2. Suites. Expliciter les savoirs et les procédures. 1. Suites numériques. 2. Représentation graphique d une suite arithmétique

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1 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Sites Expliciter les savoirs et les procédres Sites mériqes a Les ciq premiers termes de la site sot : 0,, 8, 5, b Les ciq premiers termes de la site sot : 0,,,, 5 7 c Les ciq premiers termes de la site sot : 5,,,, 7 d Les ciq premiers termes de la site sot : 0,5 ; ; 7 ; 7 ; 7 Représetatio graphiqe d e site arithmétiqe Ue site arithmétiqe est représetée graphiqemet par des poits aligés Représetatio graphiqe d e site géométriqe Ue site géométriqe est représetée graphiqemet par e site de poits Chapitre Sites

2 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Site arithmétiqe o géométriqe? A a Les ombres e pevet pas être les termes coséctifs d e site arithmétiqe car la différece etre dex ombres coséctifs est pas costate Ils pevet être les termes coséctifs d e site géométriqe car le rapport de dex termes coséctifs est tojors égal à Il s agit d e site géométriqe de raiso q = b Les ombres pevet être les termes coséctifs d e site arithmétiqe car la différece de dex ombres coséctifs est tojors égale à,5 Ils e pevet pas être les termes coséctifs d e site géométriqe car le rapport de dex termes coséctifs est pas costat Il s agit d e site arithmétiqe de raiso r =, 5 c Les ombres pevet être les termes coséctifs d e site arithmétiqe car le terme cetral est la moyee arithmétiqe des termes qi l ecadret Il s agit d e site arithmétiqe de raiso B (sites de l exercice ) b a r = a La site est i arithmétiqe (la différece etre dex termes coséctifs est pas costate), i géométriqe (le qotiet de dex termes coséctifs est pas costat) b La site est i arithmétiqe (la différece etre dex termes coséctifs est pas costate), i géométriqe (le qotiet de dex termes coséctifs est pas costat) c La site est arithmétiqe car la différece etre dex termes coséctifs est costate ; la raiso de cette site est d La site est i arithmétiqe (la différece etre dex termes coséctifs est pas costate), i géométriqe (le qotiet de dex termes coséctifs est pas costat) 5 La «boe» formle a Das e site arithmétiqe, o tilise la formle + 5 = b Das e site géométriqe, o tilise la formle = 5 6 Ue ovelle formle Soit S la somme des premiers termes d e site arithmétiqe de raiso r S = + ( + r) + ( + r) + ( + r) ( ) r Chapitre Sites

3 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 S = + r ( ) ( ) S = + r = ( + ( ) r ) O pet assi établir cette formle e partat de la formle établie das le mael (p7) S ( + ) = ( + + ( ) ) r S = = + r ( ) 7 Recoaître e site doée a O voit qe la différece etre dex termes coséctifs est pas costate ; les rapports sot à pe près égax à, (e arrodissat a cetième) E fait, la sitatio pet être modélisée par e site géométriqe de raiso q= b C est e site arithmétiqe de raiso r = 7 5 c Il e s agit pas d e site arithmétiqe pisqe les poits e sot pas aligés E comparat les rapports etre les mesres des ordoées sccessives, o pet spposer q il s agit d e site géométriqe de raiso q 0, 7 9 L itesité d faiscea est doc rédite de % chaqe fois q o agmete l épaisser de l isolat d cm 8 Démostratio a O pet démotrer la formle O a La formle est doc vraie por = = q par récrrece = q Spposos la formle vraie por, c est-à-dire d e site géométriqe, o a alors = q = q q = q q = (avec > ) Par défiitio Formle = + (site géométriqe de termes strictemet positifs) Por >, o a + = q q Chapitre Sites

4 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Doc = + Pisqe c est e site géométriqe de termes strictemet positifs, o a Formle m = q m = + E effet m = m q m + m q q q = = Appliqer e procédre 9 O coaît terme et la raiso d e site arithmétiqe A O doe le premier terme et la raiso 5 00 a = 7 + ( ) b 0,75 0 Chapitre Sites = + ( ),75 c, =, 8 0, 7( ) 65,5 B O doe terme et la raiso = 8 = 7 a 6 = = 0, 5 b 6 = 7 = c 6 0 O coaît dex termes d e site arithmétiqe A E appliqat la relatio 8 = + 7r ax doées, o obtiet 5 r = = 7 Les hit premiers termes de la site sot doc : 5, 6, 57, 68, 79, 90, 0, B O doe dex termes = = 57 a 5 = 9, 5 = 8, 5 b 5 = 0, 0 = 0, c 5 = 8 = d 5

