Copules et dépendances : application pratique à la détermination du besoin en fonds propres d un assureur non vie

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1 Copules e dépendances : applicaion praique à la déerminaion du besoin en fonds propres d un assureur non vie David Cadoux Insiu des Acuaires (IA) GE Insurance Soluions 07 rue Sain-Lazare, Paris FRANCE Tél. : Fax : Jean-Marc Loizeau Insiu des Acuaires (IA) MAAF Assurances Chauray, Nior Cedex 9 FRANCE Tél. : Fax : Résumé La modélisaion des dépendances enre lignes d'affaire d'un porefeuille d'assurance non vie a souven fai l'obje d'hypohèses simplificarices. Les copules son un ouil flexible qu'il es désormais possible d'uiliser pour représener la dépendance enre risques de façon réalise. Ce aricle présene un cas praique d'applicaion de la héorie des copules à la déerminaion du besoin en fonds propres d'un assureur non vie du marché français enan compe du seul risque de flucuaion des sinisres. Une méhodologie spécifique de recherche des dépendances au sein du porefeuille d'assurance es mise en place. Les copules représenan le mieux ces ineracions son ensuie sélecionnées à l'aide d'un es d'adéquaion du chi-deux. Des simulaions de Mone-Carlo permeen enfin de mesurer l'impac des dépendances sur le besoin en fonds propres de la compagnie, ce dernier éan évalué à l aide de plusieurs mesures de risque. Mos-clefs : besoin en fonds propres, mesures de risque, dépendance, copule, au de Kendall, saisique du chi-deux, Mone-Carlo Absrac The modeling of dependen business lines of a non life insurance porfolio has ofen been based on a se of simplified assumpions. Copulae are a versaile ool which can now be used o represen dependence beween risks in a realisic way. This sudy presens a pracical case where copulae heory is applied o assess he capial adequacy of a French non life insurer only adjused for he risk of volailiy in insurance losses. Firsly, a specific mehodology is developed o deec dependencies embedded in he porfolio. Secondly, copulae ha beer reflec hose links are seleced hrough a chi-square goodness-of-fi es. Finally, Mone-Carlo simulaions are used o measure he impac of dependencies on he capial adequacy of he insurer, he laer being assessed hanks o several risk measures. Keywords : capial adequacy, risk measures, dependency, copula, Kendall s Tau, Chi-square saisic, Mone-Carlo

2 INTRODUCTION L acivié d assurance requier de disposer d un niveau minimum de fonds propres pour absorber les mouvemens défavorables de résulas non anicipés. La déerminaion de ce monan minimal es devenue une problémaique majeure pour les assureurs, noammen depuis les deux dernières décennies. En effe, auparavan les marchés éaien régulés, moins volails e les rendemens exigés par les acionnaires éaien de fai moins élevés. Progressivemen, la compéiion s es accrue, la sinisralié a augmené avec une plus grande concenraion des risques assurés, l environnemen juridique es devenu de plus en plus incerain, les mouvemens capialisiques e la noion de créaion de valeur pour l acionnaire son apparus. Dans ce nouveau conexe, les assureurs son désormais foremen inciés à développer une gesion opimale de leurs fonds propres qui doi saisfaire des inérês divergens. D un côé, les auoriés de conrôle, les agences de noaion, e dans une mesure croissane les assurés, recherchen une solvabilié maximale de la sociéé e donc plus de fonds propres. De l aure, les acionnaires espèren maximiser le rendemen de leur invesissemen en limian le capial injecé dans la sociéé. La recherche d une opimalié du niveau des fonds propres soulève une quesion imporane : l opimum souhaié reflèe--il des dépendances poenielles enre les risques supporés par la compagnie? Récemmen encore les réponses acuarielles apporées à cee quesion éaien basées sur des hypohèses fores : soi les risques éaien supposés indépendans, soi on admeai leur dépendance mais en leur imposan de suivre la même loi de disribuion. Désormais, une modélisaion plus réalise des liaisons enre risques es possible grâce à la héorie des copules, obje d un vif regain d inérê depuis quelques années. L impac de la dépendance enre risques sur la déerminaion du besoin en fonds propres d un assureur n a éé analysé à l aide des copules que dans un cadre héorique. Ce aricle présene une mise en œuvre praique de cee problémaique appliquée au porefeuille non vie d un assureur du marché français, en se concenran sur la dépendance enre charges sinisres de plusieurs garanies. La première parie sera consacrée aux mesures de risque. On discuera de leurs propriéés e on présenera celles qui peuven êre reenues pour déerminer le besoin en fonds propres. Dans la deuxième parie, on rappellera les principaux résulas auour de la dépendance e des copules, e on proposera noammen une méhode de sélecion de la meilleure copule basée sur la saisique du chi-deux. La roisième parie présenera les données du porefeuille d assurance analysé, décrira une méhodologie permean d exhiber des dépendances inrabranche e iner-branches au sein de ce porefeuille e mera en exergue les copules décrivan le mieux ces dépendances. Au cours de la dernière parie, on modélisera le besoin en fonds propres via diverses mesures de risque, e on évaluera via des simulaions de Mone-Carlo commen il es affecé par la prise en compe de dépendances modélisées par diverses copules.

3 Parie. MESURES DE RISQUE Le principal ouil héorique pour calculer le besoin en fonds propres es défini sous le vocable «mesures de risque». Ceraines de ces mesures de risque son manipulées depuis for longemps par les acuaires, plus pariculièremen dans le domaine de la arificaion. Les mesures de risque uilisées pour le besoin en fonds propres on donné lieu à de nombreux ravaux acuariels ces dernières années. De manière générale, elles visen à fixer un niveau de capial pour un porefeuille de risques donné, e mesuren le risque en un en ou plusieurs nombres. Dans ce qui sui on donnera la définiion d une mesure de risque e les propriéés associées qui peuven êre recherchées pour évaluer le besoin en fonds propres, puis on présenera les principales mesures de risque permean de fixer un niveau opimal de fonds propres... Définiion Soi Ω l ensemble fini des éas de naure possibles, on appelle variable aléaoire réelle une foncion X qui à un éa de la naure ω associe le réel X (ω ). En assurance, le résula d une compagnie sur une période donnée ou la charge agrégée de sinisres (d une ou plusieurs garanies) peuven êre formalisés de cee manière. X pourra êre caracérisée par sa foncion de répariion F X ( x) = P ω / X ( ω) x = P X x. F : { } { } X On appelle mesure de risque une foncion ρ associan à un risque X un réel posiif ρ (X ). Le besoin en capial d une compagnie d assurance non vie peu êre formalisé en uilisan une elle foncion. X représenera dans ce qui sui le résula de la sociéé, le besoin en capial éan foncion de cee variable... Propriéés Une mesure de risque doi pouvoir vérifier un cerain nombre de propriéés élémenaires. A ce jour, il n exise pas de consensus dans la liéraure acuarielle sur les propriéés que doi nécessairemen respecer une mesure de risque. Nous rappelons ci-après le corps des propriéés pouvan s appliquer aux mesures de risque uilisées pour esimer le besoin en capial e présenons une raducion simple de ces propriéés en nous inspiran des ravaux de De La Foaa e Odjo [00]. Il exise d aures propriéés qui ne son pas présenées car elles son plus spécifiques au calcul du chargemen de la coisaion. Pour deux risques quelconques X e Y, les propriéés suivanes peuven êre formulées : Invariance par ranslaion ρ ( X + c) = ρ( X ) c, pour oue consane c. Si on ajoue (respecivemen on reranche) un monan cerain c au résula d un cenre de profi, le besoin en capial décroî (respecivemen augmene) du même monan. Sous-addiivié ρ X + Y ρ X + ρ Y ( ) ( ) ( ) Volonairemen le résula n es pas défini ici car il dépend du modèle d évaluaion du besoin en capial mis en œuvre. Le cenre de profi peu êre soi la compagnie dans son ensemble soi limié à une branche d acivié donnée. 3

