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1 Exercces avec corrgé succnct du chaptre 2 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète du chaptre 2) Exercce II On défnt la matrce A, à n lgnes et n colonnes par A = On veut résoudre Ax = 0 Montrer en résolvant les n premères équatons que x = x, =,,n 2 Résoudre la dernère équaton et en dédure que x = 0 3 En dédure que A est nversble Soluton : On démontre ce résultat par récurrence, c est trvalement vérfé pour = Supposons que x = x pour k, on écrt alors la kème équaton, on obtent : Ce qu démontre le résultat 2 En écrvant la dernère équaton, on obtent (k )x + 2kx x k+ = 0 x k+ = (k + )x (n )x + 2nx = 0 x = 0 En utlsant la queston précédente on a donc x = 0 3 On a vu dans le chaptre qu une condton nécessare et suffsante pour que A sot nversble est que son noyau sot rédut à 0, c est ce que l on vent de montrer Exercce II2 Sot A une matrce trangulare nféreure Écrre l algorthme permettant de résoudre le système lnéare Ax = b (b vecteur donné) en n oublant pas de vérfer au départ que ce système a une soluton Soluton : : pour = jusqu à n fare 2: s a < ε alors 3: Arrêter l algorthme et donner un message d erreur 4: fn s 5: fn pour 6: x b a

2 7: pour = 2 jusqu à n fare 8: x b a kx k a 9: fn pour Exercce II3 Sot A une matrce trangulare supéreure, montrer que le calcul du vecteur nconnu est donné par : { xn = bn a nn x = b ) n j=+ a jx j, pour = n, n 2,, a ( Écrre alors l algorthme correspondant Soluton : Le système lnéare s écrt a x + a 2 x a,n x n + a n x n = b a 22 x a 2,n x n + a 2n x n = b 2 = a n,n x n + a n,n x n = b n a nn x n = b n On commence donc par calculer l nconnue x n, pus l nconnue x n = (b n a n,n x n )/a n,n et on remonte ans jusqu à x Ans, lorsque l on arrve à la ème équaton, on a déjà calculé x k pour k = +,,n Or cette équaton s écrt a x + a,+ x a,n x n + a n x n = b ce qu permet de trer x par la formule donnée dans l énoncé L algorthme ne dffère de celu de l exercce précédent que par les ndces À vous de l écrre Exercce II4 Sot le système Ax = b On consdère la premère étape de l élmnaton de Gauss Montrer que la ème équaton (pour 2 ) est modfée de la manère suvante : a () j = a j a (2) j = a j a a a j b () = b b (2) = b a a b pour j =, 2,, n Soluton : On élmne le premer élément de la ème lgne L en effectuant une combnason L αl, ce qu donne a αa = 0 sot On a alors sot α = a a L (2) = L αl a (2) j = a j αa j, pour j =,,n, = 2,,n 2

3 La même combnason est effectuée sur les composantes du second membre, sot b (2) = b αb, = 2,,n Exercce II5 Sot le système Ax = b On consdère la deuxème étape de l élmnaton de Gauss Montrer que la ème équaton ( pour 3 ) est modfée de la manère suvante : a (2) j a (3) j = a (2) j b (2) b (3) = b (2) a(2) 2 a (2) 22 a(2) 2 a (2) 22 a (2) 2j b (2) 2 Soluton : On élmne le deuxème élément de la ème lgne L (2) L (2) αl (2) 2, ce qu donne a (2) 2 αa(2) 22 = 0 sot On a alors sot a (3) j = a (2) j αa (2) 2j α = a(2) 2 a (2) 22 L (3) = L (2) αl (2) 2 pour j = 2, 3,, n, pour j = 2,,n, = 3,,n La même combnason est effectuée sur les composantes du second membre, sot b (3) = b (2) αb (2) 2, = 3,,n en effectuant une combnason Exercce II6 Sot le système Ax = b On consdère la kème étape de l élmnaton de Gauss Montrer que la ème équaton ( pour k + ) est modfée de la manère suvante : a (k) j a (k+) j = a (k) j b (k) b (k+) = b (k) a(k) k a (k) kk a(k) k a (k) kk a (k) kj b (k) k pour j = k, k +,, n Soluton : L (k) sot On élmne le kème élément de la kème lgne L (k) k αl (k) k, ce qu donne a (k) k αa(k) kk = 0 α = a(k) k a (k) kk en effectuant une combnason 3