5 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Qatre termes coséctifs d e site arithmétiqe Doées : S = 5, = et = S ( + ) ( = doc + ) 5 = = 0 O trove =, 5 et = = =, 5 + r doc r =, 5 Les qatre ombres sot:,5 ; 7 ; 0,5 et Somme de termes d e site arithmétiqe a O a = + = 9, doc b O a 0 = + 9 r = r O e dédit S ( + ) 9 = = 50 = r ; o obtiet r = 0, = 899 et 00 = 900 O calcle alors S 00 ( + ) = = 0050 Faire des écoomies Les doées permettet de détermier le premier terme de la site et sa raiso : =, 5 et r =, a C est qi désige l écoomie de décembre 0 =,5 +, =, 7 =, 9 = 6, = 7, b 5 c =, 5 + ( ), =,5, +, =, +, d O pet calcler par la formle géérale o par l expressio établie e c O obtiet =, 5 +, = 0, o =, +, = 0, e S = (, 5 + 0, ) = 6, 0 E décembre 0, la somme totale écoomisée s élève à 6,0 Chapitre Sites 5

6 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 O coaît terme et la raiso d e site géométriqe A 0 a b , c ,06 5, (0,5),8 0 B Por résodre ces exercices, il est vivemet coseillé de faire schéma à partir des doées 5 a 5 = 5 e t q = 5 = q, doc = = = 5 q = 5 = 68 b 9 = et q = 9 8 =, doc = = q = q = = 97 c = 0, 00 et q = 0, 0, 00 = q, doc = = 0, = q = 0, 00 0, = 6, 0 d = 7 et q = = = 7 = O coaît dex termes d e site géométriqe A 0 = 96q doc q = 0 et q = 96 Les ciq premiers termes de la site sot : 96,96,96, 96, 0 O pet assi écrire : 96,96,9 6,8 5,0 Chapitre Sites 6

7 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 B = 768et = 6000 a 7 = 9 et = 9 b q = =, doc q = = = = q q = =, doc q = 9 8 = 70758,65 et = c 6 = 9 = 78 q 70758,65 = =,07, doc q =, = = ,07 C Les termes doés sot le premier et le septième O a doc 6 q = 565 et doc 5 q = La site est, 0, 5 0, 50,50, 6 50, = q O e dédit 6 Qatre ombres coséctifs d e site géométriqe = = q ; o e dédit Le prodit des qatre termes est O e dédit = Les qatre ombres sot 7 La raiso q = ; ; 6;8 = 56 6 = 56 O sait qe = ; or, O sait qe = ; or, 6 ( + ) = 6 et + = () = 7 q ; doc 7 q q = 0 ; o a doc 0 q q q 8 ( + ) = 8 et + = () 7 0 Chapitre Sites 7

8 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, Les égalités () et () doet = o 6 0 = 8 7 E remplaçat 0 par q das cette derière égalité, o obtiet E remplaçat q par das l égalité (), o trove 7 = trove = 5 O pet procéder de la même maière a départ de l égalité () La raiso de cette site géométriqe est et le premier terme est 8 Icoes 6 7 q = ; a moye de la formle géérale, o 5 a Das e site arithmétiqe, terme est la moyee arithmétiqe des termes qi l ecadret Doc m = = 55 b Das e site géométriqe, terme est la moyee géométriqe des termes qi l ecadret c d Doc m= et m 7 5 ( q 0 ) o m 7 5 ( q 0 ) = > = < t + + t + t = ; e résolvat cette éqatio, o obtiet site sot, 9, 7 x + x x = L éqatio deviet x x = 0, dot les racies sot Si x =, les trois termes de la site sot 6,, site sot, 0, 9 9 t = Les trois termes de la et ; si x =, les trois termes de la e O costate qe le e terme est le doble d e ; la raiso de la site est doc q = La relatio etre les dex premiers termes est 5p ( p ) p = 0 Les trois termes sot alors, 6, 9 = + La soltio de cette éqatio est f Spposos q il existe des triagles rectagles dot les côtés formet e site géométriqe ; o désige par a la loger d pls petit côté de l agle droit, par a q la loger de l atre côté de l agle droit et par Par la relatio de Pythagore, o a a q la loger de l hypotése a q = a + a q a q = a ( + q ) E divisat par a ( a 0 sio pas de triagle), o obtiet q q = 0 Chapitre Sites 8

