Analyse des équations aux dérivées partielles

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1 École Centrale Paris Mathématiques 2 D. Verwaerde et P. Laurent-Gengoux Analyse des équations aux dérivées partielles P. Laurent-Gengoux Année

2 2 Analyse des équations aux dérivées partielles ECP

3 Table des matières 1 Rappels et prérequis Quelques formules utiles Notations Formule d intégration par parties en dimension N Formule de Stokes Systèmes d équations Systèmes linéaires Systèmes d équations non linéaires Résolution d un système non linéaire par déformation Systèmes différentiels Le problème de Cauchy Systèmes différentiels linéaires homogènes Principes de construction d équations aux dérivées partielles Les lois de conservation ou d équilibre Les principes d extrémalité Exemples d équations aux dérivées partielles Les problèmes linéaires canoniques Un problème aux limites elliptique linéaire : l équation de Poisson Un problème d évolution, parabolique linéaire : l équation de la diffusion Une équation linéaire du premier ordre : l équation d advection Un problème d évolution, hyperbolique linéaire : l équation des ondes Les problèmes classiques de la physique mathématique Les équations de transport ou de convection avec réaction et diffusion La diffusion avec rayonnement L élasticité linéaire L écoulement des fluides Les phénomènes vibratoires Les équations de Maxwell Exemples de problèmes plus complexes

4 4 Analyse des équations aux dérivées partielles 3 Quelques outils d analyse des E.D.P Propriétés des opérateurs linéaires aux dérivées partielles Opérateurs linéaires aux dérivées partielles Opérateurs du premier et second ordre Symétrie Fonctions propres Noyau des opérateurs Transformation de Fourier Transformation de Laplace Application de la linéarité de l opérateur Découplage des données Décomposition à l aide de fonctions spéciales Formulation faible des équations aux dérivées partielles Équivalence des formulations Formulation au sens des distributions Utilisation des formulations faibles Interprétation des formulations faibles Calcul des variations Position du problème Le théorème d Euler-Lagrange Généralisations Système du premier ordre équivalent à un système donné Principe Exemples Le théorème de Cauchy-Kovalevska Position du problème Le théorème de Cauchy-Kovalevska : forme canonique Commentaires Surface caractéristique Système quasi-linéaire Les problèmes aux limites Introduction Quelques définitions Définition des problèmes aux limites Systèmes d équations elliptiques Problème associé à un potentiel Position du problème Equation dérivant d un potentiel Potentiel coercif Potentiel convexe Analyse des conditions aux limites Exemples d analyse de problèmes aux limites Équation elliptique linéaire du second ordre générale ECP

5 TABLE DES MATIÈRES Diffusion et membrane Diffusion non homogène Importance des signes : Vibration forcée Une équation faiblement non-linéaire Une équation fortement non linéaire Une équation conditionnellement elliptique Quelles lois linéaires de diffusion impliquent l ellipticité? Quelles lois non linéaires de diffusion impliquent l existence et l unicité? Cas non convexe Cas non convexe Cas non convexe Cas non convexe Un exemple sans potentiel : la convection diffusion Exemples en mécanique du solide Élasticité linéaire Élasticité non linéaire Les équations d évolution Introduction Quelques définitions Exemples Position du problème Classification de problèmes élémentaires Equation parabolique Équation hyperbolique Equation du premier ordre Equation linéaire du premier ordre Equation homogène Exemples Equation quasi-linéaire du premier ordre Système linéaire strictement hyperbolique à deux variables (x, t) Système linéaire strictement hyperbolique homogène à coefficients constants à deux variables (x, t) Système général d équations linéaires aux dérivées partielles à deux variables (x, t) Système linéaire et quasi-linéaire général Exemples Burgers, sans viscosité Dynamique des fluides Equation de convection diffusion Mathématiques 2

6 6 Analyse des équations aux dérivées partielles 6 Le cadre fonctionnel Formulations faibles et distributions Notion de distributions Distributions sur R Le problème de l existence des solutions Rappel Le théorème de Lax-Milgram Application Le cadre fonctionnel Exemple d utilisation du cadre fonctionnel L approximation des problèmes aux limites Le problème Présentation Le problème général Un problème modèle Principes généraux d approximation Méthode des différences finies Méthode de Ritz-Galerkin Approximation par des fonction affines par morceaux L espace W h des fonctions continues affines par morceaux Algorithmes de calcul Quelques extensions Conditions aux limites Généralisation de l équation Éléments finis de degré supérieur Dimension 1 et Étude de l erreur dans la méthode des éléments finis Maillage Propriétés nécessaires Méthodes de maillage Triangulation de Delaunay L approximation des problèmes d évolution Approximation de problèmes modèles Problèmes modèles Approximation par la méthode des différences finies Analyse des approximations Analyse de l erreur Critères de stabilité des schémas Analyse et extensions de la méthode des différences finies Approximation par la méthode des éléments finis Équation de la diffusion Équation des ondes ECP

7 TABLE DES MATIÈRES Analyse et extensions de la méthode des éléments finis Approximation des équations hyperboliques Un problème modèle Approximation par la méthode des différences finies Conclusion Mathématiques 2

