forme ] ; A [ contient toutes les images f pour voisin de a calcul de + f : il vient rapidement en utilisant les théorèmes du cours : + f + f b Soit ɛ > 0 donné, on a successivement pour tout réel > 3 : ɛ < f < + ɛ ɛ < + 3 < + ɛ on a ainsi montré que : ɛ > 0 B 3 + ɛ ce qui signifie que ɛ < + 3 < ɛ ɛ > + 3 > ɛ ɛ > + 3 > > ɛ + 3 > ɛ > 3 + ɛ > 3 > B ɛ < f < + ɛ + f Remarque : Tout intervalle de la forme ] ɛ; +ɛ [ contient toutes les images f pour grand. a et b. Prof. MOWGLI Page 8/0 https ://

9 EXERCICE Les deu questions sont indépendantes : EXERCICE 3 Les deu questions sont indépendantes :. On considére la fonction f définie sur [0;+ [ : f ; + f 6 Montrer que la fonction f est continue au point 0.. Soit f la fonction : a + 3 sur [0; ] f + 3 sur ]; + [ déterminer la valeur du réel a pour que la fonction f soit continue en.. Calculer la ite suivante : + 3. Calculer la ite suivante : 0 +. soit [0;+ [ et : f f f par conséquent la fonction f est continue en. Calcul de + 3 : la fonction f : est définie si et seulement si + 3 { { { [ 3 ; ] ] ; + [ Pour tout [ 3 ; ] ] ; + [, on a : par conséquent : il est clair que et f a + 3 a + 3 f a + 3 de plus, pour tout réel ]; + [, on a : on a : f la fonction f sera continue en si et seulement si a a calcul de 0 + : on a + 0 et on ne peut calculer cette ite directement car on est devant une forme indéterminée de la forme On a pour tout 0 } et {{ et } dites pourquoi? soit pour tout [ ; 0 [ ] 0; [ ] ; + [ : Prof. MOWGLI Page 9/0 https ://

10 D autres eos corrigés suivront patience... Prof. MOWGLI Page 0/0 https ://