ÉLECTROSTATIQUE. Potentiel électrostatique

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1 MP Cous d physqu ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu.. Défnton du potntl Éng potntll élctostatqu Éng potntll d ntacton d du chags élctqus La foc d Coulomb, foc d ntacton élctostatqu nt du chags ponctulls st un foc cntal n t dév donc d un éng potntll, à l nsta d la foc d ntacton gavtatonnll nt du masss ponctulls. applons c qu cla sgnf : plaçons un chag q mmobl au pont ogn d un éféntl gallén t calculons l taval quas statqu qu dot c un opéatu pou amn n un pont M un chag q ntalmnt stué n un pont M. q O y F op q M F = πε q q 4 C M L taval élémnta st égal, pa défnton, à la cculaton élémnta d la foc. Avc Fop = F, cla s éct : qq qq d qq δ Wop = Fop d = d = = d 4πε 4πε 4πε L taval qu dot c l opéatu pou amn, dpus un dstanc nfn, la chag q à dstanc fn d la chag q a donc pou psson : W F d op = op = = = M M 4πε 4πε 4πε 4πε q q d q q q q q q Jan L H, 3 sptmb 5 Pag su 8

2 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu C taval st ndépndant du pacous patcul pont ogn M t du pont d aboutssmnt M. C =M M suv pa la chag q : l n dépnd qu du Nous applons «éng potntll élctostatqu du systèm d du chags q t q» la foncton : q q = + C 4πε L cho d la constant nous appatnt, mas l on pvléga, chaqu fos qu cla sa possbl, d pnd la constant null, chosssant ans d consdé l éng potntll null à l nfn. L taval W op foun pa l opéatu s pm alos comm la vaaton d l éng potntll élctostatqu du systèm d chag : W = = t ( M) ( M ) op Éng potntll d un chag dans un systèm d chags Consdéons un systèm d n chags élctqus ponctulls q, q,, q n placés n ds postons fs P, P,, P n dans un éféntl gallén. On appll éng potntll d un chag q dans c systèm d chags la somm ds éngs potntlls d ntacton d la chag q avc chacun ds chags q : n q q M = 4πε MP = S nous avons affa à un dstbuton contnu d chags volumqu, sufacqu ou lnéqu, la sommaton sa pmé non plus sous fom dscèt, mas sous fom ntégal : q ρ( P) q σ( P) = δτ = δs M 4 P τ MP πε Potntl élctostatqu Défnton M 4 P S MP πε ( P) q λ = δl M 4 πε P l MP S l on plac n un pont M d l spac un chag élctqu q, l éng potntll d ntacton d ctt chag avc l nsmbl ds auts chags pésnts st popotonnll à la chag q. L éng potntll élctqu dvsé pa la chag q st ndépndant d la chag d ssa t défnt un caactéstqu élctqu n M qu l on appll potntl élctostatqu n c pont d l spac : V ( M) = Ds pssons démontés d l éng potntll élctqu, nous dédusons l psson du potntl dans ls dffént cas d dstbuton d chag : V V q t M = + C 4 πε OM n = ( M) q dans l cas d un chag unqu q placé n O q t M = + C 4 πε dans l cas d un nsmbl d chags dscèts q placés n P MP JLH 4/9/7 Pag su 8

