maîtriser le cours (page 48)

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1 e) > donc la première inégalité équivaut à - sin N cos et sont strictement positis donc la seconde inégalité équivaut à cos N - sin et donc pour tout de sin cos N - N b) Le téorème d encadrement et le ait que cos = permettent de conclure que - sin = sin a) - cos sin - = = - sin b) cos - = sin donc puisque = - sin cos lorsque est voisin de - est voisin de sin c) Il résulte de la remarque précédente que : - cos = sin = sin cos - donc : - sin = = TD cos - = a) La onction (polynôme) est dérivable sur et () = + Pour tout de [ ] () > donc la onction est strictement croissante sur [ ] (et sur ) De plus = < et = > donc il eiste un unique réel α ] [ tel que (α) = a) u + v = (5) = 5 donc u = et v = 5 u + v = (5) 8 donc u = 5 et v = 5 b) u + v = (75) 9 donc : u = 75 et v = 5 u + v = (75) donc : u = 75 et v = 5 u + v = (6875) donc : u 5 = 75 et v 5 = 6875 c) Par récurrence : v u = donc P() est vraie Supposons P(n) vraie : v n u n = n u Soit u n + = u n et v n + = n + v n auquel cas : v n + u n + = ( v n u n ) = n + u soit u n + = n + v n et v n + = v n auquel cas : v n + u n + = ( v n u n ) = n + De plus pour tout n u n N α N v n donc : v n α N et α u n N n n Pour obtenir un encadrement de longueur inérieure à il aut et il suit de coisir n tel que N soit n n n donc n n car 9 = 5 et = u = 5 5 v = (À 7 près par déaut α = ) d) Pour tout n N v n α N et N α u n N n n et = Le téorème d encadrement (vu en re ) n n permet de conclure que les suites (u n ) et (v n ) sont convergentes et ont la même ite α Ceci démontre le téorème 7 (dans le cas particulier) a) α = 867 à près par déaut b) α = 9 5 à près par déaut Corrigés des eercices maîtriser le cours (page 8) Limite d une onction ite en en a) b) c) ite en en a) b) c) Corrigé dans le manuel 8

2 a) = 5 = 5 = = + b) = = = c) = = 5 a) = = = = + b) = = = c) = = = = + 6 a) = + donc = et = ( )( ) = et ( )( ) > < < donc = et = ( )( ) = et ( )( ) > < < donc = et = b) = et = = et = + = et = + c) = = et = 7 Corrigé dans le manuel 8 = On peut supposer + > donc : 5 < < 95 5( + ) < ( + ) < 95( + ) 685 < 5 et donc A = 7 9 = > 5 > ( ) 5 + < 6 < < 6 + et on peut prendre α = 7 = 5 95 < < 5 95 < 85 et 5 > < < 5 et on peut prendre I = ]97 5[ Corrigé dans le manuel + + = = = = + La droite d : y = est asymptote orizontale et la droite d : = est asymptote verticale + = - La courbe est au-dessus de d si et + seulement si > Corrigé dans le manuel a) = = b) = = 5 a) = = pas de ite en b) = + = 6 Corrigé dans le manuel 7 a) = b) = 8 a) = b) = Téorèmes de comparaison 9 Corrigé dans le manuel + + Pour tout réel > + > et < cos < donc - < - cos < = et = donc - cos = + - = donc = + = donc = Pour tout réel sin N donc : 5sin n 5 et 5sin n 5 Puisque ( 5) = ( 5) = alors : ( 5sin) = ( 5sin) = = ( + ) ( + + ) = - ( + + ) + + a) Pour tout n + > donc < N + + N + et - N N - + b) - donc (téorème = - + = d encadrement) = CHAP Fonctions : ites et continuité 9

