Modélisation géométrique et cinématique en imagerie médicale 3D. Application à l'analyse morpho-fonctionnelle des complexes ostéo-articulaires

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1 Habilitation à Diriger des Recherches Présentée devant : l Université de Rennes 1 par Chaaâ Hamitouche-Djabou Travaux réalisés au Laboratoire de Traitement de l'information Médicale INSERM U650 / Département Image et Traitement de l'information de l'ecole Nationale Supérieure des Télécommunications de Bretagne Modélisation géométrique et cinématique en imagerie médicale 3D. Application à l'analyse morpho-fonctionnelle des complexes ostéo-articulaires soutenue le 10 Janvier 2005 devant la commission d'examen : Rapporteurs : M. Jean-Yves BOIRE, Professeur, Université d'auvergne, Clermont-Ferrand M. Philippe CINQUIN, Professeur, Université Joseph Fourier, Grenoble M. Jean SEQUEIRA, Professeur, ESIL, Marseille Examinateurs : M. Jean-Louis COATRIEUX, Directeur de Recherche INSERM, Rennes M. Christian ROUX, Professeur, ENST Bretagne M. Basel SOLAIMAN, Professeur, ENST Bretagne

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3 Table des matières Curriculum Vitae 4 Activités d enseignement Activités de recherche Recherche académique Recherche contractuelle Activités d animation Encadrement de travaux de recherche Publications Problématique et démarche scientifique 20 2 Segmentation de volumes 3D avec une précision sous-voxel Détecteur de surface basé sur les moments géométriques Etude comparative de détecteurs de surface Conclusion Détermination de grilles d échantillonnage nd optimales au sens Topologique et Traitement du signal Aspect topologique La topologie dans les grilles 2D et 3D La grille A n La grille A n Aspect signal Quelques applications Extraction de frontières Interpolation Traçage de lignes discrètes dans une grille nd régulière Conclusion Modélisation de structures anatomiques Construction d un modèle générique d une articulation Mise encorrespondance du modèle générique sur une morphologie spécifique Conclusion

4 5 Inter-relation forme-fonction dans les complexes ostéo-articulaires Les surfaces réglées pour l étude de la relation forme-fonction Morphologie et surface focale géodésique Fonctionnalité et axode Lien entre l axode et la surface focale géodésique Vers un nouvel espace de représentation : les quaternions duaux Quaternions, nombres duaux et vecteurs duaux Application des quaternions duaux aux surfaces réglées Perspective quant à l étude de l inter-relation forme-fonction par les quaternions duaux Navigation 3D sans imagerie et analyse forme-fonction en chirurgie orthopédique Systèmes de navigation 3D et prospectives cliniques en chirurgie orthopédique Navigation 3D et analyse morpho-fonctionnelle de complexes ostéo-articulaires Approches géométriques Approches cinématiques Approches mixtes Un exemple : Navigation 3D et l Ostéotomie Tibiale Supérieure Conclusion et Perspectives 91

5 Ce document résume le travail de recherche d une douzaine d années et vise à répondre aux exigences d une Habilitation à Diriger des Recherches. Le premier chapitre est mon curriculum vitæ. Il présente mes différentes activités d enseignement et recherche. Par choix délibéré, une description succinte des plus importants projets correspondants à mes activités de recherche contractuelle est incluse dans cette partie. Le second chapitre a pour objectif de présenter la problématique ainsi que ma démarche scientifique depuis Il vise essentiellement à montrer la cohérence et la pertinence de mes activités de recherche pendant ces douze années. Les chapitres suivants seront consacrés à une description plus développée des différents thèmes abordés. Par ailleurs, un document annexe est joint dans lequel la même organisation des chapitres que celle du document principal est adoptée. Ce document contient quelques publications illustrant les différents thèmes de recherche. 3

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7 Chapitre 1 Problématique et démarche scientifique Le LaTIM 1 développe une recherche intégrée et pluridisciplinaire, associant médecins et scientifiques dans le cadre d un partenariat étroit entre la Faculté de Médecine de l UBO, le CHU Brest et l ENST Bretagne. Sa problématique de recherche concerne : Les formes dynamiques en imagerie médicale pour la quantification des structures et des fonctions. L indexation et similitudes en imagerie médicale pour le partage et la diffusion des bases de connaissances. Mes activités de recherche s inscrivent dans l axe formes dynamiques en imagerie médicale du LaTIM avec des apports concernant les interfaces dynamiques (surfaces), les formes et déformation et formes et fonctionnalité de mouvement des structures ostéo-articulaires. Ces dernières années, les différentes approches développées ont été intégrées dans les plates formes de recherche technologique et clinique. Depuis 1992, l objectif ultime de mes activités de recherche est d apporter une contribution dans le domaine de la représentation et modélisation de formes 3D dynamiques en imagerie médicale en vue de la compréhension des inter-relations entre leur morphologie et leur fonctionnalité. Malgré la généricité de la méthodologie développée et la multitude de possibilités d application, nous nous sommes restreints au domaine de l orthopédie et les structures concernées sont les complexes ostéo-articulaires. Au plan clinique, notre contribution va permettre au chirurgien orthopédiste d améliorer la prise en charge des affections du système articulaire, de mieux comprendre les incidences fonctionnelles de ses gestes chirurgicaux et de mieux les intégrer dans sa pratique quotidienne. 1. Laboratoire de Traitement de l Information Médicale - INSERM U650 20