4 La fusion de deux cenres de profi ne crée pas de risque supplémenaire. Au conraire, la diversificaion end à réduire le risque global. Cee propriéé perme ainsi une gesion décenralisée du besoin en capial dans les différens cenres de profi sans courir le risque d un besoin global supérieur à la somme des besoins individuels de chacun des cenres. Si cee propriéé n éai pas respecée, une sociéé ne respecan pas un cerain niveau requis de capial pourrai êre inciée à se scinder arificiellemen en deux eniés afin de réduire son besoin en capial. Homogénéié posiive ρ λ X = λ ρ X, λ ( ) ( ) 0 De même qu une fusion ne crée pas de risque supplémenaire ( ( λ X ) λ ρ( X )) sans diversificaion ne rédui pas le besoin global en capial. ρ, une fusion Monoonie X Y ρ( X ) ρ( Y ) Si les peres encourues avec le risque X son oujours supérieures à celles obenues avec Y, le besoin en capial pour X doi êre supérieur à celui pour Y. Propriéé de borne supérieure ρ X max X, le besoin en capial es borné par la pere maximale possible. ( ) ( ) Conservaisme ρ ( X ) = ρ( X ) où X désigne la parie négaive de X, ( X = min( X,0)). Elle es définie par Arzner e al. [999] noammen pour la déerminaion du besoin en capial, e condui à ne prendre en compe que les valeurs négaives de X, raduisan ainsi une fore aversion au risque. Propriéé de sévérié Le besoin en capial doi enir compe des ampliudes possibles des peres. Selon Arzner e al. [999], une mesure de risque vérifian les quare premières propriéés es die cohérene. Selon ces aueurs, une mesure de risque appropriée doi respecer le crière de cohérence. Ce corps de propriéés définissan une mesure cohérene ne fai pas l unanimié dans la communaué acuarielle. On peu monrer en effe qu il exise des siuaions où le non respec d une des propriéés es préférable. Le principe d homogénéié posiive es remis en quesion lorsqu une variaion d échelle du risque condui à un effe plus que proporionnel sur le besoin en capial, lié, par exemple, à une difficulé pour se réassurer. Un aure exemple consrui par Perronne e al. [00] monre que la diversificaion, recherchée à ravers l agrégaion des risques, limie bien la dispersion du risque mais n augmene pas nécessairemen la probabilié d êre solvable. Dans l exemple mis en œuvre, un agen basan son crière de souscripion sur l écar-ype, en raison de sa sous-addiivié, rédui effecivemen la dispersion du risque mais augmene sensiblemen la probabilié d êre insolvable..3. Principales mesures de risque pour évaluer le besoin en fonds propres Cee secion décri les caracérisiques, avanages e inconvéniens des principales mesures de risque suscepibles d êre mises en œuvre pour déerminer le besoin en fonds propres. 4

5 Probabilié de ruine La probabilié de ruine dans sa version primaire correspond au percenile du poin au-delà duquel le capial iniial es oalemen épuisé sur une période donnée suie à un résula déficiaire. Auremen di, si on noe C le capial iniial donné, la probabilié de ruine es égale à F X ( C) = P( X < C). Assez logiquemen, elle a aussi éé uilisée dans les modèles assurance en fixan un niveau minimum de probabilié de ruine, α, jugé accepable selon l aversion au risque de l agen e en déerminan ensuie le niveau de capial qui lui correspond. Dans ce cas, on a alors F X ( C) = α e C es cee fois déerminé en foncion de α. La probabilié de ruine issue des modèles d assurance es à l origine de la Value a Risk (VaR), bien connue du monde bancaire. Value a Risk (VaR) La VaR es une mesure de risque commune aux organismes financiers qui es oalemen équivalene au concep de Sinisre Maximum Probable (SMP), rès familier des assureurs non vie. Elle es égale à la pere maximale que peu subir une organisaion, dans des condiions normales de marché, sur une période de emps donnée pour un cerain niveau de probabilié α. On a donc VaRα ( X ) = inf{ x : FX ( x) α}. De manière praique, la mise en œuvre de la VaR consise à faire varier la probabilié α e à déerminer le capial minimal associé en débu de période qui permee de faire face à la pere maximale en fin de période. On obien donc rérospecivemen le niveau de capial en deçà duquel l organisaion es en ruine avec une probabilié supérieure à α. La VaR uilisée dans ce conexe n es aure que la probabilié de ruine évoquée plus hau. L avanage de la VaR es d êre un concep simple e facile à calculer. Elle vérifie les propriéés d invariance par ranslaion, d homogénéié posiive, de monoonie, de borne supérieure e de conservaisme. En revanche, elle n es pas sous-addiive e ne ien pas compe de la sévérié de la ruine, ce qui consiue la criique la plus souven formulée à son égard. Cependan cee mesure de risque peu faire sens dans un objecif de solvabilié. TailVaR (TVaR) La TailVaR (TVaR) aussi appelée Expeced Shorfall, Condiional Tail Expecaion ou bien encore Condiional VaR, es une mesure de risque définie de la manière suivane : P( X < VaRα ( X )) TVaRα ( X ) = VaRα ( X ) + E[ X VaRα ( X ) X < VaRα ( X )]. α Cee expression s explique par le fai que pour une disribuion discrèe, on peu avoir P ( X < Varα ( X )) < α. Dans la praique, on se place généralemen dans le cas où F X (x) es coninue 3 e on a alors TVaRα ( X ) = VaRα ( X ) + E X VaRα ( X ) X < VaRα ( X ) = VaRα ( X ) + E = E[ X X < VaRα ( X )]. [ ] [ X X < VaRα ( X )] VaRα ( X ) Par consrucion, cee mesure de risque es rès sensible à la queue de disribuion e es de fai plus conservarice que la VaR car pour un seuil α on a oujours TVaRα ( X ) > VaRα ( X ). 3 Dans la praique, ) (x F X es le plus souven inconnue e approchée par simulaions. Grâce aux capaciés informaiques acuelles, on peu disposer aujourd hui d un rès grand nombre de simulaions qui perme de considérer que l on a un coninuum d observaions. 5