3 5 Pour tout de ] [ N sin N donc étant strictement positi N N + donc (tèorème = + = d encadrement) = 5 Limite d une onction composée 6 Corrigé dans le manuel 7 a) - + = donc = + b) Sur ] [ > ( ) = ( ) = donc = = 8 a) = b) = 9 a) = b) = a) = b) = 6 Asymptotes obliques Corrigé dans le manuel a) = sin Or sin = = : est bien asymptote oblique à la courbe représentative de en et sin en Pour > sin est du signe de sin donc positi sur tout intervalle de la orme [k (k + )] et négati sur tout intervalle de la orme [(k ) k] : la courbe coupe une ininité de ois son asymptote (même cose en ) b) ( + 7) = 5 Or = et 5 5 = donc [ ( + 7)] = et [ ( + 7)] = : est bien asymptote oblique à la courbe représentative de en et en D autre part pour tout réel non nul 5 < : la courbe est toujours en dessous de son asymptote a) ( + ) = - Or = et - - = donc [ ( + )] = et [ ( + )] = : est bien asymptote à la courbe représentative de en et en D autre part - > > la courbe est au-dessus de pour > et en dessous pour < b) ( ) = Or = et ( + ) ( + ) = donc [ ( )] = et ( + ) [ ( )] = : est bien asymptote à la courbe représentative de en et en D autre part pour tout réel < la ( + ) courbe est toujours en dessous de son asymptote a) ( ) = sin sin Or = et sin = donc [ ( )] = et [ ( )] = : est bien asymptote à la courbe représentative de en et en Pour > sin est du signe de sin donc positi sur tout intervalle de la orme [k (k + )] et négati sur tout intervalle de la orme [(k ) k] : la courbe coupe une ininité de ois son asymptote (même cose pour < ) b) + = Or = donc = : est bien asymptote à la courbe représentative de en Pour tout n > : la courbe est toujours en + dessous de son asymptote 7 et 8 Fonctions continues 5 Corrigé dans le manuel 6 onction polynôme est continue sur Sur ] ] est strictement croissante (] ]) = ] ] qui contient : = admet une unique solution dans ] ] De la même manière sur I = ] ] et sur J = ] ] est strictement monotone et appartient à (I) et (J) donc = admet une unique solution dans I et dans J : au total l équation admet donc trois solutions distinctes dans et trois seulement 7 Corrigé dans le manuel

4 8 a) est continue et strictement décroissante sur [ ] (I) = [ ] = b) = a une solution (unique) car est dans 9 ( ) = = = = On applique le téorème des valeurs intermédiaires sur et [ ] = = = = a) () = 6 6 = 6( ) négati pour N N b) () + + est continue et strictement monotone sur ] [ = et = donc ne s annule jamais sur ] [ Sur ] [ est strictement négative Sur ] [ = et = Sur cet intervalle ] [ est continue et strictement monotone Et (] [) est contenu dans ] [ qui contient : donc ne s annule qu une ois et ce dans l intervalle ] [ De plus (6) < et (7) > donc ne s annule qu une ois et ce en α ]6 7[ = = = = a) Pour tout () = + = ( )( + ) () n [ ] b) () + est continue et strictement monotone sur cacun des intervalles ] [ ] [ et ] [ dont les images sont respectivement ] [ ] [ et ] [ qui contiennent tous Donc l équation = admet une racine unique dans cacun des intervalles : ] [ ] [ et ] [ pour apprendre à cercer (page 5) Un cangement de variable Les outils : sin Limite de - en zéro Dérivée de la onction sinus Les objectis : Savoir lever une indétermination Savoir reconnaître le tau d accroissement d une onction dérivable usuelle sin = d où la orme indéterminée Si X = alors sin sinx - = - et X = X Donc = Autre solution : Si g() = sin alors = g () = Courbes asymptotes Les outils : Limite à l inini d une onction rationnelle Tracé de courbes Les objectis : Savoir trouver une onction usuelle dont la courbe représentative est «proce» de celle de la onction étudiée Savoir montrer qu une courbe asymptote n est pas nécessairement une droite = = [ ] = - or = Pour ié dans ] [ - représente la distance + entre les deu points d abscisse de la courbe et la parabole représentative de la onction D après cette distance tend vers les deu courbes sont «de plus en plus proces» lorsque tend vers Fonctions a + b + c Les outils : Métode de l epression conjuguée Calculs de ites Les objectis : Savoir déterminer une asymptote Savoir vériier une conjecture CHAP Fonctions : ites et continuité

5 a) Pour > = = et donc ( + + ) = - = b) ne se comporte donc pas comme mais comme + c) La droite d équation y = oblique à en = ( ) = = + est asymptote 5 Polynôme de degré impair Les outils : Limite à l inini d une onction polynôme Téorème sur les onctions continues strictement monotones Les objectis : Savoir montrer que tout polynôme de degré impair a au moins une racine Le téorème des valeurs intermédiaires a) a n > : P() = et P() = a n < : P() = et P() = b) ( ) = Pour tout polynôme P de degré impair l équation P() = a une solution (au moins) Remarque : + = a trois solutions et + = a deu solutions pour progresser (page 5) Limites de onctions 6 Corrigé dans le manuel 7 a) = = s annule en et De plus s annule en donc pour tout = et = - ( + ) ( 6) = - 6 ( + ) ( ) = Puisque ( ) = 6 = et = + b) = et = étant racine du numérateur et du dénominateur on est en présence de la orme indéterminée en : = ( ) ( + + ) ( ) ( + ) et donc pour tout = Et = + < < donc : = et = + 8 a) En et en est la somme de deu termes de ites nulles : = = On évite les ormes indéterminées liées à la somme en écrivant = < signiie que ] [ et donc puisque ( + ) = alors : = et = + De même puisque ( + ) = alors : = et = + b) = et = étant racine du numérateur et du dénominateur on est en présence de la orme indéterminée en : pour tout ( = ) ( ) = ( ) ( + + ) + + et donc = 9 a) Pour tout réel N sin N donc N N + et le téorème (de comparaison à l inini) permet de conclure : ( ) = donc = ( + ) = donc = b) Pour tout réel N cos N donc N ( + cos) N