8 8 Analyse des équations aux dérivées partielles ECP

9 Présentation Objectifs de ce document Ce document est un document de référence pour le cours d analyse et d approximation des équations aux dérivées partielles. Il est complémentaire des documents décrivant chaque séance qui ont été distribués à part. Il contient quelques rappels et de nombreux passages qui ne sont pas au programme, (le programme est défini par les documents décrivant chaque séance). En complément du programme, axé sur l analyse qualitative et numérique des équations aux dérivées partielles, nous présentons dans ce document : des résumés des méthodes classiques de calcul de solutions d équations aux dérivées partielles. quelques compléments pour aller plus loin dans l étude des équations aux dérivées partielles. de nombreux exemples non traités en cours. Nous nous sommes efforcés de maintenir un équilibre entre la généralité et la complication des énoncés : les théorèmes ne sont pas énoncés sous la forme la plus générale chaque fois que cela complique trop les notations ou que cela les rend trop abstraites ; c est a fortiori vrai pour les démonstrations. Nous avons évité au maximum de recourir à des notions non élémentaires de calcul différentiel et surtout d intégration et d analyse fonctionnelle. Notamment nous n utilisons pas le cadre des espaces de Sobolev ni la théorie des distributions, nous leur consacrons cependant un court chapitre pour en expliquer l intérêt. Cette simplification est possible parce que nous ne traitons pas la question de l existence des solutions d une équation aux dérivées partielles, nous nous limitons à l étude qualitative des solutions. Position du problème Nous présentons dans ce document quelques idées pour comprendre les problèmes, en général d origine physique, dans lesquels on cherche une ou plusieurs fonctions vérifiant des équations aux dérivées partielles et des conditions supplémentaires, par exemple les valeurs en certains points de la fonction inconnue ou de ses dérivées. Le sujet est évidemment très vaste, puisque les équations aux dérivées partielles modélisent l ensemble des phénomènes physiques, certains domaines sont encore mal connus et beaucoup de problèmes sont l objet de conjectures. Nous n avons donc pas l ambition dans ce court document de faire une synthèse des connaissances actuelles mais nous essayons d introduire quelques idées simples pour comprendre les problèmes élémentaires. Prenons l exemple des équations linéaires ; les solutions d une équation aux dérivées partielles linéaire forment un espace de dimension infinie, elles dépendent linéairement, par exemple, des co- 9

10 10 Analyse des équations aux dérivées partielles efficients d une série, ou encore de la donnée d une ou de plusieurs fonctions arbitraires. Résoudre ces équations, c est, au mieux, obtenir des représentations de la solution sous forme de séries et d intégrales dépendant de fonctions arbitraires. Mais les représentations ainsi obtenues de la solution générale de l équation sont peu manipulables, sauf dans quelques cas particuliers, et ne permettent pas de comprendre quelles conditions supplémentaires déterminent la solution. Le plus souvent on ne pourra calculer que des approximations des solutions. Dans le cas général, on peut essayer de déterminer des solutions d une équation aux dérivées partielles en posant des problèmes de Cauchy, c est à dire la détermination locale de la solution à partir de certaines de ses valeurs sur une courbe (si on est en dimension 2). Mais d une part ce problème, quand il a une solution (théorème de Cauchy-Kovalevska), n est pas toujours bien posé : la solution ne dépend pas toujours de façon stable de ses valeurs sur une courbe et elle dépend d une infinité de paramètres (les valeurs sur la courbe). D autre part les conditions supplémentaires sont aussi en nombre infini, la détermination des paramètres est donc un problème non trivial. C est pourquoi nous ne présenterons pas, comme cela a été fait pour les équations différentielles, une théorie générale reposant sur les propriétés des solutions d une équation. Nous étudierons de préférence des problèmes complètement posés ayant en général une solution bien déterminée, pour lesquels on peut s appuyer sur l interprétation physique, pour comprendre les propriétés du problème. Et nous étudierons des principes généraux qui permettent de comprendre pourquoi un problème est bien posé, quelles sont les propriétés de ses solutions et comment on peut construire des approximations des solutions. ECP

11 Chapitre 1 Rappels et prérequis 1.1 Quelques formules utiles Notations On note x, y = i x iy i le produit scalaire canonique de R N. Soit u(x) et v(x) des fonctions définies sur un domaine R N ; Φ(x) est un champ de vecteur sur, n = (n 1,, n N ) est le vecteur normal unitaire extérieur en un point du bord Γ de Formule d intégration par parties en dimension N u(x) v(x) d = u v(x) d + x i x i Γ On en déduit diverses formules très utiles Formule de Stokes Φ, v d =. Φ v d + Γ u v n i dγ (1.1) Φ n v dγ (1.2) où Φ n = Φ, n. Avec v = 1 on obtient la formule de Green. Φ d = Φ n dγ (1.3) En prenant Φ = u on obtient u, v d = où u n = u, n est la dérivée de u dans la direction n. Γ u v d + Γ 11 u v dγ (1.4) n

12 12 Analyse des équations aux dérivées partielles 1.2 Systèmes d équations Systèmes linéaires Introduction Dans l approximation des équations aux dérivées partielles nous aurons à considérer des systèmes linéaires de très grande dimension qui auront le plus souvent la propriété d avoir une matrice creuse (i.e. la plupart des éléments sont nuls) et symétrique. Soit A une matrice (n, n) et b R n. Définition 1 Une matrice symétrique A est définie positive si x 0 Ax, x > 0 Le résultat suivant est à la base de l étude des systèmes linéaires : Proposition 1 Le système linéaire Ax = b (1.5) admet une solution et une seule si le système homogène associé admet pour seule solution x = 0, ce qui est équivalent à det A 0 La deuxième partie de la proposition n est pas d un grand intérêt pratique pour les systèmes de grande dimension : le déterminant d une matrice de grande dimension est le plus souvent un nombre sans signification ( numériquement infini ou nul). La première partie de la proposition peut être complétée par une condition suffisante qui nous sera très utile : Théorème 1 Si la matrice A a sa partie symétrique qui est définie positive alors le système linéaire admet une solution et une seule En effet Ax = 0 implique Ax, x = A+At 2 x, x = 0 ce qui implique x = 0 si A + A t est définie positive. Notion de conditionnement Dans ce paragraphe nous n utilisons que la norme euclidienne, qui conduit à des calculs simples, mais il peut être nécessaire de faire la même étude pour d autres norme, notamment la norme x. Un système linéaire peut avoir une solution et une seule sans que cette solution soit stable vis à vis des données. Considérons une perturbation δb du second membre b de (1.5), elle implique une perturbation δx = A 1 δb de la solution et donc une erreur relative Or b = Ax implique b 2 A 2 x 2 et donc Il vient δx 2 x 2 A 1 2 δb 2 x 2 x 2 b 2 A 2 δx 2 x 2 A 2 A 1 2 δb 2 b 2 Le coefficient d amplification de l erreur relative est donc majoré par C(A) = A 2 A 1 2. D où la définition : ECP

