et Systèmes d équations linéaires

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "et Systèmes d équations linéaires"

Transcription

1 Opérations élémentaires et Systèmes d équations linéaires MPSI-Schwarz Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 2 avril Les opérations élémentaires 11 Matrices associées aux OEL et aux OEC Lemme 1 : Produits de matrices de la base canonique Soient { Eab une matrice de la base canonique de M n,p (K) E cd une matrice de la base canonique de M p,q (K) On a alors : E ab E cd = δ bc E ad Preuve 1 : Simple calcul Lemme 2 : Effet du produit par une matrice de la base canonique Soit A M np (K) On notera L 1,, L n ses lignes et C 1,, C p ses colonnes Soient {E ij } (i, j) [[1,q]] 2 la base canonique de M q (K) (q = n ou q = p selon les cas) On a alors : 1 Effectuer E ij A revient à placer L j à la place de L i et annuler toutes les autres lignes 2 Effectuer A E ij revient à placer C i à la place de C j et annuler toutes les autres colonnes Preuve 2 : Simples calculs Définition 1 : Soit A M pq (K) On appelle opération élémentaire sur les lignes (OEL), une des 3 opérations suivantes : 1 L échange de deux lignes (L i L j ) 2 La multiplication d une ligne par un scalaire non nul (λl i L i ) 3 L ajout d une autre ligne fois un scalaire à une ligne donnée (L i +λl j L i ) Remarque 1 On définit de la même façon les opérations élémentaires sur les colonnes (OEC) 1

2 Définition 2 : Matrices associées Pour (i, j) [[1,n]] 2 avec i j et λ 0, soient les matrices suivantes de M n (K) 1 D n i (λ) = I n +(λ 1)E ii 2 T n ij (λ) = I n +λe ij 3 P n ij = I n E ii E jj +E ij +E ji Ces 3 matrices sont inversibles car : 1 D n i (λ)dn i (1 λ ) = I n 2 T n ij (λ)tn ij ( λ) = I n 3 [P n ij ]2 = I n Théorème 3 : Effet de la multiplication par une matrice associée Soit A M pq (K) 1 Effectuer D p i (λ) A revient à effectuer l opération λl i L i 2 Effectuer T p ij (λ) A revient à effectuer l opération L i +λl j L i 2 Effectuer P p ij (λ) A revient à effectuer l opération L i L j Preuve 3 : Il suffit de décomposer le calcul Remarque 2 Multiplier à droite par D q i (λ), Tq ij (λ) et Pq ij (λ) revient à effectuer les mêmes opérations sur les colonnes 12 Premières conséquences Proposition 4 : Conservation du noyau par OEL Soit A M np (K) Les OEL de A conservent le noyau de A Preuve 4 : En effet, AX = 0 BAX = 0 pour toute matrice B GL n (K) Proposition 5 : Conservation de l image par OEC Soit A M np (K) Les OEC de A conservent l image de A Preuve 5 : En effet, {AX X M p1 (K)} = {ABX X M p1 (K)} lorsque B est une matrice inversible Théorème Fondamental 6 : Les opérations élémentaires sur les lignes ou sur les colonnes ne modifient pas le rang d une matrice Preuve 6 : La multiplication par une matrice inversible ne modifie par le rang d une matrice 13 Applications pratiques 131 Recherche du rang d une matrice L algorithme du rang consiste à transformer une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes et ses colonnes Nous avons vu en effet, que ce type d opérations ne modifie pas le rang d une matrice Le principe consiste donc à effectuer des opérations judicieuses afin d obtenir une matrice dont le rang se détermine facilement Exercice : 1 ( ) Soit n N Déterminer le rang de la matrice A M n (R) de terme général a ij = (i+j 1) 2 2

3 Lemme 7 : lemme de l algorithme du rang Soit λ 0 et A M np (K) On a alors : λ X X 0 rg A 0 = 1+rgA Preuve 7 : On s intéresse à la dimension de Vect(L 1, L 2,, L p+1 ) Algorithme du rang : 1 Par OEL et OEC on transforme la matrice étudiée sous la forme précédente 2 On recommence le processus avec la matrice A jusqu à obtenir une matrice nulle ou dont le rang est évident Exemple 1 ( ) Déterminer le rang des matrices suivantes : 1 A = B = C = Exercice : 2 ( ) Soit a, b R a 0 0 b Déterminer le rang de la matrice suivante : A = b a b a b a Exercice : 3 ( ) Autres méthodes de détermination du rang Déterminer les rangs des deux matrices suivantes : 1 A = (a ij ) M n (R) telle que a ij = i+j 1 (en effectuant des OEC judicieuses) 2 B = (b ij ) M n (R) telle que b ij = sin(i+j) (en décomposant les colonnes C j ) Bilan des méthodes de détermination du rang d une matrice : Pour déterminer le rang d une matrice de A M np (K) on peut : 1 Méthode 1 : Eliminer les vecteurs colonnes redondants et on compte ceux qui restent 2 Méthode 2 : Appliquer la formule du rang après avoir déterminé le noyau 3 Méthode 3 : Appliquer l algorithme du rang 4 Méthode 4 : Effectuer des OEL et OEC afin d obtenir une matrice plus simple 5 Méthode 5 : Montrer que les colonnes sont toutes combinaison linéaire des mêmes vecteurs Exercice : 4 ( ) Soit A, B M n (K) et M = ( ) A A Prouver que rg(m) = rg(a)+rg(a B) A B Remarque 3 Même s il peut être intéressant d appliquer l algorithme du rang dans les exercices, cet algorithme est surtout intéressant en programmation En effet, un ordinateur ne peut mettre en oeuvre qu une méthode systématique et ne peut pas utiliser des ruses comme celles vues dans l exercice précédent 132 Inversion d une matrice Soit A GL n (K) Lemme 8 : On peut transformer A en la matrice I n, en n utilisant que les OEL 3