6 Elle es égalemen facile à expliquer e présene la paricularié de respecer un rès grand nombre de propriéés puisqu elle es non seulemen cohérene au sens d Arzner e al. [999] mais elle vérifie aussi les propriéés de borne supérieure, de conservaisme e de sévérié. Ceci explique qu elle soi la mesure de risque la plus souven recommandée. Excess TailVaR (XTVaR) La XTVaR n es aure que la ruine moyenne au-delà d un cerain seuil : XTVaRα ( X ) = E[ X VaRα ( X ) X < VaRα ( X )]. Cee mesure de risque, aussi appelée Mean Excess Loss, es équivalene à l espérance de vie résiduelle uilisée dans les modèles d acuaria vie. Ce n es aure que la différence enre la TVaR e la VaR : TVaRα ( X ) = VaRα ( X ) + XTVaRα ( X ). Si l on pose β = VaR α (X ), alors on a XTVaR α ( X ) = TVaRα ( X ) β e l on voi que par consrucion la XTVaR ne peu vérifier les propriéés de sous addiivié, d homogénéié posiive e de monoonie. Parie. DEPENDANCE ET COPULES Supposer l indépendance enre les risques d un porefeuille d assurance es une hypohèse fore qui doi êre esée. Les copules présenen de nombreux avanages pour modéliser la dépendance enre risques. D une par, elles permeen de décrire le comporemen individuel de chaque risque e «couplen» les lois marginales pour obenir la loi joine. D aure par, elles offren une représenaion foncionnelle de la dépendance qui donne une descripion rès complèe de la forme de cee dernière. Dans cee parie son présenés les résulas fondamenaux de la héorie des copules... Dépendance ou corrélaion? Il es imporan de rappeler que la dépendance e la corrélaion son des noions différenes. En effe, on a X e Y indépendanes X e Y non corrélées ou ρ ( X, Y ) = 0 mais la réciproque es fausse sauf dans le cas où les variables son gaussiennes car la dépendance es alors enièremen caracérisée par le coefficien de corrélaion. Le conre-exemple le plus connu 3 dans la liéraure es le suivan : soi X ~ N(0,) e Y = X, alors cov( X, Y ) = E( X ) = 0. Bien qu il soi facile à calculer e fréquemmen présen dans les ravaux acuariels, en assurance comme en finance, le coefficien de corrélaion doi êre uilisée avec précauion car il n es perinen qu en présence de disribuions ellipiques (disribuion mulivariée Normale ou de Suden) ou de dépendance linéaire. Les erreurs d inerpréaion e limies liées à son uilisaion son discuées dans Embrechs e al. [999]... Qu es-ce qu une copule? Définiion : copule Une copule es une foncion de répariion mulivariée C définie sur l hypercube [ 0 ;] n e don les marginales son uniformes sur [ 0 ;]. 6

7 Théorème - Théorème de Sklar [959] Soi F une foncion de répariion n-dimensionnelle avec des marginales F,..., Fn, alors il n exise une n-copule C elle que pour ou x de R, F x,..., x ) = C( F ( x ),..., F ( x )). ( n n n Le héorème de Sklar appliqué à des variables aléaoires coninues condui au héorème suivan. Théorème Soi ( X,..., X ) un veceur de variables aléaoires coninues admean F F n,..., n comme foncions de répariion marginales e F comme foncion de répariion joine, alors il exise une copule C qui vérifie la relaion du héorème. Si les marginales F,..., F son coninues, n alors C es unique, auremen C es uniquemen déerminée sur Im( F )... Im( F n ). (Im(X) représenan l ensemble des valeurs prises par X) A parir du héorème, on voi qu une copule perme d exprimer une foncion de répariion mulivariée selon ses marginales e que cee copule résume oue la srucure de dépendance. Une copule n es aure qu une foncion de répariion don les lois marginales son uniformes, ce qui condui à une expression probabilise simple de la copule : C( u,..., u ) = Pr( U u,..., U u ). n n n Avec les copules, on ne ravaille plus en nombre ou monan mais en rang. Auremen di, dans la praique on ransforme linéairemen les réalisaions x,..., x en uniformes empiriques n Rang( xi ) u,...,u n où ui = pour ou i de à n. n + Définiion : densié d une copule La densié c d une copule C, si elle exise, es définie comme sui n C c( u,..., u ) = ( u,..., u ). n n u... u.3. Mesures de concordance n Il convien ou d abord de rappeler la noion de concordance. Soien ( x, y) e ( x, ~ y ) ~ x, ~ y son dies concordanes si ( x~ )( y ~ y ) > 0 ( ) ~ deux réalisaions d un veceur aléaoire coninu (X,Y), alors ( y ) x e discordanes si ( x~ )( y ~ y ) < 0 Théorème 3 Soi κ une mesure de concordance pour des variables aléaoires coninues X e Y.. si Y es une foncion croissane de X, alors κ X, Y = ;. si Y es une foncion décroissane de X, alors κ X, Y = ; x, e x. 3. si α e β son des foncions sricemen croissanes, alors κ α( X ), β ( Y ) = κ X, Y. Il es facile de consruire des exemples où le coefficien de corrélaion linéaire de Pearson n es pas invarian par ransformaion sricemen croissane (voir Embrechs e al. [00]). Par conséquen, la corrélaion linéaire n es pas une mesure de concordance. En revanche, le 7