6 Pour > N N et le téorème (de comparaison à l inini) permet de conclure : = donc = Pour < N N et le téorème (de comparaison à l inini) permet de conclure : = donc = 5 a) La onction sin n a pas de ite en Pour non nul = - + sin et donc puisque sin = alors = = + sin b) Sur son domaine de déinition ] [ = - Donc = et = 5 Pour tout réel N sin N donc : N + sin N 5et N g() N 5 la onction g est bornée Pour tout réel N N 5 + sin = donc = (téorème ) 5 Si n - N N + sin N sin + sin + sin Puisque - = alors + sin = 5 + sin 5 = { } = = et = En ( + ) tend vers et le signe de ( + ) est constant à gauce et à droite de donc : = et = + En ( ) tend vers et le signe de ( ) est constant à gauce et à droite de donc : 5 ( ) = et ( ) est toujours positi donc = > 6 6 ( 6 + ) + 6 < ( ) Les racines du trinôme ont pour valeurs approcées 999 et 5 Donc on peut coisir I = ]999 9[ 5 a) Nous sommes en présence de la orme indéterminée Pour > = - = donc = = et = + b) Nous sommes en présence de la orme indéterminée Pour < = = = donc = 55 Corrigé dans le manuel 56 En nous sommes en présence de la orme indéterminée «-» = et = () En nous sommes en présence de la orme indéterminée = - ( ) = et = ( + ) ( ) + () 57 a) Nous sommes en présence de la orme indéterminée = 5 - sin5 5 sin Puisque 5 = et = le téorème (ite d une onction composée) nous permet de conclure : = 5 = 5 b) En nous sommes en présence de la orme indéterminée «sin» = = = Pour tout réel N sin N donc - N N - Or - = donc d après le téorème d encadrement (téorème ) = 58 Nous sommes en présence de la orme indéterminée sin = - = tan et = sin () cos 59 Nous sommes en présence de la orme indéterminée Pour = sin cos Puisque sin = et cos = alors : = = 6 Nous sommes en présence de la orme indéterminée Pour = - ( + ) ( ) ( + ) ( + 5 9) = - ( ) ( ) = ( ) ( + ) + 9 et donc = CHAP Fonctions : ites et continuité

7 6 a) = et = donc d après le téorème sur la ite d une onction composée (téorème ) ( ) = b) () = - = - 8 = On retrouve bien ( ) = 6 = En remarquant que = pour tout de I = ] [ > Il en résulte que = et d après le téorème sur la ite d une onction composée (téorème ) ( ) = 6 = 5-6 Corrigé dans le manuel 65 a) est déinie sur ] [ ] [ = = : la droite d équation y = + est asymptote oblique à en et en = et = : la droite d équation = est asymptote verticale à + b) est déinie sur - = = : la droite d équation y = est asymptote oblique à en et en 66 a) est déinie sur ] [ ] [ Pour non nul = + 5 = = : la droite d équation y = + 5 est asymptote oblique à en et en = et = : la droite d équa- tion = est asymptote verticale à b) est déinie sur * Pour non nul = + + sin = = et = = : sin sin la droite d équation y = est asymptote oblique à en et en Pour tout réel + sin n donc : Asymptotes + = et = + 67 est déinie sur { } = = : la droite d équation y = est asymptote orizontale à en et en ( ) = et < ] [ Il en résulte = et = : la droite d équation = est asymptote verticale à ( ) = 8 donc = et 68 est déinie sur {} Pour = - - = = : la droite d équation - y = est asymptote oblique à en et en ( + ) = donc = et 69 est déinie sur Pour tout = = = : la droite d équation y = est asymptote oblique à en et en 7 est déinie sur Pour tout = = : la droite d équation = est asymptote verticale à + = : la droite d équation = est asymptote verticale à = = : la droite d équation y = est asymptote oblique à en et en 7 a) est déinie sur * Pour non nul = + + c est-à-dire que : pour > ( ) = + + pour < = + + Puisque = la droite d équation y = + est asymptote oblique à en et puisque = la droite d équation y = est asymptote oblique à en b) est déinie sur * Par un raisonnement analogue : si > ( ) = + pour < = + la droite d équation y = est asymptote oblique à en et la droite d équation y = est asymptote oblique à en