4 On a alors sot a (k+) j = a (k) j L (k+) = L (k) αl (k) k αa (k) kj, pour j = k,,n, = k +,,n La même combnason est effectuée sur les composantes du second membre, sot b (k+) = b (k) αb (k) k, = k +,,n Pour j = k le coeffcent α a été détermné pour que a (k+) k = 0, donc dans la pratque on affecte drectement 0 à ce coeffcent sans effectuer le calcul Les calculs sont donc fats pour et j varant de k + à n Exercce II7 Sot la matrce A = et le vecteur b = man pour calculer la soluton de Ax = b Soluton : L algorthme procède de la manère suvante : 2 x x 2 = 5 x 3 3 La résoluton de ce système trangulare donne : 4 5 3, applquez l algorthme de Gauss à la /2 x 3 =, x 2 =, x = x x 2 x 3 x x 2 x 3 = = /2 Exercce II8 Calculer le nombre d opératons effectuées pour réalser l élmnaton de Gauss en foncton de n en séparant multplcatons/dvsons et addtons/ soustractons Pour cela on pourra utlser les deux formules k = k 2 = n(n + ), 2 n(n + )(2n + ) 6 Soluton : La démarche est de compter le nombre d opératons à partr de la boucle la plus ntéreure Nous allons évaluer le nombre de multplcatons/dvsons, vous lassant le son dévaluer le nombre d addtons algébrques On a ans : pour j = k + n, a j a j ca kj : on effectue n k multplcatons, calcul de b ET c : on effectue multplcaton et dvson 4

5 On effectue les opératons précédentes pour = k + n : on effctue donc (n k)(n k + 2) multplcatons/dvsons On effectue ce qu précède pour k = multplcatons/dvsons sot n : on effectue donc n (n k)(n k + 2) n n n n (n k)(n k + 2) = p(p + 2) = p p = p= Dans le résultat, on n a gardé que les termes de plus haut degré p= p= (n )n(2n ) 6 (n )n n3 Exercce II9 Soent L une matrce trangulare nféreure et U une matrce trangulare supéreure et on pose A = LU Montrer que, pour la colonne j de A, on a et a j = a j = l k u kj, pour j, j l k u kj, pour > j Soluton : L élément du produt des matrces L et U est donné par : a j = l k u kj Or l k = 0 pour < k et u kj = 0 pour j < k Le produt des éléments sera donc nul lorsque k sera supéreur au plus pett des deux enters et j, d où le résultat Exercce II0 Sot A une matrce nversble qu admet une factorsaton A = LU où L est trangulare nféreure, U est trangulare supéreure et la dagonale de U ne comporte que des, alors cette factorsaton est unque Soluton : On suppose qu l y a deux décompostons possbles : A = LU = LÛ Pusque A est nversble, L, U, L, Û sont nversbles On a alors ( L) L = ÛU Le produt de deux matrces trangulares nféreures (resp supéreures) est une matrce trangulare nféreure (resp supéreure) Il en résulte que l égalté précédente donne un matrce dagonale (car trangulare nféreure et supéreure) D autre part, la dagonale de ÛU ne comportant que des, la matrce produt est nécessarement la matrce dentté Ans ( L) L = ÛU = I, sot L = L, U = Û 5

6 Exercce II Résoudre le système Ax = b dont la factorsaton LU de A est donnée : A = b = Soluton : La résoluton de Ly = b donne y = 4 pus celle de Ux = y donne x = Exercce II2 2 2 Sot A = 4 5 3, en vous nsprant de ce qu a été fat pour l algorthme de Doolttle dans le paragraphe??, effectuez la factorsaton de Crout de la matrce A, c est à dre détermnez L et U telles que A = LU avec les termes dagonaux de U égaux à (ceux de L sont quelconques) 0 0 Soluton : On cherche L = 0, U = 0 telles que A = LU 0 0 On dentfe la premère colonne de A et la premère colonne de LU, cela permet d obtenr la premère colonne de L : LU = = On dentfe la premère lgne de A avec la premère lgne de LU, cela permet d obtenr la premère lgne de U : /2 2 2 LU = = On dentfe la deuxème colonne de A avec la deuxème colonne de LU, cela permet d obtenr la deuxème colonne de L : /2 2 2 LU = =

