Seconde. Eric Leduc 2014/2015

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1 Seconde Lycée Jacquard 2014/2015

2 Rappel du plan 1 2 3

3 Équation courbe Définition n o 1: courbe Une équation de courbe est une relation qui lie les coordonnées de tous les points de la courbe. Autrement dit : un point appartient à une courbe si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation de la courbe. Remarque n o 1 Une courbe peut avoir plusieurs équations. Par exemple, «xy = 4»et «2xy = 8»sont des équations de la même courbe.

4 Propriété n o 1: Équation droite Soit (d), une droite dans un repère (O;I,J). Si (d) est parallèle à l axe des ordonnées alors (d) admet une équation de la forme x = c où c est un nombre réel. Si (d) n est pas parallèle à l axe des ordonnées alors (d) admet une équation réduite de la forme y = mx p, m et p étant des nombres réels.

5 Démonstration de la propriété n o 1 I On se place dans un repère orthonormal (O ;I,J). Si (d) est parallèle à l axe des ordonnées, alors elle coupe l axe des abscisses en un seul point, C, de coordonnées (c;0). Un point M de coordonnées (x;y) pris au hasard sur cette droite aura la même abscisse que C. Donc la droite (d) admet x =c comme équation. Si (d) n est pas parallèle à l axe des ordonnées, (d) et l axe des ordonnées se coupent en un point B, de coordonnées (0;p). A est le point de la droite (d) d abscisse 1. et M un point de coordonnées (x;y) pris au hasard sur la demi-droite [BA) et n appartenant pas au segment [AB].

6 Démonstration de la propriété n o 1 II 4 M(x;y) 3 y p A(1;y A ) 2 y A p B(0; p) 1 1 D(1;p) C(x;p) x

7 Démonstration de la propriété n o 1 III On place les points C et D d ordonnée p de manière à ce que BMC soit rectangle en C et BAD soit rectangle en D. Ces deux triangles sont en configuration de Thalès. Il vient donc BD BC = DA CM = BA BM. Comme le repère est orthonormal, on évalue ces longueurs à partir des coordonnées des points et l égalité des deux premiers rapports devient : 1 x = y A p y p. L égalité des produits en croix donne : (y A p)x = y p. Les nombres p et y A p ne dépendent que de la position de la droite (d) dans le repère. Ils sont fixes et on note m=y A p. (y A p)x = y p devient alors mx = y p soit y = mxp.

8 Démonstration de la propriété n o 1 IV Donc tous les points de la droite (d) vérifient l équation y =mxp.

9 Remarques n o 2 I On considère le cas des non parallèles à l axe des ordonnées. Une droite a une infinité d équations. L équation de la forme y = mxp est appelée équation réduite. Dans la démonstration précédente, le point B d ordonnée p est l intersection de la droite avec l axe des ordonnées. p est appelé ordonnée à l origine de la droite (d).

10 Remarques n o 2 II M A B(0; p) m 1 D C

11 Remarques n o 2 III L égalité BD BC = DA permet aussi d écrire que CM DA BD = CM BC = m 1 = m. m est appelé le coefficient directeur de la droite (d). Les accroissements des ordonnées sont proportionnels aux accroissements des abscisses et m est le coefficient de proportionnalité.

12 Exemple Exemple n o 1 On considère la droite (d) d équation y = 2x 3. Les points A(1;4) et B( 1; 5) appartiennent-ils à la droite (d)?

13 Correction exemple n o 1 2x A 3=2 1 3= 1. Or, 1 y A. Donc A (d). 2x B 3=2 ( 1) 3= 5=y B. Donc B (d).

14 Méthode Méthode n o 1: Trouver l équation réduite droite par le calcul Lorsque l on connaît les coordonnées (x 1 ;y 1 ) et (x 2 ;y 2 ) de deux points distincts droite, si x 1 = x 2, la droite est parallèle à l axe des ordonnées. Son équation réduite est x = x 1. si x 1 x 2, la droite n est pas parallèle à l axe des ordonnées.son équation réduite est de la forme y = mx p. Le coefficient directeur se calcule comme suit : m= y 1 y 2 x 1 x 2 ou m= y 2 y 1 x 2 x 1. On calcule l ordonnée à l origine p avec les coordonnées de l un ou l autre des points en résolvant une équation d inconnue p : y 1 = mx 1 p ou y 2 = mx 2 p.