8 7 a) = Le calcul de la ite en de () ( + ) nous conduit à la orme indéterminée ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) donc [ ( + )] = b) La droite d équation y = + est asymptote oblique à en c) Pour tout : + + > + + = + n + est au-dessus de a) = + + b) Pour < - = = + + Donc - = ( ) = = = + + Donc [ ( )] = c) La droite d équation y = est asymptote oblique à en 7 = a) + + = ( + ) b) + + ( + ) = ( + ) donc [ ( + )] = : la droite d équation y = + est asymptote oblique à en 7 = et = : l ae des + () abscisses est asymptote orizontale à en = + = donc = : la droite d équation y = est asymptote oblique à en - est toujours strictement positi : est + + au-dessus de son asymptote oblique 75 Pour n = donc : = + Pour > = + - Puisque - = = Pour < = - = - Puisque - = = a) Si > = = - + donc [ ] = b) Si < + = + = - donc [ + ] = a) [ ] = donc la droite d équation y = est asymptote à la courbe en [ + ] = donc la droite d équation y = est asymptote à la courbe en b) Il résulte du a) que : si > = - < + donc est en dessous de si < + = - > donc est au-dessus de 76 = = a) + = ( ) + b) Si < () = + ( ) + = + ( ) et () = Si > () = ( ) + = + + ( ) et () = c) Il résulte du b) que la droite d équation y = est asymptote oblique à en et que la droite d équation y = + est asymptote oblique à en Les calculs aits en b) montrent que () est toujours strictement positi : est au-dessus de cacune des asymptotes 77 a) ( + ) = + 9 = ( + + 9) [ ( + )] = b) Pour tout - 9 < donc la courbe + 9( + + 9) est située sous l asymptote oblique CHAP Fonctions : ites et continuité 5

9 ( ) = = ( + 9) [ ( )] = donc la droite d équation y = est asymptote oblique à en Vrai ou au? 78 Fau Contre-eemple : = - et g() = + 79 Vrai Pour tout > - > > et = donc (téorème ) = 8 Vrai = - et cos = a a - 8 Fau Il suit de prendre pour l application constante : 5 [En revance sous ces ypotèses g() = 7] 8 Fau Pour = + et = Courbes asymptotes 8 g() = donc [ g()] = et [ g()] = : les courbes et Γ sont asymptotes en et en est du signe contraire de donc est au-dessus de Γ sur ] [ et en dessous sur ] [ 8 ( ) = - + Puisque - = et = la courbe représentative de et la parabole d équation représentative de sont asymptotes en et en Puisque - est du signe de + est en dessous + de sur ] [ et au-dessus sur ] [ 85 est déinie sur * = + + soit ( + ) = Puisque = = la courbe représentative de et la courbe Γ représentative de + sont asymptotes en et en Puisque est du signe de est en dessous de Γ sur ] [ et au-dessus sur ] [ 86 est déinie sur ] [ Pour tout > = + donc = Puisque = la courbe représentative de et la courbe Γ représentative de sont asymptotes en Puisque pour tout réel > est strictement positi est au-dessus de Γ 87 ( ) = = est continue sur ] [ D après le téorème des valeurs intermédiaires il eiste c ] [ tel que (c) = + 88 () = + ( + ) = ( + ) Si > () > : est strictement croissante sur () + 7 = 7 - est strictement croissante sur appartient à 7 - donc l équation = a une solution unique dans l intervalle 89 () = (I) = [ ] 9 est une onction rationnelle déinie sur car = - Donc elle est continue sur + () = - d où le tableau : ( + ) ( ) = [ [ Continuité () + () + 6