3 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu V V V ( P) ρ = δτ M 4 P τ MP πε ( P) σ = δs πε M 4 P S MP ( P) λ = δl M 4 πε P l MP Lnéaté t + C dans l cas d un dstbuton volumqu contnu d chag t + C dans l cas d un dstbuton sufacqu contnu d chag t + C dans l cas d un dstbuton lnéqu contnu d chag D façon généal, l potntl élctostatqu n un pont d l spac st la somm d contbutons ds dffénts chags pésnts. Nous pouvons tès bn nvsag un dstbuton d chag consttué à la fos d chags dscèts t d chags contnus. maqu : dans ctans «poblèms d écol», l put st ds chags élctqus à l nfn t cla ntdt d chos l potntl élctqu nul à l nfn. Sauf dans cs cas patcul, nous chosons l potntl nul à l nfn, c qu vnt à chos un constant null dans ls pssons c-dssus. Attnton! Ctt défnton d l éng t du potntl élctostatqu suppos qu touts ls chags élctqus sont mmobls dans un éféntl gallén. Un aut défnton du potntl scala élctqu sa donné dans l cad plus généal d l élctomagnétsm. Toutfos, l potntl scala élctqu défn dans l cad d l appomaton ds égms quas statonnas coïncd avc la défnton élctostatqu : dans l cad d l AQS, ls vtsss ds chags élctqus sont tès ptts pa appot à la vtss d la lumè. laton nt potntl t champ élctqu, opéatu gadnt Cculaton du champ élctqu D la mêm façon qu l potntl élctqu st défn comm éng potntll pa unté d chag, l champ élctqu état défn comm foc pa unté d chag. Il st donc ls mêms latons nt l champ élctqu t l potntl élctqu V qu nt la foc élctqu F t l éng potntll élctqu. n patcul, la laton d défnton d la dfféntll d l éng potntll comm l opposé d la cculaton élémnta d la foc dvnt, n dvsant pa la chag, la laton d défnton d la dfféntll du potntl comm opposé d la cculaton du champ élctqu : d = F d dv = d L potntl n un pont M qulconqu d l spac st donc défn comm la cculaton du champ élctqu nt un pont patcul M (qu put êt jté à l nfn) t M : V M = d Opéatu gadnt L potntl élctostatqu st un foncton d pont, c st-à-d un foncton ds tos vaabls scalas V M = V, y,. qu sont ls coodonnés catésnns du pont : M M La dfféntll d un tll foncton a pou psson : V V V dv = d + dy + d y JLH 4/9/7 Pag 3 su 8

4 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu n coodonnés catésnns, nous pouvons dévlopp la cculaton élémnta du champ élctqu comm un podut scala : d = d + ydy + d Chaqu composant du champ élctqu s dntf donc à l opposé d la dévé patll du potntl pa appot à la mêm coodonné : V V V = y = t = y Cs latons scalas défnssnt l opéatu vctol «gadnt» qu nous notons : V V = gadv = y V gad = = = y maqu : d auts notatons sont souvnt utlsés pou ct opéatu d dévaton vctoll. n patcul, la notaton (l : «nabla») st systématqu dans ls pays anglo-saons. La notaton, mons féqummnt utlsé, st poutant tès mnémotchnqu. mpls d fonctons gadnt : Nous avons déjà calculé l gadnt d la foncton : gad = q q Applcaton : l potntl coulombn V = st assocé au champ = 4 πε 4 πε pmons, plus généalmnt, l gadnt d un foncton scala sotop f ( ) : df + y + df df ( f ) = = = d d d Gadnt d la foncton scala k où k st un vctu constant : k = k + k y + k = k y Applcaton : l potntl coulombn V Gadnt d la foncton scala. Nous n dédusons : gad f gad k = k. Nous n dédusons : = st assocé au champ constant k où k st un vctu constant : k ( y ) k k y k + + k = = k. Nous n dédusons : gad ( ) = k k k Qul st l gadnt d un podut d fonctons scalas? f g ( f g ) g f = + gad f g = gad f g + f gad g. Nous n dédusons : = df d JLH 4/9/7 Pag 4 su 8

