BI - LOI DE MENDEL. u + v + w = 1, V (u,v,w) = 1 2 (1 (u w)2 ) W(u,v,w) = 1 4 (1 (u w))2. Etude d une population soumise à une loi de Mendel

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1 BI - LOI DE MENDEL Préliminaires Considérons les trois applications U, V, W de R 3 dans R définies par U(u,v,w) = 4 (2u + v)2 = u v2 + uv, V (u,v,w) = 2 (2u + v)(2w + v) = 2 v2 + uv + vw + 2uw = 2 ((u + v + w)2 (u w) 2 ), W(u,v,w) = 4 (2w + v)2 = w v2 + vw. Elles vérifient les relations (U + V + W)(u,v,w) = (u + v + w) 2 et (U W)(u,v,w) = (u w)(u + v + w). En particulier, lorsque on a u + v + w =, (U + V + W)(u,v,w) = et (U W)(u,v,w) = (u w). Si u, v, w sont positifs, il en est de même de U(u,v,w), V (u,v,w) et W(u,v,w). Il en résulte que si de plus u + v + w vaut, les six nombres u, v, w, U(u,v,w), V (u,v,w) et W(u,v,w) appartiennent à l intervalle [0, ]. Dans ce cas, les trois fonctions peuvent s exprimer uniquement en fonction de u w : U(u,v,w) = ( + (u w))2 4 V (u,v,w) = 2 ( (u w)2 ) W(u,v,w) = 4 ( (u w))2. Etude d une population soumise à une loi de Mendel On considère une population mixte et deux gènes G et g. On note Donc α, β et γ appartiennent à [ 0, ] et vérifient α la proportion d homozygotes GG, β la proportion d hétérozygotes Gg, γ la proportion d homozygotes gg. α + β + γ =. La loi de Mendel permet de trouver la probabilité d avoir un enfant dont les gènes sont GG, Gg ou gg. On a le tableau suivant

2 BI 2 GG GG GG gg gg gg GG gg Gg GG Gg Gg gg 2 GG + 2 Gg 2 Gg + 2 gg Gg Gg 4 GG + 4 gg + 2 Gg En utilisant les probabilités conditionnelles, on a alors P(GG) = P(GG/GG GG)P(GG GG) + P(GG/GG Gg)P(GG Gg) + P(GG/Gg GG)P(Gg GG) + P(GG/Gg Gg)P(Gg Gg) = α αβ + 2 αβ + 4 β2 = α 2 + αβ + 4 β2. En permutant les rôles de u et w, on a aussi P(gg) = γ 2 + γβ + 4 β2. Enfin P(Gg) = P(Gg/GG gg)p(gg gg) + P(Gg/gg GG)P(gg GG) + P(Gg/GG Gg)P(GG Gg) + P(Gg/Gg GG)P(Gg GG) + P(Gg/Gg gg)p(gg gg) + P(Gg/gg Gg)P(gg Gg) + P(Gg/Gg Gg)P(Gg Gg) = αγ + αγ + 2 αβ + 2 αβ + 2 βγ + 2 βγ + 2 β2 = 2αγ + αβ + βγ + 2 β2. Les pourcentages respectifs d enfants sont donc les suivants : GG U(α,β,γ) Gg V (α,β,γ) gg W(α,β,γ) Nous cherchons à étudier les variations de ces pourcentages au cours des générations successives en supposant de plus qu à chaque génération disparaît une proportion r d homozygotes GG, et s d homozygotes gg. Les nombres r et s sont dans [0, ]. On supposera qu ils ne sont pas tous les deux nuls.