10 9 Puisque pour tout N cos N alors N cos N Lorsque tend vers d après le téorème d encadrement = Puisque = est continue sur Pour la onction est la composée de onctions continues (onction inverse onction cosinus onction polynôme et onction produit) donc elle est continue est continue sur 9 Pour cercer la ite lorsque tend vers on utilise l epresssion conjuguée = - ( + ) = et = ( + + ) + + () est continue en équivaut à dire que = D autre part est continue lorsque car composée de onctions continues (polynôme racine carrée somme et quotient) Donc est continue sur équivaut à m = 9 Si [ [ E() = et = si [ [ E() = et = si = E() = et = y O n est pas continue sur [ ] car par eemple = 9 La onction nous est amilière Alors : = + est un eemple de onction polynôme de degré qui n a pas de racine Remarque : Ceci prouve que l on ne peut pas étendre le résultat de l eercice 5 au polynômes de degré pair 95 Si [ [ E() = et = + = si [ [ E() = et : = + ( ) = + si = E() = et = + = est continue sur [ [ et sur ] [ car polynomiale = + = et = + donc est continue en + = = donc est continue en Donc est continue sur [ ] 96 y O Il semble que α [8 ] γ () = sin γ () = cos et γ = De plus γ () n équivaut à dire que cos n donc que N N γ () + Sur γ 6 γ () > et l équation n a pas de solution sur Sur γ est continue strictement décroissante et donc l équation γ () = admet 6 une unique solution Il en est de même de l équation équivalente sin = En appliquant la métode du TD 895 < α < γ est continue sur [ ] puisque c est la somme de deu onctions continues γ () = [ ] donc γ () n γ () = [ ] car I pour tout donc γ () N étant une valeur intermédiaire entre γ () et γ () et γ étant continue il eiste a ] [ tel que (a) = a y = 8 y = 8 98 a) ou y = + 8 = Soit les points A( 7) et B( 7) b) Pour tout m m () = + m 8 m = 7 m ( ) = + m + 8 m = 7 Toutes les courbes m passent par A et B En actorisant le terme dominant : = = Sur l intervalle ] [ est continue m () = et m ( ) = 7 donc il eiste c ] [ tel que m (c ) = De la même manière il eiste c ] [ et c ] [ tels que m (c ) = m (c ) = α CHAP Fonctions : ites et continuité 7

11 problèmes de syntèse (page 56) 99 est paire (son domaine de déinition est bien symétrique par rapport à et pour tout ( ) = ) : la courbe admet l ae (O j ) comme ae de symétrie = = ( + = ) ( + + ) = = donc la droite d d équation + + y = est asymptote oblique à en Pour tout réel > : est au-dessus de + + son asymptote oblique d M( y) y = + ou y = + y = + 5 OM = X u + Y v = X Y i + X + Y j et compte-tenu de l unicité de la décomposition : = X Y et y = X + Y y = (X + Y) (X Y) = XY = est donc une yperbole équilatère y v u O b) Si ] [ () < et si ] [ ] [ () est du signe de ( ) donc () est négati sur ] [ ] [ et strictement positi sur ] [ c) a) - = : la droite d équation y = + est asymptote oblique à en Sur ] [ - est positi : est au-dessus de son asymptote - = : la droite d équation y = est asymptote oblique à en Sur ] [ est négati : est en dessous de ( ) son asymptote b) () = et = la tangente en A( ) à a pour équation y = : elle est orizontale Sur ] [ = + - = est du signe - contraire de Donc si < < est en dessous de T et si < < alors est au-dessus de T Remarque : A est un point d inleion de la courbe c) () + + y a) Si ] [ = + - si ] [ ] [ = b) = et = En : si < alors > et = et si > > alors < et = + En : si < < alors < et et si > alors > et = + a) Si ] [ () = + ( ) et si ] [ ] [ () = + ( ) = A O Sur ] [ est continue (onction rationnelle) et strictement décroissante car () < De plus = et = + L image par de ] [ est ] [ soit : d après le téorème 7 l équation = a une unique solution α dans ] [ ( 7) ( 8) < donc 7 < α < 8 8

12 Quand tend vers l inini (AM) se rapproce de la parallèle à (O) passant par A d où l abscisse de m tend vers Puis d après le téorème de Talès dans le 8 triangle mom l abscisse de M devient a) L équation de (AM) est Y = - X donc m - + L équation de (Bm) est Y = X donc pour Y = X = 8 et = 8 b) En actorisant le terme dominant : 8 = De même 8 = on a le même résultat car (AM) tend vers la parallèle à (O) passant par A = et = + En eet (AM) coupe (Oy) au point d ordonnée et la droite (BM) est parallèle à (O) 5 g () = = = g( ) donc g est continue en pour cercer plus (page 56) Donc déinit une bijection dont la onction réciproque Si n = - () = + ( + ) est déinie sur J = ] [ par : si N = - () = > y > : y = ou = ( ) - - y + y D où le tableau de variations : > y > : y = - ou = - y + y () + + D où ] [ g(y) = - y y D après l eercice 97 il eiste a dans [ ] tel que La onction est strictement croissante sur continue (a) = a ou encore γ(a) = (avec γ() = = ) car composée de onctions continues (valeur absolue Comme () < on a γ () < et la onction est strictement décroissante ce qui assure l unicité de la somme et quotient) solution CHAP Fonctions : ites et continuité 9

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