9 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 O résot l éqatio e posat q = y ; o obtiet 5 5 y = +,68 et y = 0,68 Les valers obtees por y sot e réalité ϕ (le ombre d or) et ϕ Cette derière valer est à rejeter et sele la racie positive de ϕ ( ϕ,7 ) est à reteir das le cadre d problème Il existe doc e ifiité de rectagles dot les (logers des) côtés formet e site géométriqe : les logers de lers côtés formet e site a, a ϕ, aϕ O pet assi résodre le problème e appliqat le théorème de la moyee Das ce cas, les côtés sot a q, aet a q O a aisi a a q = a + et q comme pls hat 9 Somme des termes d e site géométriqe a b S S 8 = = , 0 =, 0, ,6 c Il s agit d e somme de termes, avec = et q = O a doc S = = 07 0 Calcler e somme a q = a ( + q ) Esite résodre a Il s agit d e site arithmétiqe de termes, de premier terme et de raiso r = i= ( ) ( i) = = b Il s agit d e site arithmétiqe de termes, dot le premier terme est et la raiso r = + ( ) (i ) = = i= c Il s agit d e site géométriqe de termes, de premier terme est 0 et de raiso q = i (5 ) = 0 = 0 ( ) i= d La somme pet être décomposée e dex sommes partielles, la première état la somme de termes d e site géométriqe de premier terme et de raiso q =, la secode état e site arithmétiqe de termes dot le premier terme est et de raiso r = Chapitre Sites 9

10 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 i i ( + i ) = ( ) + ( i ) i= i= i= + = + = + + = + Demi-cercles coséctifs L aire d premier demi-disqe (o coloré sr la figre) égale Soit r la raiso de la site arithmétiqe des rayos π R ( R r) Le rayo d e π + demi-disqe est ( R + r) et so aire est ( R r ) Le rayo d e π + demi-disqe est ( R + r ) et so aire est ( R r ) Le rayo d e π + demi-disqe est ( R + r ) et so aire est Le rayo d e demi-disqe est ( R ( ) r) a O désige par D l aire d i e demi-disqe i π R + r πr A = D D = π r = ( R + r ) ( R r ) ( R r ) + et so aire est π + π + A = D D = π r = ( R + r ) ( R r ) ( R r ) π + π + A = D D = π r = ( R + 5r ) ( R r ) ( R ( ) r ) π + π + A = D D = π r = ( R + ( ) r ) ( R ( ) r) π + (por > ) (por ) Chapitre Sites 0

11 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 O vérifie si la site est arithmétiqe π r A A = ( R + r R r ) = π r π r A A = ( R + 5r R r ) = π r π r A A = ( R + ( ) r R ( ) r ) = π r (por > ) Les aires A, A, A, formet e site arithmétiqe de raiso πr A A serait sffisate por motrer qe la site est arithmé- Remarqe : la lige doat tiqe b Le périmètre P de la srface A est costité de trois parties : la demi-circoférece d premier disqe, la demi-circoférece d e disqe et le segmet de droite Ce segmet est de loger r : e effet, si l agmetatio d rayo est r, celle d diamètre est r P R R r r = π + π + + = π R + π r + r P = π R + r + π R + r + r = π R + r + π r P = π R + r + π R + r + r = π R + r + 5π r P = π R + ( ) r + π R + r + r = π R + r + ( ) π r La site des périmètres est pas géométriqe : e effet, o costate q elle est arithmétiqe de raiso π r Calclatrice prdece! a Les dix premiers termes de cette site sot tos égax à 7 b Lorsq o répète le calcl sr e calclatrice o formelle, o costate, après qelqes itératios qe la site est pls costate et même q elle ted vers + Cela s expliqe par le fait qe la calclatrice travaille avec ombre limité de décimales et à la loge, les errers d arrodis s accmlet Chapitre Sites

12 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Résodre problème À tote allre! a La distace, e mètres, parcore pedat la ième secode est le ième terme de la site arithmétiqe a =, +,5 La distace parcore pedat la e secode est, 0 m + 0, 5 0 m = 6, 0 m v( t) = a t + v Si o églige v 0 La distace totale parcore est (, 0 m + 6, m ) = 95, 7 m b Voici trois faços d estimer sa vitesse à l arrivée ) Pedat la derière secode, il parcort 6,0 m, ce qi correspod à e vitesse de 58,km/h pedat cette derière secode C est e approximatio de la vitesse istataée lorsqe le cycliste arrive e bas de la collie ) E spposat q il s agit d movemet iformémet accéléré, par les lois de la physiqe, o sait qe 0, o a v =, 5 = 6, 5 (m/s) Ce qi correspod à e vitesse de 59, km/h ) E tilisat tabler por trover la foctio parcor, o a O e dédit a =,5 m/ s et 0 0,5 e( t) = 0,75 t + 0,5t v = m/s O obtiet alors v =, 5 + 0, 5 = 6, 9 5 (m/s), ce qi correspod à approximativemet à e vitesse de 6 km/h a t e( t) = + v0 t + e0 exprimat l espace Amortissemet d e voitre a Le véhicle A se déprécie de, % par mois, ce qi sigifie qe so prix est mltiplié de mois e mois par 0, 0 = 0, 976 Por le véhicle B, le facter mltiplicater est 0, 0 8 = 0, (0, 976) (0,976) t 0,5 t 867 Par essais sccessifs ( t = 7, t = 8, ) avec e calclatrice, o obtiet t = 9 Il fat doc 9 mois por qe la valer d véhicle A soit ifériere à la moitié d prix de ce véhicle ef Por rappel, por covertir e kilomètre-here la vitesse doée e m/s (ici 6,0 m/s), il fat mltiplier cette derière par,6 Chapitre Sites

