7. Sans déterminer les diviseurs de chacun des nombres, prouver que les nombres et n ont pas de diviseur commun autre que 1.

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1 EXERCICES : CH 4 : ELEMENTS D ARITHMETIQUE DANS L ENSEMBLE DES NATURELS 1. Ecrire chaque fraction sous la forme de fraction irréductible. a b c 105. Déterminer le PGCD (18 ; 30) Déterminer la liste des diviseurs de 18 ; de 30 Donner le nombre de diviseurs de 18 ; de Un grossiste en fleurs a reçu un lot de 700 roses et tulipes. Il veut réaliser des bouquets tous identiques composés de roses et de tulipes en utilisant toutes les fleurs. Quel est le plus grand nombre de tels bouquets peut-il composer? est un diviseur de l entier a Dans chacun des cas suivants, déterminer si 15 est aussi un diviseur de l entier b. Justifier b= a + 45 ; b= a + 38 ; b= a Dans le tableau final du spectacle de danse, tous les danseurs étaient en piste. Lorsqu ils se regroupaient par, il en restait 1 tout seul ; lorsqu ils se regroupaient par 3 il en restait ; par 4, il en restait 3 ; par 5, il en restait 4. Les danseurs étaient moins de 100. Combien y en avait-il? 6. a) Vérifier que le nombre est divisible par 13. On appelle a le quotient. b) vérifier que a est divisible par 11. On appelle b le quotient. c) vérifier que b est divisible par 7. Quel est le quotient? d) reprendre les questions précédentes avec/ ; e) expliquer 7. Sans déterminer les diviseurs de chacun des nombres, prouver que les nombres 517 et 5131 n ont pas de diviseur commun autre que A 1h 15 min, on voit apparaître simultanément deux signaux lumineux : un bleu, un rouge. Le signal bleu se reproduit régulièrement de 16 min en 16 min. Le signal rouge se reproduit régulièrement de 36 min en 36 min. A quelles heures les deux signaux réapparaissent simultanément? 10. on donne deux entiers a et b et on pose la division euclidienne a = b x q + r a) prouver que tout diviseur commun à a et b divise r b) prouver que tout diviseur commun à b et r divise a c) en déduire que les couples (a,b) et (b,r) ont le même PGCD Obélix refusait d utiliser la numération imposée par l envahisseur romain et employait la numération positionnelle décimale. Un jour qu il avait livré 18 somptueux menhirs, il inscrivit sur une tablette d argile le montant de la somme recueillie. Mais Idéfix, qui passait par là, gratter la tablette avant qu elle ne soit sèche et seul le chiffre des centaines reste lisible : un superbe 5. Obélix tenta de lire les autres chiffres, mais en vain. Il essaya ensuite de les retrouver, toujours sans succès. Il se souvint alors que : 1 er indice : tous les menhirs étaient au même prix ème indice : le prix, en sesterces, d un menhir était un nombre entier compris entre 70 et 90 3 ème indice : le chiffre des unités du prix total des 18 menhirs était inférieur à 5 4 ème indice : le chiffre des dizaines du prix total des 18 menhirs était supérieur à 5 1

2 Ces informations permirent à Astérix d effectuer de savants calculs et de retrouver, enfin! le nombre partiellement effacé. Retrouvez le prix des 18 menhirs.