5 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Not : l gadnt put êt pmé dans d auts systèms d coodonnés qu ls coodonnés catésnns. Ls pssons c-dssous n ont pas à êt mémosés, n cas d bson lls sont founs. Il st ndspnsabl toutfos d n compnd la sgnfcaton. n coodonnés cylndqus ( ρ, ϕ, ) : n coodonnés sphéqus (, θ, ϕ ) : V V V ρ = ϕ = t = ρ ρ ϕ V V = θ = t θ ϕ V = sn θ ϕ Équaton d Posson ρ Nous avons déjà démonté la laton dv = cospondant à l psson local du théoèm d ε Gauss. Ctt laton put êt pmé latvmnt à la foncton potntl sous la fom V V V ρ dv( gadv ) = + + =. y ε L opéatu scala dv( gad ) souvnt, pafos. = + + y s appll opéatu laplacn t st noté l plus L potntl élctostatqu V obét n tout pont d l spac à l équaton d Posson : V ρ = ε Not : l laplacn put êt pmé n coodonnés cylndqus t n coodonnés sphéqus. Ls pssons c-dssous n ont évdmmnt pas à êt mémosés. n coodonnés cylndqus ( ρ, ϕ, ) : n coodonnés sphéqus (, θ, ϕ ) : V = ρ + + ρ ρ ρ ρ ϕ V V V V = + θ + sn θ θ θ θ ϕ V V V sn ( sn ) Nous sons amnt amnés à ésoud dctmnt l équaton d Posson. applons-nous cpndant qu nous n connassons un soluton d la fom : Équaton d Laplac V ( P) ρ = δτ M 4 P τ MP πε Dans ds égons d l spac où la dnsté volumqu d chag ρ st null, l équaton d Posson s éct : V = Ctt équaton s appll alos «équaton d Laplac». Nous sauons ass faclmnt pm ds solutons patculès d ctt équaton dans l cas d poblèms à tès haut dgé d symét. JLH 4/9/7 Pag 5 su 8

6 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu n patcul, dans un pochan chapt, nous chchons ds solutons d l équaton d Laplac à laqull satsfat l potntl dans l spac vd nt ds conductus n équlb élctostatqu. maqu : nous ncontons égalmnt l équaton d Posson los d l étud d la conducton thmqu. Dans ctans condtons d lnéaté ds mlu conductus thmqus, la tmpéatu dot satsfa à l équaton d Laplac dans ls spacs sépaant ls soucs d chalu... Cculaton du champ élctostatqu L champ élctostatqu st à cculaton consvatv D qu l champ élctostatqu dév d un potntl vnt à d qu la cculaton du champ élctqu su un pacous fmé st null. Ctt popété s pm habtullmnt pa ctt psson : «l champ élctostatqu st à cculaton consvatv» Qul qu sot l pacous C fmé : d = C A A C B d = V ( A) V ( B) AB Ccut ouvt C d = Ccut fmé Attnton! Ctt popété du champ élctqu n st va qu n élctostatqu dans un éféntl gallén. Dans l cad l plus généal d l élctomagnétsm, l champ élctqu foncton du tmps n st pas à cculaton consvatv, y comps dans l cas patcul d l appomaton ds égms quas statonnas. Opéatu otatonnl, théoèm d Stoks Dnsté sufacqu d cculaton Consdéons un champ d vctus qulconqu t un dcton qulconqu d l spac qu nous chosssons comm a O d un éféntl catésn othonomé O,, y, Autou d un pont M qulconqu, d, y,, on coodonnés catésnns nvsag un pacous élémnta ctangula dans un plan othogonal à O, d lagu δ t d longuu δ y, onté dans l sns d otaton postf autou d O. y y M y + δy M M y + δ δ S = δ δy M 3 JLH 4/9/7 Pag 6 su 8

7 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu pmons la cculaton élémnta δγ du champ (, y, ) décompos n quat contbutons qu l on va assoc pa pas paallèls : su c pacous. Ctt cculaton s (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) y ( + δ,, ) y (,, ) (, + δ, ) (,, ) δγ = y δ + + δ y δ y + y + δy δ + y δy y y y y y y y δ δy δ δy Quand δ t δ y tndnt vs éo, nous connassons l psson d dévés patlls d composants du champ. Dans ctt lmt, nous pouvons éc : La quantté algébqu d la dcton. y y y y δγ = δ S pésnt au pont M la dnsté sufacqu d cculaton δγ δs autou Défnton du otatonnl d un champ d vctu Nous défnssons l otatonnl du champ d vctu, noté ot, l vctu ayant n chaqu pont d l spac, un composant pou chaqu dcton d l spac égal à la dnsté sufacqu d cculaton autou d ctt dcton. n coodonnés catésnns, cla s éct : y y ot = + y + y y maqu mpotant : la notaton «nabla» touv c tout sa valu symbolqu. n fft, l otatonnl d un champ d vctu s pm comm l podut vctol symbolqu d l opéatu nabla pa l champ d vctu. Ctt méthod mnémotchnqu mét d êt tnu. nco faut-l déjà savo pm un podut vctol sans héstaton! y y ot = = y = y y = y y y y Not : l otatonnl put auss êt pmé n coodonnés cylndqus t n coodonnés sphéqus. Ls pssons c-dssous n ont évdmmnt pas à êt mémosés. n coodonnés cylndqus ( ρ, ϕ, ) : ϕ ρ ρ ot = ρ + ϕ + ( ρϕ ) ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ n coodonnés sphéqus (, θ, ϕ ) : ( sn ) ( ) ( ) ϕ θ θ ϕ θ ot = + θ + ϕ sn θ θ sn θ ϕ sn θ θ θ JLH 4/9/7 Pag 7 su 8

