Table des matières. 1- Limites en l'infini- Asymptotes LIMITES- CONTINUITÉ

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1 Table des matières - Limites en l'infini- Asmptotes Limite finie en l'infini Définition Interprétation graphique: Eemple: Limite infinie en l'infini Définition Eemple: Asmptote (oblique) Limites d'une fonction en a où a R Limite infinie en a Définition Interprétation graphique: Eemple: Limite finie en a Définition Interprétation graphique: Eemple:... 5 Droites asmptotes (Résumé)... 5 La variable tend vers l'infini... 5 La variable tend vers un réel a Théorèmes de comparaisons. théorème des gendarmes Théorème (des gendarmes) Les autres théorèmes de comparaison: Limites et opérations sur les fonctions Somme, produit et quotient de fonctions Limite d'une fonction composée Continuité Recherche d'une définition: Définition : continuité en a Définition 2: continuité sur un intervalle Un eemple: la fonction partie entière notée E Théorème des valeurs intermédiaires- Bijection Théorème des valeurs intermédiaires (admis) théorème de la bijection qu'est-ce qu'une bijection? Énoncé du théorème de la bijection Application: les racines n-ièmes d'un réel positif... 2 Préinaire: en pratique, pour les fonctions à étudier en eercice au début de l'année, on utilisera les théorèmes de première sur ites et opérations de fonctions. - Limites en l'infini- Asmptotes -- Limite finie en l'infini --- Définition f est une fonction numérique définie sur [ ;+ [. /2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

2 Dire que la fonction f a pour ite l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f () dès que est suffisamment grand. ou encore: Soit I un intervalle ouvert contenant l. Il eiste 0 dans [ ;+ [ tel que 0 implique f () I On écrit: f = l --2- Interprétation graphique: Dans un repère, la droite d'équation =l est asmptote (horizontale) à la courbe représentative C f de f. On peut écrire f =l avec = 0 illustration avec GeoGebra --3- Eemple: f =3. Étude sur ]0;+ [ Soit un intervalle ouvert I contenant 3. On peut trouver n N tel que ]3 0 n ;3 0 n [ I Or, 3 ]3 0 n ;3 0 n [ (c'est-à-dire: >0 et 3 0 n n ) dès que 0 n La propriété - est bien vérifiée. Pour n'importe quel intervalle ouvert contenant 3, toutes les images par f des réels supérieurs à 0 n cet intervalle. Animation sont dans -2- Limite infinie en l'infini -2-- Définition f est une fonction numérique définie sur [ ;+ [. Dire que la fonction f a pour ite + en + signifie que tout intervalle ouvert ]A;+ [ contient toutes les valeurs f () dès que est suffisamment grand. ou encore: Soit A un réel. Il eiste 0 dans [ ;+ [ tel que 0 implique f () ]A;+ [ On écrit: f = + illustration avec GeoGebra Remarque: La ite en + d'une fonction f est lorsque la fonction g définie sur l'intervalle [ ;+ [ par g = f a pour ite + en +. Les courbes C f et C g sont smétriques par rapport à l'ae des abscisses Eemple: f = 2 sur [0;+ [ Soit un réel A strictement positif. Si A alors 2 A La propriété -2 est vérifiée. 2/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

3 Tout intervalle de la forme ]A;+ [ (A > 0) contient les images par f des réels supérieurs à A On a donc: 2 = + et aussi, 2 = Animation Asmptote (oblique) Dans un repère, la droite d'équation =a b est asmptote (oblique) à la courbe représentative C f de f en + si et seulement si f a b = 0 ou encore On peut écrire f =a b avec = 0 Dans O ; i, j, si M ;a b et N ; f alors MN = () j Eemple: Soit la fonction f définie sur ];+ [ par 2 3 On peut vérifier: f = f = + Comme = 0, on obtient: la ite en + de f est celle de la fonction affine 4 Dans un repère, la droite d'équation = 4 est asmptote à C f Remarque: les définitions sont données lorsque tend vers +. Si f est une fonction définie sur ] ; ], on définit les ites en, en étudiant la fonction g définie sur [ ; + [ par g = f en +. Les courbes C f et C g sont smétriques par rapport à l'ae des ordonnées. Eemple: Soit f = définie sur ] ; [. La fonction g définie par g = f = est définie lorsque ] ; [, soit, ];+ [ On peut vérifier: g = 4 = 0, on en déduit: 4 et comme g = et la droite d'équation = est asmptote à C g en +. Par smétrie par rapport à l'ae des ordonnées, il vient: = est asmptote à C f en. f = et la droite d'équation -4 = C f C g =-+ 3/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