13 CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRÉREQUIS 13 Définition 2 Le conditionnement d une matrice A est le nombre C(A) = A 2 A 1 2 Si la matrice A est symétrique définie positive on a A 2 = λ n, où λ 1... λ n sont les valeurs propres de A et A 1 2 = 1 λ 1, donc Proposition 2 Si la matrice A est symétrique définie positive le conditionnement de la matrice C(A) = λ n λ 1 est un majorant du coefficient d amplification de l erreur relative sur la solution du système (1.5). Noter que ce majorant est atteint si b et δb sont les vecteurs propres associés à λ n et λ 1. Résolution numérique Pour résoudre numériquement un système linéaire on utilise deux grandes classes de méthode : Les méthodes dites directes qui sont des variantes de la méthode d élimination de Gauss (dites aussi méthode du pivot) différent essentiellement par l ordre des éliminations ce qui revient à définir une renumérotation des inconnues et des équations. Les méthodes itératives, appliquées surtout aux matrices de grande dimension et creuses, sont, pour les plus efficaces, dérivées de la méthode du gradient conjugué qui est étudiée dans le cours d optimisation. Ces méthodes sont des méthodes d optimisation qui utilisent l équivalence suivante : Proposition 3 Soit A une matrice symétrique définie positive. Soit F (x) = 1 2 Ax, x b, x. La fonction F (x) est strictement convexe, tend vers l infini quand x tend vers l infini, et F (x) = Ax b. Un vecteur x est solution du système linéaire Ax = b si et seulement si x réalise le minimum (unique) de la fonction F (x) sur R n Systèmes d équations non linéaires On note A(x) = 0 (1.6) un système de n équations non linéaires à n inconnues, où A(x) est une application C 1 de R n dans lui-même. Un tel système peut être très difficile à analyser et à résoudre numériquement. La théorie la plus générale qui couvre l existence des solutions de (1.6) est la théorie du degré topologique qui dépasse le cadre de cette introduction. Nous allons voir quelques conditions suffisantes qui facilitent l étude de ce système. 13 Mathématiques 2

14 14 Analyse des équations aux dérivées partielles Existence d un potentiel Dans ce paragraphe nous supposons qu il existe une fonction potentielle F (x) telle que A(x) = F (x) Les solutions du système sont alors les points stationnaires de F (x). Or l étude de la fonction F (x) permet sous certaines conditions d affirmer l existence d au moins un extrémum, son éventuelle unicité ou la présence d un nombre minimal d extrémums. Pour l existence on utilisera la proposition Proposition 4 Si F (x) tend vers + quand x tend vers l infini alors F (x) admet au moins un minimum et le système A(x) = 0 admet donc au moins une solution. et Proposition 5 Si F (x) est strictement convexe alors F (x) admet au plus un minimum et le système A(x) = 0 admet donc au plus une solution. Noter que l existence locale d une fonction potentielle équivaut à la symétrie de la matrice jacobienne et qu il existe des situations plus générales où l on peut étudier le nombre d extrémums de la fonction F (x) et leur nature, voir le cours d optimisation, chapitre 1. Méthode du point fixe On réécrit le système A(x) = 0 sous la forme x = x ρa(x) et on pose f(x) = x ρa(x). Trouver une solution du système non linéaire équivaut à trouver un point fixe de l application f(x). Rappelons le théorème du point fixe pour les applications contractantes, sous une forme adaptée : Théorème 2 (Point fixe) Si une fonction f(x) laisse invariante une partie fermée C de R n et si elle est lipschitzienne de constante k < 1 pour une norme quelconque, i.e. f(x) f(y) < k x y alors elle admet un point fixe x et un seul sur C. De plus si x 0 est un point quelconque de C la suite définie par la récurrence x 0 C quelconque et converge vers x x n = f(x n 1 ) Ce théorème fournit un résultat d existence et un algorithme pour déterminer la solution. Un théorème beaucoup plus général, le théorème de Brouwer, est moins précis ECP