3 BI 3 Nous adopterons les notations suivantes : α n, β n, γ n sont les proportions de naissances GG, Gg et gg respectivement, à la n ième génération. α n, β n, γ n sont les proportions d enfants non décédés à la n ième génération. τ n désigne la différence α n γ n. Enfin, on pose Pour tout entier n, on a donc α 0 = α, β 0 = β, γ 0 = γ. α n + β n + γ n = α n + β n + γ n =, ainsi que les relations α n = Le dénominateur s écrit aussi rα n rα n + β n + sγ n, β n = β n rα n + β n + sγ n, γ n = rα n + β n + sγ n = ( r)α n ( s)γ n, sγ n rα n + β n + sγ n. et appartient à ]0, ]. D autre part, l application de la loi de Mendel donne les relations α n+ = U(α n,β n,γ n) = 4 ( + τ n) 2, β n+ = V (α n,β n,γ n ) = 2 ( τ2 n ), γ n+ = W(α n,β n,γ n) = 4 ( τ n) 2. On remarque que la valeur β n+ est toujours inférieure à /2. On obtient la relation τ n+ = α n+ γ n+ = Cette expression peut s écrire en fonction de τ n. On trouve rα n+ sγ n+ ( r)α n+ ( s)γ n+. avec τ n+ = = r 4 ( + τ n) 2 s 4 ( τ n) 2 r 4 ( + τ n) 2 s 4 ( τ n) 2 (r s)τ 2 n + 2(r + s)τ n + (r s) (2 r s)τ 2 n + 2(r s)τ n + (2 + r + s), τ 0 = α 0 γ 0.

4 BI 4 D autre part, le nombre τ n appartient, pour tout n, à l intervalle [, ]. L étude de la suite (τ n ) n 0 nécessite l étude sur cet intervalle de la fonction f définie par f(x) = (r s)x 2 + 2(r + s)x + (r s) (2 r s)x 2 + 2(r s)x + (2 + r + s). Si l on calcule la différence x f(x), on obtient x f(x) = ( x 2 )((2 r s)x (r s)) (2 r s)x 2 + 2(r s)x + (2 + r + s). Si r et s sont égaux à, la différence est nulle et la suite (τ n ) est constante, donc les trois suites (α n ), (β n ) et (γ n ) également. Si r ou s est distinct de, posons x 0 = r s 2 r s. Ce nombre appartient à l intervalle [, ] car et x f(x) est du signe de x x 0. On obtient d autre part x 2 0 = 4( r)( s) (2 r s) 2 0, f (x) = 4 (r + s 2rs)x2 + 2(r s)x + (r + s + 2rs) ( (2 r s)x 2 + 2(r s)x + (2 + r + s)) 2, dont le numérateur est un trinôme du second degré qui admet comme discriminant réduit = 4rs(rs ). Ce discriminant est donc négatif. D autre part, le coefficient de x 2 s écrit r + s 2rs = r( s) + s( r), et est positif. Il en résulte que le trinôme, donc f (x), est positif. La fonction f est croissante sur [, ] et varie de f( ) = à f() =.

5 BI 5 x 0 x 0 Alors, si τ 0 appartient à ]x 0, [, la suite (τ n ) convergera en décroissant vers x 0. Si par contre τ 0 appartient à ], x 0 [, la suite (τ n ) convergera en croissant vers x 0. La suite sera constante si τ 0 = x 0. Dans tous les cas, si τ 0 appartient à ], [, la suite est monotone et converge vers x 0. Il en résulte que les suites (α n ), (β n ) et (γ n ) convergent respectivement vers 4 ( + x 0) 2, 2 ( x2 0 ), 4 ( x 0) 2. Remarque : si τ 0 vaut ou, la suite (τ n ) est constante, ce qui correspond aux situations triviales : a =, b = c = 0, ou c =, a = b = 0. Cas particuliers ) r =, ce qui équivaut à x 0 =. Quel que soit s dans [0, [, la suite (τ n ) converge vers. Alors (α n ) converge vers et (β n ) et (γ n ) vers 0. Les rôles s inversent lorsque s =, c est-à-dire x 0 =.

6 BI 6 Donc, si tous les homozygotes GG restent en vie, et si un pourcentage constant d homozygote gg disparaît, la population évolue vers une population purement GG. 2) 0 < r < et s = 0. On a dans ce cas et puisque γ n est nul pour tout n, on trouve et x 0 = r 2 r, lim α n = lim τ n = x 0 lim β n = x 0 = 2 2r 2 r. Il se produit un équilibre de population, alors que pour r =, le génotype gg tend à disparaître. 3) 0 < r = s <. Dans ce cas x 0 est nul et les valeurs limites sont indépendantes de r et de s. lim α n = lim γ n = 4 et lim β n = 2. Remarque : si l on suppose qu une proportion u d hétérozygotes Gg disparaît aussi, le cas u se ramène à ce qui précède en changeant r en r/u et s en s/u.