ASI 3. Méthodes numériques pour l ingénieur
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- Louise Roux
- il y a 7 ans
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1 SI éthodes umérques pour l géeur Résoluto de systèmes léres pr des méthodes drectes : Guss, LU,
2 : u cs smple est ue mtrce dgole [ ],, ft jusqu'à pour Focto dgo, prolème soluto lgorthme
3 est de forme trgulre j j j ft omme ft omme omme à jusqu' pour omme jusqu'à pour j j s s s j s somme Focto trg,
4 Commetres sur le progrmme «dgo» Completé? Détermt : det que se psse t l s est trgulre supéreure? Eercce : Quels sot les âges d lce, de Lous, Sch et Gspr? Scht que tros fos l somme des âges des grços est égle à l somme des âges des flles, que l âge d lce mos tros fos l somme des âges de Lous et de Sch est égl à mos euf, que tros fos l âge de Lous est égl à vgt sept, et que l âge de Lous mos deu fos l âge de Sch est égl à.
5 Pvot de Guss prcpes fodmetu O e chge ps l soluto lorsque l o :. permute lges. permute coloes. dvse pr u même terme o ul les élémets d ue lge. joute ou retrche à ue lge u cert omre de fos ue utre lge Strtége : Trsformer le système lére e u système équvlet fcle à résoudre Trgulre!
6 Pvot de Guss : u eemple pvot
7 Pvot de Guss : u eemple /pvot
8 Pvot de Guss : u eemple /pvot
9 Pvot de Guss : u eemple /pvot Le premère vrle à été élmée de toutes les équtos suf ue
10 L lgorthme du pvot de Guss. Trgulrsto pour Focto, descet, ft pvot. Résoluto du système trgulre s jusqu' à pvot lors pour jusqu' à pvot *strtége de pvot * pour j jusqu' à j j j pvot ft ft so "prolème"
11 Guss : résoluto d u système trgulre j j j ft omme ft omme omme jusqu'à pour omme à jusqu' pour j j s s s j s somme Focto trg,
12 Guss Focto Guss, U,c descet, trgu,c
13 Remrques Cho du pvot : mmser les erreurs d rrods s u pvot est ul, o permute deu lges s tous les pvots restt sot uls l mtrce est sgulère.e. le système d équtos dmet ps de soluto uque pour mmser les erreurs d rrods : o chos le plus grd pvot possle e vleur solue et doc o permute les lges vor les coloes ssocées c est l strtége du pvot mml prtel lges ou totl Commet verser ue mtrce? vec l lgorthme de guss o peu résoudre drectemet et z y [ ; c] et doc: I détermt d ue mtrce produt des pvots c
14 Eemple Trouver e e grdt que chffres sgfctfs près l vrgule, : pvot e.dddd to : représet ± Que se psse t l s o pred le système à l evers...
15 Eemple Trouver e e grdt que chffres sgfctfs près l vrgule, : pvot e.dddd to : représet ± Que se psse t l s o pred le système à l evers...
16 ; ; mtrcellemet :,..., pour,..., pour j j j j Représetto mtrcelle de l élmto de Guss Lc LU L c U et telle que: mtrce o recherche l chque étpe de l lgorthme...
17 Les cs du secod memre ; mtrcellemet :, ;,, m m m?
18 Les cs du secod memre ; mtrcellemet :, ;,, m m m
19 Fctorsto ; ; ; mtrcellemet :,, m m m LU L U U o e post...
20 LU : motvto O coît l mtrce o e coît ps ecore commet «préprer»?
21 LU : prcpe Il est s fcle le résoudre u système «trgulre»! LU Ly U y U Commet costrure Let U? L dée : repredre l étpe de trgulrsto de l méthode de Guss
22 De Guss à LU U et Représetos ue étpe de l trgulrsto pr l multplcto de pr ue mtrce j j j,,,, m doc L LU U U guss
23 LU : l décomposto Les mtrces élémetres sot versles et leurs verses sot les mtrces L trgulres féreures telles que :, l l l L j suf, suf I I L,,,, L L L L L C est l mtrce l
24 L lgorthme de décomposto Focto L,U décompose pour ft pvot s jusqu' à pvot lors pour jusqu' à pvot *strtége de pvot * pour j jusqu' ft ft j j j so "prolème" à
25 Eemple otrez que :
26 LU : l lgorthme Focto LU, L,U decompose y trgl, trgu,y
27 LU Théorème : S u cours de l élmto de Guss sur l mtrce, les pvots sot o uls, lors l este ue mtrce trgulre féreure L et ue mtrce trgulre supéreure U, telle que : LU s de plus o mpose à L d vor les élémets dgou égu à u lors l fctorsto est uque Démostrto : élémets U ucté : pr l surde U LU Remrque : détermet det det LU det Ldet U det U u pvot
28 LU Théorème : S u cours de l élmto de Guss sur l mtrce, les pvots sot o uls, lors l este ue mtrce trgulre féreure L et ue mtrce trgulre supéreure U, telle que : LU s de plus o mpose à L d vor les élémets dgou égu à u lors l fctorsto est uque Cotre eemple trvl : Réorgsto du système lére : permutto des lges et des coloes RECHERCHE DU EILLEUR PIVOT
29 L fctorsto PLU Défto : S l mtrce, est o sgulère lors l este ue mtrce de permutto P telle que les pvots de P sot o uls. TL chptre S est égl à zéro, o échge permute deu lges P LU Ly P U y Focto LU, L,U,P decompose y trgl,p* trgu,y tl!
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