15 CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRÉREQUIS 15 Théorème 3 (Brouwer) Si une fonction continue f(x) laisse invariant un convexe compact C de R n elle admet (au moins) un point fixe x sur C. Le plus souvent le convexe C est une boule de R n. Si le champ de vecteur A(x) est dirigé vers l extérieur de la boule quand x est sur la sphère frontière, on vérifie que l application f(x) = x λa(x) applique la sphère sur l intérieur de la boule pour λ assez petit. Au prix d une petite complication technique 1 on peut appliquer le théorème de Brouwer et on en déduit la proposition : Proposition 6 (Poincaré) Si il existe r R n tel que le système (1.6) admet au moins une solution. Applications monotones x 2 = r A(x), x > 0 Nous allons voir des conditions pratiques d application du théorème (2) Définition 3 Une application A(x) d un convexe C R n dans R n est monotone si A(x) A(y), x y 0 Une application A(x) est uniformément monotone si il existe une constante α > 0 telle que A(x) A(y), x y α x y, x y Si A(x) = F (x) la monotonie de A(x) équivaut à la convexité de F (x), voir le cours d optimisation, chapitre 2. Dans le cas général on a le théorème : Théorème 4 Si une application A(x) de R n dans R n est uniformément monotone et lipschitzienne, le système A(x) = 0 admet une solution et une seule. On peut étendre ce théorème à une boule de R n. Ce théorème est une conséquence immédiate du lemme : Lemme 1 Si une application A(x) de R n dans R n est uniformément monotone, de constante α et lipschitzienne de constante M, l application f(x) = x (1 α2 M 2 )A(x) est lipchitzienne de constante k = (1 α2 ) < 1 ; elle vérifie donc les condition du théorème de M 2 point fixe (2). 1 Considérer l application f(x) = Π(x λa(x)) où Π(x) est la projection sur la boule, cette application envoie la boule C dans elle-même par construction, elle admet donc un point fixe. Or un point fixe x de f(x) est dans la boule ; si x est strictement à l intérieur il n est pas l image par Π d un point extérieur, donc x = x λa(x), si x est sur la sphère, x λa( x) est à l intérieur de la boule par définition de λ et donc Π( x λa( x)) = x λa( x) ; d où x = Π( x λa( x)) = x λa( x). 15 Mathématiques 2

16 16 Analyse des équations aux dérivées partielles Les points fixes de f(x) sont les solutions de A(x) = 0, ce qui démontre le théorème. Démonstration du lemme : Rappelons que A(x) est lipschitzienne en norme euclidienne si k > 0 / A(x) A(y) 2 k x y 2 (ce qui sera vrai sur tout borné si A(x) est une application C 1 ). Définissons f(x) = x λa(x) et montrons que f(x) est une application contractante f(x) f(y), f(x) f(y) = (x y) λ(a(x) A(y)), (x y) λ(a(x) A(y)) et en développant f(x) f(y), f(x) f(y) = x y, x y 2λ A(x) A(y), x y +λ 2 A(x) A(y), A(x) A(y)) et puisque A(x) est une application monotone et lipschitzienne Choisissons f(x) f(y), f(x) f(y) (1 2λα + λ 2 k 2 ) x y, x y λ = α M 2 il vient f(x) f(y), f(x) f(y) (1 α2 ) x y, x y M 2 Méthodes de calcul numérique Si le théorème de point fixe (2) s applique on peut utiliser la méthode d itération pour calculer la solution du système. Si le système est associé à un potentiel on peut calculer les solutions qui sont des extrémums par des méthodes d optimisation, voir le chapitre 3 du cours d optimisation. Dans le cas général on peut utiliser la méthode de Newton (voir le chapitre 3 du cours d optimisation). La méthode de Newton est une méthode itérative générale de résolution d un système non-linéaire A(x) = 0 : connaissant une approximation x k de la solution, on détermine x k+1 en linéarisant, localement autour de x k ; l équation A(x) = 0. On a, en développant A(x) à l ordre 1 autour de x k A(x) = A(x k ) + DA(x k ).(x x k ) + ɛ(x x k ) x x k Si on veut que A(x k+1 ) = 0, en négligeant les termes du d ordre 2, il vient x k+1 = x k DA(x k ) 1.A(x k ) L application linéaire DA(x) a pour matrice dans la base canonique de R n la jacobienne JA(x). L algorithme peut donc s écrire, en mettant en évidence la résolution du système linéaire de matrice JA(x k ), ECP

17 CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRÉREQUIS 17 Faire : M k = JA(x k ) g k = A(x k ) M k δ k = g k x k+1 = x k + δ k Tant que g k eps g 0 On montre que, si A(x) est deux fois différentiable et si x 0 est assez proche d une solution, les itérations convergent vers cette solution. On montre de plus que la convergence est quadratique x k+1 x C x k x 2 ce qui fait que, dès que la convergence est amorcée, elle devient très rapide. En pratique la méthode est souvent instable et le choix d un point de départ x 0 assurant la convergence peut s avérer très délicat. La mise oeuvre exige la résolution d un système linéaire, dont la matrice JA(x k ) change à chaque itération, ce qui peut être très coûteux si la matrice est pleine et de grande dimension. La méthode de Newton peut être complétée par une stratégie de déformation par homotopie : on introduit un paramètre λ et un système A(x, λ) tel que A(x) = A(x, 1) et que le système A(x, 0) = 0 soit simple à résoudre (par exemple linéaire). On choisit une suite de valeur λ 1 = 0 λ k λ p = 1. De proche en proche on détermine la solution de A(x, λ k ) = 0 en initialisant la méthode de Newton par la solution de A(x, λ k 1 ) = 0 jusqu à atteindre λ p = 1. Nous développons cette méthode dans le paragraphe suivant Résolution d un système non linéaire par déformation Nous étudions dans ce paragraphe des méthodes de calcul pour des systèmes non linéaires, dites méthodes incrémentales ou de déformation par homotopie. Ces méthodes de calcul, sont utilisées notamment en mécanique du solide pour les modèles élastoplastiques, de grandes déformations ou de contact. Avec des notations un peu différentes du paragraphe précédent et qui sont usuelles en mécanique, on écrit le système non linéaire sous la forme K(U) = F (1.7) où l inconnue U et la donnée F sont des vecteurs de R n et K(U) une application de R n dans R n. Pour déterminer une solution, on construit un chemin de solutions en faisant varier continûment le vecteur F, qui devient F(t), à partir d une valeur pour laquelle la solution est connue (0 par exemple) et on suit pas à pas la solution U(t). En mécanique on dit que l on a défini un chemin de chargement. Dérivons (1.7), il vient : K (U(t))U (t) = F (t) (1.8) où K (U(t)) est une matrice (n, n). On obtient un système différentiel non linéaire sous forme implicite pour U(t). On peut intégrer numériquement cette équation différentielle par une méthode simple, la méthode d Euler implicite ou explicite avec un pas de temps τ : 17 Mathématiques 2