8 au de Kendall e le rho de Spearman son deux mesures de concordance bien connues en saisique. Elles donnen une mesure de la corrélaion enre les rangs des observaions, à la différence du coefficien de corrélaion linéaire qui lui apprécie la corrélaion enre les valeurs des observaions. Elles offren par ailleurs l avanage de s exprimer simplemen en foncion de la copule associée au couple de variables aléaoires. Définiion 3 : au de Kendall Soien (X,Y) un couple de veceurs aléaoires e (X,Y ) une copie de (X,Y), c'es-à-dire un couple de veceurs en ou poin idenique à (X,Y), le au de Kendall s écri alors : τ X, Y = Pr X X ' Y Y ' > 0 Pr X X ' Y Y ' < 0. ( ) {( )( ) } {( )( ) } Le au de Kendall n es aure que la différence enre la probabilié de concordance e celle de discordance. Son expression en erme de copule es la suivane : Théorème 4 Soi (X,Y) un couple de variables aléaoires coninues de copule C, alors τ X, Y = 4 C u, v dc u, v = 4 C u, v C u, v dudv. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u [ 0,] [ 0,] ce qui peu s écrire encore ( X, Y ) = 4E( C( U, V )) τ, avec U, V ~ U ( 0,). Un esimaeur du au de Kendall se consrui à parir d un échanillon {( x y ),...,(, )} (X,Y) de la façon suivane : ) T j τ X, Y = sign T ( T ) ( ) {( x x )( y y )} v si z 0 où sign(z) = si < j i j i j= i= z 0, x T y T de Définiion 4 : rho de Spearman ~ ~ Soien ( X, Y ) e ( X ', Y ') deux couples de veceurs aléaoires copies d un veceur aléaoire (X,Y), alors le rho de Spearman es égal à : ρ ~ ~ S X, Y = 3 Pr ( X X ) Y Y ' > 0 Pr ( X X ) Y Y ' < 0 [ { } { ( ) }] ( ) ( ) Le rho de Spearman s écri aussi en foncion du coefficien ρ de corrélaion linéaire de Pearson : ρ ( X, Y ) = ρ( F ( X ), F ( Y )) où F S X Y X e F Y son les foncions de répariion respecives de X e Y. Son expression en erme de copule es la suivane : Théorème 5 Soi (X,Y) un couple de variables aléaoires coninues de copule C, alors ρ X, Y = uvdc u, v 3 = C u, v dudv 3. S ( ) ( ) ( ) [ 0,] [ 0,] Un esimaeur du rho de Spearman se consrui à parir d un échanillon {( x y ),...,(, )} (X,Y) de la façon suivane :, x T y T de ) ρ S ( X, Y ) = T i= T ( Ri R)( Si S ) T où Ri es le rang de xi, Si celui de yi e Z Z i. T i= i= = T ( Ri R) ( Si S ) i= 8

9 .4. Dépendance de queue Le concep de dépendance de queue fourni une descripion de la dépendance au niveau des queues de disribuion, rès inéressane pour éudier la survenance simulanée de valeurs exrêmes. C es une mesure locale conrairemen au au de Kendall e au rho de Spearman qui mesuren la dépendance sur l ensemble de la disribuion. Définiion 5 : coefficiens de dépendance de queue Le coefficien de dépendance de queue inférieure ou lower ail dependence coefficien de deux variables aléaoires X e Y, de foncions de répariion respecives F e F, es défini X Y λ ( X, Y ) lim Pr X F ( α) Y F ( α) (si cee limie exise). = + X Y α 0 par [ ] L Le coefficien de dépendance de queue supérieure ou upper ail dependence coefficien de deux variables aléaoires X e Y, de foncions de répariion respecives F e F, es défini X Y λ ( X, Y ) lim Pr X > F ( α) Y > F ( α) (si cee limie exise). = X Y α par [ ] U On di que X e Y son asympoiquemen dépendanes au niveau supérieur de la queue de disribuion si λ U ( 0; ] e asympoiquemen indépendanes au niveau supérieur de la queue de disribuion si λ U = 0. Lorsque λ U > 0, une inerpréaion simple peu êre donnée lorsqu on éudie la sinisralié exrême concomiane sur deux branches d assurance : sachan qu un sinisre exrême es survenu dans une branche, il exise une probabilié non nulle qu un sinisre d une inensié relaive comparable survienne concomiammen dans l aure branche. La noion de copule de survie es rès uile pour l éude de la dépendance de queue. La définiion en es la suivane. Définiion 6 : copule de survie ~ Soi C ( u,..., u n ) la foncion définie par ~ C u,..., un = C u,..., un où C u,..., un = Pr U > u,..., U n > u ( ) ( ) ( ) [ n ]. ~ Alors C ( u,..., ) u n es appelée copule de survie (survival copula) de la copule C. Définiion 7 Soien X e Y deux variables aléaoires de copule C, alors on a C( u, u) u + C( u, u) λ L ( X, Y ) = lim e λ X Y u 0 + U (, ) = lim u u u On monre facilemen que le coefficien de dépendance de queue inférieure (resp. supérieure) de C es le coefficien de dépendance de queue supérieure (resp. inférieure) de C ~. Auremen di, à parir d une copule donnée, il es possible de créer une aure copule présenan une srucure de dépendance de queue inversée. 9

10 .5. Copules archimédiennes Volonairemen les copules gaussienne e de Suden, dies copules ellipiques, ne seron pas présenées dans ce aricle. Elles son en effe moins bien adapées en assurance car elles s appliquen à des disribuions symériques. Le leceur pourra néanmoins en rouver une présenaion dans Cadoux e al [004]. Les copules archimédiennes on le grand avanage de décrire des srucures de dépendance rès diverses don noammen les dépendances dies asymériques, où les coefficiens de queue inférieure e de queue supérieure diffèren. Définiion 8 : copules archimédiennes Soi ϕ une foncion convexe, coninue, sricemen décroissane de [ 0 ;] dans [ ; [ 0 elle que ϕ ( ) = 0 e ϕ (0) = alors C( u) = ϕ ( ϕ( u) + ϕ( v)) es une copule archimédienne srice e ϕ es appelé généraeur sric de C. Noons que cee méhode de généraion de copules peu êre facilemen éendue en dimension n. Elle présene un double inérê. D une par, elle perme de consruire une grande variéé de familles de copules. D aure par, les copules ainsi générées on des formes analyiques closes. Le ableau suivan regroupe les caracérisiques des familles les plus connues. On rappelle que le paramère a mesure le degré de dépendance enre les risques. Plus il es élevé plus la dépendance es fore e une valeur posiive de a indique une dépendance posiive. Copule ϕ (u) ( u, v) Gumbel ( ln ), a au e Franck ln, 0 a a e u a ( -) Clayon, a > 0 a C λl a a [ ] u a a ( ln u) + ( ln v) λ U exp 0 a au av ( e )( e ) ln + a 0 0 a ( e ) ( u a a a + ) a v 0 τ a a 4( D ( a)) a a a + La copule de Gumbel n appréhende que des dépendances posiives e possède la caracérisique de pouvoir représener des risques don la srucure de dépendance es plus accenuée sur la queue supérieure. Elle es à ce ire pariculièremen adapée en assurance e en finance pour éudier l impac de la survenance d événemens de fore inensié sur la dépendance enre branches d assurance ou acifs financiers. La copule de Franck perme de modéliser les dépendances aussi bien posiives que négaives. On noe qu il n exise pas de dépendance de queue pour cee copule. Le au de Kendall s exprime en foncion de a grâce à la foncion Debye définie par x k k Dk ( x) = k d. x e 0 Comme la copule de Gumbel, la copule de Clayon ne perme de modéliser que les dépendances posiives. A l inverse de la copule de Gumbel, elle vise à rendre compe d une dépendance sur les événemens de faible inensié. 0