4 Preuve 8 : 1 On peut transformer A en une matrice triangulaire supérieure (algorithme de gauss) ne comportant que des 1 sur la diagonale 2 Puis, en partant de la dernière colonne, on annule tous les coefficients hors de la diagonale 3 On obtient alors I n Corollaire 9 : Pour déterminer A 1, il suffit d effectuer sur I n les mêmes OEL que sur A Preuve 9 : Pour déterminer A 1, il suffit d inverser le système AX = Y, c est à dire AX = I n Y Ainsi, en multipliant à gauche par les matrices des OE, on finit par obtenir I n X = A 1 Y I n a donc été transformée en A 1 Méthode d obtention de A 1 1 On considère la matrice B = ( ) A I n 2 Par application des OEL : (a) On transforme B de façon à obtenir une matrice triangulaire à la place de A (b) On transforme B de façon à obtenir une matrice diagonale à la place de A (c) On transforme B de façon à obtenir I n à la place de A 3 On obtient alors la matrice B = ( I n A 1) Exemple 2 ( ) En utilisant la méthode précédente, déterminer l inverse des matrices : A = et B = Système d équations linéaires 21 Vocabulaire Soit {a ij } (i,j) [[1,n]] [[1,p]] et {b i } i [[1,n]] deux familles de scalaires de K On considère le système de n équations à p inconnues : (S) a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1p x p = b 1 a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a np x p = b n a 11 a 1p On appelle alors : A = M np (K) la matrice du système a n1 a np B = X = 1 b M n1 (K) b n x 1 x p M p1 (K) le vecteur second membre le vecteur inconnu Avec ces notations, le système (S) s écrit alors : AX = B 4

5 Définition 3 : Vocabulaire lié aux systèmes 1 Résoudre le système consiste à trouver l ensemble S de tous les p-uplets (x 1,, x p ) K p vérifiant (S) 2 On appelle système homogène (S 0 ) associé à (S), le système obtenu en prenant B = 0 On note S 0 = kera l ensemble des solutions du système homogène 3 rg(a) s appelle le rang du système Il s agit à la fois du nombre de colonnes de A linéairement indépendantes, mais aussi du nombre d équations indépendantes du système (S 0 )! 4 On dit que le système est compatible si l ensemble des solutions est non-vide Ce sera le cas si et seulement si B ImA Remarque 4 Dans ce cours, on reprend les conventions utilisées dans le chapitre sur les matrices 22 Interprétation duale Considérons les n formes linéaires de K p : f i : K p K (x 1,, x p ) a i1 x 1 + +a ip x p Alors x = (x 1,, x p ) K p est solution de (S) f 1 (x) = b 1 f n (x) = b n Proposition 10 : Interprétation géométrique L ensemble des solutions S d un système linéaire de n équations à p inconnues est l intersection de n hyperplans affines de K p Ainsi : 1 Soit il n y a pas de solution, Soit l ensemble des solutions est un sous-espace affine de K p 2 lorsque n p, on a dims p n Preuve 10 : Immédiat compte-tenu des résultats connus sur les hyperplans vectoriels et sur l intersection de sous-espaces affines 23 Structure de l ensemble des solutions Soit un système linéaire (S) à n équations et p inconnues Théorème 11 : Structure de l ensemble des solutions du système homogène : S 0 L ensemble des solutions du système homogène (S 0 ) est kera C est donc un sev de K p On a ainsi : dims 0 = nombre d inconnues rg(s) Preuve 11 : On utilise le théorème du rang Remarque 5 dims 0 est donc la différence entre le nombre d inconnues et le nombre d équations indépendantes Exercice : 5 ( ) Déterminezla dimension du sev de M 3 (R) constitué des matrices dont la somme des coefficients de chaquecolonne est identique 5

6 Théorème 12 : Structure de l ensemble des solutions de (S) Soit p le nombre d inconnues 1 Si le système est incompatible, S = 2 Si le système est compatible, alors il existe une solution particulière x 0 Dans ce cas, S = {x 0 +x x S 0 } et S est un espace affine de dimension p rg(s) Preuve 12 : Il s agit de la structure de l ensemble des solutions d une équation linéaire On peut cependant proposer une nouvelle démonstration plus directe : X solution de (S) AX = B AX = AX 0 A(X X 0 ) = 0 X X 0 kera Exemple 3 x y +z 3t = 1 Déterminer l ensemble des solutions de 2y +z t = 1 x y +t = 3 2 sachant que 0 2 est solution 1 Corollaire 13 : 1 Si rg(s) = p (le nombre d inconnues) alors S admet au plus une solution 2 Si rg(s) = n (le nombre d équations) alors S est compatible Preuve 13 : 1 Si S admet une solution alors S est un sous espace affine de dimension 0 2 Si rg(s) = n alors Im(A) = R n et donc B Im(A) 24 Systèmes de Cramer Proposition 14 : Unicité de la solution Soit A M n (K) Un système AX = B admet une unique solution si et seulement si A est une matrice inversible Preuve 14 : On prouve facilement que kera = {0} et comme A est une matrice carrée, alors A GL n (K) Immédiat! Définition 4 : Système de Cramer Un système AX = B est dit de Cramer lorsque A est une matrice inversible Remarque 6 Un système de Cramer est donc un système n n qui admet une unique solution On verra dans le cours sur les déterminants qu on reconnaît un système de Cramer au fait que son déterminant est non nul Proposition 15 : Systèmes de Cramer particuliers 1 Un système triangulaire est un système de Cramer ssi tous ses termes diagonaux sont non nuls Un tel système se résout facilement pas à pas 2 Un système de cramer homogène n admet que le vecteur nul pour solution 6