18 18 Analyse des équations aux dérivées partielles Euler explicite : Euler implicite : K (U k ) (Uk+1 U k ) τ = F (t k ) K (U k+1 ) (Uk+1 U k ) = F (t k+1 ) τ que l on peut réécrire sous la forme : Euler explicite : K (U k )U k+1 = K (U k )U k + τf (t k ) Euler implicite : K (U k+1 )(U k+1 U k ) = τf (t k ) Pour le schéma explicite il suffit de résoudre à chaque pas un système linéaire dont la matrice K (U k ) peut être explicitement calculée. Dans un problème obtenu par une approximation par éléments finis d un problème continu cette matrice est celle d un problème linéarisé, elle sera calculée par les méthodes étudiées pour les équations linéaires. Pour le schéma implicite (qui est plus stable et permet des pas plus grands) la matrice fait partie des inconnues, on détermine U k+1 par une méthode de point fixe : V 0 = U k (1.9) K (V i )V i+1 = K (V i )U k + τf (t k ) (1.10) la suite V i converge, si le pas τ n est pas trop grand, vers U k+1. On préfère s assurer à chaque pas que U k+1 est solution de : K(U) = F(t k+1 ) (1.11) en appliquant localement la méthode de Newton à cette équation : V 0 = U k (1.12) K (V i )V i+1 = K (V i )V i (K(V i ) F(t k+1 )) (1.13) la suite V i converge, si le pas τ n est pas trop grand, vers U k+1. Remarque : La matrice K (U k ) peut ne pas être inversible, ce sera le cas si U k est point de bifurcation (i.e. plusieurs branches de solution passent par ce point). En mécanique, par exemple, cette situation correspond à certaines propriétés du système : passage par une valeur limite du chargement (en cas d augmentation de celui-ci il n y a plus d équilibre possible) ou encore au phénomène de flambement (voir le chapitre 1 du cours d Optimisation). 1.3 Systèmes différentiels Voir le cours d analyse 1 pour plus de détails. Rappelons que tout système différentiel comprenant des dérivées d ordre p est équivalent à un système du premier ordre en introduisant des variables supplémentaires pour les dérivées jusqu à l ordre p 1. Par exemple, en dynamique du point, les équations de Newton, qui sont du second ordre quand l inconnue est la position, s écrivent sous la forme d un système du premier ordre dans l espace des phases, c est à dire en prenant la position et la vitesse comme inconnues. ECP

19 CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRÉREQUIS Le problème de Cauchy Soit f(t, x) une application continue de [0, T ] R n dans R n et x(t) C 1 ([0, T ] R n ). Définition 4 On appelle problème de Cauchy ou à valeurs initiales le problème différentiel { x (t) = f(t, x(t)) x(0) = x 0 (1.14) Les hypothèses peuvent être adaptée à des fonctions définies sur un ouvert de R n. Énonçons le théorème fondamental d existence locale d une solution de (1.14) sous une forme simplifiée Théorème 5 (Cauchy-Lipschitz) Si f(t, x) est une fonction continue par rapport à (t, x) et C 1 par rapport à x, alors le problème (1.14) admet au plus une solution et il existe θ T tel qu il existe une solution sur [0, θ[. On peut compléter cet énoncé par la proposition : Proposition 7 () Si la solution x(t) de (1.14) est bornée sur [0, θ], cette solution peut être prolongée sur [0, θ [ avec θ > θ. (intuitivement, ou bien la solution explose en θ ou bien elle peut être prolongée) on en déduit le théorème : Théorème 6 () Si f(t, x) est continue par rapport à (t, x), C 1 par rapport à x, et à croissance au plus linéaire en x (i.e. M, c / f(t, x) M x + c), alors le problème (1.14) admet une solution et une seule sur [0, T ]. On montre également que la solution de (1.14) dépend continûment de x 0 ainsi que de tout paramètre par rapport auquel f(t, x) est continu. Autrement dit la solution de(1.14) est stable vis à vis des données du problème. La solution générale d un système différentiel dans R n existe donc localement sous des hypothèses très faibles et elle dépend de n paramètres que l on peut choisir comme les valeurs initiales d un problème de Cauchy. Le théorème (6) est un outil puissant pour montrer l existence globale de la solution. Nous n aurons pas de résultat aussi général pour les équations aux dérivées partielles Systèmes différentiels linéaires homogènes Solution générale Soit x(t) C 1 ([0, T ] R n ). Considérons un système différentiel linéaire homogène à coefficients constants { x (t) = Ax(t) x(0) = x 0 (1.15) où A est une matrice (n, n). La solution de ce système peut s écrire formellement x(t) = exp (ta)x 0 19 Mathématiques 2

20 20 Analyse des équations aux dérivées partielles où nous avons posé exp (ta) = k t k A k k! Si la matrice A est diagonalisable sous la forme A = P 1 DP où D est une matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres λ i de A ; on en déduit l écriture plus explicite de exp (ta) exp (ta) = P 1 exp (td)p où exp (td) est la matrice diagonale dont les coefficients sont exp (td) i,i = exp (tλ i ). Le théorème suivant est une conséquence immédiate de cette expression, et il s étend à des matrices non diagonalisables : Théorème 7 Toutes les solutions du système différentiel (1.15) tendent vers 0 quand t + si et seulement si la partie réelle des valeurs propres de la matrice A est négative. Analyse qualitative Définition 5 Soit un produit scalaire.,. sur R n. Un système différentiel est conservatif si les solutions du système homogène conservent le carré scalaire x(t), x(t). Un système différentiel est dissipatif si le carré scalaire x(t), x(t) tend vers 0. Le carré scalaire abstrait que nous introduisons représente souvent une grandeur physique concrète, une énergie ou une entropie. Nous utiliserons la proposition Proposition 8 Soit un produit scalaire.,. sur R n. Le système (1.15) est dissipatif si et seulement si la matrice A est définie négative. Le système (1.15) est conservatif si et seulement si la matrice A est antisymétrique. Preuve De (1.15) on déduit x, x (t) = Ax, x et donc d 1 x, x = Ax, x dt 2 Le résultat en découle car A est définie négative si x 0 Ax, x < 0 et A est antisymétrique 2 si et seulement si x Ax, x = 0. 2 L antisymétrie de la matrice A, Ax, y = Ay, x, équivaut à x R 2N Ax, x = 0 En effet si x, Ax, x = 0 alors x, y A(x + y), (x + y) = 0 = Ax, x + Ay, y + Ax, y + Ay, x = Ax, y + Ay, x, donc Ax, y = Ay, x ECP