7 On dentfe la deuxème lgne de A avec la deuxème lgne de LU, cela permet d obtenr la deuxème lgne de U : /2 2 2 LU = /3 = On dentfe la trosème colonne de A avec la trosème colonne de LU, cela permet d obtenr la trosème colonne de L : /2 2 2 LU = /3 = Exercce II3 Dans le calcul drect de la factorsaton LU, on suppose mantenant que c est la matrce U dont tous les éléments de la dagonale sont égaux à et non pas la matrce L Calculer les éléments des matrces U et L à partr d éléments de A et d éléments de U et L de colonnes ou de lgnes précédentes Comment modfer l algorthme de Doolttle pour le calcul des éléments l j et u j des matrces L et U Cet algorthme s appelle l algorthme de Crout Soluton : Le rasonnement s obtent en échangeant des lgnes et les colonnes dans le rasonnement de l algorthme de Doolttle et les matrces L et U Ans, cela commence par : En écrvant A = LU et en se souvenant que les matrces L et U sont trangulares, on obtent j a j = l k u kj + l j pour = j,j +,,n Ce qu est équvalent à j l j = a j l k u kj pour = j,j +,,n Nous voyons que pour calculer les éléments l j de la jème colonne de L, l nous faut connaître préalablement les éléments des colonnes à j de L ans que les éléments des lgnes à j de U etc À vous de contnuer Exercce II4 Montrez que s la factorsaton A = LU exste (L trangulare nféreure avec une dagonale untare et U trangulare supéreure nversble), alors les sous-matrces prncpales de A sont nversbles Soluton : On découpe les matrces A, L et U : ( [A]k ) = ( [L]k 0 En effectuant le produt par blocs, on obtent alors [A] k = [L] k [U] k ) ( [U]k 0 Les deux matrces trangulares [L] k et [U] k sont nversbles car les éléments des dagonales des matrces L et U sont non nuls, donc la matrce [A] k est nversble 7 )

8 Exercce II5 Sot σ une permutaton de {,2,,n} et sot g l applcaton lnéare telle que g( e j ) = e σ(j) où { e,, e n } est la base canonque de IR n Montrer que la matrce P de l applcaton g est telle que p j = δ,σ(j) et que P = P T Soluton : On rappelle que l élément p j correspond à la ème composante de g( e j ) On a donc p j = ( e σ(j) ) = δ,σ(j) Pour montrer que P = P T, l sufft de calculer le produt P P T : ( P P T ) j = p k p jk = δ,σ(k) δ j,σ(k) Le produt δ,σ(k) δ j,σ(k) est nul sauf s = j = σ(k) et dans ce cas le produt vaut, ce qu montre le résultat Exercce II6 Sot A une matrce symétrque admettant une factorsaton LDL T Montrer que pour j on a a j = j d k l k l jk, où on a noté d k le k ème élément de la dagonale de D 2 Dédure de la queston précédente que les coeffcents de L et ceux de D peuvent être obtenus par les formules (on consdère que les sommes ne sont pas effectuées quand j = ) et pour > j j d j = a jj d k ljk 2, l j = a j j d kl k l jk d j Indcaton : ne pas oubler que l jj = par défnton Soluton : Le produt de matrces donne sot, pusque la matrce D est dagonale a j = a j = (LD) k l jk, l k d k l jk Or, pusque la matrce L est trangulare nféreure, le produt l k l jk est nul pour k > nf(,j), sot k > j, ce qu donne le résultat 8