7 Preuve 15 : 1 Le déterminant d un système triangulaire est égal au produit des coefficients diagonaux Par conséquent, ce déterminant est non nul si et seulement si tous les coefficients diagonaux sont non nuls 2 Le vecteur nul est une solution évidente d un système homogème Or un système de cramer n admet qu une unique solution CQFD Exemple 4 Prouver que la famille {x cosx, x sinx, x e x } de F(R, R) est libre Exercice : 6 x+ay +a 2 z = α ( ) On souhaite résoudre le système x+by +b 2 z = β x+cy +c 2 z = γ 1 Reformuler le problème en utilisant le polynôme : P = x+yx +zx 2 2 En déduire que le système est de cramer 3 En déduire ses solutions { a, b et c sont des scalaires deux à deux distincts où α, β, γ K 25 Résolution par la Méthode de Gauss Définition 5 : On appelle << opération élémentaire sur les lignes >> l une des 3 opérations suivantes : 1 Echanger deux lignes 2 Remplacer une ligne L i par λl i où λ K 3 Remplacer une ligne L i par L i +λl j où λ K Théorème Fondamental 16 : On ne change pas l ensemble des solutions d un système en effectuant une opération élémentaire sur les lignes Preuve 16 : Il suffit de remarquer que AX = B PAX = PB pour toute matrice inversible, et qu effectuer une OEL consiste à multiplier AX = B à gauche par une matrice inversible particulière Remarque 7 On utiliserale théorèmeprécédentpour transformerle systèmeax = B en un systèmesimple àrésoudre Le plus souvent, on transformera (S) en un système triangulaire (ou presque) Cette technique s appelle la méthode de Gauss Méthode de Gauss 1 On place en première ligne une équation qui fait apparaître la première inconnue On choisit de préférence (si possible) la ligne telle que la première inconnue a un coefficient 1 2 On utilise cette équation pour éliminer par OEL la première inconnue des autres équations 3 On applique les opérations précédentes au sous-système obtenu où la première inconnue ne figure plus Remarque 8 Pour effectuer ce travail dans de bonnes conditions, le système doit être proprement écrit et les inconnues correctement alignées Remarque 9 On pourra simplifier un peu les calculs en présentant le système sous la forme A B Méthode : cas d un système de cramer Par OEL on transforme le système en un système équivalent triangulaire On détermine alors les inconnues à partir de la dernière équation obtenue Exemple 5 Résoudre le système suivant : (S) 2x+y +z t = 1 x 2y +z = 0 x 2z +t = 1 y z +2t = 1 7

8 Méthode : cas où il y a trop d inconnues Si, après avoir triangularisé le système, le nombre d inconnues est supérieur au nombre d équations, on décide alors d attribuer aux inconnues supplémentaires le statut de paramètres On recherche alors les autres inconnues en fonction de ces paramètres Exemple 6 Résoudre les systèmes suivants : x 1 +x 2 +x 3 +3x 4 = 3 1 (S1) 2x 1 x 2 +x 4 = 1 x 1 +2x 2 +2x 3 +x 4 = 3 2 (S2) mx+y +z +t = 1 x+my +z +t = m x+y +mz +t = m+1 Remarque 10 Dans le cas des systèmes paramètrés, on aura souvent intérêt à commencer par déterminer les valeurs du paramétre qui annulent le déterminant On traite alors ces différents cas à part Méthode : cas où il n y a pas de solutions Dans certains cas, la triangularisation aboutit à une équation impossible Dans ce cas le système n admet pas de solutions Exemple 7 Résoudre le système suivant : (S) x+2y z = 4 2x+y +z = 1 x y +z = 4 2x 2y+7z = 3 26 Exercices Exercice : 7 Discuter et résoudre les systèmes suivants où a, b, c, α, β, γ sont des réels : x+y +z = a ax+y +z = α x+ay +a 2 z = 1 S 1 x+y 2z = b S 2 x+ay +z = β S 3 x+by +b 2 z = 0 x+y 3z = c x+y +az = γ x+cy +c 2 z = 1 S 4 x+y +z = 1 x y +z = b x+y z = b 2 Exercice : 8 Soit A = et u l endomorphisme canoniquement associé à A Montrer qu il existe une base de R 3 dans laquelle la matrice de u est une matrice diagonale D 2 Déterminer P GL n (R) telle que A = P 1 DP 3 A quoi peut servir le travail précédent? 8

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL Lycée Dominique Villars ECE 1 COURS CALCUL MATRICIEL 1 Définitions et Notations Soit n N et m N On appelle matrice à n lignes et m colonnes tout tableau de la forme suivant : a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a

Plus en détail

Opérations élémentaires et déterminants

Opérations élémentaires et déterminants 10 Opérations élémentaires et déterminants On note toujours K le corps de réels ou des complexes On se donne un entier n 1 et M n (K désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients

Plus en détail

Table des matières 1/15

Table des matières 1/15 Table des matières Introduction : histoire et modernité...2 I- Généralités...3 - Définitions...3 2- Interprétations d'un système linéaire....3 a- Application linéaire u de Kp dans Kn...3 b- Vecteurs de

Plus en détail

Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge

Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Cours PCSI (203-204) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Table des matières Introduction...2 - Des tablettes d'argile aux ordinateurs...2 2- Premiers systèmes linéaires...2 a- Système linéaire le plus