21 CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRÉREQUIS 21 Autres problèmes Si on cherche une solution d un système différentiel vérifiant d autres types de conditions que (1.14) (conditions aux deux extrémités d un intervalle, condition de périodicité...), il n existe pas de résultat aussi simple d existence d une solution. Mais on peut ramener, grace au théorème (6), le problème à l étude d un système d équations sur R n par la méthode de tir : par exemple si on veut fixer p < n composantes de x(0) et n p composantes de x(t ), on considère la solution du problème (1.14) avec un point de départ x(0) = x 0 où p composantes de x 0 prennent les valeurs fixées et les n p autres composantes prennent des valeurs λ 1,..., λ p libres ; la valeur de la solution x(t) en T doit vérifier n p conditions, ce qui fait n p équations pour les n p paramètres λ i. Présentons un exemple d application de cette méthode : on considère un problème aux limites pour une équation du second ordre { x (t) + c(t) x(t) = f(t) pour t [0, 1] (1.16) x(0) = x(1) = 0 où t [0, 1], c(t) > 0 C([0, 1]), f(t) C([0, 1]). On introduit le problème auxiliaire de Cauchy x (t) + c(t) x(t) = f(t) pour t [0, 1] x(0) = 0 x 0) = λ (1.17) Ce problème de Cauchy admet une solution unique sur [0, 1] d après le théorème (6). Pour que (1.16) ait une solution, nous devons montrer qu il existe λ tel que (1.17) a une solution x(t) telle que x(1) = 0. En notant x 1 (t) la solution de (1.17) pour λ = 1 et f(t) = 0, et x 2 (t) la solution de (1.17) pour λ = 0, on vérifie immédiatement que la solution générale x(t) de (1.17) s écrit x(1) = x 1 (1)λ + x 2 (1) Pour montrer qu il existe λ tel que x(1) = 0, il suffit de montrer que x 1 (1) 0. Raisonnons par l absurde : si x 1 (1) = 0 le problème x (t) + c(t)x(t) = 0 pour t [0, 1] x(0) = 0 x(1) = 0 (1.18) admet comme solution x 1 (t) par définition de cette fonction, et cette solution est non nulle puisque x 1 (0) = 1. Or 1 1 x 1(t)x 1 (t) dt + c(t)x 2 1(t) dt = et, après intégration par parties du premier terme on obtient x 1(t) 2 dt + 0 c(t)x 2 1(t) dt = 0 ce qui implique x 1 (t) = 0 puisque c(t) > 0 par hypothèse. Ce qui contredit le fait que x 1 (0) = Mathématiques 2

22 22 Analyse des équations aux dérivées partielles Calcul numérique de la solution Voir le cours d analyse Principes de construction d équations aux dérivées partielles Les lois de conservation ou d équilibre Principe Les grands principes de la physique sont souvent des lois de conservation ou des lois d équilibre qui se traduisent par des équations aux dérivées partielles. Soit R n un domaine. Soit Φ(x) R n un champ de vecteur défini sur. La nullité du flux de Φ à travers un contour quelconque Γ s écrit Φ n ds = 0 Γ Si on prend pour Γ le bord d un domaine quelconque ω, on en déduit en utilisant la formule de Green (1.3). Φ(x) dω = 0 et donc, le domaine ω étant quelconque ω. Φ(x) = 0 Dans un problème d évolution, si la variation d une grandeur définie par une densité ρ(x, t) se traduit par un flux Φ(x, t), le flux de ce champ à travers le bord de ω vérifie ρ Φ n ds + t dω = 0 et donc d où Noter que cette équation s écrit aussi Exemples Γ ω ω ρ t +. xφ dω = 0 ρ t +. xφ = 0. x,t Φ = 0 Soit un fluide de concentration c(x) qui diffuse dans un corps poreux. La diffusion est représentée par un flux de matière Φ(x). La loi empirique de la diffusion (Loi de Fick) suppose que le flux Φ est proportionnel au gradient de concentration Φ = k c. La conservation de la matière en régime permanent implique la nullité du flux total à travers un contour quelconque et s écrit donc. Φ =. ( k c) = 0 ECP