8 Les pathologies de l appareil locomoteur constituent la cause la plus commune de douleurs sévères à long terme et d incapacité physique permanente. Une meilleure modélisation morpho-fonctionnelle des régions articulaires entraîne une meilleure compréhension des désordres de ce système, conduisant ainsi à de meilleures pratiques de prévention, de diagnostic et de rééducation. La connaissance des structures osseuses, et notamment des complexes ostéo-articulaires, au plan morphologique comme au plan fonctionnel conditionne la prise en charge médicale et chirurgicale en orthopédie tout au long des phases de diagnostic, d action thérapeutique et de suivi du patient. Quelques statistiques : 45 % des personnes de plus de 18 ans connaîtront au moins une pathologie ostéo-articulaire au cours de leur vie, et parmi elles 65 % des femmes de plus de 60 ans, et le fait que l OMS ait déclaré la décennie décennie de l os et des articulations (Bone and joint decade : montrent l importance clinique d études méthodologiques en matière de modélisation des structures osseuses pour une meilleure compréhension des relations entre forme et fonctionnalité des mouvements. Ces données précisent aussi les enjeux en matière de retombées sur la santé des populations. Afin de saisir la morphologie osseuse, nous avons tout d abord considéré le problème complexe qu est la segmentation d image afin d extraire les structures d intérêts à partir de volumes de données médicales. Notons que ce problème de segmentation a été largement étudié dans le cadre de ma thèse de doctorat de l Université de Rennes 1 au sein du Laboratoire de Traitement du Signal et de l Image (LTSI) et soutenue en novembre Les résultats majeurs issus de cette thèse, outre la démarche structurée dans la généralisation d opérateurs de traitement d images à l espace 3D, sont : l élaboration d un détecteur de surface original basé sur les moments géométriques, dont les performances en terme de précision de la détection (au niveau sous-voxel) et de robustesse au bruit ont été prouvés. le développement d une approche structurée pour la prise en compte du problème d anisotropie des volumes de données médicales, en l intégrant dans l élaboration des opérateurs de traitement, évitant ainsi le recours à l interpolation. Dans le cas des structures osseuses, nous avons étudié des méthodes de détection de surfaces en intégrant l anisotropie du support de l information dans leur élaboration, puis évalué leurs performances en terme de précision d estimation de la position (sous-voxel) et de l orientation de la surface. Plusieurs profils de ligne ont été considérés et une approche multi-échelles a été adoptée. 21

9 Nous avons également évalué les performances des méthodes de reconstruction de surfaces. Cette étude comparative sera développée dans le chapitre 2 et appuyée par les publications jointes en document annexe. Ces études ont été menées dans le cadre des stages et des thèses encadrées entre 1992 et 1996, et nous ont montré que : 1. L extraction de surfaces dans la grille Z 3 (Z n en général) présente certaines insuffisances topologiques. En effet malgré leur simplicité apparente, ces grilles compliquent le développement d algorithmes topologiques. En particulier, des ambiguités peuvent survenir dans la définition d intérieur et d extérieur d un objet au sens du théorème de Jordan. Ces grilles ne sont pas non plus les mieux adaptées à l échantillonnage des signaux. 2. Le caractère local des détecteurs de surfaces ne leur permet pas de fournir des informations sur la morphologie globale d une structure anatomique. Ces techniques sont insuffisantes pour détecter les surfaces articulaires où la calcification est réduite, ou les surfaces séparées par une distance de l ordre de la résolution du volume de données. La recherche d une solution pour le premier problème nous a conduits à réaliser une étude approfondie de la topologie discrète. Cette étude a eu comme résultat la démonstration que la grille cubique centrée BCC (Boby-Centred Cubic) est la grille optimale pour représenter un volume de données 3D échantillonné, aussi bien du point de vue du traitement du signal que du point de vue de la topologie discrète. Notre contribution dans ce contexte est d une part théorique et d autre part pratique. En particulier : nous avons monté que pour une dimension N quelconque, la grille réciproque de la grille compacte est telle que son graphe de connexité est toujours un K-Simplexe. nous avons défini une topologie dans les grilles A n (l équivalent nd de la BCC) en adoptant un formalisme vectoriel pour apporter une certaine élégance et souplesse à leur construction, nous avons développé un algorithme de traçage de lignes dans des grilles régulières de dimension quelconque, 22

10 nous avons adapté une variante de la méthode de Marching Cubes à la grille BCC pour l extraction d iso-surfaces sans ambiguité grâce au fait que son graphe de connexité est un K-simplexe. Cette grille admet donc d excellentes configurations topologiques et est caractérisée par diverses symétries qui peuvent être exploitées dans l élaboration d algorithmes d analyse ou de traitement. Parmi les applications où la grille BCC est plus performante que la grille cubique il y a : la transformée de Fourier Discrète, grâce aux diverses symétries présentes dans cette grille. la morphologie mathématique, grâce à la structure même des voxels. l interpolation, grâce à la simplicité de sa figure de Delaunay. Au sens traitement du signal, en considérant des signaux nd avec des propriétés isotropes (le support fréquentiel est une sphère multi-dimensionnelle), le problème d échantillonnage optimal se ramène alors au problème du meilleur empaquetage d hypersphères dans le domaine fréquentiel nd. Ainsi, par exemple en 2D, c est la grille hexagonale qui est la mieux adaptée : à cadence d échantillonnage identique, cette grille utilise 13.4% d échantillons en moins par rapport à la grille carrée (Z 2 ). La grille Z n sur-échantillonne donc le signal, et ce facteur est exponentiel en n, ce qui implique que plus la dimension est importante, plus le choix de la grille Z n est inapproprié. Les résultats majeurs obtenus dans cette étude seront développés dans le chapitre 3 et quelques publications sont fournies en document annexe. La recherche d une solution pour le second problème nous a poussé vers le développement de méthodes plus globales de représentation de structures et il nous a paru important qu une compréhension de la morphologie du point de vue anatomique était indispensable pour mieux modéliser ces structures d intérêt. Nous nous sommes intéressés alors au processus de croissance d une forme biologique, et nous avons abordé l étude de la morphogenèse osseuse. Cette étude multi-disciplinaire comprend des notions appartenant à des domaines aussi variés que la biologie moléculaire, la paléontologie, l embryologie et la génétique. La recherche dans cette nouvelle direction, totalement originale, a donné naissance aux modèles déformables structurés dont l information a priori est introduite en simulant le processus de morphogenèse de la forme de l organe. Notre hypothèse est que la description d une forme biologique en terme de son processus de développement est : 23