11 .6. Copule HRT La copule HRT n apparien pas à la famille des copules archimédiennes. Elle a éé inroduie par Vener [00] pour modéliser la dépendance sur des événemens exrêmes de fore inensié. Elle a éé consruie comme éan la copule de survie de la copule de Clayon e présene donc une srucure de dépendance inversée. a a a C( u, v) = u + v + (( u) + ( v) ) a a, e λ L = 0, λ U =, τ a =. a +.7. Copule empirique Définiion 9, Deheuvels [979] a inrodui la noion de copule empirique : r,...,r n x,..., xn don chaque Soi { } la saisique de rang associée à l échanillon mulivarié { } veceur possède J observaions ( i [ ; n], r i es le rang de x i parmi ( i ) J n copule Ĉ définie sur le reillis,..., T T T n n Cˆ,..., = = = { r T T T k k k } es une copule empirique. k n, x... = ) alors oue 0 k T Un exemple simple de calcul de copule empirique en dimension avec J=T=3 es donné dans Cadoux e al. [004]. Il es imporan de noer que la copule empirique n es pas unique mais que oues les copules empiriques prennen les mêmes valeurs sur le reillis. Par ailleurs, si l on noe Ĉ T la copule empirique d ordre T, où T représene la aille de l échanillon uilisé pour sa consrucion, alors Ĉ T converge asympoiquemen vers C (voir Faivre [00]). Ĉ offre l avanage de s affranchir des foncions de répariion marginales. En revanche, l esimaeur ~ empirique naurel de la copule fai lui appel aux lois marginales e s écri ~ ~ ~ C( u,..., ) ( ( ),..., un = F F u Fn ( un)) où F ~ es la foncion de répariion empirique joine e F ~ i la foncion de répariion empirique marginale. Il es égalemen possible de définir une densié empirique ĉ (équivalene à la densié de Radon-Nikodym) pour la copule empirique Ĉ : n cˆ,..., = L T T i = in in = i ( ) ˆ i + n in + C,...,. T T Elle es parfois appelée empirical copula frequency dans les ravaux anglo-saxons e représene la probabilié d apparenance à un hypercube de [ 0 ;] n de longueur d arrêe. T Il es possible d exprimer direcemen Ĉ en foncion de ĉ de la manière suivane : ˆ n C,..., = L T T i = i n n = ˆ i in c,...,. T T par

12 Ĉ e ĉ son disconinues par consrucion e leur disconinuié s accenue lorsque T diminue. Dans la praique, leur emps de calcul, croissan avec T, peu êre assez long. Il es conseillé de ne pas choisir une valeur rop grande de T afin de limier les emps de raiemen informaique ou en veillan à ne pas reenir une valeur rop faible qui conduirai à des résulas rop disconinus, engendran alors une pere d informaion sur la forme de la disribuion. Ces deux foncions empiriques peuven êre uilisées graphiquemen mais elles ne permeen pas par simple visualisaion de choisir la famille paramérique de copules la mieux adapée à la srucure de dépendance des données..8. Inférence saisique Cee parie présene les principales méhodes permean d esimer le paramère de la copule. Méhode des momens Cee méhode revien à se donner une mesure de concordance κ C e à considérer que la valeur du paramère a de la copule C es celle qui égalise la valeur héorique κ C(a) à ˆ κ C. Elle n assure aucune robusesse de l esimaeur. Dans la praique, l esimaeur empirique du au de Kendall es le plus souven uilisé comme mesure de concordance en raison de sa simplicié de calcul. Méhode du maximum de vraisemblance A parir du héorème e de la définiion, sous des condiions de coninuié, la densié joine de la disribuion F s écri : f n fi( xi ). ( x,..., xn ) = c( F ( x ),..., Fn ( xn) ) i= Soien {( x x } T,..., n) = l échanillon d observaions, θ le veceur K des paramères à esimer e Θ l espace dans lequel θ prend ses valeurs. = T T n ln fk ( xk ). = = k= La log-vraisemblance s exprime alors l(θ ) ln c( F ( x ),..., Fn ( xn)) + L esimaeur de θ, noé ˆML θ, es el que l( ˆ θ ML ) l( θ ), θ Θ. Il vérifie la propriéé de normalié asympoique : ( ˆ θ θ 0 ) N( 0, Ι ( θ )) T ML L 0, avec Ι θ ) la marice d informaion de Fisher. ( 0 Le problème avec cee méhode es qu elle peu engendrer des emps de calcul rès longs dans le cas d une grande dimension car elle nécessie d esimer conjoinemen les paramères des lois marginales e les paramères de la srucure de dépendance. De plus, l esimaion de la copule es sensible à une évenuelle erreur d esimaion des marginales car elles inerviennen direcemen dans le calcul de la log-vraisemblance.

13 Méhode IFM (Inference Funcions for Margins) La méhode IFM ou méhode des foncions d inférence des marginales a éé proposée par Joe e al. [996]. Elle repose sur le fai que la représenaion en copule perme de séparer les paramères spécifiques des disribuions marginales de ceux de la srucure de dépendance. Ainsi, la log-vraisemblance peu s écrire de la manière suivane : = T T n ln c( F ( x, θ),..., Fn ( xn, θ n); a) + ln fk ( xk; k ) = = k= l( θ ) θ où θ = ( θ,..., θ n, a) le veceur des paramères conien les paramères θ k de chaque marginale e les paramères a de la copule. La maximisaion s effecue en deux éapes : on esime les paramères de chaque marginale ˆ θ k = arg maxlk ( θ k ) = arg max T = ln fk ( xk ; θ k ) on esime a à parir des esimaeurs précédens aˆ = arg maxl ( a) = arg max c T = ln c( F ˆ ( x, θ),..., Fn ( xn, θ n); a). ˆ Là encore, l esimaeur ˆ θ ( ˆ,..., ˆ, a IFM = θ θ ˆ) n vérifie la propriéé de normalié asympoique e ˆ T θ IFM θ0 N 0, ν ( θ ) 0 on a ( ) ( ) avec ν ( θ 0 ) la marice d informaion de Godambe. Si on défini g( θ ) = l,..., ln θ θ n la marice de Godambe s écri (Joe [997]) : alors ν ( θ = D M ( D ) T T où D = E ( g(θ ) ) 0) θ T e M = E[ g( θ ) g( θ )]. Cee méhode pourrai présener l avanage de reposer sur des calculs plus légers que ceux générés par la méhode du maximum de vraisemblance mais la déerminaion de la marice de Godambe peu s avérer rès complexe en raison des muliples calculs de dérivées. Là encore, la méhode es sensible à une évenuelle erreur de spécificaion des marginales pour la même raison que celle évoquée plus hau. Méhode CML (Canonical Maximum Likelihood) Cee méhode, recommandée par Bouye e al. [000], es voisine de la méhode IFM à la différence qu elle ne nécessie pas d avoir recours à l esimaion des marginales. Pour cela, les observaions { } T ( x,..., xn) = son ransformées en uniformes {( uˆ u } T,..., ˆn) = en uilisan les foncions de répariion empirique univariées e en esiman le paramère comme sui : a ˆ = arg max T = ln c( uˆ,..., uˆ n; a). 3