8 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Théoèm d Stoks L cculaton onté st un gandu tnsv : s l on consdè du sufacs ouvts S t S adjacnts (c st-à-d ayant un pat d contou commun) t ontés pa contnuté, la cculaton onté su l contou d la sufac somm S = S S st égal à la somm ds cculatons ontés su ls contous ds sufacs S t S. n fft, la cculaton l long la coub fontè nt ls sufacs S t S st compté du fos avc ds valus algébqus opposés. n S n S Γ = Γ +Γ S S S S Ctt popété s généals sous la fom ntégal du théoèm d Stoks : Théoèm d Stoks La cculaton d un champ d vctu l long d un coub fmé onté st égal au flu du otatonnl d c champ d vctu à tavs un sufac s appuyant su ctt coub. La sufac dot êt onté confomémnt à l ontaton d la coub. δ = ot n l δ S C C S C n C S Équaton local Cla vnt au mêm d d qu l champ élctostatqu dév d un potntl qu d d qu la cculaton d clu-c su un pacous fmé st null, ou nco, psson équvalnt, qu l champ élctostatqu st à «cculaton consvatv». Il s nsut un popété géométqu généal ds champs élctostatqus : ls lgns d champ, ontés pa l champ, pnant nassanc su ls chags postvs t aboutssant au chags négatvs, n puvnt n aucun cas s fm su lls-mêms. Ctt popété s pm localmnt pa l affmaton qu n tout pont d l spac, l otatonnl d un champ élctostatqu st nul. Cc st un smpl conséqunc du théoèm d Stoks : δ l = C ot n δ S = S C S Ctt dnè poposton n put êt véfé qull qu sot la sufac S qu dans l hypothès où l otatonnl du champ st nul n tout pont d l spac : n élctostatqu, ot = JLH 4/9/7 Pag 8 su 8

9 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Attnton! Ctt équaton local n st pas un équaton généal d l élctomagnétsm. ll n sa plus véfé dès los qu ls chags sont n mouvmnt, mêm dans l cas patcul d l appomaton ds égms quas statonnas, t a foto dans l cas l plus généal d l élctomagnétsm. Contnuté d la composant tangntll du champ élctqu à la tavsé d un sufac chagé Consdéons un sufac chagé d dnsté sufacqu σ t un sgmnt élémnta δ l dans l vosnag d un pont M d ctt sufac qu nous supposons localmnt plan. Constusons un coub fmé autou du pont M n magnant un pacous ctangula «à chval» su la sufac chagé compnant ls sgmnts élémntas δ l t δ l mmédatmnt vosns d δ l dans l mlu t dans l mlu. Dans la lmt consdéé, ls sgmnts othogonau à la sufac chagé ont un msu null t la cculaton du champ élctqu su l pacous ctangula s édut au du suls cculatons élémntas su ls sgmnts δ l t δ l. n notant t ls champs élctqus dans ls mlu t au ponts M t M mmédatmnt vosns d M, la natu fondamntalmnt consvatv d la cculaton du champ élctqu s éct : δγ = δl δ l = δ l = mlu n M M M δ l δ l δ l mlu La laton ( ) l dot êt véfé qul qu sot la dcton du sgmnt δ l, pouvu qu l st δ = dans l plan chagé. Cla mplqu qu la composant tangntll du champ élctqu st contnu à la tavsé d un sufac chagé. applons qu c n st pas l cas d la composant nomal du champ élctqu qu obét à la laton d n = σ ε. dscontnuté : Nous n dédusons la laton plus généal, dt «laton d passag» du champ élctqu à la tavsé d un sufac chagé : σ = n ε JLH 4/9/7 Pag 9 su 8