11 Efficace, car elle réduit la quantité d information nécessaire à la description. Précise, grâce à la correspondance correcte entre les structures réelles et leurs modèles. Pertinente, puisqu elle attache une signification biologique à la description. Flexible, étant donnée qu elle peut être adaptée aux individus de différents âges et constitutions. Dans cette approche de modélisation par émulation de la morphogenèse, nous produisons d abord un modèle générique de l articulation. Ce modèle contient l information a priori de la forme, prend en compte toutes les structures congruentes et représente les caractéristiques anatomiques fondamentales qu on s attend à trouver dans les images réelles de tout individu. Ce modèle fondé mathématiquement sur les fonctions implicites est composé de primitives dont les paramètres peuvent être réglés afin de le déformer et le mettre en correspondance avec un volume de données réelles particulier. Afin de s adapter au mieux aux formes biologiques, d autres primitives issues de la théorie des catastrophes ont été introduites. Cette modélisation des structures anatomiques est concise, flexible adaptative et modulaire. La segmentation est effectuée par la mise en correspondance (recalage) du modèle avec une morphologie spécifique en réglant les paramètres des primitives du modèle par algorithme d optimisation. Cette modélisation a été initiée pendant la thèse de Luis Ibanez, puis poursuivie pour des améliorations concernant l affinement de la mise en correspondance et la généralisation à l ensemble du système articulaire au travers de deux autres thèses dont une est en cours et l autre démarrera en Novembre Notons par ailleurs que ce modèle est inclus comme outil pour le recalage et la segmentation dans la librairie INSIGHT développée par la National Library of Medicine des Etats Unis d Amérique dans le cadre du projet Visible Human par l intermédiaire de Luis Ibanez qui est actuellement ingénieur de recherche chez Kitware Inc (USA). Cette modélisation sera développée dans le chapitre 4. Un exemple de modélisation (celle de l articulation du coude) et le résultat de la segmentation d un volume de données seront également donnés. Quelques publications sur le sujet peuvent être trouvées dans le document annexe. La recherche dans cette direction a été passionnante et a ouvert plusieurs voies à explorer: A moyen terme, nous travaillons à l élaboration d un Atlas morpho-génétique (en- 24

12 semble de modèles génériques) de l ensemble des complexes ostéo-articulaires. L intérêt d un tel Atlas, outre la représentation compacte de la structure articulaire (par un ensemble très réduit de primitives), serait la possibilité de l intégrer dans une plateforme de chirurgie sans imagerie, en faisant appel à la mise en correspondance entre ce modèle et un nuage de points prélevés sur la surface de la structure osseuse. Bien évidement, il est indispensable de valider cette modélisation par l étude de la variabilité avant de pouvoir l utiliser dans des applications de chirurgie orthopédique. Cette idée fait l objet de la thèse qui démarrera très bientôt. En modélisant une articulation dans sa globalité par la prise en compte des différentes structures congruentes, il est relativement facile avec ce modèle d évaluer des collisions entre structures. Ce qui est très intéressant pour évaluer l influence d une pathologie morphologique sur la fonctionnalité de l articulation. Enfin, il a été très intéressant de constater que dans le processus de morphogenèse il y a une influence importante provenant de l activité physique de l embryon, du fœtus (c est grâce aux mouvements effectués que l articulation se forme), du nouveau né, et qui pour le cas des structures osseuses se prolonge jusqu à la mort de l individu. Cette constatation nous a réconforté dans l idée qu il faut étudier la forme biologique (une articulation) comme un processus et non comme une entité statique. Il y a une influence réciproque entre la morphologie et la fonctionnalité des structures : A court et moyen terme, c est certes la morphologie qui impose le mouvement, mais à plus long terme, si des écarts de mouvement sont effectués de façon régulière (exemple des grands sportifs), alors c est la morphologie qui sera modifiée. Ces deux notions sont donc indissociables et il est indispensable de chercher des approches pour les représenter et les analyser conjointement. La difficulté lorsque nous avions abordé l étude de l inter-relation forme-fonction des complexes ostéo-articulaires résidait dans le fait que chacun des deux aspects disposait de ses propres théories et méthodes, que ces dernières ne sont pas comparables et que chacun des deux aspects est étudié indépendamment de l autre: l analyse de formes d une part et la biomécanique d autre part. Dans le but de la recherche d une représentation unifiée morphologie-fonction, nous avons proposé une approche tout a fait originale pour mettre en évidence ce lien étroit. Cette étude est réalisée dans le cadre d une thèse co-financée INSERM / Région de Bretagne. Elle a d abord été effectuée en dimension 2 et, nous a permis de conclure que dans le cas de 2 courbes se déplaçant l une par rapport à l autre en gardant toujours un point de contact, il est possible d associer directement la fonctionnalité et la morphologie au moyen du lien existant entre la courbe polode (trajectoire définie par les centres instantanés de rotation) et de l évolute ou développée (la suite des centres de courbure de la courbe). 25