13 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 b 89 (0,98) 867 (0,976) t t t 0, , Par essais sccessifs ( t = 0, t = 5, ) avec e calclatrice, o obtiet t = 7 Il fat doc 7 mois por qe la valer d véhicle B soit spériere à celle d véhicle A c La dépréciatio aelle correspod à e dépréciatio sr mois ; le facter mltiplicater ael est (0,976) = 0,77 Le tax de dépréciatio ael est doc de 5,9 % 5 Éqipemet iformatiqe Soit () la site des motats d Émilie et (v) la site des motats de Claire Le tablea sivat doe l évoltio des motats pedat les trois premières aées por chace À la aissace À a À dex as A ième aiversaire Émilie , 05 = 7, 5 700,05 = 79,86 700,05 Claire = ( ) = ( + ) A ième aiversaire de Claire, le motat dot o dispose est 50 + ( ) La somme etre parethèses est la somme de termes d e site arithmétiqe de premier terme 0 et de raiso 0 Le ième terme est 0 Cette somme est doc égale à ( ) = 5( + ) Por détermier à qel aiversaire o porra acheter l éqipemet iformatiqe, il fat résodre les éqatios 700,05 00 et ( + ) 0 0 Por Émilie 700,05 00,05 7,05,57 Avec e calclatrice, o effecte le calcl de,05 por des valers etières de Il fat attedre le e aiversaire d Émilie por effecter l achat Elle dispose alors de,08 Chapitre Sites

14 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Por Claire ( ) ( + ) Les soltios de l éqatio = 0 sot, 7 6 et, 7 6 O sait qe por des valers de extérieres ax racies Il fadra doc attedre le e aiversaire de Claire por li acheter l éqipemet iformatiqe Le motat dot o dispose est alors de 0 6 Les prévisios de Malths (755-8) Sivat les prévisios de Malths : - e 900, la poplatio est de habitats et l agricltre permet de orrir 60 millios d habitats ; - e 90, la prodctio agricole est pls sffisate por orrir la poplatio O jstifie le derier résltat e résolvat l iéqatio (,0) ( ) O travaille avec e calclatrice e doat des valers etières sccessives à ( > 00) 7 U prêt particlier a Voici les premières liges d tablea, totes les valers désigat des motats e eros Drée Amortissemet Itérêt Mesalité Solde restat dû 000 er mois e mois 00 7, 7, 600 e mois 00 6, 6, 00 Et voici exemple des istrctios à itrodire das tabler por obteir le tablea complet Remplissage des différetes cellles Le texte Drée est saisi das la cellle A Le texte Amortissemet est saisi das la cellle B Le texte Itérêt est saisi das la cellle C Le texte Mesalité est saisi das la cellle D Le texte Solde restat dû est saisi das la cellle E Le ombre 0 est saisi das la cellle A Le ombre est saisi das la cellle A Ces dex derières cellles sot à ovea sélectioées et «recopiées» vers le bas jsq à la cellle A6 por créer la site des idices de 0 à 60 Le ombre 00 est saisi das la cellle B Cette cellle est «recopiée» vers le bas jsq à la cellle B6 Chapitre Sites