Plus en détail

Matrices. () Matrices 1 / 45

Matrices. () Matrices 1 / 45 Matrices () Matrices 1 / 45 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition On va principalement travailler avec R Mais on peut remplacer

Plus en détail

deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit

deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit CHAPITRE 6 MATRICES Dans tout le chapitre, K désignera R ou C 1 Matrices à éléments dans K 11 Algèbre des matrices Définition 61 Soient n, p N On appelle matrice de taille (n, p) à coefficients dans K

Plus en détail

Matrices à coecients réels

Matrices à coecients réels Matrices à coecients réels Dans tout ce chapitre d, n, p et q sont des entiers naturels non nuls 1 Systèmes linéaires : 11 Généralités : Dénition 1 : On appelle système linéaire de n équations à p inconnues

Plus en détail

Vecteurs et applications linéaires

Vecteurs et applications linéaires Vecteurs et applications linéaires (1) (1) () Vecteurs et applications linéaires 1 / 41 1 Familles de vecteurs de R n 2 Sous-espace vectoriels dans R n 3 Base d un sous-espace vectoriel (1) () Vecteurs

Plus en détail

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercice III.1 Ch3-Exercice1 Calculer les déterminants suivants : a b c d, 3a 3b c d, 4 2 3 0 3 4 0 0 5, 4 2 3 0 1 2 4 1 2, 4 3 2 0 2 1 4 2 1, 1 2 2 3 1 1

Plus en détail

Rang d une matrice, systèmes linéaires

Rang d une matrice, systèmes linéaires Rang d une matrice, systèmes linéaires Rang d une matrice. Rang des applications linéaires représentées par une même matrice Chap 33 Définition. On appelle rang d une matrice A le rang d une application

Plus en détail

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR.

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR. Exercices avec corrigé succinct du chapitre 1 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qui apparaissent dans ce texte sont bien définis dans la version

Plus en détail

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée

Plus en détail

Systèmes d équations linéaires, Résumé

Systèmes d équations linéaires, Résumé Systèmes d équations linéaires, Résumé ycée Berthollet, PCSI1 2016-17 Exemple introductif (fil rouge) Exemple 1 On considère le système suivant : (S) x +2y 2z +3t = 2 2x +4y 3z +4t = 5 5x +10y 8z +11t

Plus en détail

Systèmes d équations linéaires

Systèmes d équations linéaires Systèmes d équations linéaires Plan du chapitre 1 Les différentes présentations d un système d équations linéaires page 1 11 Présentation classique page 2 12 Ecriture matricielle d un système page 2 13

Plus en détail

Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques

Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques Nouveaux Eléments de Calculs Algébriques MPSI-Cauchy Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 23 septembre 206 Si le cours de maths de CPGE insiste beaucoup sur la pratique du raisonnement mathématique,

Plus en détail

1. Familles de vecteurs

1. Familles de vecteurs Compléments d algèbre linéaire 1-1 Sommaire 1 Familles de vecteurs 1 11 Famille libre 1 1 Famille génératrice 1 13 Base 14 Propriétés Sous-espaces vectoriels 1 Somme de sous-espaces vectoriels Base adaptée

Plus en détail

Système d équations linéaires

Système d équations linéaires Système d équations linéaires Bcpst 1 27 février 2017 Notations du chapitre Dans ce chapitre, = ou. On appelle les éléments de des scalaires. n et p sont deux entiers naturels non nuls. I Définitions et

Plus en détail

Calcul matriciel : rappels et compléments

Calcul matriciel : rappels et compléments CHAPITRE 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 5 L ensemble M n,p (K) 5 Structure d espace vectoriel Définition Soit K = R ou C On note M n,p (K) l ensemble des matrices ayant n lignes et p colonnes

Plus en détail

ALGÈBRE LINÉAIRE - SYSTÈMES LINÉAIRES (FIN)

ALGÈBRE LINÉAIRE - SYSTÈMES LINÉAIRES (FIN) ALGÈBRE LINÉAIRE - SYSTÈMES LINÉAIRES (FIN) Michel Rigo http://wwwdiscmathulgacbe/ Année 010 011 THÉORÈME DE ROUCHÉ A K n p et b Kn Les conditions suivantes sont équivalentes I) Le système (S) : Ax = b

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C. Matrices Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K tout tableau rectangulaire

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉTERMINANTS Dans tout ce chapitre, n désigne un entier naturel non nul. 1 Groupe symétrique 1.1 Permutation Définition 1.1 Permutation, groupe symétrique On appelle permutation de 1, n toute bijection

Plus en détail

Chapitre 3 : Matrices

Chapitre 3 : Matrices Chapitre 3 : Matrices Sommaire I Notion de matrice et vocabulaire II Opérations de base sur les matrices 3 1 Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice 3 Multiplication matricielle

Plus en détail

Résumé 02 : Matrices & Déterminants

Résumé 02 : Matrices & Déterminants http://mpbertholletwordpresscom Résumé 02 : Matrices & Déterminants Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C 1 LES BASES 1 L opérateur L A Toute application linéaire de R p dans R n est l application

Plus en détail

HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1

HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1 HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1 PARTIE B Algèbre linéaire et Géométrie Chapitre B.2 Systèmes linéaires B.2.A) NOTION DE SYSTÈME LINÉAIRE. Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit

Plus en détail

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier Calcul matriciel Dans ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Petite visite au zoo matriciel 1.1 matrices générales notion de matrice : une matrice à coefficients dans K est une liste d éléments de K disposés

Plus en détail

ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2. Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets

ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2. Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2 Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets PARTIE I - CONSTRUCTION D UNE MATRICE INVERSE A GAUCHE On suppose dans cette partie que

Plus en détail

Matrice et vocabulaire associé

Matrice et vocabulaire associé I Matrice et vocabulaire associé I1 Définitions Définition 1 Deux entiers naturels m et n étant donnés non nuls, on appelle matrice de format m, n tout tableau rectangulaire ayant m n éléments, disposés

Plus en détail

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22...