13 Nous avons montré que le choix de la modélisation forme-fonction par les notions de surface focale (généralisation 3D de l évolute) et d axode (généralisation 3D de la polode) permettait une formalisation du problème. Non seulement elles englobent chacun des deux aspects morphologie-fonctionnalité mais elles fournissent surtout un outil pour une étude de chacun d eux de manière comparable. La théorie sous-jacente aux notions d axode et de surface focale est celle des surfaces réglées. Leur étude d un point de vue mathématique, en particulier celui de la géométrie différentielle, nous a donné des paramètres intrinsèques à ces surfaces et donc à un mouvement et une morphologie donnés. Ce choix d utiliser les surfaces réglées est conforté par les résultats issus de l expérimentation. Les surfaces réglées présentent des propriétés qui leurs sont propres, notamment des propriétés différentielles. Toutefois, cette représentation est un peu pauvre en terme d analyse : la comparaison directe de deux surfaces réglées est par exemple impossible. Nous nous sommes donc dirigés vers un autre espace de représentation de ces surfaces : les quaternions duaux. Ces objets mathématiques sont déjà utilisés en mécanique mais seulement pour le calcul de déplacements rigides ou l étude de robots, jamais pour l analyse fine des mouvements. Leur utilisation pour les surfaces réglées n a jamais été relevée non plus. Le contexte applicatif de notre étude, nous a amené à développer de nouveaux aspects théoriques de quaternions duaux (interpolation, approximation,...). Ces moyens d analyse ont été validés sur des surfaces réglées synthétiques et sont en cours de validation sur les surfaces réglées issues d une expérimentation du domaine de la chirurgie orthopédique. A plus long terme, nous souhaitons nous servir des surfaces réglées et des quaternions duaux pour établir un atlas de signatures morpho-fonctionnelles. Nous espérons alors discriminer chaque type de pathologie ainsi que distinguer les cas pathologiques et sains grâce à ces outils mathématiques. Ce travail est encore en cours de développement. Les résultats fondamentaux de cette étude sont présentés au chapitre 5 avec à l appui quelques publications dans le document annexe. Le fait que le LaTIM ait fait l acquisition d une station de navigation 3D pour la chirurgie orthopédique dans le cadre du projet SURGETIQUE (cf. Recherche contractuelle) en 2001, nous a permis d établir tous les éléments pour valider notre approche d analyse morpho-fonctionnelle des structures articulaires. De plus, le travail en étroite collaboration avec les chirurgiens orthopédistes du laboratoire a eu pour avantage la possibilité de disposer d une part de données patients et d autre part de valider les résultats de ces théories sur cadavre avant une utilisation en 26

14 routine clinique (le service d orthopédie du Centre Hospitalier Universitaire de Brest est équipé de la même station de navigation 3D). Ces études théoriques sont évidement menées en parallèles et intégrées dans des applications cliniques de chirurgie orthopédique naviguée en planning pré-opératoire, peropératoire et post-opératoire. Ainsi, une étude a démarré en 2001 dans le cadre d une thèse financée par le ministère de l industrie en collaboration avec un industriel (la société PRAXIM Medivision) et concerne l utilisation du système de navigation sans imagerie per-opératoire pour la réalisation d Ostéotomies Tibiales Supérieures. Cette procédure chirurgicale appelée également ostéotomie de réaxation a pour objectif de corriger les défauts d axes du membre inférieur, en particulier le mode de transmission des forces à travers l articulation. Il s agit donc d obtenir un angle entre l axe allant du centre de la hanche au centre du genou et de l axe allant du centre du genou au centre de la cheville d environ 180. Cette procédure doit être réalisée aussi précisément que possible, afin de restaurer la géométrie articulaire la plus favorable à la consolidation et à l obtention d un résultat positif à long terme. A ce jour, deux techniques sont plus largement utilisées. Elles reposent sur la résection d un coin osseux, ou sur l ouverture d un simple trait d ostéotomie séparant deux fragments l un proximal l autre distal. Quelque soit la technique chirurgicale utilisée, la planification est réalisée sur des radiographies 2D et la réalisation du geste opératoire classique s effectue sans aucun contrôle quantifiable, robuste et fiable de l axe mécanique dans l espace. Un protocole basé sur une planification 3D per-opératoire obtenue à partir de données morphologiques et fonctionnelles a été développé dans le cadre de cette thèse. Cette approche permet la supervision et le contrôle 3D fiable du geste chirurgical dans toutes ses étapes sans aucune dose de rayons X pendant la procédure chirurgicale, grâce à l utilisation d un localisateur optique. Cette procédure peut être résumée en quatre étapes : Calcul des trois centres articulaires : hanche (H), genou (K) et cheville (A) Mise en correspondance d un modèle générique du genou (Fémur et Tibia) sur un nuage de points prélevés au moyen d un palpeur sur la surface du tibia et correspondant à la morphologie du patient. Planning : sur la base des informations morphologiques et géométriques, le système propose une planification par défaut pour une ostéotomie de fermeture ou d ouverture Action : un système de guidage (spécifiquement développé pour cette application) porteur sous contrôle du localisateur afin de reproduire la planification validée. La soutenance de cette thèse est prévue pour le début Si l expérience des systèmes de navigation 3D nous a permis d en montrer l efficacité, elle nous a également permis de mettre en évidence les limites et d identifier un certain nombre de verrous technologiques. Parmi ces derniers, se pose le problème de la représen- 27

15 tation des parties molles et celui du comportement dynamique de ces dernières au cours du fonctionnement physiologique de l appareil locomoteur. Une thèse a démarré en mai 2004 en convention Cifre avec la société PRAXIM-Medivision. Un des objectifs de cette étude sera d élaborer un modèle dynamique du membre inférieur incluant à la fois des aspects morphologiques au niveau de la hanche et du genou, tout en intégrant des données de dynamique pelvienne. Ce modèle reposera sur l utilisation de données multimodales acquises en pré-opératoire (radiographie, fluoroscopie dynamique) per-opératoire (Palpation de point, échographies) et post-opératoire (Scanner X, échographie, analyse de la marche). Ces modèles seront développés de façon générique, puis appliqués à deux problématiques cliniques concrètes : l optimisation de l équilibrage ligamentaire des prothèses totales du genou. L équilibrage ligamentaire est un des deux éléments clés conditionnant le succès d une arthropastie de genou. Il est donc indispensable que nous disposions de modèles du genou qui intègrent des informations quantitatives dynamiques prenant en compte la mécanique ligamentaire du patient opéré. Ce modèle devra alors permettre de simuler l influence des coupes osseuses sur la balance ligamentaire et sur la cinématique du genou opéré. l optimisation du positionnement des implants prothétiques de hanche (acétabulaire et fémorale) afin de minimiser le risque de luxation. L instabilité d une prothèse fémorale, qui conduit à la luxation prothétique, est la conséquence d une problématique à la fois morphologique (orientation des implants par rapport aux structures osseuses), mais également fonctionnelle (rôle de la dynamique pelvienne modifiant l orientation des implants). Là encore, la recherche d un compromis morpho-fonctionnel passe par la mise à disposition des chirurgiens d outils de simulation, spécifique de chaque patient, permettant de définir le comportement prothétique (mobilité et stabilité) en fonction de l ensemble des gestes de la vie quotidienne (marche, montée et descente des escalier,...). Un autre aspect de cette thèse sera le développement d outils d analyse permettant de valider l ensemble des algorithmes, méthodes et dispositifs mis au point en collaboration avec la société PRAXIM. Ces études de validations porteront à la fois sur des aspects techniques et cliniques. Par ailleurs, et afin d exploiter au mieux les capacités d une station de navigation 3D, nous avons établi un cadre méthologique complet pour une étude sans imagerie pré ni per-opératoire incluant toutes les étapes nécessaires pour décrire la forme et le mouvement du système articulaire humain suivant les besoins exprimés en chirurgie orthopédique (prothèse totale du genou, ostéotomie tibiale de réaxation, reconstruction du ligament croisé antérieur (LCA),... ). Cette stratégie est résumée sur la figure 1.1. La partie A concerne l aspect fonctionnalité et regroupe les méthodes cinématiques qui nous permettront d obtenir divers paramètres utiles dans les procédures de chirurgie orthopédique. Ces paramètres sont les centres articulaires, les axes fonctionnels, les axes mécaniques et les plans anatomiques. 28