10 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu.3. Lgns d champ, sufacs équpotntlls Lgns d champ On appll lgn d champ un coub à laqull l champ st n tout pont tangnt. Pou obtn l équaton dfféntll ds lgns d champ, nous pouvons éc la condton d colnéaté. Ctt condton s pm, n coodonnés catésnns d la façon suvant : d dy d = = y Not : n coodonnés cylndqus t, spctvmnt sphéqus, ls équatons dfféntlls s écvnt : dρ ρdϕ d d dθ sn θdϕ = = t, spctvmnt = = ρ ϕ θ ϕ y d l d dy d y Lgn d champ mpl : consdéons un champ d vctus dont ls composants catésnns sont y = α y t =. Ls lgns d champ sont donnés pa l équaton dfféntll : d dy = α α y sot d dy d y + = = y y = α, t Nous n dédusons pa ntégaton : y = C = y Ls lgns d champ sont, dans c cas, ds hypbols équlatès. Sufacs équpotntlls On appll «sufac équpotntll» un lu d l spac su lqul l potntl élctostatqu a mêm valu. Consdéons un pont M d un tll sufac t un déplacmnt élémnta d à pat d c pont. La vaaton du potntl st égal, pa défnton, à l opposé d la cculaton du champ élctqu : dv = d S l on s déplac su la sufac équpotntll, dv =, c qu sgnf qu l déplacmnt d st othogonal au champ élctqu. Cc étant va qull qu sot la dcton du déplacmnt dans l plan tangnt n M à la sufac équpotntll, pouvu toutfos qu c plan tangnt st. Nous n dédusons qu l champ élctqu st othogonal à la sufac équpotntll. JLH 4/9/7 Pag su 8

11 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Popété géométqu ds lgns d champ n élctostatqu, ls lgns d champ élctqus sont othogonals au sufacs équpotntlls, sauf évntullmnt n qulqus ponts snguls où l champ élctqu st nul..4. Éng élctostatqu. Éng d un systèm dsct d chags élctqus Doublt d chags Nous avons déjà étudé l éng élctostatqu d un systèm d du chags élctqus q t q, cllc a pou valu : qq t = + C 4πε La constant put êt chos null t l on consdè alos qu l éng élctostatqu st null losqu ls chags sont nfnmnt élognés. Ctt psson put auss bn s éc sous ctt aut fom, appammnt plus complqué, dont nous démontons l ntéêt pa sa possbl généalsaton à tout dstbuton d chag, dscèt ou contnu : nsmbl d n chags = q q = q q + q q = q V + q V 4πε 4πε 4πε L éng élctostatqu d un systèm d n chags { q q q } élctostatqus ds pas d chags {, j} chags, chaqu podut,,, n st égal à la somm ds éngs q q. n écvant, comm nous l avons déjà fat pou du = +, cla s éct : n n j = q 4 j qj = πε = j q q j sous la fom q q j ( q q j q j q ) Dans la duèm somm, nous connassons l potntl V V ( M ) = céé au pont M où s touv la chag q pa l nsmbl ds auts chags, c st-à-d touts ls chags sauf la chag q ll-mêm. Nous aboutssons ans à l éctu d l éng potntll sous la fom d un nsmbl d contbutons dus à chaqu chag : n = q V = Éng d un dstbuton contnu d chags élctqus psson d l éng élctostatqu n foncton du potntl Consdéons un dstbuton volumqu d chag M ρ confné dans un volum fn τ. Nous cluons pa conséqunt l stnc évntull d chags à l nfn. JLH 4/9/7 Pag su 8