14 Cee méhode présene le grand avanage de procéder à une esimaion paramérique de la copule oalemen indépendane de la forme paramérique des lois marginales. En oure, elle génère des emps de calcul limiés 4. Ce son deux aous majeurs qui la renden rès aracive. C es cee méhode qui a éé choisie dans nore applicaion..9. Sélecion d une copule à parir du es d adéquaion du chi-deux La sélecion de la meilleure copule doi s appuyer sur un es saisique. Le es du chi-deux uilisé dans le cadre de l ajusemen d une disribuion paramérique à une disribuion empirique consiue à ce égard un ouil inéressan pour le choix d une copule. Habiuellemen mis en œuvre pour ajuser une disribuion univariée, il offre l avanage de facilemen s adaper au cas des disribuions mulivariées. Il es vrai qu il nécessie de procéder à un découpage en classes qui rédui sa puissance e que la manière de choisir ces classes peu êre criiquée. Néanmoins, sa facilié d uilisaion en fai un ouil de décision rès inéressan pour sélecionner la meilleure copule. Nous proposons ci-après une méhode saisique de sélecion de copule basée sur un ajusemen bivarié enre la copule paramérique e la copule empirique effecué à parir de la saisique du chi-deux. Noons que l exension de cee méhodologie au cas rivarié es immédiae en veillan à bien adaper le calcul des probabiliés rivariées (voir Cadoux e al. [004]). Nore approche s inspire d un aricle de Hurlimann [00a] dans lequel le es du chi-deux es uilisé dans une version modifiée de la méhode IFM. Le processus de sélecion d une copule es décri ci-après.. Esimaion du paramère de la copule On esime le paramère de la copule bivariée à parir de la méhode CML afin de s affranchir d une évenuelle erreur de spécificaion des lois marginales. On noe Ca ˆ cml ( u, u) la copule paramérique obenue.. Calcul de la copule empirique On défini un reillis d ordre T adapé au nombre d observaions e aux conraines de emps de calcul puis on calcule la copule empirique bivariée sur ce reillis : T Cˆ, = = = { r T T T k k k } 3. Choix d un nombre d inervalles pour découper les uniformes univariées On se donne un nombre k afin de découper chacune des uniformes en k inervalles e de consruire un ableau de coningence bivarié des effecifs. k e T doiven êre choisis de concer afin d obenir aisémen les effecifs empiriques à parir de la copule empirique. Sans a priori sur la disribuion empirique bivariée, on découpe chaque uniforme sur des inervalles ideniques. On noe ( b 0, b ], ( b, b ],...,( b k, b k ] e ( c 0, c ], ( c, c ],...,( c k, c k ] les k inervalles pour découper respecivemen u e u. 4. Calcul des effecifs e consrucion du ableau de coningence bivarié L obje de cee éape es de calculer les effecifs empiriques e héoriques sur chacun des b, b c, c, i, j,..., k inervalles bidimensionnels ( i i ] ( j i ] =. k 4 Pour accélérer la maximisaion du programme, il es conseillé de parir d une valeur iniiale de a égale à celle qui découle de l esimaeur des momens. 4

15 Pour ce faire, il convien de calculer les probabiliés bivariées inervalle. La formule de calcul es la suivane : p i, j = C( bi, c j ) C( bi, c j ) C( bi, c j ) + C( bi, c j ) où i,j =,...k e C( x, y) = Cˆ(x, y) ou Caˆ ( x, y). cml p i, j d apparenance à un Les effecifs f i, j son calculés en muliplian les probabiliés bivariées par le nombre oal d observaions. On obien alors un ableau de coningence bivarié donnan les effecifs empiriques issus de la copule empirique e les effecifs héoriques issus de la copule paramérique. Il a la forme suivane : u \ ( 0,b ] u ( c ] ( c ] ( c k, c k ] 0,c b f, ( ],b b f,,,c f, f, k f f, k ( b k, b k ] f k, k, f f k, k 5. Applicaion du crière de Cochran e regroupemen en classes Dans la praique, les effecifs héoriques de ceraines cases peuven êre rès faibles voir proches de zéro. Il fau alors procéder à un regroupemen des k inervalles iniiaux en n classes permean de respecer le crière de Cochran qui recommande d avoir des effecifs héoriques au moins supérieurs à % du nombre oal d observaions dans chaque classe, e supérieurs à 5% du nombre oal d observaions dans au moins 80% des classes. Ce regroupemen es aussi à effecuer sur le ableau bivarié des effecifs empiriques. Selon les zones de dépendance recherchées, on pourra noammen isoler les cellules des queues de disribuion ou reenir des direcions pariculières comme la diagonale principale par exemple. 6. Calcul de la saisique bivariée du chi-deux e sélecion de la copule Après avoir défini le regroupemen en n classes vérifian le crière de Cochran, on calcule la saisique bivariée du chi-deux observée comme sui : n ( O j E j ) χ obs = j= E j où O j e E j représenen respecivemen les effecifs observés e aendus dans chaque classe j, j =,..., n. Cee saisique sui une loi du chi-deux à (n-r-) degrés de liberé avec r le nombre de paramères esimés de la copule. On se donne ensuie un seuil criique α pour la zone de reje e on calcule la p-valeur ˆ α = P( χ n r > χ obs ). On rejee l adéquaion de la copule paramérique si ˆ α < α. Il fau préciser pour les praiciens que la p-valeur exace αˆ se siue en fai dans l inervalle suivan : P( χ χ ) ˆ α P( χ > χ ). n > obs n r obs Ce encadremen éan de faible ampliude lorsque r es pei vis à vis de n, le seuil criique α sera le plus souven en dehors de ce encadremen e on conclura sans ambiguïé (Besson e al [004]). Parmi les copules accepées, on sélecionne alors celle qui maximise la p-valeur. 5