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22... Chapitre 3 Matrices 1 Définitions et généralités Définition 11 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q A a p1 a p2 a ps Les coefficients a ij,

Plus en détail

Chapitre 2. Introduction aux matrices

Chapitre 2. Introduction aux matrices L1 2012-2013 Université Paris 13 Algèbre linéaire Chapitre 2 Introduction aux matrices Référence: Liret-Martinais [2], chapitre 4 Nous avons déjà rencontré des tableaux de nombres, ou matrices Nous allons

Plus en détail

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices Chapitre 6 Algèbre matricielle En plus d être des tableaux de nombres susceptibles d être manipulés par des algorithmes pour la résolution des systèmes linéaires et des outils de calcul pour les applications

Plus en détail

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice.

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice. Les matrices chapitre 2 : calcul matriciel I / Définitions Soit n et p deux entiers naturels non nuls Une matrice n p (on dit aussi de format n ; p ( ) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes

Plus en détail

9 : Matrices. 1. Opérations sur les matrices. 1.1 Les espaces vectoriels R n et C n

9 : Matrices. 1. Opérations sur les matrices. 1.1 Les espaces vectoriels R n et C n 9 : Matrices Opérations sur les matrices Les espaces vectoriels R n et C n Notation Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, et n, p, q sont des entiers naturels non nuls On rappelle que si E est un ensemble,

Plus en détail

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u)

Matrices symétriques réelles. Exercice 2 Le produit de deux matrices symétriques réelles est-il symétrique? R n = ker (u) Im (u) Matrices symétriques réelles 1 Préliminaires On se place dans (R n, ) euclidien, le produit scalaire canonique étant défini par : (x, y) R n R n, x y = t x y = x k y k On note : M n (R) l algèbres des

Plus en détail

Etude de l ensemble des matrices

Etude de l ensemble des matrices Autour du produit Exercice 1 - Produits possibles - L1/Math ( Sup - ) On considère les matrices suivantes : A = 1 2 3, B = ( 1 2 ), C = 2 1 3 0 1 2, D = ( 2 5 5 0 ), E = 1 1 3 1 4 0 0 2 5 Quels sont les

Plus en détail

Rang et déterminant des matrices

Rang et déterminant des matrices Rang et déterminant des matrices Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 17 septembre 2013 Espace des lignes-espace des colonnes Introduction Soit A = ( ) a ij Mn,p (K), avec K = R ou C. On peut

Plus en détail

Déterminants. Chapitre 23. Objectifs. Plan

Déterminants. Chapitre 23. Objectifs. Plan Chapitre 23 Déterminants Objectifs Étudier le groupe des permutations de [[1n]] Définir les notions : de cycles, de transpositions, de décomposition en produit de cylces, de signature Définir les notions

Plus en détail

Mathématiques. Révisions d algèbre linéaire (PTSI) 2016/2017

Mathématiques. Révisions d algèbre linéaire (PTSI) 2016/2017 Mickaël Prost Lycée Chaptal Paris mickaelprost@gmailcom http://wwwmickaelprostfr Mathématiques Révisions d algèbre linéaire (PTSI) 2016/2017 «En mathématiques, la manière de poser la question est plus

Plus en détail

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires Exemple : deux droites dans le plan

Systèmes linéaires. 1. Introduction aux systèmes d équations linéaires Exemple : deux droites dans le plan Sstèmes linéaires Vidéo partie 1 Introduction aux sstèmes d'équations linéaires Vidéo partie Théorie des sstèmes linéaires Vidéo partie 3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss Fiche d'exercices Sstèmes

Plus en détail

Formes bilinéaires et quadratiques

Formes bilinéaires et quadratiques Formes bilinéaires et quadratiques 0 Prolégomènes Caractéristique d un corps Si K, +, est un corps commutatif, alors l application ϕ : n n K, où K est l élément neutre de K pour le produit, est un morphisme

Plus en détail

Espaces vectoriels. I Espaces vectoriels. λ x = 0 E λ = 0 ou x = 0 E. (λ x 1,λ x 2,...,λ x n )

Espaces vectoriels. I Espaces vectoriels. λ x = 0 E λ = 0 ou x = 0 E. (λ x 1,λ x 2,...,λ x n ) Espaces vectoriels Notations du chapitre Dans ce chapitre désigne ou. I Espaces vectoriels Propriété 1.2 Soit E un espace vectoriel. 1) Pour tout vecteur x de E : 0. x = 0 E. 2) Pour tout scalaire λ :

Plus en détail

CH XII : Systèmes linéaires

CH XII : Systèmes linéaires CH XII : Systèmes linéaires I Généralités sur les systèmes linéaires Définition Soient n et p deux entiers naturels non nuls On appelle système linéaire de n équations à p inconnues x 1,, x p tout système

Plus en détail

Chapitre 4. Systèmes linéaires

Chapitre 4. Systèmes linéaires ECE 1 - Année 016-017 Lycée français de Vienne Mathématiques - F. Gaunard http://frederic.gaunard.com Chapitre 4. Systèmes linéaires L objectif de ce court chapitre est d introduire et de résoudre des

Plus en détail

Systèmes linéaires et échelonnement

Systèmes linéaires et échelonnement Systèmes linéaires et échelonnement 1 Systèmes linéaires, résolution de systèmes échelonnés. 1 1.1 Équations linéaires........................................... 1 1.2 Systèmes linéaires...........................................