15 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Le ombre 000 est saisi das la cellle E La formle =E 00 est saisie das la cellle E Cette cellle est esite «recopiée» vers le bas jsq à la cellle E6 La formle =E*0,00 est saisie das la cellle C Cette cellle est esite «recopiée» vers le bas jsq à la cellle C6 La formle =B+C est saisie das la cellle D Cette cellle est esite «recopiée» vers le bas jsq à la cellle D6 b La site des itérêts est e site arithmétiqe de er terme 8 et de raiso r = 0, 8 La site des mesalités est e site arithmétiqe de er terme 8 et de raiso r = 0, 8 La site des soldes restat ds est e site arithmétiqe de er terme 000 et de raiso r = 00 8 E zigzag Les logers sot exprimées e ités de loger et les aires e ités d aires correspodates O cosidère doc qe le côté d triagle ABC est de loger a Loger de la lige ABC AB + BC = + = Loger de la lige ADEFC Loger de la lige AGHIEJKLC b La ième lige est de loger AD + DE + EF + FC = = = c Chaqe lige est de loger ; la somme des logers de liges est Si ted vers l ifii, la somme des logers ted vers l ifii d La hater d triagle ABC a por loger la lige ABC et le segmet [ AC ] est = L aire de la srface comprise etre L aire de la srface comprise etre la lige ADEFC et le segmet [ AC ] est (par costrctio de la figre, et v les propriétés des triagles semblables, o pet affirmer qe l aire est la 8 moitié de l aire précédete) L aire comprise etre la lige AGHIEJKLC et le segmet [ AC ] vat La site des aires est e site géométriqe de raiso et le segmet [ AC ] est doée par a = = + Chapitre Sites 5 6 q = : l aire comprise etre la ième lige Remarqe : Cette site ted vers 0, pisqe sa raiso est strictemet comprise etre 0 et (sythèse, page 50)

16 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 9 Balle magiqe a Les haters des rebods sccessifs formet e site géométriqe de raiso q = 0, 7 5 Hater atteite par la balle a troisième rebod m 0,75 = 0,8 m b Hater atteite par la balle après le ième rebod m 0,75 c Il fat résodre l iéqatio 0,75 0,5 Par essais sccessifs avec e calclatrice, o obtiet 9 0,75 = 0,50 0 0,75 = 0,6 Il fat doc 0 rebods por qe la hater soit ifériere à 5 cm d La distace totale parcore par la balle est doée par ( ( )) lim ( 0,75 0,75 0,75 0,75 ) S = lim + 0,75 + 0,75 + 0, ,75 + S = La limite à calcler est celle des sommes partielles S terme 0,75et de raiso 0,75 : (voir sythèse : lim S = ) + q lim S = 0,75 = + 0,75 d e site géométriqe de premier À défat d tiliser la formle ci-desss, o pet égalemet retrover ce résltat e faisat les calcls détaillés : 0,75 lim ( 0,75 + 0,75 + 0, ,75 ) = lim 0, ,75 E effet ( ) = lim 0,75 + = lim 0,75 = lim 0, 75 = lim 0, 75 = ted vers 0, car q < La somme S vat doc S = + = et la distace réellemet parcore par la balle est d eviro m Chapitre Sites 6

17 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 0 Réchaffemet climatiqe a Perdre % d volme par aée sigifie qe chaqe aée le volme est mltiplié par 0, 0 = 0, 9 7 E 0 as, le volme iitial est doc mltiplié par 0,97 = 0,77, ce qi sigifie qe la perte sr 0 as est de 0, 7 7 = 0, 6 6, soit 6,6 % La coclsio de Fraçois était pas correcte ; la perte de volme est mois importate qe ce q il avait cocl b Soit i le tax ael de perte O a ( i) 0 = 0, i = 0,87 0 i 0, 08 Por les glaciers sisses, la perte aelle de la masse totale s élève approximativemet à, % 0 La «célèbre» site de Fiboacci a Les dix premiers termes sot :,,,, 5, 8,,,, 55 b = + ( ) c Les dix premiers termes de la site d v + = = = + = + v + + e Il fat résodre l éqatio v sot : ,,,,,,,,, N v = v + o v v = 0 Les soltios de cette éqatio sot 5 5 v, 0,6809 et + = v, =, O a doc ϕ =,6809 Chapitre Sites 7

18 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 f Pisqe ϕ est soltio de l éqatio E divisat par ϕ ( ϕ 0 v = v +, ϕ vérifie cette éqatio O a doc ) les termes de l égalité ϕ =ϕ+, o obtiet g O calcle les premiers termes de cette ovelle site ( w ) : O a w ,,,,,,,,, = = = + = + v O e dédit qe lim w = lim + v = + ϕ = ϕ ϕ =ϕ+ ϕ= + o =ϕ ϕ ϕ h O calcle les pissaces de ϕ à exposats atrels strictemet positifs O sait déjà qe ϕ =ϕ+ ϕ = ϕ ϕ ( ) = + ϕ ϕ = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ + = ϕ + ϕ = ϕ ϕ ( ) = ϕ + ϕ = ϕ + ϕ = + ϕ + ϕ = + ϕ Les premiers termes de la site ( ϕ ) N 0 sot 5 ϕ = ϕ ϕ ( ) = + ϕ ϕ = ϕ+ ϕ = ϕ+ ϕ+ = 5ϕ+ 6 5 ϕ = ϕ ϕ ( 5 ) = + ϕ ϕ = ϕ+ 5ϕ = ϕ+ 5 ϕ+ = 8ϕ+ 5 des pissaces à exposats strictemet atrels de ϕ ϕ, ϕ +, ϕ +, ϕ +, 5ϕ +, 8ϕ + 5, Et o observe qe cette site de pissaces de ϕ est e ovelle site de Fiboacci! Remarqes ) Ce résltat pet être démotré par récrrece Il fat prover qeϕ =ϕ +ϕ Cette égalité est vraie por = ; o a por tot etier strictemet spérier à ϕ =ϕ +ϕ, car ϕ+ = ϕ+ ( ϕ+ ) O pet motrer qe si cette égalité est vraie por = k, elle est vrai por = k (por tote valer etière de k strictemet spériere à E effet, si o a sccessivemet ce qi sffit à démotrer la propriété k ( k ϕ = ϕ ) + ϕ ( k ) k k k, ϕ ϕ = ϕ ϕ + ϕ k k k ϕ =ϕ +ϕ, Chapitre Sites 8