16 La partie B concerne l aspect morphologique et regroupe les plus importantes approches géométriques utiles pour extraire des caractéristiques géométriques et reconstruire la forme de la structure. A cet effet, l utilisation d un pointeur calibré pour échantillonner la surface de la structure est nécessaire. Pour chaque partie, des travaux de validation ont été mis en place permettant d appréhender la précision du système de navigation et des méthodes développées. Dans la partie C nous retrouvons l intégration des éléments issus de notre approche originale avec le lien étroit entre la morphologie et la fonctionnalité. L approche présentée ici peut être appliquée à n importe quelle articulation, même si sur le plan chirurgical c est essentiellement le membre inférieur qui est considéré actuellement. Nous pouvons donc transposer ces concepts à n importe quelle procédure chirurgicale. Une telle analyse est certainement le futur de la chirurgie orthopédique, en incluant l évaluation quantitative 4D pré- et post-opératoire morphologique et fonctionnelle. Nous parlerons alors de la planification chirurgicale prédictive (prévision de la fonctionnalité à reconstituer pendant la chirurgie). Les éléments de cette structuration ainsi que des résultats seront donnés dans le chapitre 6. Des publications sont jointes dans le document annexe. Enfin, il est certain que la capacité de réaliser une telle analyse influencera fortement la pratique quotidienne des chirurgiens orthopédiques dans la prochaine décennie. Ces études constituent aussi une contribution à la plate-forme de recherche clinique et technologique en chirurgie orthopédique retenue dans le cadre du XIIème Contrat de Plan Etat Région. Elles viendront apporter une dimension amont aux développements qui seront faits sur cette plate-forme. Les connaissances acquises bénéficieront directement aux partenaires industriels engagés dans cette opération. Certaines applications telles que la procédure d Ostéotomie Tibiale Supérieure sont actuellement dans un processus d industrialisation par la société PRAXIM-Medivision. Notons enfin que ces travaux de recherche s inscrivent naturellement dans la dynamique de formation d un centre Brestois d expertise technologique et clinique sur les pathologies de l appareil locomoteur. 29

17 Navigation 3D A Données cinématiques Position et orientation Vitesse Accélération Données géométriques Nuage de points non structuré B Modèle générique Modèle déformable Calcul Centres articulaires Axes fonctionnels Calcul Axes mécaniques Plans anatomiques Données géométriques Maillage 3D Distances inter-articulaires Procédures chirurgicales naviguées actuelles C Calcul Point central Plan central Paramètre de distribution Estimation des points les plus proches Courbe 3D Surface réglée Axode Analyse Surface réglée Surface focale Signatures Morpho-fonctionnelles Procédures chirurgicales naviguées prochaine génération Fig. 1.1 Stratégie d analyse forme-fonction, utilisant la navigation 3D sans imagerie per-opératoire 30

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19 Chapitre 2 Segmentation de volumes 3D avec une précision sous-voxel Malgré les efforts réalisés dans le domaine de la segmentation 3D, le problème de la caractérisation quantitative des structures anatomiques reste ouvert. En effet, tous les travaux soulignent l importance d une détection efficace et précise des surfaces afin d avoir une estimation quantitative des structures, d une part, et produire une haute fidélité de leur rendu d autre part. Malheureusement, la précision de la détection ne dépasse presque jamais la résolution de l image (la surface est une succession de voxels connexes). 2.1 Détecteur de surface basé sur les moments géométriques Pour répondre à ce besoin en performance et précision, un opérateur de détection de surface a été élaboré [1] [2] pendant mes travaux de thèse de doctorat d Université de Rennes 1. La surface est modélisée par un plan coupant un voisinage sphérique en deux: le fond de niveau de gris a et l objet de niveau de gris a + b. L orientation de ce plan est représentée par les angles α et β. Ce plan est situé à une distance h du centre de la sphère (figure 2.1). L objectif était alors d utiliser les moments géométriques M pqr = f(x,y,z)x p y q z r dxdydz jusqu à l ordre 2 pour déterminer : la position sous-voxel h de la surface (précision supérieure à la résolution du volume). l orientation de la surface (α, β) le contraste b et le fond a (facultatif) 31

20 Fig. 2.1 Modèle de surface Après le calcul des moments géométriques et la résolution d un système d équations on obtient : α = arctan M 010 M 100 β = arctan M M M 001 (2.1) h = 1 4M 3 b [ (5M200 R 2 M 000 )M (5M 020 R 2 M 000 )M (5M 002 R 2 M 000 )M (M 001 M 010 M M 001 M 100 M M 010 M 100 M 110 ) ] (2.2) b = 4 π M b (R 2 h 2 ) 2 a = 3M 000 4πR b ( 1 + 3h ) 3 2 2R h3 2R 3 (2.3) (2.4) où R est le rayon de la sphère de voisinage et M b = M M M L intérêt d une telle précision dans la détermination de la position réside dans la possibilité de quantification de structures de faible taille et la prise en compte du problème de volume partiel. 32