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R)

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R) Matrices Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes un tableau rectangulaire de nombres réels comportant n lignes et p colonnes } }{{}

Plus en détail

DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES 1 Un outil pratique : le déterminant 11 Calcul d'un déterminant Un déterminant est un nombre Il se présente sous la forme d'un tableau carré ayant donc même

Plus en détail

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations 4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle

Plus en détail

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 Chapitre 13 Calcul matriciel Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 On note K = R ou C Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac)

Plus en détail

Fiche Systèmes d Équations Linéaires

Fiche Systèmes d Équations Linéaires Fiche Systèmes d Équations Linéaires MOSE 1003 13 Septembre 2014 Table des matières Systèmes de 2 équations à 2 inconnues 1 Méthode des combinaisons linéaires.................................... 2 Interprétation

Plus en détail

Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications

Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications I Présentation 1. Systèmes linéaires Problème : Résoudre les systèmes linéaires à n inconnues et p équations. où les sont les coefficients du

Plus en détail

Chapitre VIII Calcul matriciel

Chapitre VIII Calcul matriciel Chapitre VIII Calcul matriciel Dans ce cours, désigne, ou un corps commutatif quelconque. I Matrices et applications Les matrices sont un outil de calcul et de représentation des applications linéaires.

Plus en détail

2 Diverses interprétations des matrices

2 Diverses interprétations des matrices 1 Rappels Espace vectoriel M p,n (K) : Addition : dénition et propriétés élémentaires : commutativité, associativité, existence d'un neutre, toute matrice admet un(e) opposé(e) pour + Multiplication par

Plus en détail

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof. A. Abdulle. Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc :

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof. A. Abdulle. Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc : Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof A Abdulle EPFL Série 7 Corrigé Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc : a b c 3 1 0 4 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1

Plus en détail

Révisions sur les matrices

Révisions sur les matrices BCPST2 9 5 2 10Révisions sur les matrices I Dénition et structure A) Ensemble des matrices Soient n, p N des entiers xés On appelle matrice à n lignes et p colonnes et à coecients à K la donnée d'une famille

Plus en détail

9. (Emo09) On considère trois vecteurs dans E = R 3 :

9. (Emo09) On considère trois vecteurs dans E = R 3 : Feuille Rangs, Opérations élémentaires, Systèmes. (Emo0) Calculer le rang des matrices A et B de M n (K) dénies par a ij = cos(i + j 2), b ij = i + j + ij. 2. (Emo02) En discutant selon les paramètres,

Plus en détail

Géométrie dans les espaces préhilbertiens

Géométrie dans les espaces préhilbertiens 13 Géométrie dans les espaces préhilbertiens Pour ce chapitre (E, ) est un espace préhilbertien et est la norme associée. 13.1 Mesures de l angle non orienté de deux vecteurs non nuls L inégalité de Cauchy-Schwarz

Plus en détail

Chapitre X. Chapitre X : Matrice inverse et réciproque d une application

Chapitre X. Chapitre X : Matrice inverse et réciproque d une application Chapitre X Chapitre X : Matrice inverse et réciproque d une application Introduction Dans ce chapitre, on fera le lien entre la matrice d une application linéaire et l inverse d une matrice (notion vue

Plus en détail

Chapitre N o 4 : Le pivot de Gauss

Chapitre N o 4 : Le pivot de Gauss POIRET Aurélien Ingénierie Numérique MPSI Chapitre N o 4 : Le pivot de Gauss Dans ce chapitre, on présente divers algorithmes de calcul matriciel et on évalue leurs complexités 1 Le type «matriciel» sous

Plus en détail

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Algèbre - cha 4 /9 Dans tout le chaitre K désigne R ou C, n et désignent des entiers naturels non nuls.. OPERATIONS SUR LES MATRICES. Notion de matrice Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Définition

Plus en détail

METHODE DU PIVOT DE GAUSS

METHODE DU PIVOT DE GAUSS METHODE DU PIVOT DE GAUSS La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d équations linéaires à n équations et p inconnues Elle s utilise notamment pour leur résolution numérique

Plus en détail

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés.

Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. Université Nice Sophia-Antipolis SL2SF 2012-13 Algèbre 2 Espaces euclidiens, orthogonalité, longueur. Moindres carrés. On travaille avec le corps des réels, noté R. Pour tout entier naturel n, on considère

Plus en détail

MATRICES. 1. Définition. 2. Matrices carrées particulières. ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K)

MATRICES. 1. Définition. 2. Matrices carrées particulières. ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 21-10- 2007 JFC Mat p 1 MATRICES I GÉNÉRALITÉS 1 Définitions 2 Matrices carrées particulières II ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 1 Structure d espace vectoriel de M n,p (K) 2 Base canonique

Plus en détail

1. Déterminant d une matrice carrée

1. Déterminant d une matrice carrée Déterminants 2-1 Sommaire 1. Déterminant d une matrice carrée 1 1.1. Déterminant d une matrice carrée A.. 1 1.2. Interprétation en dimensions 2 et 3... 2 1.3. Propriétés élémentaires.......... 2 1.4. Déterminant

Plus en détail

Préparation à l'agrégation Interne Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME 1

Préparation à l'agrégation Interne Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME 1 Préparation à l'agrégation Interne 2005-2006 F. Dupré Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME On notera N n l'ensemble des entiers compris entre et n, n désignant un