4 2- Limites d'une fonction en a où a R LIMITES- CONTINUITÉ Dans ce paragraphe, f est une fonction définie au voisinage de a C'est-à-dire que f est définie sur des intervalles tels que a est un élément de cet intervalle ou une borne ouverte de cet intervalle. 2-- Limite infinie en a 2--- Définition f est une fonction numérique définie sur un voisinage D de a. Dire que la fonction f a pour ite + en a signifie que f () peut être rendu aussi grand que l'on veut dès que est suffisamment proche de a ou encore: Soit A un réel. Il eiste un réel > 0 tel que D et a implique f () > A. On écrit: a f = Interprétation graphique: Dans un repère, la droite d'équation =a est asmptote (verticale) à la courbe représentative C f de f. illustration avec GeoGebra Eemple: f est définie sur ];+ [ par f = Soit A un réel strictement positif. En prenant A 0 A, on a: A La propriété -2 est bien vérifiée. Animation (Internet) 2-2- Limite finie en a Définition f est une fonction numérique définie sur un voisinage D de a. Dire que la fonction f a pour ite l en a signifie que f () peut être rendu aussi proche de l dès que est suffisamment proche de a On écrit: f = l a L illustration avec GeoGebra Interprétation graphique: Les points de la courbe C f sont de plus en plus près du point L a;l. Ce point n'est pas un point de C f lorsque f n'est pas définie en a. - - Courbe représentative de sin 4/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

5 2-2-3-Eemple: LIMITES- CONTINUITÉ sin Soit f la fonction définie sur ] ;0[ ]0;+ [ définie par f = ; sin on peut démontrer que = (résultat à connaître) 0 Comme f n'est pas définie en 0, il n'eiste pas de point d'abscisse 0 sur C f. IMPORTANT: Si f admet une ite en a alors cette ite est unique Si f admet une ite en a et si f est définie en a alors cette ite est f a Droites asmptotes (Résumé) La variable tend vers l'infini C f est la courbe représentative d'une fonction définie sur [A; + [ (ou sur ], A]) est la droite d'équation = a + b est une droite asmptote à C f si et seulement si f a b = 0 (ou f a b = 0) Le cas où est parallèle à l'ae des abscisses correspond à a = 0 La variable tend vers un réel a C f est la courbe représentative d'une fonction définie sur un intervalle ouvert en a ou une réunion d'intervalles ouverts en a. est la droite d'équation = a est une droite asmptote à C f si et seulement si f =. a 3- Théorèmes de comparaisons. théorème des gendarmes Dans ce paragraphe: représente un réel ou l'infini. 3-- Théorème (des gendarmes) Si, sur un voisinage de, f () g () h () et si f = h = l alors g = l Démonstration avec = + "Traduction" des différentes conditions: Soit I un intervalle contenant l. condition : "sur un voisinage de +, f () g () h () " signifie qu'il eiste un réel tel que [ ; [ implique f () g () h () condition 2: condition 3: f = l signifie qu'il eiste un réel 2 tel que 2 implique f () I h = l signifie qu'il eiste un réel 3 tel que 3 implique h () I Choisissons un réel 4 supérieur ou égal au trois réels, 2 et 3 ( 4 = sup { ; 2 ; 3 } ) On a alors: si 4 alors 2 et f () I si 4 alors 3 et h () I (i) (ii) 5/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

6 Or, on a aussi, si 4 alors et f () g () h () Finalement: si 4 alors, d'après (i), (ii) et (iii), g () I Ce qui prouve: (iii) g = l (voir définition du paragraphhe -) 3-2- Les autres théorèmes de comparaison: Si, sur un voisinage de, f () g () et si Si, sur un voisinage de, g () h () et si f = + alors h = alors g = + g = Utilisation courante avec les fonctions trigonométriques associées au fonctions polnômes. 4- Limites et opérations sur les fonctions 4-- Somme, produit et quotient de fonctions Voir tableau du livre et/ou cours de première Bien comprendre la structure des énoncés: Si (P) alors (Q) si f =... et si g =... alors Lorsque les conditions (P) sont vérifiées alors on peut appliquer la proposition (Q) Lorsque les tableau indiquent? ou "forme indéterminée" (abrégé en FI) cela signifie que l'on ne peut pas conclure et qu'il faut trouver une autre méthode (théorèmes de comparaisons et/ou transformation des écritures...) 4-2- Limite d'une fonction composée f est la fonction composée v u. f est définie lorsque u est définie et que les images par u sont dans l'ensemble de définition de v. Description de la méthode: On a le schéma suivant: u v On veut déterminer la ite en de f. On cherche u puis a On conclut: v f = b R u() v(u()) = f () est un réel fini ou l'infini Soit u = a (a est un réel fini ou infini) Théorème: (ite d'une fonction composée) Soit f = v u (la composition est possible) v = b (b est un réel fini ou infini) a Si u = a et si a v = b alors f = b 6/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

