SECOND DEGRÉ 1 POURQUOI CE CHAPITRE? 2 FONCTION POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ

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1 Chapitre 1 SECOND DEGRÉ 1 POURQUOI CE CHAPITRE? Une motivation parmi tant d'autres : lorsqu'on lance un objet, sa trajectoire est parabolique ; elle a une équation de la forme y = a 2 + b + c On peut alors s'intéresser par eemple à la hauteur maimale atteinte par l'objet, à l'endroit où il va toucher le sol (solution de l'équation a 2 + b + c = ), etc Eercice 1 Résoudre dans R chacune des équations suivantes : 2 3 = = 2 3 = = Eercice 2 L'énigme des pirates Tu as été capturé par les pirates et leur chef te libèrera si tu trouves les deu nombres dont la somme est 956 et le produit ! Parviendrez-vous à être libéré 1? 2 FONCTION POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ On reconnaît un polynôme du second degré à son écriture ; diérentes formes sont possibles : développée (voir section 21), canonique (voir section 22), et parfois factorisée (voir section 23) Eemple 1 } 2 + {{ 2 3 } forme développée = ( + 1) 2 4 = ( 1)( + 3) }{{}}{{} forme canonique forme factorisée 1 À lire après avoir cherché : LYCÉE BLAISE PASCAL Si vous n'y arrivez pas pour l'instant, réessayez la n du chapitre! 1 SDELOBEL

2 2 Chapitre 1 Second degré 21 Forme développée Dénition 1 On appelle fonction polynôme (ou trinôme) du second degré toute fonction f dénie sur R par f() = a 2 + b + c, où a, b et c sont trois réels és (a ) 2 Vocabulaire Cette écriture est appelée forme développée de f() Eercice 3 Déterminer les nombres a, b, c dans chacun des cas suivants : f() = g() = h() = Forme canonique Avec un logiciel de calcul formel on obtient une nouvelle écriture de a 2 + b + c (voir l'écran ci-contre) Il sut de développer le résultat donné par l'ordinateur pour vérier l'égalité forme_canonique(a* 2+b*+c) [ ( a + b ) ] 2 b2 4ac 4a 2 Vocabulaire Cette écriture 3 est appelée forme canonique de f() Eercice 4 À l'aide d'un logiciel de calcul formel, écrire les epressions suivantes sous forme canonique, puis vérier en développant : f() = g() = h() = L'écriture sous forme canonique et le cours de la classe de Seconde nous permettent d'armer que la courbe représentative 4 d'une fonction trinôme du second degré est une parabole et que son sommet a pour abscisse b On retiendra plus précisément le théorème suivant : 2 À partir de maintenant, dans toute la suite du cours on considère a 3 Cette écriture paraît plus compliquée que la forme développée ; elle est en fait très pratique pour de nombreuses raisons que nous allons découvrir tout au long de ce cours 4 dans un repère orthonormé

3 Cours de Première STI 2D 3 Théorème 2 Si a > Si a < b + b + f() f() Parabole tournée vers le bas (comme 2 ) Parabole tournée vers le haut (comme 2 ) ae de symétrie S b b ae de S symétrie Eercice 5 La trajectoire d'un projectile est modélisée dans un repère orthonormé (l'ae des abscisses représente le sol) par la courbe représentative de la fonction f dénie par f() =, 1 2 +, 4 Quelle est la hauteur maimale atteinte par le projectile? 23 Forme factorisée À partir de l'écriture sous forme canonique : si b 2 4ac =, l'epression est directement factorisée ; si b 2 4ac >, alors on va réussir à factoriser (en utilisant l'identité remarquable A 2 B 2 ) ; si b 2 4ac <, il ne nous sera pas possible de factoriser Le nombre b 2 4ac joue donc un rôle crucial : il permet de distinguer de discriminer les cas Notation À partir de maintenant, on note = b 2 4ac ( est le discriminant)

4 4 Chapitre 1 Second degré Théorème 3 Preuve On considère le trinôme a 2 + b + c de discriminant si > le trinôme est factorisable : a 2 + b + c = a( 1 )( 2 ) si = le trinôme est factorisable : a 2 + b + c = a( ) 2 si < le trinôme n'est pas factorisable Notation Dans le théorème ci-dessus, on a noté : 1 = b et = b 2 = b + En fait, pour retenir la formule donnant, il sut d'utiliser celle de 1 ou de 2 avec = Eercice 6 Factoriser lorsque cela est possible : f() = g() = h() = Eercice 7 Relier les epressions identiques mais diéremment écrites : développée canonique factorisée , 5 ( ( 2) ) ( ) ( ) , , 5 ( ) ( + 2)( + 4) ( ( + 3) 2 1 ) ( 1)( + 2) ( ) impossible Eercice 8 Trouver, sous forme factorisée : 1 un trinôme f() qui s'annule pour = 1 et = 4 Combien y a-t-il de réponses possibles? 2 un trinôme g() qui s'annule pour = 3 et = 1 2 et tel que g(2) = 5 Combien y a-t-il de réponses possibles? 3 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ Grâce à la forme factorisée du trinôme et à la règle du produit nul, on obtient facilement le théorème suivant :