3 CORRECTION : CH 4 : ELEMENTS D ARITHMETIQUE 1. nous cherchons le PGCD des deux nombres. PGCD (310 ; 16) = PGCD (75 ; 105) = : : 15 5 D où d où 16: : 15 7 PGCD (96 ; 35) = 3 96: 3 3 D où 35: PGCD (18 ; 30) = 6 18 x3 Car : 30 x3x5 PGCD x3 6 Diviseurs de 18 : 1 ; : 3 : 6 ; 9 ; 18 car 1x18 = x9 = 3x6 Diviseurs de 30 : 1 ; ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 car 1x30 = x15 = 3x10 = 5x6 Nombres de diviseurs de 18 : 1xx3 = 6 Nombres de diviseurs de 30 : 1xxx= 8 Ou bien : x y z t Pour n a x b x c x d le nombre de diviseur est : (x+1)(y+1)(z+1)(t+1) Ici 30 x 3 x 5 donc le nb de diviseurs est : (1+1)(1+1)(1+1) = xx = 8 3. Pour obtenir le nombre de bouquets tous identiques, on cherche le PGCD (700 ; 10800) = 700 x = 3600 x + 0 Donc PGCD (10800 ; 700) = 3600 On peut donc composer 3600 bouquets de roses et 3 tulipes. 4. a) 15 est diviseur de a 15 est diviseur de 45 car 15 x 3 = 45 Donc 15 est diviseur de la somme a + 45 et donc b b) 15 est diviseur de a 15 n est pas diviseur de 38 Donc 15 n est pas diviseur de la somme a + 38 c) 15 est diviseur de a 15 est diviseur de 135 = 9 x 15 Donc 15 est diviseur de la somme a Par il en reste 1 donc n = k + 1 donc n est un nombre impair compris entre 1 et 100. Par 5, il en reste 4 ; ce sont donc des nombres qui se terminent par 4 ou 9 mais comme ils sont impairs ils se terminent par 9. Les possibilités sont donc : Par 3, il en reste ; ce ne sont pas des multiples de 3 donc il reste : Par 4, il reste 3. Aux nombres précédents, on retire 3 et on garde les multiples de

4 Par 3 il reste soit 19 = 17 ; 59 = 57 (multiple de 3) ; 79 = 77 Le nombre est donc 59 Vérification : 59 = x = 3 x 19 + = 4 x = 5 x a) = 13 x 7566 donc a = 7566 b) 7566 = 11 x 506 donc b = 506 c) 506 = 7 x 358 donc c = 358 d) on trouve à la fin 731 et 84 e) 13 X 11 x 7 = 1001 or = 358 x = 358 ( ) = 358 x 1001 Donc : 1001 = 358 De même = 731 x = 731 x = 84 x = 84 x 1001 x1000 Si x1001 doncsionledivisepar1001onretrouve: 7. Tout diviseur commun à 517 et 5131 diviserait leur différence 4. Or les diviseurs de 4 sont 1 ; ; 4 et 4 ne sont pas diviseurs de ces nombres donc il n y a que 1 9. On cherche le PPCM de 16 et x 3 4 donc PPCM(1 6 ;36) x Les signaux réapparaissent simultanément toutes les 144 minutes = h 4 min Soit à 1h 15 + h 4 = 14h 39 min etc 10. a) si il existe des entiers tel que a = a m et b = b m Alors a bq = (a b q) m = r Et r est bien divisible par m (le quotient est a b q) b) si il existe des entiers tels que r = r m et b = b m alors a = bq + r = b qm+ r m = (b q + r ) m et a est bien divisible par m (le quotient est b q + r ) c) les ensembles de diviseurs communs aux couples (a,b) et (b,r) étant identiques, le plus grand terme de ces ensembles est commun, autrement dit, ces couples ont le même PGCD. 11. Le prix du menhir p est un entier Il y a 18 menhirs donc le prix des 18 menhirs N = 18p D après le ème indice 70x18 N 90x18 donc160 N 160 Donc N est un nombre de 4 chiffres et il commence par 15 puisque le chiffre des centaines est 5. 4

5 on peut donc chercher les multiples de 18 compris entre 1500 et : 18 = 83,33 donc 18 x 84 = 151 On obtient ainsi : Les 3 ème et 4 ème indices donnent : 1584 OU 18 est un multiple de et de 9 15du c est d + u multiple de 9 et pair et inférieur à 5 Donc d= 8 et u= 4 Donc 1584 Méthodes par essais successifs N = 15du avec d supérieur ou égal à 5 et u inférieur ou égal à 5. N divisible par 9 et pair N = 155u aucun u ne convient N = 156u N = 1575 N impair ne convient pas N = 1584 convient N = 1595 N impair ne convient pas 5