Plus en détail

Matrices. 6 On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice carrée d ordre n telle que, si

Matrices. 6 On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice carrée d ordre n telle que, si Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES Matrices On note K un corps commutatif. n et p représentent deux entiers naturels non nuls. 1. Notion de matrice 1.1. Définitions Définition 1 On appelle matrice d

Plus en détail

Chapitre 2 : Les matrices

Chapitre 2 : Les matrices Chapitre 2 : Les matrices I. Définitions On appelle matrice à lignes et colonnes N, N à coefficients dans =R C un tableau à lignes et colonnes contenant un élément de à l intersection de chaque ligne et

Plus en détail

TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES

TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES 22-10- 2011 JFC Mat p 1 TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES 2011-2012 LES NOTIONS Généralités (définition, matrices particulières) Opérations sur les matrices Matrice d une application linéaire

Plus en détail

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel Calcul matriciel 1 le 29 Novembre 2008 UTBM MT11 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Calcul matriciel Introduction. A un système linéaire de p équations à n inconnues on associe un tableau avec

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Table des matières 1 Vecteurs propres et espaces propres d un endomorphisme 2 11 Éléments propres d un endomorphisme 2 12 Obtention d éléments propres

Plus en détail

Exercices du chapitre XI avec corrigé succinct

Exercices du chapitre XI avec corrigé succinct Exercices du chapitre XI avec corrigé succinct Exercice XI. Soient : 3 2 6 2 A, B et C 2 4 3 3 2 4 4 2 2 x, y, y 2 et z 3. Calculer Ax et Bx, que remarque t-on par rapport à la multiplication usuelle dans

Plus en détail

Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.

Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1. I Généralités sur les matrices Activité 1 Dans tout ce qui suit, n, m et p sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1 Une matrice A de dimensions m p est un tableau de nombres à m lignes et p colonnes

Plus en détail

3.2. SOUS-ESPACES DE IR n, BASES ET

3.2. SOUS-ESPACES DE IR n, BASES ET .. SOUS-ESPACES DE IR n, BASES ET INDÉPENDANCE LINÉAIRE On a vu dans la section. que l image et le noyau d une application linéaire avaient en commun : ils contiennent le vecteur nul (du domaine pour le

Plus en détail

Rappels sur l algèbre linéaire

Rappels sur l algèbre linéaire Rappels sur l algèbre linéaire Dans tout ce chapitre n et p sont des entiers naturels non nuls et K = R ou C, E un K-espace vectoriel, I un ensemble non vide. I- Espace vectoriel I-1 Définition et exemples

Plus en détail

Chapitre 5. Applications linéaires et. 5.1 Applications linéaires Définitions

Chapitre 5. Applications linéaires et. 5.1 Applications linéaires Définitions Chapitre 5 Applications linéaires et géométrie On rappelle qu un espace vectoriel est une structure qui permet d écrire des combinaisons linéaires de vecteurs ; les coefficients peuvent être réels ou complexes

Plus en détail

SYSTEMES LINEAIRES. P. Pansu September 13, 2004

SYSTEMES LINEAIRES. P. Pansu September 13, 2004 SYSTEMES LINEAIRES P Pansu September 13, 2004 1 Motivation On rencontre des systèmes linéaires à la fois dans la vie courante et dans des problèmes posés par les sciences 2 Objectif Savoir résoudre (ie

Plus en détail

[ [ [ ] 1. Définitions et Vocabulaire. Chapitre 3 Calcul matriciel. a. Définitions d'une matrice

[ [ [ ] 1. Définitions et Vocabulaire. Chapitre 3 Calcul matriciel. a. Définitions d'une matrice Chapitre Calcul matriciel. Définitions et Vocabulaire a. Définitions d'une matrice Définition Une matrice de dimension n p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes s [ 8 6 0 [ 6 8 0

Plus en détail

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1 Exercices Corrigés Matrices Exercice Considérons les matrices à coefficients réels : A =, B = 4 C =, D = 0, E = Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, CD, DC, AE, CE Exercice extrait partiel

Plus en détail

Dimension des espaces vectoriels

Dimension des espaces vectoriels Dimension des espaces vectoriels (2) (2) () Dimension des espaces vectoriels 1 / 22 Plan 1 Matrices (2) () Dimension des espaces vectoriels 2 / 22 Propriétés de l ensemble des matrices Proposition Pour

Plus en détail

Lorsque la matrice M est de format (2,2), le déterminant s écrit :

Lorsque la matrice M est de format (2,2), le déterminant s écrit : Fiche 6. Le déterminant. Le déterminant Le déterminant est un outil très utile lorsque l on manipule des matrices carrées. Nous allons construire une fonction appelée déterminant qui associe un nombre

Plus en détail

MT23-Algèbre linéaire

MT23-Algèbre linéaire MT23-Algèbre linéaire Chapitre 5 : Espaces euclidiens ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC juillet 2014 suivant Chapitre 5 Espaces Euclidiens et applications 5.1 Produit scalaire, norme, espace euclidien....................

Plus en détail

Mathématiques L2 Cours de Sophie Jallais et Muriel Pucci

Mathématiques L2 Cours de Sophie Jallais et Muriel Pucci Mathématiques L Cours de Sophie Jallais et Muriel Pucci 06-07 PLAN DES DOSSIERS DE TD Dossier Systèmes d équations linéaires : résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle.

Plus en détail

MT23-Algèbre linéaire

MT23-Algèbre linéaire MT23-Algèbre linéaire Chapitre 1 : Espaces vectoriels ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES UTC juillet 2014 suivant Chapitre 1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels, généralités..........................