19 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 ) Ce résltat pet par aillers être gééralisé à totes les sites de pissaces sccessives à exposats etiers de ϕ Comme premier terme, o porrait par exemple choisir ϕ, c est-à-dire 0, o tote atre pissace de ϕ à exposat etier o écessairemet positif O porrait même motrer qe l égalité ϕ =ϕ +ϕ o etières est assi vérifiée por les valers de Le carré torat O pet d abord vérifier qe les figres sccessives sot bie des carrés Soit ABCD le carré iitial et A B C D le qadrilatère obte à la première étape Ce qadrilatère est losage car par costrctio, ses qatre côtés sot égax Les triagles A B B, B C C, C D D et D A A sot des triagles rectagles égax ; les agles correspodats sot doc égax O a doc CB C = BA B et CB C + B BA =, ce qi 90 etraie C B A = 90 Le qadrilatère A BC D est doc carré et il es est de même por tos les qadrilatères sccessifs A D D A C B B C a Le cetre d carré iitial est cetre de tos les carrés sccessifs E répétat la costrctio, o obtiet des carrés de pls e pls petits et o a l impressio qe la costrctio s arrêtera lorsq o ara obte carré de côté a cetre d carré iitial Soit c la loger d ième carré costrit O sait qe c = 0 ; par le théorème de Py- thagore, o obtiet c = 9 +,, c + = ( c ) + = c c + Les côtés des carrés sccessifs sot tos de loger spériere à et la site des logers est e site décroissate pisqe chaqe carré est cote das le précédet O pet spposer c ted vers e tilisat tabler (o e foctio de la calclatrice) por qe la site ( ) N 0 calcler les termes sccessifs de la site c N Por s e covaicre : soit l la limite de la site des logers des côtés ; lorsqe ted vers +, c + c et l vérifie l = l l +, et doc l = La site des logers des côtés des carrés sccessifs ted vers b La site des aires est assi e site décroissate ; soit A l aire d ième carré O a A = 0 0, A c 8 = =, et A la limite, c + c et doc c c c 0 A + = c+ = ( c ) + = c c + +, ce qi jstifie lim A = Chapitre Sites 9

20 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Le floco de vo Koch (870-9) O désige par c la loger d côté à la ième étape de la costrctio ( c = ) k le ombre de côtés d polygoe à la ième étape P le périmètre d polygoe à la ième étape A l aire d polygoe à la ième étape Étape Loger d côté Nombre de côtés Périmètre Aire c = k = P = c = k = = P = = A A = = A + c = = 9 k = k = = 8 P = 8 9 A 9 = A + c = k = k = P = = A = A + k = A + ( c ) ( ) L aire d polygoe à e étape doée est l aire d polygoe à l étape précédete, agmetée de la somme des aires des petits rectagles éqilatérax ajotés Por passer de l étape à l étape, o a ajoté le log de chac des côtés de l étape petit triagle éqilatéral d aire c = 9 ; o a doc A 9 = A + La formle doat l aire à la ièm e étape pet être trasformée comme sit : A = A + = A + ( ) 9 6 Chapitre Sites 0

21 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 A = A ) Les logers des côtés formet e site géométriqe de premier terme et de raiso La site ted vers 0 lorsqe ted vers + N q = ) Le périmètre est égal a prodit d ombre de côtés par la loger d côté La site d ombre de côtés est e site géométriqe de premier terme et de raiso q = C est la site ( ) N La site des périmètres ted vers + car c est e site géométriqe de raiso q = > N o N ) O pet vérifier qe la formle A = A E développat l expressio, o obtiet est vraie qel qe soit > A = La somme etre parethèses est la somme de ( ) termes d e site géométriqe de er terme 9 et de raiso q = La valer de cette somme est = = 5 9 O obtiet doc A = = = Chapitre Sites