21 Afin que l étude soit complète, cet opérateur a été évalué en terme de robustesse vis à vis du bruit et aux effets de discrétisation. Sa comparaison par rapport aux détecteurs classiquement utilisés a mis en évidence sa supériorité en terme de détection-localisation. Son utilisation sur des données discrètes nécessite une évaluation discrète des M pqr. L estimation pratique du moment M pqr dans le voisinage d un voxel, se fait par corrélation avec un masque C pqr précalculé, dont les coefficients en chaque voxel correspondent à l intégration de la fonction x p y q z r à l intérieur de la partie de la sphère qui correspond au voxel pour une discrétisation de la sphère en N N N [1]. M pqr = i C pqr (i,j,k)f(i,j,k) où f(i,j,k) est la valeur de la fonction (niveau de gris) dans le voxel. j k Une version de l opérateur prenant en compte l anisotropie couramment rencontrée dans les volumes de données médicales a également été développée en considérant la taille réelle du voxel et évitant ainsi le recours à une interpolation. Notons que ce problème de compensation de l anisotropie a été traité pour plusieurs approches de détection de surfaces dans [3]. Par ailleurs, divers profils de ligne ont été considérés (type échelon, rampe, quadratique,...) ce qui permet une certaine adaptativité au type de surface [4] et enfin une approche multi-échelles a été adoptée (figure 2.4 à 2.8) pour la détection [5]. 2.2 Etude comparative de détecteurs de surface Plusieurs détecteurs de surface, utilisant différentes approches pour la détection (modèle, séparabilité directionnelle,...) ont été choisis et mis dans un cadre comparatif permettant d évaluer leurs performances aussi bien du point de vue précision de la détection (estimation de la position et de l orientation) que du point de vue temps de calcul. Ils ont tous un paramètre à régler associé au lissage qui s applique préalablement à la détection de la surface. Ce lissage adapte d une certaine manière l échelle à laquelle le contour est cherché. Chacun de ces détecteurs est en mesure de fournir par application à un volume de données 3D : un volume de données lissées un volumes de données de gradients (3 composantes et module) un volume de données de laplaciens Le volume lissé a été utilisé uniquement comme indicateur du degré de lissage. Le volume gradient sert d indicateur de présence de contours importants tandis que le volume laplacien permet de localiser avec précision la position des surfaces : endroit vérifiant un fort gradient et un passage par zéro du laplacien. 33

22 Fig. 2.2 Valeurs extrêmes de l erreur d estimation de la normale à la surface en fonction du rayon de courbure Les tests ont été réalisés sur une sphère avec différentes valeurs de rayons, échantillonnée en respectant les principes de l échantillonnage et en prenant pour chaque détecteur la valeur optimale de son paramètre. Parmi les détecteurs comparés nous trouvons : le laplacien d une gaussienne [6] [7] [8] le détecteur de Canny avec la version récursive de Deriche [9] [10] [11] le détecteur de Shen et Castan [12] [13] le détecteur basé sur les moments En ce qui concerne l estimation de l orientation de la normale, les résultats a montré que le détecteur basé sur les moments géométriques est le plus performant, il s est montré relativement insensible à la courbure de la surface. Le détecteur Gaussien suit un comportement similaire mais à partir des rayons de courbures de 10 millimètres. Les performances du détecteur de Shen et Castan et celui de Canny-Deriche sont similaires et sont faibles quant à l estimation de l orientation de la surface. Ceci est dû au fait d avoir été construit comme le produit tensoriel de filtres 1D. La figure 2.2 représente les valeurs extrêmes de l erreur d estimation de l orientation pour les détecteurs étudiés. Pour l estimation de la position de la surface, l étude comparative a montré que le détecteur de Shen et Castan fournit une estimation plus précise de la position de la surface que celle de Canny et Deriche. La précision s améliore pour les valeurs importantes du facteur de lissage. La position est décalée vers l extérieur de la surface. Avec l opérateur basé sur les moments, les valeurs du rayon de la sphère de test ont tendance à être sous-estimées, c est également le cas pour le laplacien d une gaussienne. Les valeurs extrêmes obtenues pour l erreur d estimation de la position sont représentées sur la figure 2.3. L étape qui suit la détection est l extraction des surfaces. Elle est réalisée par marching cubes [16] dans le but de la construction d une représentation géométrique de la surface 34

23 Fig. 2.3 Valeurs extrêmes de l erreur d estimation de la position de la surface en fonction du rayon de courbure à partir de l information fournie par le processus de détection. Cette extraction peut être décomposée en trois étapes: 1. Identification des couples de voxels entre lesquels passe la surface. 2. Estimation de la position de passage de la surface avec précision sous-voxel. 3. Construction d une triangulation qui reconstitue la connexité topologique entre les points de la surface. 2.3 Conclusion L évaluation des performances des différentes méthodes de détection de surfaces n est pas une tâche simple, car la validité d une méthode est fonction de l utilisation envisagée pour la surface. La plupart des études comparatives des méthodes de détection de contours reposent sur le critère d observateurs humains [14] [15], ce qui implique une orientation vers la satisfaction de la perception visuelle plutôt qu aux besoins des traitements quantitatifs. Notre approche prétend être plus objective, car elle est fondée sur l évaluation de paramètres quantitatifs indépendants de l observateur. Il est à regretter néanmoins, dans la majorité des cas, l absence d une réalité physique (géométrique) des objets analysés. Les comparaisons sont donc réalisées sur des images synthétiques, dont le lien avec la réalité peut difficilement être établi. C est bien le cas dans la plupart des méthodologies d imagerie médicale où la vérité terrain n est presque jamais accessible. 35