12 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu La sommaton dscèt dot alos êt tansfomé n sommaton ntégal ds contbutons élémntas δ = ρv δτ, sot : = ρ( M) V ( M) δτ M τ Dans l cas d un dstbuton sufacqu ou lnéqu d éng, l psson d l éng élctostatqu s éct, avc ls notatons usulls : = σ( M) V ( M) δs t ( M) V ( M) M S psson d l éng élctostatqu n foncton du champ M C = λ δl Sans démonstaton, nous admttons l psson d l éng élctostatqu n foncton d la valu du champ élctqu n chaqu pont d l spac : = ε δτ = u δτ avc u = ε tout tout l'spac l'spac u st défn n chaqu pont d l spac t s appll «dnsté volumqu d éng élctqu» Attnton! Nous palons bn c d la mêm éng élctostatqu d un dstbuton contnu d chag qu dans l psson pécédnt n foncton ds potntls, mas l doman d ntégaton n st pas l mêm. Dans la pmè psson, n foncton du potntl, l ntégal put n êt étndu qu à la sul égon d l spac contnant ds chags, alos qu dans l scond cas, l ntégal st étndu au égons d l spac où l champ élctqu n st pas nul. Not : la démonstaton d l psson d la dnsté volumqu d éng n st pas gbl à c nvau d étuds. À tt d lctu, la voc, n qulqus lgns d calcul. Compt tnu d l équaton d Mawll-Gauss ρ = ε dv t d la laton nt champ t potntl = gadv ρ V = ε dv V + ε., on démont sans top d dffculté l dntté suvant : = ρv δτ = ε V δτ + ε δτ On démont qu c tm st nul dans la lmt où l doman d ntégaton τ s étnd à tout l spac Nous avons alos : dv τ τ τ V V n ds Slon l théoèm d Gn-Ostogadsk, nous pouvons éc : dv δτ = t S ls chags élctqus sont confnés dans un volum fn, à gand dstanc l potntl décoît au mons n t l modul du champ décoît au mons n n τ. L podut V décoît donc au mons 3 t l flu du vctu V tnd vs losqu l doman d ntégaton s étnd à tout l spac. S JLH 4/9/7 Pag su 8

13 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu.5. Qulqus mpls smpls Sphè unfomémnt chagé n volum Consdéons un sphè d ayon, unfomémnt chagé n volum d chag total cnté au pont ogn O d un systèm d coodonnés sphéqus (, θ, ϕ ). Q = π ρ, Nous savons, a po, qu l potntl V ans qu la dnsté volumqu d éng élctostatqu u n sont foncton qu d la dstanc au cnt. Du fat d ctt symét, ls lgns d champ fomnt un fascau d dots passant pa l pont O (dvgnts pou Q >, convgnts pou Q < ) t ls sufacs équpotntlls sont ds sphès d cnt O. psson du potntl Nous avons déjà calculé l champ élctqu n applquant l théoèm d Gauss dans ctt stuaton d symét sphéqu. L potntl V ( ) st obtnu pa cculaton adal du champ élctqu. Fasant l cho d un potntl nul à l nfn, nous n dédusons qu l potntl st n à l téu d la sphè, à l nsta du potntl céé pa un chag ponctull Q ρ ρ d ρ pou >, = donc = V = ( ) d = = 4πε 3ε 3ε 3ε L potntl dot êt contnu à la tavsé d la sufac d la sphè : V ( ) pmt d obtn l psson du potntl à l ntéu d la sphè. ρ =. Ctt condton nous 3 ε Q ρ ρ ρ ρ ρ ρ pou <, = = donc V = V ( ) d = = 4πε 3ε 3ε 3ε 6ε ε 6ε ρ ε V 3 ρ 3ε maqu : l potntl st paabolqu pou < t hypbolqu pou >. La foncton potntl st contnu t sa dévé st contnu, y comps n = au pont où la paabol t l hypbol s aboutnt, c qu sgnf qu l champ élctqu st contnu. JLH 4/9/7 Pag 3 su 8