22 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 Pisqe 9 <, lim = 0 et doc lim A = 0, 698 (soit les iitial) O a doc polygoe de périmètre ifii dot l aire est fiie d triagle Costiter capital Les résltats idiqés das la première lige s obtieet e appliqat la formle sivate: C 000,0 = das laqelle C désige la valer acqise par versemet placé pedat a- ées 000 (,0 ) 060,00 C = = C = 000, 0 =,80 C = 000, 0 = 85, 5 C = 000, 0 = 5, 0 er javier 0 er javier 0 er javier 05 er javier 06 er javier 07 er dépôt 000,00 060,00,80 85,5 5,0 e dépôt 000,00 060,00,80 85,5 e dépôt 000,00 060,00,80 e dépôt 000,00 060,00 5 e dépôt 000,00 Total 068,7 a La site des ombres figrat das la derière coloe est géométriqe ; la raiso de cette site est q = 0, b Erratm (tirage 0) : la valer acqise par e site de versemets est otée V et o C V 5 = 000 +, 0 +, 0 +, 0 +, 0 c V a ( i) ( i) = ; e appliqat la formle de la somme des termes d e site géométriqe de premier terme a et de raiso ( + i), o obtiet d O tilise la formle V ( i) + = a i ( i) + = a i das laqelle V est la valer acqise par la site des versemets a momet d derier versemet, a est le motat de chaqe versemet, i le tax d itérêt par période et le ombre de versemets périodiqes Chapitre Sites V

23 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 O a a = 000 ( ) i = 0, 0 5 et = 0 E appliqat la formle, o obtiet: V 0 0, 05 = 000 = 0, 8 La valer totale acqise par ces versemets a momet 0,05 d derier versemet est 0, 8 O a a = 00, = 6 et i = 0, 0 0 V 6 6, 00 = 00 = 78, 90 Le capital costité a momet d derier versemet 0,00 s élève à 7 8, 9 Les itérêts acqis s élèvet à V = 78,9 600 = 89,90 O a V 6 = ( ), = 6 et i = 0, 0 6, = a ; a = 9 7 0, Le motat d versemet s élève à 9 7 0, 0, 0 O a V = ( ), a = 8 et i = 0, = 8, 0 0, , 0, = o =, 0, O tilise la calclatrice por détermier les pissaces etières de,0 O a 9 0,0 =,077 et,0 =,9 Il fat doc effecter 0 versemets 5 L éparge se compose d capital de 6000 placés à itérêts composés a tax de,5 % pedat aées et d e site de versemets aels de 00 placés a même tax pedat ( ) aées A terme de la première aée, le capital iitial est : 6000 (,05 ) = 60 ; ce motat reste placé pedat ecore ( ) aées O appliqe la formle d calcl d e valer acqise à itérêts composés pedat ( ) aées et la formle de la valer acqise par e site de versemets égax pedat ( ) aées Le capital iitial doblé égale 000 O a doc, = 60 (, 05) , 05 0, 05 60, , = 0,05 Chapitre Sites

24 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, , 05 = 7, 5, , [ ] =, 05 7, =,05 o 57,5,97 =,05 E calclat les pissaces etières de,05, o trove 0,05 =,059 ; o a = 0 o = Le capital iitial ara doblé e as 5 Remborser fiacemet a Le tax ael i et le tax mesel t sot liés par les relatios i = ( + t ) et i + = ( + t ) La dexième formle pet assi s écrire E remplaçat par les doées, o a + t = + i o t = + 0,05 = 0,087 Le tax mesel éqivalet a TAEG est t = 0, 8 7 % b Travail sr tabler 9,05 =,689 et t = + i c La site des mesalités actalisées qi apparaisset das la première coloe est e site géométriqe de raiso q 0, Por établir la formle qi permet de calcler la somme des mesalités actalisées, o tilise les otatios sivates Soiet M le motat emprté, a la mesalité de remborsemet, t le tax mesel et le ombre de mesalités Si c est le TAEG qi est doé, o calcle t à partir de la formle établie e a : t = + T A E G Valer a momet de l emprt re mesalité e mesalité e mesalité e ( ) mesalité ième mesalité t a( + ) a t a( + ) a t a( + ) a t a( + ) a a( + ) a t Chapitre Sites