Plus en détail

Chap. G2 : Algèbre des matrices

Chap. G2 : Algèbre des matrices Chap. G2 : Algèbre des matrices II Calcul d inverse de matrices, systèmes linéaires inversibles, opérations élémentaires 0) Vue l équivalence AX = Y X = A 1 Y, calculer A 1 équivaut à résoudre un système.

Plus en détail

Matrices Orthogonales et Isométries vectorielles

Matrices Orthogonales et Isométries vectorielles Matrices Orthogonales et Isométries vectorielles MPSI - Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 4 mai 016 Dans ce chapitre, on considère un espace euclidien (E,, ) de dimension n 1 Les isométries vectorielles

Plus en détail

Algèbre Lineaire (II)

Algèbre Lineaire (II) Résumé du cours Algèbre Lineaire (II) Table des matières I Les matrices 1 I1 Ensembles de matrices remarquables 1 I2 L opérateur L A 1 I3 Produit 2 I4 Inversibilité 3 I5 Lignes et colonnes 3 I51 Manipulations

Plus en détail

Université de Bourgogne. Algèbre linéaire. Johan Taflin

Université de Bourgogne. Algèbre linéaire. Johan Taflin Université de Bourgogne Algèbre linéaire Johan Taflin 2016-2017 2 johan.taflin@u-bourgogne.fr Bureau : A316 3 Préface Ce texte est destiné aux étudiants de première année de licence physique/chimie à l

Plus en détail

Chap. II. Déterminants

Chap. II. Déterminants Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 1 Chap. II. Déterminants Printemps 2010 Printemps 2010 Chap. II. Déterminants 2 1 Déterminant d'ordre 2 Le symbole a 11 a 12 a 21 a 22 matrice A a 11 a 12 a 21 a 22

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ

PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ Chapitre 9 : ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2015/2016 PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ 1 Formes bilinéaires 2 1.1 Définition............................................. 2 1.2 Représentation

Plus en détail

Systèmes linéaires - déterminants

Systèmes linéaires - déterminants Maths PCSI Cours Table des matières Systèmes linéaires - déterminants 1 Systèmes linéaires 2 11 Quelques formalismes équivalents 2 12 Nature géométrique de l ensemble des solutions 2 1 Les systèmes de

Plus en détail

ESPACES VECTORIELS CHAPITRE Espaces vectoriels. 1.1 Définition. Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. Définition 10.1

ESPACES VECTORIELS CHAPITRE Espaces vectoriels. 1.1 Définition. Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. Définition 10.1 CHAPITRE 10 ESPACES VECTORIELS Dans tout ce chapitre, K désignera R ou C. 1 Espaces vectoriels 1.1 Définition Définition 10.1 On appelle K-espace vectoriel un ensemble E muni d une addition + : E E E (x,

Plus en détail

Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV

Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV Chapitre 3. Combinaison linéaire et SEV. Reconnaitre une combinaison linéaire. 2 Etant donné deux vecteurs v, v 2, par exemple 0 et 3, ainsi 2 que deux coefficients s et t, il est très facile de calculer

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION Chapitre 17 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Recherche d extremums locaux sur un ouvert 2 1.1 Condition nécessaire du premier ordre.............................

Plus en détail

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3 Table des matières I Matrices à coefficients dans K............................ 3 I.1 Généralités.................................. 3 I.2 Matrices particulières............................. 3 I.3 Matrices

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre 4 Applications linéaires I) Généralités sur les applications linéaires 1) Définitions Définition 1 Soient E et F deux R-espaces vectoriels On appelle application linéaire de E dans F toute application

Plus en détail

XIII. Matrices. 1 Opérations sur les matrices. On note K = R ou C.

XIII. Matrices. 1 Opérations sur les matrices. On note K = R ou C. XIII Matrices 1 Opérations sur les matrices On note K = R ou C Définition 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels ou complexes un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Université du Littoral - Côte d Opale Laurent SMOCH. Septembre 2012

Université du Littoral - Côte d Opale Laurent SMOCH. Septembre 2012 ISCID - PRÉPA 2ème année MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES À L ÉCONOMIE ET À LA GESTION 2 Université du Littoral - Côte d Opale Laurent SMOCH Septembre 2012 Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph

Plus en détail

Systèmes linéaires et déterminants

Systèmes linéaires et déterminants Université Paris-Sud Année 200-20 IFIPS Cycle Préparatoire, 2ème année Feuille n 3 Systèmes linéaires et déterminants Exercice Résoudre les systèmes suivants, en fonction du paramètre m R : (S ) { x +

Plus en détail

Déterminants. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau

Déterminants. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Déterminants Définition Déterminant d une matrice On définit par récurrence le déterminant, noté det(a),

Plus en détail

MPSI 2 : DL 07. pour le 26 mars 2003

MPSI 2 : DL 07. pour le 26 mars 2003 MPSI 2 : DL 07 pour le 26 mars 2003 Q 1 Dans le problème, E désigne un R-ev de dimension n 2. On notera D n (R) l ensemble des matrices diagonales de M n (R). E ij désigne la matrice de la base canonique

Plus en détail

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur Plan (1/2) Mathématique Élémentaire Introduction à l algèbre linéaire Support au cours S. Bridoux Université de Mons-Hainaut 1 L espace R N Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs

Plus en détail

Méthode. Montrer qu une famille est libre. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Méthode. Montrer qu une famille est libre. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1 Familles de vecteurs 1.1 Opérations sur une famille engendrant un sous-espace vectoriel Lemme 1.1 Soient E un K-espace vectoriel, A et B deux parties de E. Alors

Plus en détail