23 CHAPITRE 1. RAPPELS ET PRÉREQUIS 23 Soit un fluide de masse volumique ρ(x, t) dont le mouvement est décrit par le champ de vitesse u(x, t) R 3. Le flux de matière est Φ = ρu. La conservation de la masse dans le mouvement se traduit par ρ t +. ρu = Les principes d extrémalité Problème de statique Limitons nous à l étude d un système mécanique, mais il existe de tels principes dans tous les domaines de la physique. Les problèmes de statique peuvent s écrire sous la forme d un principe de minimum, en l absence de frottement et si le champ de force dérive d un potentiel : Théorème 8 (Principe du minimum de l énergie) La position u d un système est un minimum de l intégrale J(u) = E(u) W (u) est l énergie potentielle totale, E(u) est l énergie interne, W (u) le potentiel des forces appliquées.. Si le système est un solide élastique occupant un domaine les grandeurs comme l énergie interne sont des intégrales de fonctions des dérivées de la position u. Nous verrons au chapitre 3, en étudiant le calcul des variations que le minimum de J(u) est alors solution d une équation aux dérivées partielles du second ordre : l équation d Euler. Problème de dynamique De même limitons nous à l étude de l évolution d un système mécanique. Les problèmes de dynamique peuvent s écrire sous forme lagrangienne, en l absence de frottement et si le champ de force dérive d un potentiel : Théorème 9 (Lagrange) La trajectoire q(t) d un système est une extrémale de l intégrale où A(q) est l action lagrangienne,et A(q) = T 0 L(q, q ) dt L(q, v) = T (q, v) W (q, v) le lagrangien du problème, T (q, v) est l énergie cinétique, W (q, v) le potentiel dont dérive le champ de force. Notons qu ici l extrémum n est pas toujours un minimum. Si le système est un milieu continu occupant un domaine l énergie cinétique est une intégrale du carré de la vitesse et donc de fonctions des dérivées de l état u. Nous verrons (chapitre 3) que cela implique que la trajectoire est une solution d une équation aux dérivées partielles du second ordre, l équation d Euler-Lagrange. 23 Mathématiques 2

24 24 Analyse des équations aux dérivées partielles ECP

25 Chapitre 2 Exemples d équations aux dérivées partielles Objectifs Nous présentons dans ce chapitre les problèmes modèles pour l étude des équations aux dérivées partielles ainsi que les grands problèmes de la physique mathématique. 2.1 Les problèmes linéaires canoniques Un problème aux limites elliptique linéaire : l équation de Poisson L équation de Poisson On considère : un domaine borné R 2 de bord Γ régulier 1. une fonction f(x) C 1 () et une fonction g C(Γ) ; On cherche une fonction u C 2 () solution du problème aux limites { k u(x) = f(x) si x u(x) = g si x Γ (2.1) C est un problème aux limites car la solution est déterminée par des conditions en tous les points du bord du domaine. C est un problème linéaire car l opérateur aux dérivées partielles est linéaire. Nous verrons au chapitre 4 la définition d un opérateur elliptique, elle est liée à la proposition (13) ci-dessous. Ce problème se retrouve dans tous les domaines de la physique, citons en particulier : Si g = 0, (2.1) est l équation qui détermine la flèche u(x) des membranes tendues, chargées par 1 Nous ne préciserons pas cette notion, les domaines formés par l intérieur d une courbe C 1 et sans point double conviennent... 25

26 26 Analyse des équations aux dérivées partielles une densité f et fixées au bord (cf. séance 2). Si f(x) = ρ(x) ɛ 0, (2.1) est l équation qui détermine le potentiel électrostatique u(x) créé par une densité de charge ρ(x) dans un domaine où le potentiel est connu sur le bord. L équation (2.1) est l équation de la diffusion de la chaleur dans une plaque mince en régime permanent, u(x) est la température au point x, f est la densité de chaleur fournie en chaque point et g étant une température connue sur le bord (cf. séance 4). Si f = 0, (2.1) est l équation des écoulements irrotationnels et incompressibles, u(x) est alors le potentiel des vitesses. Le Laplacien est le seul opérateur du second ordre invariant par rotation des axes, c est ce qui explique sa présence dans les équations de milieux isotropes. Nous verrons au chapitre 4 que la propriété fondamentale du problème (2.1) est le principe du minimum de Dirichlet : soit U 0 = {v C 2 () / v Γ = g} définissons la fonction énergie potentielle : J (v) = La solution u de (2.1) est aussi solution du problème d optimisation On en déduit (cf. chapitre 4 et 6) la proposition : Proposition 9 Le problème (2.1) admet une solution u et une seule. k 2 v 2 2 fv d (2.2) v U 0 J (u) J (v) (2.3) Les conditions mises sur f et g sont beaucoup trop restrictives, mais pour les étendre il nous faudra aussi étendre le sens donné à une solution du problème : si f est simplement continue il n existe pas toujours de solution dérivable en tout point. Cas particulier : l équation de Laplace Si f = 0, on obtient une équation de Laplace : { k u(x) = 0 si x u(x) = g si x Γ (2.4) La fonction u vérifie u = 0, c est une fonction harmonique, le problème est donc de déterminer une fonction harmonique en connaissant ces valeurs aux bords. La théorie des fonctions harmoniques est très développée, rappelons la propriété essentielle (cf Cours Analyse 1) : Proposition 10 Une fonction harmonique est localement la partie réelle d une fonction analytique. Une fonction u(x) est harmonique si et seulement si elle vérifie la propriété de la moyenne u(x) = 1 2π 2π 0 ECP u(x + r exp iθ) dθ