25 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 La somme des termes apparaissat das la coloe grisée doit être égale a motat emprté O a doc ( ) M = a ( + t) + a ( + t) + a ( + t) + + a ( + t) + a ( + t) ( ) M = a ( + t) + ( + t) + ( + t) + + ( + t) + ( + t) () La somme etre parethèses est la somme de termes d e site géométriqe de premier terme t t ( + ) et de raiso ( + ) Cette somme est égale à La relatio () deviet ( + t) ( + t) ( + t) ( + t ) = ( + t) ( + t ) = ( + t) t t ( + t) M = a t Cette relatio permet assi de calcler la mesalité e foctio d motat emprté, d tax mesel (calclé à partir d TAEG) et d ombre de mesalités t a = M ( + ) t 6 Le triagle de Sierpiski (88-969) ) Le ombre de triagles bles est à la première étape, 9 à la dexième, 7 à la troisième et 8 à la qatrième étape ) D étape e étape, le ombre de triagles bles est mltiplié par Si k est le ombre de triagles bles à l étape ( ), le ombre de triagles bles à l étape, est k ; pls simplemet, le ombre de triagles bles à l étape est ) Das l étape, l aire colorée e ble est égale ax trois qarts de l aire d triagle iitial L aire d triagle iitial est = À chace des étapes sivates, l aire totale des triagles bles est égale ax trois qarts de l aire colorée e ble à l étape précédete Soit A l aire totale des parties colorées e ble à la ième étape ; o a A = A Étape Aire 75 5 = 5 5 = La site obtee est e site géométriqe de raiso cette site est 0 q = Pisqe q <, la limite de Chapitre Sites 5

26 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 ) Le périmètre d triagle iitial est de 0 cm Soit P le périmètre total des triagles bles à i la i ème étape À chaqe étape, le périmètre total de ces triagles est le prodit d ombre de triagles par le périmètre de l d etre ex Étape : trois triagles éqilatérax dot le côté mesre 5 cm ; P = ( 5 ) = 5 (cm) Étape : 9 triagles éqilatérax de côté,5 (cm) ; doc P = 9 (, 5 ) = 6 7, 5 (cm) O pet assi écrire P = P, pisqe le ombre de triagles est mltiplié par trois, tadis qe la loger d côté est divisée par Chaqe terme de la site des périmètres est égal a prodit d terme précédet par : P = P La site des périmètres est e site géométriqe de raiso q = La limite de cette site est ifiie car q > Le triagle de Sierpiski est e figre de périmètre ifii et d aire lle 7 Tests psychotechiqes a Por b = 0, les dix premiers termes de la site sot :,, 5, 9, 6, 7,, 65, 9, b Si b =, alors a =, c = et d = 6 6 Les dix premiers termes de la site sot :,, 5, 7, 8, 7,, 5, 8, 7 Si b =, alors a =, c = et d = Les dix premiers termes de la site sot :,, 5,,, 7, 8, 5, 06, 99 c Si o tilise polyôme d secod degré por défiir les termes, o obtiedra e valer iqe por chac des coefficiets d polyôme et doc e sele site Si o pose + = a + b + c ( N ), o trove a =, b = et c = Les dix premiers termes de la site sot alors :,, 5, 8,, 7,, 0, 8, 7 d Soit + = a + b + c + d + e ( N ) Si = 0, o obtiet = e = 5 Si =, o obtiet = a + b + c + d + 5 = 7 et doc a + b + c + d = Si =, o obtiet = 6 a + 8 b + c + d + 5 = 0 et doc 6a + 8b + c + d = 5 =, o obtiet = 8a + 7b + 9c + d + 5 = et doc 8a + 7b + 9c + d = 7 Si Les valers de a, b, c et d sot les soltios d système a + b + c + d = 6a + 8b + c + d = 5 8a + 7b + 9c + d = 7 Chapitre Sites 6

27 CQFD 5 e : corrigé (6P/S) De Boeck Edcatio sa, 0 O mltiplie la re éqatio par et o sostrait le résltat de la e éqatio ; o mltiplie la re éqatio par et o sostrait le résltat de la e éqatio O obtiet alors système éqivalet a + b + c + d = a + 6b + c = 78a + b + 6c = O mltiplie la e éqatio de ce système par et o sostrait le résltat de la e éqatio Le système obte est a + b + c + d = a + b+ c+ d = a + 6b + c = o a+ 6b + c = 6a + 6b = 8 a+ b = O pet choisir d exprimer a e foctio de b o le cotraire, à partir de la e éqatio de ce derier système 8a Soit b = = 6a E remplaçat b par cette expressio das la e éqatio, o obtiet l expressio de c : c = + a E itrodisat les expressios de b et de c das la e éqatio, o trove l expressio de d : 5 d = 6 a 6 5 Le polyôme est + = a + 6a + + a + 6a À chaqe valer attribée à a correspod e site dot les premiers termes sot les termes doés 5, 7, 0, 5 Soit a = 0 ; o a alors + = Les dix premiers termes de la site sot : 5, 7, 0,,, 5, 8, 0, 6, 09 Chapitre Sites 7