15 Exemple Exemple n o 2 Les points A( 1;1), B(2;10) et C(30;94) sont-ils alignés?

16 Correction exemple n o 2 Les points A et B n ont pas la même abscisse, donc l équation réduite de la droite (AB) est de la forme y = mxp avec m= y B y A = 10 1 x B x A 2 ( 1) = 9 3 = 3. p= y A mx A = 1 3 ( 1)= 13=4. L équation réduite de la droite (AB) est y = 3x4. mx C p= 3 304=94=y C. Donc C (AB). Donc, les points A, B et C sont alignés.

17 Méthode Méthode n o 2: Trouver l équation réduite droite par lecture Si la droite est verticale, il suffit de lire c, l abscisse du point d intersection de la droite avec l axe des abscisses. L équation réduite de la droite est alors x = c. Sinon, l équation réduite de la droite est de la forme y = mxp. p est l ordonnée du point d intersection de la droite avec l axe des ordonnées. m est l accroissement des ordonnées (positif ou négatif) lorsque l on passe d un point de la droite à un autre point dont l abscisse est augmentée unité.

18 Méthode n o 2 Quelles sont les équations des (d 1 ) et (d 2 )? (d 1 ) (d 2 ) 5 10

19 Correction méthode n o 2 I La droite (d 1 ) n est pas parallèle à l axe des ordonnées donc son équation réduite est de la forme y = mxp. Elle coupe l axe des ordonnées au point de coordonnées A(0;4) donc p= 4. Pour déterminer m, on choisit un autre point de la droite de coordonnées entières. 5 (d 1 )

20 Correction méthode n o 2 II m= 4 6 = 2 3. L équation de la droite (d 1 ) est : y = 2 3 x 4. La droite (d 2 ) est parallèle à l axe des ordonnées. Elle coupe l axe des abscisses au point de coordonnées (4;0). L équation de la droite (d 2 ) est x = 4.

21 Rappel du plan 1 2 3

22 Droite Propriété n o 2: Soit m et p deux nombres réels et f la définie par f(x)=mxp. Les coordonnées (x;y) de tous les points de la représentation de la f sont liées par la relation y = mxp. Il s agit droite non parallèle à l axe des ordonnées. Si m=0, la est dite constante et sa représentation a pour équation y =p. Si p=0, la est linéaire et sa représentation a pour équation y = mx.

23 Méthode Méthode n o 3: Construire la courbe représentative Dans un repère orthogonal, tracer la représentation de la f définie par f(x)= 2x5.

24 Correction méthode n o 3 La f est, sa représentation est une droite et il suffit de connaître deux de ses points. x 0 3 f(x) 5 1 Points à placer A(0;5) B(3; 1) 2 A B 4 6

25 Rappel du plan 1 2 3

26 Position relative de deux à partir des équations de droite I D a pour équation x = c et D a pour équation x = c D et D sont parallèles J O D D c c I 1 D et D sont D J p O D c I 2

27 Position relative de deux à partir des équations de droite II D a pour équation y = mxp et D a pour équation y = m xp D et D sont parallèles D et D sont m=m m m D J p O p D I 3 p J p O D D I 4

28 Méthode Méthode n o 4: Interpréter un système de deux équations linéaires Lors de la résolution d un système de deux équations linéaires du premier degré à deux inconnues avec des coefficients non nuls, chaque équation peut se transformer en une équation réduite de droite. Résoudre un tel système revient à chercher les éventuels points d intersection de deux à partir de leurs équations réduites. Ces deux peuvent être : (coefficients directeurs différents). Le système a une unique solution. confondues (même équation réduite). Le système a une infinité de solutions. strictement parallèles. Le système n a aucune solution.

29 Méthode n o 4 Résoudre les systèmes. { 5 x 2 y = x 6 y = 4 { 6 x 2 y = x y = 3 { 3 x 6 y = 18 3 x 2 y = 6

30 Correction n o 4 I y = 5 1 Le système devient 2 x 1 y = 5 2 x 2 3 On reconnaît deux équations de parallèles non 2 confondues (figure 3), ce système n a pas de solution. { 6x 2y = 9 2x y = 3 devient y = 3x 9 2 y = 2x 3 On reconnaît deux équations de (figure 4). La solution de ce système est unique. 3x 9 2 =2x3 donne x = 3 10 et y = 2x3 donne y = La solution est le couple ( 3 10 ; 18 5 ).

31 Correction n o 4 II 3 { 3 x 6 y = 18 x 2 y = 6 devient y = 1 2 x 3 y = 1 2 x 3 Il s agit de la même équation de droite. Les solutions sont les couples de coordonnées de tous les points de la droite d équation y = 1 2 x 3.

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