7 Eemple: Soit f définie par f () = LIMITES- CONTINUITÉ Notons u la fonction définie par u() = u = R. et v la fonction définie par v() = v = [0;+ [. f est donc définie sur l'ensemble E f = {/ R et } Or, = ( + )( 3), d'où, E f = ] ; ] [3;+ [ Recherche des ites au bornes: = + et = + et = 0 et = 0 et 0 5 -Continuité 5-- Recherche d'une définition: = +, donc, = +. = +, donc, = +. = 0, donc, = 0 = 0, donc, = 0 Il s'agit de traduire le fait que la courbe représentative d'une fonction peut se construire sans lever le craon (en continu) sur un intervalle. Soit a E f (C'est-à-dire que f(a) eiste) Fonction définie en a, non continue en a. Il n' a pas de ite en a. Les ites à droite et à gauche de a sont distinctes Fonction définie en a, non continue en a. Il n' a pas de ite en a. Les ites à droite et à gauche de a sont distinctes Pour que la fonction soit continue en a, il est nécessaire que la fonction admette une ite en a et que cette ite soit f(a). a a a f = a a a f = f(a) 5-2- Définition : continuité en a Dire que f est continue au point a signifie que f est définie sur un intervalle ouvert contenant a et que a f = f (a) Remarque: Lorsque a est la borne d'un intervalle fermé, on étudie la ite à gauche ou la ite à droite en a selon les cas. 7/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

8 5-3- Définition 2: continuité sur un intervalle LIMITES- CONTINUITÉ Dire que f est continue sur un intervalle I signifie que f est continue en tout point a de I Un eemple: la fonction partie entière notée E Soit un réel. Il eiste un entier n tel que n < n + (Le réel est encadré par deu entiers consécutifs et sa partie entière est le plus petit de ces deu entiers). E(2,78) = 2; E( ) = 3, E( 7,2) = 8, E(5 ) = 5, E(0 ) = 3, E(8,75 + 2, 34) = 2 Ce dernier calcul montre que E n'est pas une fonction linéaire. Représentation graphique de E sur [ 4; 4] (Sur la TI: menu MATH, NUM, int, sur la Casio, option, num, int (OPTN->NUM (OPTN - F6 - F4) ) Si 4 < 3 alors E() = 4 Si 3 < 2 alors E() = 3 Si 2 < alors E() = 2 Si < 0 alors E() = Si 0 < alors E() = 0 Si < 2 alors E() = Si 2 < 3 alors E() = 2 Si 3 < 4 alors E() = 3 Si = 4 alors E() = Convention: Dans un tableau de variations, on ne coupe pas les flèches sur les intervalles où la fonction f est continue et monotone. 3 + f() m Ce tableau représente par convention une fonction continue sur ] ; 0[, sur ]0; 3[ et sur ]3; + [ Les fonctions de référence (fonctions polnômes, fonctions rationnelles, fonction racine carrée, fonction cosinus, fonction sinus) sont continues sur chacun des intervalles de leur ensemble de définition. 6- Théorème des valeurs intermédiaires- Bijection 6-- Théorème des valeurs intermédiaires (admis) 8/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

9 f(b) f(a) k k est un réel compris entre f(a) et f(b). Lorsque la fonction est continue sur un intervalle, la droite d'équation = k coupe au moins une fois C f entre a et b. a c b Énoncé: Si la fonction f est définie et continue sur un intervalle I. alors, pour tous a et b de I et pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il eiste au moins réel c de I, tel que f(c) = k. Conséquence: L'image d'un intervalle [a; b] par une fonction continue est un intervalle. Cet intervalle image a pour bornes m et M où m et M sont le minimum et le maimum de f sur [a; b] En effet: il eiste de [a; b] tel que f( ) = m (le minimum de la fonction est atteint en ) et il eiste de [a; b] tel que f( ) = M (le maimum de la fonction est atteint en ) Tout réel k de [m; M] a au moins un antécédent dans [a; b]. L'intervalle [m; M] est entièrement décrit par les images de f. Lorsque la fonction f est définie et non continue, il peut eister des réels de l'intervalle [m; M] qui ne sont pas images par f. 9/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