16 Parie 3. PORTEFEUILLE ETUDIE ET RECHERCHE DES DEPENDANCES Cee parie aborde l aspec praique de nos ravaux. On y présenera le porefeuille d assurance non vie éudié e les risques reenus pour l applicaion. On mera ensuie en évidence un cerain nombre de dépendances e on sélecionnera les copules les représenan le mieux. 3.. Porefeuille éudié Les données en nore possession son celles d une sociéé d assurance imporane du marché français des pariculiers e des peis professionnels. L applicaion se limie au seul risque de flucuaion de la charge sinisres du porefeuille, qui consiue un aléa majeur parmi ceux suscepibles d affecer la solvabilié d un assureur non vie. Trois branches on éé reenues au sens de la vision produi qu en a la compagnie : Auomobile (AUTO), Mulirisque Habiaion des Pariculiers (MR PART), e Mulirisque des Professionnels (MR PROF). Ce périmère d analyse représene plus de 70% du chiffre d affaire non-vie de la compagnie. La base de données exploiée conien ous les sinisres survenus de 996 à 00, soi plus de 7,5 millions de sinisres. Les branches de la compagnie se déclinen ensuie en garanies. Au oal, on en dénombre 3 comme enre aures les garanies Responsabilié Civile (RC), Tempêe, Vol, Caasrophes Naurelles (Ca Na). Afin de disposer d un échanillon suffisammen grand pour déecer les dépendances enre charge sinisres, on agrège les coûs individuels des sinisres par mois de survenance, ce qui condui à 7 mois de charge sinisres pour chaque garanie. Il es imporan de souligner que la dépendance es évaluée sans analyser d évenuels phénomènes de saisonnalié en raison de l hisorique limié à six ans. Les mois consiuan l échanillon son donc considérés comme indépendans, e on fai l hypohèse qu on a la même loi d un mois à l aure pour une garanie donnée. Avan oue esimaion saisique sur les charges sinisres mensuelles, les redressemens suivans on éé réalisés : Les charges de sinisres ne son pas comparables d un mois à l aure. Pour l êre, on doi procéder à une mise «as if» qui corrigera les sinisres des élémens suivans : évoluion de la aille du porefeuille pour obenir un porefeuille de aille consane, évoluion de l inflaion pour avoir les sinisres en euros consans, évoluion des franchises pour comparer les sinisres avec un même seuil de franchise. Les charges de sinisre issues des fichiers ne son pas oues sabilisées : des sinisres ardifs peuven encore êre déclarés, des modificaions d évaluaions e des règlemens complémenaires des sinisres en cours de gesion peuven inervenir Il es donc nécessaire de calculer la charge finale prévisible de chaque exercice e de chaque mois de survenance, c'es-à-dire d avoir une vision «à l ulime» des sinisres. En accord avec les expers de la compagnie, l hypohèse a éé faie que les évoluions de srucure de porefeuille avaien un impac limié. De plus, le conenu des garanies e leurs plafonds ainsi que les méhodes de provisionnemen n on pas subi de changemen significaif sur la période observée. Ainsi, ces élémens n on condui à aucune correcion des charges sinisres. 6

17 Les empêes de décembre 999, Lohar e Marin, représenen plus de 80 millions d euros de charge sinisres pour la compagnie, don plus de 90% concernen la garanie Tempêe. Leur impac excepionnel sur le porefeuille, rendan difficile l ajusemen de lois de disribuion sur les charges sinisres mensuelles, nous a condui à les exclure des raiemens. Après redressemen, une loi de disribuion marginale a pu êre ajusée pour chaque charge sinisres des 3 garanies. La loi Log-Normale présene le meilleur ajusemen dans 9 cas. Les lois de Weibull e Gamma son reenues chacune deux fois. 3.. Recherche des dépendances La recherche pore à la fois sur les dépendances enre garanies à l inérieur d une même branche e sur les dépendances enre garanies de branches différenes. L analyse repose sur : Les mesures de concordance du au de Kendall e du rho de Spearman don les valeurs absolues son significaives au-delà de 0, e 0,30 respecivemen pour un seuil de confiance de % e un échanillon de 7 observaions (voir Sapora [990]) Le es d indépendance du chi-deux au seuil %, qui conrairemen aux mesures précédenes, ne donne aucune informaion sur le sens de la dépendance. Le processus de sélecion peu êre décomposé en rois éapes. Eape : sélecion des couples avec une dépendance significaive L analyse de la significaivié des mesures de concordance e du es d indépendance du chideux condui à ne reenir que 9 couples de garanies sur 53 combinaisons possibles. Eape : exclusion des couples avec une dépendance négaive L inérê de la compagnie poran avan ou sur les dépendances suscepibles de générer un besoin addiionnel en capial, les dépendances négaives on éé volonairemen omises. Eape 3 : exclusion des couples avec une dépendance difficilemen inerpréable Enfin, seules on éé sélecionnées les dépendances faisan l obje d une inerpréaion possible de la par des expers de la compagnie : relaion de cause à effe enre deux garanies, ou relaion due à une cause commune. Le ableau suivan regroupe les 9 couples finalemen sélecionnés à l issue de ce processus, riés par valeurs décroissanes du au de Kendall (mesure de concordance privilégiée car elle peu êre reliée simplemen au paramère de la copule). Couples riés par valeurs décroissanes du au de Kendall au de Kendall rho de Spearman Proba. chi-deux 4 classes MR PART.-Tempee inondaions MR PROF.-Tempee % AUTO-Tempee MR PART.-Tempee inondaions % AUTO-Tempee MR PROF.-Tempee % AUTO-Ca Na MR PROF.-Ca Na % MR PART.-Ca Na MR PROF.-Ca Na % MR PROF.-Peres Financières MR PROF.-Incendie % AUTO-Ca Na MR PART.-Ca Na % AUTO-Vol MR PROF.-Vol % AUTO-RC maérielle AUTO-Tous risques % 7