14 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Éng élctostatqu : calcul à pat du potntl L éng élctostatqu d la sphè chagé s obtnt n ntégant la quantté ρ V su tout l volum d la sphè, sot : 5 ρ ρ 4π ρ = ρv δτ = ρ V 4π d = ρ 4π d = < ε 6ε 5 ε Attnton! L calcul n put êt mné d ctt façon qu n ayant fat l cho d un potntl nul à l nfn! Éng élctostatqu : calcul à pat du champ L éng élctostatqu d la sphè chagé s obtnt n ntégant la dnsté volumqu d éng élctostatqu u = ε su tout égon d l spac où l champ n st pas nul, c'st-à-d c su tout l spac. Ctt éng s décompos n du contbutons : l éng élctostatqu nt ntéu à la sphè, d un pat, t l éng élctostatqu t téu à la sphè, d aut pat : = nt + t Calculons tout d abod l éng ntéu : 5 ρ π ρ Q nt = ε δτ = ε 4π d = ε 4π d = = < 3ε 45 ε 4πε pus l éng téu : 3 5 ρ π ρ Q t = ε δτ = ε 4π d = ε 4π d = = > 3ε 9 ε 4πε Nous touvons bn sû la valu d l éng élctostatqu total d la sphè unfomémnt chagé : π ρ π ρ 4π ρ 3Q = nt + t = + = = 45 ε 9 ε 5 ε 4πε 5 Sphè unfomémnt chagé n sufac Consdéons à l dntqu, un sphè d ayon unfomémnt chagé n sufac, d chag Q = 4π σ. Ls syméts sont ls mêms qu pou l cc pécédnt. Ls lgns d champ sont adals t ls sufacs équpotntlls sont ds sphès concntqus. psson du potntl Q σ σ σ pou >, = = donc V = ( ) d = d = 4πε ε ε ε L potntl dot êt contnu à la tavsé d la sufac d la sphè. Comm l champ st nul à σ V =. ε l ntéu, l potntl y st unfom t a pou valu JLH 4/9/7 Pag 4 su 8

15 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu σ ε V maqu : la foncton potntl st toujous contnu, mas ctt fos sa dévé pésnt un dscontnuté n =. Ctt uptu d pnt tadut la dscontnuté du champ élctqu à la tavsé d la sufac chagé. Éng élctostatqu : calcul à pat du potntl L éng élctostatqu d la sphè chagé s obtnt n ntégant la quantté σ V su tout la sufac d la sphè, sot : 3 σ Q = σv δ S = σ V ( ) S = π = S ε 4πε Éng élctostatqu : calcul à pat du champ L champ étant nul à l ntéu t ayant mêm valu à l téu qu dans l cas déjà étudé d un sphè chagé unfomémnt, l éng élctostatqu st égal à la valu d t Nous touvons bn sû la mêm valu. Q σ = t = = π 4πε ε 3 Fl ctlgn nfn unfomémnt chagé Attnton! l s agt d un «poblèm d écol» Nous consdéons un sgmnt ctlgn nfn unfomémnt chagé d un dnsté lnéqu λ. C poblèm pésnt un symét cylndqu d évoluton. L champ st adal, nous l avons déjà calculé à l occason d un cc d chapt pécédnt. La foncton potntl n dépnd qu d. n posant l poblèm d ctt façon, nous consdéons qu la chag élctqu d l unvs st nfn : n nous étonnons pas d n conclu qu l éng élctostatqu d c fl chagé st nfn! C sa l cas pou tout poblèm pésntant un nvaanc dans un dcton d l spac. n fat, l poblèm posé n st pas un poblèm él, mas un «poblèm d écol». Son étud n st cpndant pas sans ntéêt, ll nous nsgn ls popétés élctostatqus d un fl chagé d dmnson fn à un dstanc du fl tès ptt pa appot à l étndu du fl, qu clu-c sot ctlgn ou non. n conséqunc, l st mpossbl d fa l cho d un potntl nul à l nfn t l calcul dct du potntl st mpossbl : l faut mpéatvmnt calcul l potntl pa ntégaton du champ. JLH 4/9/7 Pag 5 su 8