9 2 En détallant la somme de la premère queston, on obtent (l jj = ) : j j a jj = d k ljk 2 + d jljj 2 = d k ljk 2 + d j, sot Et pour > j sot j j d j = a jj d k ljk 2 a j = d k l k l jk + d j l j l jj = d k l k l jk + d j l j, j l j = a j j d kl k l jk d j Exercce II7 Sot A une matrce symétrque défne postve On consdère sa factorsaton de Cholesky A = BB T Montrer que tous les éléments de la dagonale de B sont non nuls Soluton : Un rasonnement smple est basé sur le calcul de détermnant En effet, pusque la matrce B est trangulare, son détermnant est le produt des éléments de sa dagonale dét A = dét (BB T ) = dét B dét (B T ) = n (b ) 2 La matrce A est nversble pusque elle est défne postve (vor les rappels du chaptre ) Le détermnant de A est donc non nul, d où l on dédut que les éléments b sont non nuls Exercce II8 En calculant le dscrmnant du trnôme en θ suvant q(θ) = (x + θy ) 2 = montrer l négalté de Cauchy-Schwarz : x y n = = x 2 n y 2 Soluton : Il sufft de consdérer q(θ) comme un trnôme en θ qu est toujours postf ou nul, c est-à-dre qu n a pas de racnes réelles dstnctes Dans ce cas le trnôme ( ) ( ) q(θ) = θ x y θ + x 2, = y 2 = = = = 9

10 a un dscrmnant négatf ou nul sot ( 2 ) 2 ( x y 4 = = ( ) 2 ( x y = = y 2 y 2 ) ( = ) ( Le résultat s obtent en prenant la racne carrée de cette négalté, pusque la foncton racne carrée est crossante de IR + sur IR + Exercce II9 Montrer, en utlsant les proprétés de la norme vectorelle, que s on défnt A par = x 2 x 2 ) ) 0, on a : A = Ax max x C n,x 0 x λa = λ A, A + B A + B Soluton : Les proprétés de la norme vectorelle donnent : On a donc De même ce qu donne pour tout x 0 sot λa = (A + B)x x λax = λ Ax max λ Ax x C n,x 0 x = λ A Ax + Bx Ax + Bx, (A + B)x x Ax x + Bx x, Ax max x C n,x 0 x + max x C n,x 0 Bx x Cette dernère négalté étant vrae pour tout x 0, est donc encore vrae pour le max, sot (A + B)x Ax max max x C n,x 0 x x C n,x 0 x + max x C n,x 0 Bx x Exercce II20 Montrer que, par défnton de la norme matrcelle subordonnée, on a Ax A x x C n 0

11 Soluton : Rappelons la défnton de la norme subordonnée Cec mplque que pour toutx 0, on a sot A = Ax max x C n,x 0 x Ax x A Ax A x Cette négalté étant trvalement vérfée pour x = 0, elle est donc vrae pour tout x C n Exercce II2 Montrer que, pour toute norme subordonnée, I = Que vaut I F (norme de Frobenus)? Soluton : Par défnton de la norme subordonnée, on a I = Par défnton de la norme de Frobenus, on a I F = Ix max x C n,x 0 x = max x x C n,x 0 x = = j= I j 2 = n Exercce II22 Sot A M nm,b M mn, sot λ une valeur propre non nulle de BA correspondant à un vecteur propre Y, montrer que AY est un vecteur propre (non nul) de AB correspondant à la valeur propre λ En dédure que ρ(ba) = ρ(ab) Soluton : Par défnton de la valeur propre, on a Multplons à gauche par A, l vent BAY = λy ABAY = λay Cec correspond à la défnton d une valeur propre de AB à condton que le vecteur propre assocé sot non nul Supposons que AY = 0, alors en multplant par B à gauche, on obtendrat BAY = 0,(= λy ), ce qu est mpossble pusque λ est non nul et Y non nul (vecteur propre) On vent de montrer que toute valeur propre non nulle de BA est une valeur propre de AB Le rasonnement est évdemment valable en échangeant les rôles de A et de B Les deux matrces BA et AB ont donc les mêmes valeurs propres non nulles et donc le même rayon spectral Exercce II23 Sot A une matrce symétrque donc dagonalsable, A peut donc s écrre A = P DP,avec D dagonale

