Ensembles et nombres réels

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1 Pierre-Louis CAYREL Licece Itroductio aux Mathématiques Géérales Uiversité de Paris 8 Esembles et ombres réels Esembles Exercice O pose A = {(x, y) R ; y > x } et B = {(x, y) R ; y < x } Représeter graphiquemet A, B, A B, A B, A, B, A B et (A B) Tous les complémetaires sot pris ici das R Ecrire chacu de ces esembles sous la forme {(x, y) R ; } Exercice Soiet A et B deux parties d u esemble E Exprimer (A B) et (A B) à l aide de A et B Exercice Motrer que chacu des esembles suivats est u itervalle, évetuellemet vide, Réels I = 0 = I = [, ] + = ; I = [, + [ ; I = 0 = + = [, ] [, + Exercice Mettre sous forme de fractios irréductibles les ombres ratioels suivats, doés par leurs développemets décimaux périodiques : x =, ; x = 0, 9 9 ; x =, 9 9 Exercice Motrer que pour tout, o a : + = Motrer que pour tout etier, o a ( + ) < < ( ) E déduire u ecadremet de la somme N =, pour tout N Quelle est la partie etière de ? 0000 [ + + Ecadrer séparémet la somme de = à N = 0000, puis de = à N Exercice 6 O ote E(x) la partie etière d u réel x, c est à dire E(x) est l uique etier relatif vérifiat E(x) x < E(x) +

2 Motrer que pour tout réels x et y, o a E(x) + E(y) E(x + y) E(x) + E(y) + Calculer E(x) + E( x) pour x réel Motrer que pour tout etier aturel et pour tout réel x, E(x) = E ( E(x)/ ) Exercice 7 Comparer 6 et 8, puis 6 et Exercice 8 Soiet x et y des réels tels que x et 0 y 6 Trouver des ecadremets de x + y, x y, xy, x/y et x Que peut-o dire de /x? facultatif même questio pour 7 x 9 et y Répose : 9 x+y 8 ; 6 x y ; 8 xy ; 9 x/y 7 ; 0 x 9 facultatif même questio pour x et y Répose : x + y ; 6 x y ; 8 xy 6 ; 0 x x/y est pas défii pour y = 0 et {x/y ; x et y et y 0} est o boré facultatif même questio pour x et y Répose : x + y ; 6 x y 9 ; 0 xy 9 ; x/y ; x Exercice 9 Das cet exercice, o demade d utiliser les propriétés de la relatio d ordre das R et o d étudier les variatios d ue foctio Résoudre das R les iéquatios suivates : a) x + x + 7 b) 0 x + x + c) x x + x d) 0 < x x < Exercice 0 Résoudre sur R le système d iéquatios { x + < x + x > + x Exercice Démotrer l implicatio suivate : x = x + si x x 7 + x Exercice Pour tout réel a o ul, o ote I a = {x R x a < a /} Décrire e termes d ecadremet, puis e termes d itervalle, l esemble I a Hachurer sur la droite réelle l esemble I a pour a = et a = Vérifier que pour tout x I a, alors x est o ul et a même sige que a Peut-o dire qu il existe ue costate m > 0 idépedate de a telle que pour tout x apparteat à l esemble I a, o ait x > m? Exercice Détermier si les esembles suivats sot borés et e doer evetuellemet des bores { + N}, {( ) N}, {( ) + N }