18 On noe que 7 couples illusren une dépendance iner-branches e deux couples une dépendance inra-branche. Les dépendances observées s inerprèen comme sui : Couples Tempêe e Ca Na : ils présenen les plus fores dépendances. Les évènemens climaiques impacen les auomobiles, les habiaions des pariculiers e les locaux des professionnels en même emps. AUTO-RC maérielle / AUTO-Tous risques : l inerpréaion de la dépendance observée es qu un même sinisre en assurance Auomobile peu fréquemmen mere en jeu la garanie RC pour les dommages aux iers, e la garanie Tous risques pour les dommages au véhicule assuré. MR PROF-Peres Financières / MR PROF-Incendie : l incendie de bâimens professionnels peu fréquemmen générer des peres d exploiaion ulérieures. AUTO-Vol / MR PROF-Vol : la liaison enre ces deux garanies Vol s explique par l évoluion de la délinquance qui consiue une variable laene les affecan conjoinemen. Les aures garanies non reenues seron considérées comme indépendanes enre elles e aussi vis-à-vis des garanies dépendanes sélecionnées. On donne ci-dessous un exemple graphique de deux couples illusran la dépendance enre uniformes empiriques. A ire de comparaison, en cas d indépendance parfaie nous devrions rouver dans chaque carré du graphique 7/5 observaions, soi environ 3 poins MR PROF.-Tempee AUTO - Ca Na MR PART.-Tempee inondaions MR PROF. - Ca Na MR PART Tempêe / MR PROF Tempêe : Le nuage de poins es rès proche de la ère bissecrice. Les queues de disribuion son rès concenrées, noammen la queue supérieure. MR PROF Ca Na / AUTO Ca Na : Le nuage de poins es moins proche de la ère bissecrice e les queues de disribuion son moins concenrées. Le sens e l inensié des dépendances enre uniformes empiriques observés graphiquemen on confirmé le classemen des couples obenu à l issue de la phase de recherche de dépendances. En oure, ces graphiques donnen un premier renseignemen sur la dépendance de queue qui peu êre compléé par une éude graphique des densiés empiriques. Dans le cas bivarié, la densié empirique de la copule empirique n es aure que la probabilié d apparenance à un carré [ 0 ;] découpé en T arrêes de longueur T. 8

19 Les graphiques suivans présenen la densié empirique de la copule empirique calculée avec T=. Plus une barre es haue, plus il exise d observaions apparenan à l inervalle bivarié k T ;( k + ) T j T ;( j + ) T, k, j 0; T [ ] [ ] [ ]. Densié Empirique Copule MR PART. - Tempêe / MR PROF. - Tempêe Densié Empirique Copule AUTO. - Ca Na / MR PROF. - Ca Na 0,9 0 0,8 0,6 0,9 0,4 0,8 0,3 0,6 0,4 0, 0,3 0, 0,06 0,04 0,0 0,08 0,9 0 0,8 0,6 0,9 0,4 0,8 0,3 0,6 0,4 0, 0,3 0, 0,04 0,03 0,0 0,0 0,06 0,05 De manière générale, la répariion des barres dessine une forme assez proche de celle du nuage de poins des uniformes empiriques. Cela signifie que l ordre T de consrucion de la copule empirique n es pas rop faible car peu d informaion es perdue sur la forme de la disribuion bivariée. Auremen di, les barres n agrègen pas rop de données e l analyse de la densié empirique fai sens. Pour la copule empirique liée à la garanie Tempêe, on noe une rès fore surpondéraion dans la queue de disribuion supérieure, e à un degré moindre dans la queue de disribuion inférieure. Pour la copule empirique liée à la garanie Ca Na, une surpondéraion dans les queues de disribuion apparaî, plus marquée dans la queue de disribuion inférieure que dans la queue de disribuion supérieure Recherche des meilleures copules : esimaion des paramères, e sélecion Les copules esées son la copule HRT e les copules archimédiennes de Gumbel, Franck, Clayon. Néanmoins, la présence de dépendances de queue pour cerains couples, illusrée noammen par les graphiques ci-dessus, pourrai évenuellemen conduire à eser la copule de Suden. Dans un premier emps, on calcule l esimaeur des momens du paramère a de chaque copule, a ˆmomens, en reenan l esimaeur empirique du au de Kendall comme mesure de concordance. Dans un second emps, on uilise â momens comme valeur iniiale permean d obenir après maximisaion â CML, esimaeur du maximum de la logvraisemblance selon la méhode CML. 9

20 Pour les deux couples précédens, les ableaux suivans regroupen a ˆmomens, a ˆCML, le au de Kendall issu de â CML, τ a, e le maximum de la logvraisemblance calculé à parir de â CML. ˆˆCML MR PART. Tempêe / MR PROF. Tempêe AUTO Ca Na / MR PROF. Ca Na Gumbel Clayon Franck HRT Gumbel Clayon Franck HRT â momens â ˆ τ ˆ CML a CML 3,094 4,89 0,46 4,89,97,345 9,5,866 0,657 0,540 0,65 0,589 â momens â ˆ τ ˆ CML a CML,068,36 6,044,36,74 0,394 5,6,398 0,40 0,65 0,465 0,4 Logvrais. 48,468 35,839 43,604 4,355 Logvrais. 4,676,7,90,593 Le es du chi-deux a éé mis en œuvre pour sélecionner les copules représenan au mieux la srucure de dépendance des différenes associaions. Cela nécessie de découper chaque uniforme en k inervalles. Le nombre élevé d associaions esées a nécessié de développer une méhode sandard de découpage en inervalles afin de limier l ampleur des ravaux e des analyses. Pour ce faire, chacune des uniformes au sein d une associaion a éé découpée de manière idenique : même nombre d inervalles e même longueur d inervalles. Plusieurs valeurs de k on dû êre esées afin de respecer le crière de Cochran. In fine, les valeurs reenues pour k son 4 e 6. A ire d exemple, si dans le cas bivarié on a k = 4, alors le découpage de chaque uniforme correspondra aux inervalles 0 ; 0.5, 0.5; 0.50, 0.50; 0.75, 0.75; ( ] ( ] ( ] ( ]. Les effecifs empiriques dans chaque inervalle son calculés à parir de la copule empirique. Le reillis de la copule empirique a éé ajusé afin d obenir direcemen les fréquences empiriques sur les k inervalles. Si l on reprend par exemple le cas bivarié avec k = 4, l ordre T reenu pour le calcul de la copule empirique es égal à 8. La valeur du seuil criique α pour la zone de reje es unique e égale à 5% e l encadremen de la p-valeur exace, ˆα, es sysémaiquemen calculé. Parmi les copules siuées dans la zone d accepaion, on sélecionne celle don les bornes de l encadremen de αˆ son maximales, ce qui es équivalen à sélecionner celle don la saisique du chi-deux es la plus faible. Afin d illusrer la mise en praique du es du chi-deux, on donne ci-après le déail des résulas pour le couple «MR PART Tempêe / MR PROF Tempêe», avec uniquemen les effecifs héoriques issus de la copule de Gumbel. 0

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