10 M f(b) f(a) k 5 M a c m b m -3 Fonction continue: L'intervalle [a; b] (en bleu) a pour image par f l'intervalle [m; M] (en vert) -4 Fonction non continue: L'intervalle [a; b] en bleu n'a pas pour image un intervalle, mais une réunion d'intervalles disjoints (en vert). 6-2 théorème de la bijection 6-2- qu'est-ce qu'une bijection? 0/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

11 Soient deu ensembles E et F. On peut mettre en relation les éléments de E vers les éléments F (par eemple être inférieur dans des ensembles numériques, avoir un diviseur commun autre que dans des sous-ensembles d'entiers naturels). Un élément de E peut être mis en relation avec plusieurs éléments de F. Certains éléments ne sont pas en relation. Lorsque cette relation est une fonction (avec la définition donnée en classe de seconde), les éléments de E ont tous un et un seul correspondant (appelé image) dans F. Un élément de F n'est pas nécessairement atteint et un élément de F peut être en correspondance avec plusieurs éléments (antécédents) de E. On dit que cette fonction est une bijection lorsque tout élément de F a un et un seul antécédent dans E. En ce cas, la fonction f définie de E dans F admet une fonction réciproque notée f de F dans E et on a les équivalences suivantes. On a l'équivalence suivante: E, F, = f () = f "... a un diviseur commun autre que avec... " (ce n'est pas une fonction) "..a pour carré..." C'est une fonction non bijective Une bijection: En noir le sens direct. En rouge, la réciproque Quelques eemples: *** la fonction f : 2 définie de R dans R n'est pas une bijection *** la fonction g : 2 définie de [0; + [ dans [0;+ [ est une bijection et la bijection réciproque est la fonction g = définie de de [0; + [ dans [0;+ [ *** la fonction h : 2 définie de ] ;0] dans [0;+ [ est une bijection et la bijection réciproque est la fonction h = définie de de [0; + [ dans ] ;0] *** La fonction inv: définie de R* dans R * est une bijection et la bijection réciproque inv = inv définie de R * dans R * *** La fonction k : 2 + définie de R dans R et la bijection réciproque est la fonction k définie par k : 2. En effet: 2 + = = Énoncé du théorème de la bijection (à un réel, on associe ce réel, le tout divisé par 2) Si la fonction f est définie, continue et strictement monotone sur [a; b] alors pour k compris entre f(a) et f(b), il eiste un et un seul réel c de [a; b] tel que f(c) = k. ou encore L'équation f () = k a une et une seule solution c dans [a; b] ou encore f réalise une bijection de [a; b] sur [f(a); f(b)] ou sur [f(b); f(a)] selon que f est strictement croissante ou strictement décroissante. /2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09

12 Illustration dans le cas où f est strictement décroissante: k Pour tout k de l'intervalle image (en vert), il eiste un et un seul réel c antécédent. Ce réel est l'abscisse du point d'ordonnée k de C f. Le réel c est l'unique solution dans [a; b] de l'équation f() = k c Démonstration: (le théorème des valeurs intermédiaires étant admis, il reste à prouver que dans le cas où la fonction est strictement monotone, le réel c est unique) On peut supposer que f est strictement croissante sur [a; b]. On pose g () = f () k avec f(a) < k.< f(b) Puisque f est strictement croissante sur [a; b] alors g est strictement croissante sur [a; b]. On a donc: g(a) < 0 et g(b) > 0, d'où, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste un réel c tel que g(c) = 0. Soit un autre réel c' c tel que g(c') = 0 On peut toujours supposer qu'on nomme c le plus petit réel entre c et c'. On obtient alors: c < c' et g(c) = g(c') = 0. Ce qui contredit que g est strictement croissante sur [a; b]. On ne peut donc pas trouver un autre réel c' c tel que g(c') = 0. Le théorème se généralise à tous les intervalles en considérant les ites au bornes dans le cas des intervalles ouverts. Voir utilisation en eercices Application: les racines n-ièmes d'un réel positif Soit les fonctions f n de [0;+ [ dans [0;+ [ définies par: f n : n avec n N * (n ) Les fonctions f n sont continues (polnômes), strictement croissante sur [0;+ [ (la dérivée est n n ) I = [0;+ [ et f n I = [0;+ [, car, f n 0 = 0 et f n = +. Les fonctions f n réalisent donc des bijections de de [0;+ [ dans [0;+ [ et les bijections réciproques f n sont les fonctions de [0;+ [ dans [0;+ [, notées n, définies par: 0; 0, = n = n 2/2 D:\docs_lcee_09_0\TS\cours\Limites_continuite.odt 9/09/09