27 CHAPITRE 2. EXEMPLES D ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 27 Noter que l équation u(x) = 0 qui est du second ordre est formellement équivalente, après élimination de v, au système du premier ordre u x = v y u y = v (2.5) x Ces équations forment les conditions de Cauchy reliant les parties réelles et imaginaires d une fonction analytique. En utilisant les propriétés des fonctions analytiques on construit des solutions particulières de (2.4) dans des domaines simples. Par exemple si est le disque {x / x 1} on a u(r, θ) = 1 2π 2π 0 g(φ)(1 r 2 ) (r 2 2r cos(θ φ) + 1) dφ On retrouve, en appliquant la formule précédente au centre d un petit disque quelconque, qu une fonction harmonique vérifie la propriété de la moyenne (proposition 10). Une fonction harmonique sur est C dans l intérieur de et même localement développable en séries entières puisqu elle est la partie réelle d une fonction analytique. On en déduit qu une solution de (2.4) est régulière. Parce qu elle est localement développable en séries entières, une solution de (2.4) ne peut être localement nulle sans être partout nulle ; on en déduit qu une perturbation locale de la donnée au bord g entraîne une perturbation de la solution sur tout le domaine : il n y a pas d effet à distance finie. Une fonction harmonique vérifie le principe du maximum : Proposition 11 Les extrémums d une fonction harmonique sur sont atteints sur le bord de. C est une conséquence de la formule de la moyenne. Cela implique u g et donc la continuité, pour la norme infinie, de la solution u du problème de Laplace par rapport à la donnée g sur le bord. Une fonction harmonique nulle sur le bord de est donc nulle partout. On en déduit l unicité de la solution de (2.4) car si on a deux solutions leur différence est une fonction harmonique nulle sur le bord et donc nulle partout. Remarque : pour un domaine de forme quelconque, il n y a pas de solution explicite de (2.4), exprimée à l aide d intégrales ou de séries de fonctions usuelles. La dépendance de la solution d un problème aux dérivées partielles par rapport à la forme du domaine est non linéaire et elle trop complexe pour s exprimer par une formule : c est une des difficultés majeure de la théorie des équations aux dérivées partielles. Résumons les propriétés de l équation de Laplace Proposition 12 Propriétés de l équation de Laplace : la solution vérifie le principe du maximum (Proposition 11), la solution est régulière, une perturbation locale est à distance d influence infinie, la solution vérifie le principe du minimum de Dirichlet (2.3). 27 Mathématiques 2

28 28 Analyse des équations aux dérivées partielles Cas particulier : le problème aux limites homogènes Si g = 0 le problème (2.1) est dit aux limites homogènes { k u(x) = f si x u(x) = 0 si x Γ (2.6) Nous verrons en détail au chapitre 4 la proposition Proposition 13 Soit V 0 = {u C 2 () / u Γ = 0} L opérateur, considéré comme un opérateur de L 2 () dans lui même de domaine V 0, est symétrique défini positif. Les propriétés des opérateurs symétrique définis positifs seront essentielles pour analyser ce problème. On montre que la solution de (2.6) est C dans tout disque où f est C (on dit que l opérateur est hypo-elliptique). On montre que, si f 0 on a u 0 sur, et de même, si f 0 on a u sur. Ce qui implique que si f 1 f 2 on a u 1 u 2, ou, en d autre termes, l opérateur qui à une fonction f associe la solution u de (2.6) est croissant au sens de l ordre naturel sur les fonctions. Si est R 2 tout entier, si f est à support compact et si on astreint u à être nulle à l infini alors on a pour la solution une expression explicite bien connue en électrostatique u = 1 2π R 2 ln x y f(y) d Si = [0, π] [0, π] est un carré on obtient une solution explicite sous la forme d un développement en série de Fourier 2 u = n,p f n,p n 2 sin nx sin py (2.7) + p2 où f n,p = 4 π 2 π π 0 0 f(x, y) sin nx sin py dxdy 2 La convergence de cette série dépend de la vitesse de convergence vers 0 des coefficients de Fourier f n,p de la fonction f, qui est d autant plus rapide que la fonction f est plus régulière. Si la fonction f est très régulière la série converge ponctuellement et peut être dérivée deux fois termes à termes, ce qui permet de justifier son expression et de justifier l existence d une solution C 2 au problème (2.6). Si la fonction f est seulement continue, la série ne converge pas toujours ponctuellement : en fait le problème n admet pas toujours de solution au sens ordinaire, il faut utiliser les formulations faibles ou les distributions pour donner un sens à (2.7), voir le chapitre 6 ECP

29 CHAPITRE 2. EXEMPLES D ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Un problème d évolution, parabolique linéaire : l équation de la diffusion L équation de la diffusion On cherche une fonction u(x, t) du point d abscisse x, au temps t, u C 2 ([0, 1] [0, T ]) solution du problème u t = u c 2 x 2 x ]0, 1[ (2.8) u(x, 0) = u 0 (x) u(0, t) = u(1, t) = 0 Ce problème modélise les phénomènes de diffusion unidimensionnel : la diffusion de la chaleur (u(x, t) est la température du point x au temps t) ou la diffusion d un fluide dans un milieu poreux (u(x, t) est alors la concentration du fluide au point x et au temps t). Il est proche d un problème classique de mathématiques financières, l équation de Black et Scholes ( cf. séance 5 et 6). C est un problème de Cauchy, ou à valeur initiale : au temps t = 0, l état initial est donné, le problème est de déterminer l évolution ultérieure. La détermination de la solution est complétée par la donnée de conditions aux limites sur x. Nous verrons la définition des équations paraboliques au chapitre 5, elle est liée au caractère dissipatif de l évolution que nous montrerons ci-dessous. Expression de la solution Développement en séries de Fourier On peut obtenir une expression de la solution de (2.8) sous la forme d un développement en série de Fourier u(x, t) = k a k (t) sin (kπx) (2.9) Les conditions aux limites sont automatiquement vérifiées. En reportant dans l équation (2.8), il vient a k (t) = k2 π 2 ca k (t) d où l on déduit, en introduisant un coefficient a k, a k (t) = a k exp ( k 2 π 2 ct) et donc u(x, t) = k a k exp ( k 2 π 2 ct) sin (kπx) (2.10) où la constante a k est définie par la condition initiale comme un coefficient de Fourier de u 0 (x) a k = u 0 (x) sin (kπx) dx Noter que la série converge très vite, elle est dérivable terme à terme autant de fois que l on veut, cela implique que la solution est C quelle que soit la régularité de la donnée initiale. 29 Mathématiques 2