5 Cours de Première STI 2D 5 Théorème 4 On considère l'équation du second degré a 2 + b + c = et on note le discriminant du trinôme si >, l'équation admet deu solutions distinctes : Preuve 1 = b et 2 = b + si =, l'équation admet une seule solution : = b si <, l'équation n'admet pas de solution Vocabulaire On dit aussi que 1, 2 (ou ) sont les racines ou les zéros du trinôme Eercice 9 Résoudre les équations suivantes à l'aide du théorème 4 : = = = 4 Quand l'un des coecients b ou c est nul, il n'est pas nécessaire d'utiliser le théorème 4 Eercice 1 Résoudre sans utiliser les équations suivantes : = = = Eercice 11 Paraboli Les troupes de Jules César assiègent un célèbre village d'irréductibles Gaulois, elles disposent de trois catapultes situées au points,,5 et 1 dans un repère orthonormé d'origine O (l'unité représente 1 m) Les trajectoires des trois projectiles sont : t 1 () = t 2 () = , 5 t 3 () = À quelles distances du point O tombent les trois projectiles? 2 Quelle est la hauteur maimale atteinte par chaque projectile? 3 Tracer l'allure de chaque trajectoire puis vérier à l'aide de la calculatrice

6 6 Chapitre 1 Second degré 4 SIGNE DU TRINÔME, ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ On peut interpréter graphiquement les diérents cas de gures : > = < Deu points d'intersections entre la parabole et l'ae des abscisses Un point d'intersection entre la parabole et l'ae des abscisses Pas de points d'intersection entre la parabole et l'ae des abscisses a > a < Cette observation graphique met en lumière le théorème suivant, qui permet d'obtenir facilement le signe d'un trinôme du second degré : Théorème 5 Preuve Le trinôme du second degré a 2 +b+c est toujours du a sauf entre ses racines éventuelles Eercice 12 Dresser le tableau de signes des trinômes suivants : f() = g() = h() = k() = 4( 3) Eercice 13 Résoudre les deu inéquations suivantes : < Eercice 14 En reprenant l'énoncé de l'eercice 11, déterminer le nombre de mètres pendant lequel le projectile 1 dépasse 5 m d'altitude

7 Cours de Première STI 2D 7 5 TABLEAU RÉCAPITULATIF Cas > L'équation a 2 + b + c = admet deu solutions : 1 = b et 2 = b + Forme factorisée : f() = a( 1 )( 2 ) Cas a > : Cas a < : Cas = f() f() L'équation a 2 + b + c = admet une unique solution : = b Forme factorisée : f() = a( ) 2 Cas a > : Cas a < : + f() f() Cas < L'équation a 2 + b + c = n'admet pas de solution f n'admet pas de forme factorisée Cas a > : Cas a < : + f() + + f()

8 8 Chapitre 1 Second degré 6 ALGORITHME Voici un algorithme qui pour un trinôme du second degré a 2 + b + c calcule le discriminant, calcule les coordonnées du sommet de la parabole et indique les éventuelles racines du trinôme Algorithme VARIABLES a, b et c, delta, S et ys, 1 et 2 TRAITEMENT Demander à l'utilisateur de saisir a, b et c, et les stocker Calculer, stocker, et afficher la valeur du discriminant delta Calculer, stocker, et afficher la valeur de S, l'abscisse du sommet Calculer, stocker, et afficher la valeur de ys, l'ordonnée du sommet Si (delta<) alors afficher "Pas de solution" Si (delta=) alors afficher "Une solution : " suivi de sa valeur Si (delta >) alors calculer 1 et 2, puis afficher "Deu solutions : " suivi de leur valeur FIN Eercice 15 Programmer cet algorithme sur ordinateur 7 PREUVES Preuve de 3 Si > : a [ ( ) + b 2 4a 2 = a ] [( b + [( = a + b )] ) ( b ) ( )] [( + b + = a b = a( 1)( 2) ) ( b + Si = : [ ] ( ( ) a + b 2 = a + b ) 2 4a 2 Si < alors ne peut pas être écrit comme un carré et on ne peut donc pas factoriser le trinôme )] Preuve de 4 1 er cas : > : ( Dans ce cas, d'après le théorème 3 on a f() = a b + ) ( b ) ( L'équation f() = équivaut alors à l'équation a b + ) ( b ) = Cette équation a deu solutions distinctes : 1 = b et 2 = b + 2 e cas : = : L'équation f() = équivaut à l'équation a Cette équation a pour solution = b 3 e cas : < : ( + b ) 2 =

9 Cours de Première STI 2D L'équation f() = équivaut à l'équation a [ ( + b ) ] [ 2 ( = 4a 2 ou encore à + b ) ] 2 = 4a 2 Cette équation n'a pas de solutions car le membre de droite est strictement négatif 9 Preuve de 5 L'observation graphique sut à se convaincre Voici cependant une preuve rigoureuse Si > avec 1 < 2 : 1 2 ( 1)( 2) a( 1)( 2) (a) ( a) (a) Si = : ( )( ) a( )( ) (a) (a) Si < : a 2 + b + c = a Or ( + b )2 et [ ( + b )2 ] 4a 2 4a > 2 donc ( + b )2 4a > 2 et a [ ( + b )2 ] 4a 2 est du (a)