12 Quelles sont les valeurs propres de A? Quelles sont les valeurs propres de A 2? En dédure que ρ(a 2 ) = ρ(a) 2 Dédure de la queston précédente que Sot la matrce A 2 = ρ(a) A = ( quel est son rayon spectral? Ce rayon peut-l être consdéré comme une norme matrcelle lorsque la matrce n est pas symétrque? Soluton : Pusque la matrce A est symétrque, elle est dagonalsable (vor les rappels du chaptre ) Elle s écrt, donc A = P DP, où D est une matrce dagonale Les éléments de la dagonale de D sont les valeurs propres de A On a donc A 2 = P DP P DP = P D 2 P, ce qu montre que les valeurs propres de A 2 sont les éléments de la dagonale de D 2, c est à dre les valeurs propres de A au carré S l on range les valeurs propres de A de la manère suvante : ) λ n λ n λ, on a Il en résulte que λ n 2 λ n 2 λ 2 ρ(a 2 ) = λ 2 = ρ(a) 2 Dans le cours l est démontré (rechercher le résultat s vous l avez oublé) que A 2 2 = ρ(aa T ) La matrce étant symétrque (A = A T ) et en applquant la queston précédente, on a sot (les deux quanttés étant postves) A 2 2 = ρ(a 2 ) = ρ(a) 2, A 2 = ρ(a) Les valeurs propres de A sont évdemment nulles, ce qu donne un rayon spectral nul S ce rayon spectral état une norme matrcelle, on devrat avor une matrce nulle par la premère proprété d une norme matrcelle La matrce A n est évdemment pas la matrce nulle, le rayon spectral n est donc pas une norme matrcelle pour les matrces non symétrques 2

13 Exercce II24 Montrer que pour toute norme matrcelle subordonnée on a ρ(a) A Soluton : Consdérons une valeur propre λ de A : On a déjà montré (exercce??) que ce qu donne donc AY = λy AY A Y, λy A Y λ Y A Y or ( Y 0 pusque Y est un vecteur non nul), donc après smplfcaton λ A Cette négalté étant valable pour toute valeur propre, elle est évdemment valable pour la plus grande en module, sot ρ(a) A Exercce II25 Sot une matrce dagonale D Calculer le condtonnement de D à l ade de la norme matrcelle subordonnée à la norme eucldenne Dans quel cas ce condtonnement est-l égal à? Soluton : Une matrce dagonale étant une matrce symétrque, sa norme matrcelle subordonnée à la norme eucldenne est égale à son rayon spectral Il en est de même de l nverse de D D autre part, les valeurs propres d une matrce dagonale sont ses éléments dagonaux S l on appelle d les éléments dagonaux de D, on a D = max n d, D = Le condtonnement de D est donc donné par Ce condtonnement est égal à s et seulement s mn d n χ(d) = D D = max d n mn d n max d = mn d n n ce qu est équvalent à tous les éléments dagonaux de D sont égaux, c est-à-dre D = αi 3

14 Exercce II26 Sot A une matrce symétrque nversble dont les valeurs propres sont λ,,λ n, on suppose que : λ λ 2 λ n > 0 Montrer que les valeurs propres de A sont λ,, λ n et que les valeurs propres vérfent : λ n λ n λ En dédure χ(a) lorsque l on chost la norme subordonnée à la norme eucldenne Soluton : Pusque la matrce A est symétrque, elle est dagonalsable (vor les rappels du chaptre ) Elle s écrt, donc A = P DP, où D est une matrce dagonale dont les éléments de la dagonale sont les valeurs propres de A On a donc A = (P DP ) = P D P, ce qu montre que les valeurs propres de A sont les éléments de la dagonale de D, c est à dre l nverse des valeurs propres de A Pusque les valeurs propres de A sont rangées de la manère suvante : 0 < λ n λ 2 λ, les valeurs propres de A sont données par : λ λ 2 λ n Par défnton, on a χ(a) = A 2 A 2 = ρ(a)ρ(a ) = λ λ n 4

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