24 Il a été bien établi que la performance des méthodes de détection de surfaces dépend du contenu de l image. Le choix des paramètres optimaux du détecteur, ainsi que la signification même de ce qu est une surface et ce qui ne l est pas, sont fonction du type d information cherchée dans l image. La qualité de la détection de surface ne peut être, par conséquent, un objectif à atteindre en soi, tout au contraire, sa qualité doit être évaluée dans une chaîne de traitement d information dans le cadre d une application précise. L analyse comparative détaillée que nous avons réalisée nous a montré que même si les différents détecteurs montrent des caractéristiques particulières, aucun d entre eux n est suffisant pour détecter une surface à l intérieur d un volume de données médicales où le contraste ainsi que la plage des valeurs de niveaux de gris présentent des variabilités locales qui sont liées aux caractéristiques des tissus. Les détecteurs doivent être considérés comme une couche initiale de bas niveau qui apporte des informations pertinentes conduisant à la détection d un objet dans l image, mais ils nécessitent certainement une ou plusieurs couches dans lesquelles il serait possible d introduire des connaissances propres au domaine particulier. 36

25 Fig. 2.4 Quelques coupes du volume de données originales Fig. 2.5 Contraste b avec une taille de fenêtre de 3 3 3, 5 5 5, et Fig. 2.6 Position h avec une taille de fenêtre de 3 3 3, 5 5 5, et Fig. 2.7 Surface extraite par marching cubes (vue frontale) Fig. 2.8 Surface extraite par marching cubes (vue latérale) 37

26 Bibliographie [1] C. Hamitouche, Analyse d images médicales tridimensionnelles: Application à l extraction de structures anatomiques, Thèse de Doctorat d Université de Rennes 1, Novembre 1991 [2] L.M. Luo, C. Hamitouche, J.L. Dillenseger, J.L. Coatrieux, A moment based three- Dimensional surface operator, IEEE Trans. on Biomed. Eng., Vol.40, N 7, pp , July 1993 [3] C. Hamitouche, C. Roux, J.L. Coatrieux, Design of new surface detection operators suitable in the case of anisotropic sampling of a 3D volume of data, Lecture Notes, Comp. Vision. Virt. Reality & Robotics, p , N. Ayache (ed.), Springer-Verlag Berlin, 1995 [4] L. Ibanez, Détection et représentation de surfaces en imagerie médicale, stage de DEA STIR, 1995 [5] L. Ibañez, C. Hamitouche, C. Roux, Moment-based operator for sub-voxel surface extraction in medical imaging, IEEE International Conference on Image Processing (ICIP), pp , Septembre 1996 [6] D. Marr, E. Hildreth, Theory of Edge Detection, Proc. Roy. Soc., vol. B207, pp , 1980 [7] A. Huertas, G. Medioni, Detection of Intensity Changes with Subpixel Accuracy Using Laplacian-Gaussian Masks, IEEE Trans. on PAMI, vol. 8, num. 5, pp , Septembre 1986 [8] J. Babaud, A. P. Witkin, M. Baudin, R. O. Duda, Uniqueness of the Gaussian Kernel for Scale-Space Filtering, IEEE Trans. on PAMI, vol. 8, num. 1, pp 26-33, Janv. 1986, [9] J. Canny, A Computational Approach to Edge Detection, IEEE Trans. on PAMI, vol. 8, num. 6, pp , Nov [10] R. Deriche, Fast Algorithms for Low Level Vision, IEEE Trans. on PAMI, vol. 12, num. 1, pp 78-87, 1990 [11] J.P.Cocquerez, S. Philipp, Analyse d Image: Filtrage et Segmentation, Edt. Masson, 1995 [12] J. Shen,S. Castan, An Optimal Linear Operator for Edge Detection, pp , CV- PR 86, 1986 [13] S. Castan, J. Zhao, J. Shen, New Edge Detection Method Based on Exponential Filter, pp , ICPR,

27 [14] A. Pernozzoli, C. Burghart, J. Brief, S. Habfeld, J. Raczkowsky, J. Muhling, H Worn, Clinical Evaluation of a Highly Accurate Algorithm for CT Bone Contour Segmentatoin, pp , dans Medicine Meets Virtual Reality 2000, IOS Press, 2000 [15] M. Heath, S. Sarkar, T. Sanoki, K. Bowyer, Comparison of Edge Detectors. A Methodology and Initial Study, Computer Vision and Image Understanding, vol. 69, num.1, pp 38-54, Janv [16] W. E. Lorensen, H. E. Cline, Marching Cubes: A High Resolution 3D Surface Construction Algorithm, Computer Graphics, vol. 21, num. 4, pp , Juillet

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29 Chapitre 3 Détermination de grilles d échantillonnage nd optimales au sens Topologique et Traitement du signal La complexité topologique de la grille Z n pour les dimensions supérieures à 2 [1] a motivé divers travaux de recherche en géométrie et topologie discrètes. La plupart de ces travaux utilisent ces mêmes grilles Z n comme l espace discret évident. Malheureusement, ce choix est plutôt une erreur historique, conséquence d opter pour la solution de facilité au moment d étendre à des dimensions supérieures les méthodes bien établies en 1D. Il a été montré que les grilles Z n, malgré leur simplicité apparente, compliquent le développement d algorithmes topologiques : Ces grilles ne sont pas les mieux adaptées à l échantillonnage des signaux, elles ne sont pas non plus appropriées pour définir correctement une topologie discrète. Notre analyse de ce problème nous a conduits à nous concentrer sur la grille hexagonale et par ce biais sur la famille des grilles n-dimensionnelles A n optimales pour résoudre le problème d empilement (packing) d hypersphères nd [2]. L étude de la famille A n ne peut être réalisée de façon complète sans l accompagner de celle de sa famille réciproque A n. L intérêt d utiliser la famille A n de grilles comme support pour la construction d une topologie discrète est justifiée par: Les grilles A n sont optimales pour l échantillonnage des signaux n-dimensionnels quand le théorème de Shannon est respecté [3]. Ces grilles présentent les meilleures configurations des voisinages entre points grâce au fait que leurs duales topologiques sont des K-simplexes. Notre contribution dans ce contexte concerne aussi bien un aspect théorique qu un aspect pratique. 40