16 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Calcul du potntl pa ntégaton du champ L champ ayant pou psson : λ = = πε L potntl st égal à l opposé d la cculaton du champ : λ λ ln πε πε V = d = d = Il nous a fallu consdé un dstanc patculè pou laqull nous avons fat l cho d un potntl nul. Nous constatons qu l champ st dvgnt tant à l nfn qu au vosnag du fl. V λ πε Consdéatons éngétqus L calcul d l éng pa l ntméda du potntl st c absolumnt mpossbl. Cla n auat stctmnt aucun sns dans la msu où nous n avons pas pu chos l potntl nul à l nfn. Il st possbl d pal d un dnsté volumqu d éng élctostatqu : u λ = ε = π ε 8 Nous constatons qu ctt dnsté pésnt un sngulaté au nvau du fl, n =. À l nsta d c qu s pass pou un chag ponctull. Nous vons pa cont, dans l cc suvant, qu cla n s podut pas au vosnag d un sufac chagé. Potntl su l a d un dsqu unfomémnt chagé Voc un dn mpl, qu n st pas un poblèm d écol, pa lqul nous allons mont qu l st pafos plus smpl d calcul dctmnt l potntl élctostatqu pa ntégaton scala pou nsut n dédu l champ élctostatqu pa dévaton. L avantag st doubl : d un pat un ntégaton scala, a po, st plus smpl à éals qu un ntégaton vctoll t d aut pat l st généalmnt plus facl d calcul l champ pa dévaton du potntl qu d calcul l potntl pa ntégaton du champ. Q σ = π P O M dq + d JLH 4/9/7 Pag 6 su 8

17 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Nous nous poposons d calcul l potntl élctostatqu su l a d un dsqu d ayon potu d un chag Q épat d façon unfom sous fom d un chag sufacqu σ = Q π. Calcul dct du potntl pa ntégaton scala Consdéons un annau d chag comps nt ls ayons t + d, potu d un chag Q Q dq = σ ds = π d = d. Tout ctt chag st à la mêm dstanc + du pont M d π cot t la contbuton élémnta au potntl n M a pou psson : dq Q d σ d dv = = = 4πε + 4πε + ε + Nous obtnons l potntl élctostatqu n M, foncton pa d, pa ntégaton scala : σ d σ = = ( + ) V ε + ε σ ε V σ + ε = dv d psson du champ élctqu σ ε La foncton potntl st contnu t sa dévé pésnt un dscontnuté n =. Cc cospond à la dscontnuté attndu du champ élctqu à la tavsé d la sufac chagé. Nous véfons faclmnt pa dévaton l psson, déjà établ au chapt pécédnt, du champ élctqu su l a du dsqu : σ σ = sgn = sgn ε + ε + JLH 4/9/7 Pag 7 su 8

18 ÉLCTOSTATIQU Chapt Potntl élctostatqu Compotmnt lmt au vosnag mmédat du dsqu S l on gad la stuaton au vosnag mmédat du dsqu chagé, à un cot tll qu, l factu d échll st tl qu tout s pass comm s l plan chagé état nfn. C st ans qu l poblèm ntal éalst s tansfom n «poblèm d écol». La foncton potntl st alos un foncton affn d la cot, dont la cossanc st du sgn d la chag pou < (c qu cospond à un champ élctqu du sgn d la chag) t du sgn conta pou >. Dans c passag à la lmt, l ogn ds potntls st jté vs l nfn négatf. Pou pm ctt foncton, l nous fauda nécssamnt chang l cho d ogn ds potntls t consdé qu l potntl st nul à dstanc fn. Ogn abta ds potntls V σ Pnt + ε σ + ε σ ε Nous voyons bn su ct mpl qu l poblèm d écol du plan nfn unfomémnt chagé n st pas un poblèm sans ntéêt : l faut smplmnt savo l ntpét dans un doman lmté d spac. JLH 4/9/7 Pag 8 su 8