3 Exercice Soit z C tel que z Motrer que z i + z 9 Exercice Trouver les racies carrées complexes des ombres complexes suivats : Z =, Z = i, Z = + i, Z = i, Z = i Pour les trois premiers, o doera le résultat sous forme algébrique et trigoométrique ; pour Z et Z, sous forme algébrique Exercice 6 Résoudre das C les équatios suivates : a) z + ( i)z + + i = 0, b) z + ( i)z i = 0, c) (z + ) + 6(z ) = 0, d) ( ) z+ ( z + z z+) = 0 Exercice 7 Éocer la formule du biôme (z + z ) et l expliciter pour = A l aide de la formule d Euler et de la formule précédete, exprimer cos (θ) e foctio de cos(θ), cos(θ) et cos(θ) Plus difficile : essayer de gééraliser la formuler pour cos (θ) Remarque : cette méthode sera réutilisée pour le calcul d itégrales de foctios trigoométriques Exercice 8 Somme géométrique : Motrer que pour tout ombre complexe z, z k = z+ z Soit θ u ombre réel o pose Z = + e iθ + e iθ + + e iθ = l expressio de Z E déduire des expressios simples de : C = + cos(θ) + cos(θ) + + cos(θ) = cos(kθ) S = si(θ) + si(θ) + + si(θ) = si(kθ) D (α) = cos(α) + cos(α + θ) + cos(α + θ) + + cos(α + θ) = Formule à coaître e ikθ Simplifier cos(α + kθ) Pour D, utiliser les formules précédetes Déduire égalemet de la questio ) que la somme des racies -ièmes de l uité est ulle Exercice 9 Démotrer par récurrece par les formules suivates : ( + ) S () = avec S () = k, ( + )( + ) S () = avec S () = k 6 Retrouver la valeur de S () par ue preuve costructive Ajouter membre à membre les développemets de ( + ), ( + ),, ( + ) obteus par la formule du biôme et utiliser la valeur de S () facultatif Motrer (par récurrece ou de maière costructive) que S () = ( + ) = S () avec S () = k

4 Pierre-Louis CAYREL Licece Itroductio aux Mathématiques Géérales Uiversité de Paris 8 Esembles et ombres réels Correctio x = 00 (x, ) = 00x d où 99x =, x = 99 0x 9 = x d où x = 9 9 = x, = 0, 00 9= 0 (x, 9) d où 9x = 9 9 ) Correctio 00 = 8 00 et x = 00 = 6 ( + )( + + ) = ( + ) = d où le résultat 0 (8 = Par o a + = ++ Or + > doc + + > et ++ <, d où la ère iégalité Par o a = + Or < doc + < et + >, d où la ème iégalité E appliquat o a N ( + ) < = N = < d où ( N + ) < N = < ( N ) N ( ) Soit x = 0000 = Par o a + ( 000 ) < x < + (00 ) = 99 Or ( 000 ) + 98, 8 doc E(x) = 98 Correctio 6 O a E(x) x < E(x) + et E(y) y < E(y) + doc E(x) + E(y) x+y < E(x)+E(y)+ Comme E(x+y) est le plus grad etier iférieur ou égal à x+y, o a E(x + y) E(x) + E(y) De plus, E(x + y) + est le plus petit etier strictemet supérieur à x+y, o a E(x+y)+ E(x)+E(y)+, c est-à-dire E(x+y) E(x)+E(y)+ Si x Z alors E(x) = x et E( x) = x doc E(x) + E( x) = 0 Si x Z alors E(x) < x < E(x) + et E(x) < x < E(x), doc E( x) = E(x) Das ce cas o obtiet E(x) + E( x) = Soit a = E(x) O a a x ) < (a+) doc ) a E(x) < (a ) et a E(x) < a Par défiitio de E, o a E = a = E(x) ( E(x) ( E(x) Correctio 7 6 > 0 et 8 > 0 doc ils sot ordoés comme leurs carrés (6 ) = 80, (8 ) = 9, doc 6 < 8 6 = ( 6+ ) = ( 6 + ) = ( + ) + ( Doc 6 > ) = 6 = = + 6