30 Fig. 3.1 Région de Voronoi dans les grilles cubique Z 3 (a) et BCC A 3 (b) En effet, du point de vue théorique nous avons apporté deux contributions dans le domaine: nous avons montré que le graphe de connexité de la grille A n est un K-simplexe [6], développé une procédure récursive vectorielle pour la construction de grilles A n [8] et développé un algorithme de traçage de lignes nd dans des grilles non-orthogonales [7]. D un point de vue pratique, nous avons développé quelques outils 3D de base adaptés à la grille cubique centrée (BCC) qui constitue la grille optimale pour l échantillonnage d un signal 3D (figure 3.1). Cette grille admet d excellentes configurations topologiques [11], ce qui simplifie le problème de représentation d objets dans cette grille [4], elle est également caractérisée par diverses symétries. Parmi les applications où la grille BCC est plus performante que la grille cubique, nous pouvons citer : l extraction d iso-surfaces, grâce au fait que son graphe de connexité est un K- simplexe. la transformée de Fourier Discrète, grâce aux diverses symétries présentes dans cette grille [12]. la morphologie mathématique, grâce à la structure même des voxels [5]. l interpolation, grâce à la simplicité de sa figure de Delaunay (figure 3.2). Parmi les outils développés, nous pouvons citer la visualisation 3D [9], l extraction d iso-surfaces par marching-cubes, l interpolation,... Nous allons dans cette partie donner quelques éléments de nos recherches sur ces aspects. Cependant, plus de détails peuvent être trouvés dans [9] [6] [7] [6]. Certaines de ces références sont jointes en document annexe. 41

31 Fig. 3.2 Région de Delaunay dans les grilles cubique Z 3 (a) et BCC A 3 (b) 3.1 Aspect topologique La topologie dans les grilles 2D et 3D Pour définir une topologie discrète dans la grille carrée il a été nécessaire de faire appel à deux connexités complémentaires, la 4- et la 8-connexité. L utilisation de cette grille a continué malgré le fait bien connu que la grille correcte pour échantillonner l espace 2D est la grille hexagonale ainsi que la constatation que la grille carrée conduit à des ambiguïtés dans la définition de la connexité entre pixels, ce qui n est pas le cas dans la grille hexagonale. La figure 3.3 montre les relations généralement établies dans les applications d imagerie. Le graphe de la 8-connexité n étant pas planaire ne peut pas servir comme support pour un K-complexe 2D. Il a été montré que cette connexité ne peut pas conduire à une définition correcte d une topologie discrète. L alternative de la 6-connexité présente l inconvénient d être anisotrope. La figure 3.4 montre les mêmes relations pour la grille hexagonale. Malgré qu elle n est pas souvent utilisée dans les applications de traitement d image, la grille hexagonale est fondamentale dans le processus d imprimerie ainsi que dans la fabrication des écrans de télévision et des moniteurs d ordinateur. En 3D, les problèmes de connexité deviennent plus complexes avec l introduction de la 6-, 18-, 26-connexité. Ces relations sont illustrées sur les figures 3.1 et 3.5 pour la grille Z 3. En 3D, la grille compacte est la grille cubique à faces centrées (CFC ou FCC: Face- Centered Cubic ); la figure de Voronoï associée est un dodécaèdre rhombique (figure 3.6 (a)). La grille réciproque de la CFC est la grille BCC (Body-Centered Cubic) dont la figure de Voronoï est un octaèdre tronqué (figure 3.1 et figure 3.6 (b)) La grille A n Partant du fait que la grille A 0 est un point isolé, A 1 est un alignement de points sur une droite, A 2 est la grille hexagonale et A 3 la CFC, la grille A n peut être construite à partir de A n 1 et ce à partir de A 0. Sans perte de généralité, nous considérons que la distance entre points les plus proches est égale à 1 pour toute grille A n. Pour guider cette 42

32 (a) (b) (c) (d) Fig. 3.3 Relations topologiques sur la grille carrée: chaque cercle solide représente un point d échantillonnage, (a) le carré gris représente la région de Voronoï relative au point central. (b)(c) et (d) sont des définitions possibles de voisinage dans cette grille. (b) montre le K-complexe associé à la 4-connexité et les carrés gris sont les régions de Delaunay de la grille, (c) pour la 8-connexité. (d) illustre le K-complexe associé au graphe de connexité pour la 6-connexité (a) (b) Fig. 3.4 Relations topologiques sur la grille hexagonale. (a) les cercles solides sont les points d échantillonnage, l hexagone gris est la région de Voronoï du point central. (b) montre le K-simplexe 2D associé au graphe de connexité, les triangles gris correspondent aux régions de Delaunay de la grille. construction, nous avons utilisé l ensemble minimal de points permettant de définir la grille dans sa totalité, il s agit de l ensemble élémentaire E n qui correspond à la configuration la plus compacte selon laquelle peuvent être mises en contact (n + 1) hypersphères dans un espace nd. Tous les points de l ensemble sont équidistants, le barycentre de l ensemble est lui aussi équidistant aux (n + 1) points. La figure 3.8 montre le processus incremental pour les dimensions de zéro à trois. Les sphères représentent les points des ensembles élémentaires tandis que les carrés représentent les barycentres. Sur la figure 3.9 est représenté l ensemble élémentaire pour les dimensions de zéro à trois. On note b n la distance euclidienne entre le barycentre et les points de E n et p n la distance euclidienne entre le nouveau point et le sous-espace occupé par E (n 1). La figure 3.7 illustre les relations entre les segments p n et b n pour deux dimensions consécutives. Avec p 0 = 0 et b 0 = 0 et en utilisant une certaine récursivité, nous avons pu déduire 43