5 Correctio 8 x + y 6 y 0 doc x y O a forcémet y < 0, doc y > 0 et y xy y, soit y xy y O a 8 y et 0 y doc y 0 O trouve 8 xy 0 Comme y < 0 o a < 0 et x O a, doc et, d où y y y y y y y x y x = x O a x doc x O e peut rie dire de car ce ombre peut être aussi grad qu o veut si x x 0+ et aussi petit qu o veut si x 0 Correctio 9 a) x 0 ssi x et x + 0 ssi x O a cas : x, das ce cas l iéquatio est équivalete à x + x + 7 x + 7 x Solutio du cas : {} x, das ce cas l iéquatio est équivalete à x + + x C est toujours vrai doc la solutios du cas est [, ] x, das ce cas l iéquatio est équivalete à x + x 7 x 8 x Solutio du cas : { } b) x + 0 et x + 0 doc les deux racies ot u ses De plus, x + x + doc x + x +, doc x + x + 0 pour tout x R x + x + est équivalet à x + + x + et comme toutes les quatités sot positives, c est équivalet à x + + (x + ) + x + = x + + x + Or x + doc x + + x + x +, et l iégalité x + x + + x + est vérifiée pour tout x R L esemble des solutios : R c) x x + = (x ) doc x x + = x x 0 ssi x et x 0 ssi x O a doc cas : x, das ce cas l iéquatio est équivalete à x + x + x x Solutios du cas : x ], ] x, das ce cas l iéquatio est équivalete à x + x x x 6 Solutios du cas : x [, ] 6 x, das ce cas l iéquatio est équivalete à x x x x Il y a pas de solutio La solutio de c) est S =], ] [, 6] Correctio 0 x + < < x + < 7 < x < Pour que x + x ait u ses, il faut que x +x 0 = 9, les racies sot,, doc x +x 0 x ou x Si x alors + x 0 doc l équatio x + x > + x est satisfaite Pour x o peut predre les carrés das l équatio x + x > + x car o a des quatités positives, et o doit résoudre x + x > ( + x ) = x + x +, ce qui est équivalet à x >, soit x > Doc x est solutio de x + x > + x ssi x > (cette valeur est supérieure à ) Les solutios du système d iéquatios sot les x qui vérifiet : 7 < x < () et x ou x > () O a > doc o e peut pas avoir e même temps x < () et x > (e cas de ()) O doit doc avoir x (er cas de ()) E combiat avec () o a S = ] 7, ]

6 Correctio x + si x x + si x + ( x par hypothèse et si x pour tout x) De plus x 7 + x ( x 7 + x ) x 7 x Or si x alors x 7, doc x 7 x+si x + x = Par coséquet, = x 7 +x Correctio z + = 0 =, z = ±i Les racies carrées de Z sot {i, i} = {e iπ/, e iπ/ } Z = e iπ/ O écrit z = re iθ, o trouve r = et θ = π + kπ r > 0 doc r = et θ = π + kπ Doc z 6 = e iπ/6 = i ou z = e iπ/ = + i Z = e iπ/ doc z = e iπ/8 ou z = e i9π/8 Écrivos z = x + iy O a z = (x y ) + ixy, doc z est racie carrée de Z si et seulemet si { x y = R(Z ) = xy = I(Z ) = O a de plus z = x + y = Z = O cherche d abord x et y : x = + De plus, + xy > 0 doc x et y sot de même sige, d où z = ± + i O pose z = x + iy O résoud x y = x + y = xy = O trouve x = 9, y =, x = ±, y = ± et xy < 0 doc les racies carréees de Z sot { i, + i} x y = /, x +y =, xy = ( / < 0 D où x = /6, y = /6 et z = ± i 6 6 ) Correctio 6 a) = 7 i O cherche δ tel que δ = = x y = 7, x + y =, xy = D où x = 9, y = 6 δ = i Puis z = ( i)±δ d où S = { i, + i} b) O pose Z = z O résoud Z + ( i)z i = 0 = ( i) + ( + i) = 9 d où Z = + i ou Z = + i Les solutios sot les racies carrées de + i et de + i Racies de + i : voir exo Racies de + i : x y =, x + y =, xy = D où x = + + y = + S = { e iπ/, e iπ/, + i, i } ( c) (z + ) = 6(z ) est pas solutio doc l équatio est équivalete à, z+ (z )) = = e iπ Doc z+ (z ) eiθ avec θ = π + k π, 0 k O trouve z( eiθ ) = e iθ d où z = eiθ e iθ (o a toujours e iθ 0) Il y a solutios ) = ( z z+ ) ( z+ 6 z ) = d) Il faut que z, L équatio est équivalete à ( z+ z D où z+ = z eiθ avec θ = π + k π, 0 k O a z( 6 eiθ ) = e iθ et e iθ 0 (car π + k π = π ( + k), et + k est impair doc ceci est jamais égal à 0 mod π) Doc 6 6 z = eiθ, θ = π + k π, 0 k e iθ 6 Remarque : e mettat e iθ/ cos(θ/) e facteur, o trouve z = = i i si(θ/) ta(θ/) 6

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