Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices

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1 Triangularisaion, jordanisaion, exponenielle de marices 1 Triangularisaion Soien E un espace vecoriel de dimension n e ϕ un endomorphisme de E de marice A dans une base donnée. On suppose que le polynôme caracérisique es scindé e soi λ 1,..., λ n les valeurs propres (non nécessairemen 2 à 2 disinces). Théorème 1.1. Il exise une base elle que P éan la marice de changemen de base la marice P 1 AP esr riangulmère supérieure. λ λ λ i λ n La démonsraion fourni une méhode de riangularisaion. On va donc en donner les grandes lignes. Elle es basée sur une méhode de récurrence. On suppose donc que l on sai démonrer le héorème à l ordre n 1. Puis on cherche une valeur propre λ e un veceur propre e de l endomorphisme associé (ou ce qui es équivalen de la marice A). On complèe en une base de E : (e, v 2,..., v n ). La marice de ϕ es dans cee base de la forme : λ L 0 B Soi si P es la marice de passage λ L 0 B On applique à la marice B (n 1, n 1) l hypohèse de récurrence. C es-à-dire que l on peu rouver des veceurs w 2,..., w n (qui formen une base du sous-espace engendré par v 2,..., v n ) els que si on noe P la marice de passage de (v 2,..., v n ) à (w 2,..., w n ) la marice P 1 BP es riangulère. Donc ( P 1 Soi ) P 1 AP qui a les propriéés requises. ( P = 0 P 1 ) λ L B 0 P λ LP 0 P 1 P 1 AP 0 P = 0 P 1 BP 1

2 2 Réducion de Jordan en dimension 2 e 3 On va donner une aure manière de procéder dans des cas pariculiers. D abord : Définiion 2.1. On appelle réduie de Jordan J k (λ) la marice (k, k) : λ λ λ λ Une marice A (2, 2), ou un endomorphisme ϕ, don le polynôme caracérisique es scindé e qui n es pas diagonalisable a une valeur propre double λ. Proposiion 2.2. Sous l hypohèse précédene il exise P elle que J 2 (λ). On dira qu on a jordanisé la marice. Une base de Jordanisaion es obenue de la manière suivane. On choisi un veceur v elle que w = (ϕ λid)(v) soi non nul. Alors (w, v) (dans l ordre) es une elle base. On noera que w es un veceur propre. On noera que comme on a supposé A non diagonalisable on a éliminé le cas A = λi 2 qui a une valeur propre double. Pour une marice A (3, 3), ou un endomorphisme ϕ, don le polynôme caracérisique es scindé e qui n es pas diagonalisable on a deux siuaions possibles : Une valeur propre riple λ. Une valeur propre double λ e une valeur propre simple µ. Proposiion 2.3. Sous l hypohèse précédene : Dans le premier cas on a oujours (ϕ λid) 3 = 0, par Caley Hamilon e par hypohèse ϕ λid. Si dim(e λ ) = 1 il exise P elle que J 3 (λ) dim(e λ ) = 1 ceci a lieu si e seulemen si (ϕ λid) 2 0. Si dim(e λ ) = 2 il exise P el que ceci a lieu si e seulemen si (ϕ λid) 2 = 0. 0 λ Pour le premier sous cas une base de Jordanisaion es obenue de la manière suivane. On choisi un veceur w el que u = (ϕ λid) 2 (w) soi non nul. Alors (u, v, w), avec v = (ϕ λid)(w), (dans l ordre) es une elle base. On noera que w es un veceur propre. Pour le second sous cas une base de Jordanisaion es obenue de la manière suivane. On choisi un veceur v el que u = (ϕ λid)(v) soi non nul. Alors u es un veceur propre. On complèe u en une base de E λ par w, (u, v, w), (dans l ordre) es la (une) base had oc. 2

3 Dans le second cas on peu rouver P elle que 0 µ On cherche un veceur w propre associé à µ. Puis on cherche une base de Ēλ = ker(ϕ λid) 2. Par hypohèse ce sous-espace es de dimension 2 e dim(e λ ) = 1. On cherche un veceur v de Ēλ el que u = (ϕ λid)(v) 0, (u, v, w) fourni la base cherchée. Voici un exemple, soi la marice A : es valeur propre riple, le sous espace propre es de dimension 1, (1, 1, 1) es veceur propre. On cherche un veceur w de R 3 el que (A 2I 3 ) 2 ( w) 0. On peu prendre le veceur u 3 = (0, 0, 1). Auquel cas on pose u 2 = (A 2I 3 )(u 3 ) = (2, 2, 0) e u 1 = (A 2I 3 )(u 2 ) = ( 4, 4, 4) e (u 1, u 2, u 3 ) formen une base de jordanisaion. Comme applicaion on peu calculer A n pour ou enier n, n 0. On pose N = A 2I 3. On sai que N 3 = 0 (Caley Hamilon ou on fai un calcul direc). On écri A n = (2I 3 + N) n = 2 n I 3 + n2 n 1 N + n(n 1) 2 n 2 N 2 2 par applicaion de la formule de Newon, en uilisan N 3 = 0. Comme N 2 es égale à on laisse au leceur le soin d écrire les formules finales. Voici un aure exemple, soi la marice A : es valeur propre double, 2 es valeur propre simple. Le veceur e 3 = (1, 0, 1) es veceur propre associé à 2. Le veceur e 3 = (1, 1, 0) es veceur propre associé à 2, E 1 es de dimension 1. On cherche une base du sous-espace Ē2 = ker(ϕ 2Id) 2. On consae que e 1 = (0, 0, 1) e e 2 = (1, 0, 1) formen une elel base e que (ϕ 2Id)(e 2 ) = e 1. On a la base souhaiée. 3

4 3 Sous-espaces caracérisiques Si ϕ es un endomorphisme d un espace vecoriel E de dimension n don le polynôme caracéeisique es scindé : c ϕ (X) = ( 1) n (X λ 1 ) α 1... (X λ r ) αr avec les λ i 2 à 2 disincs on défini le sous-espace caracérisqique associé à λ i par Il es clair que Ē λi = ker(ϕ λ i Id) α i On admera E λi Ēλ i E = Ēλ i Ēλ 2... Ēλ r 4 Jordanisaion en dimension 4 Ce exemple sera juse abordé, voici un descripif des siuaions possibles avec une valeur propre d ordre 4. D abord on remarque que (ϕ λid) 4 = 0. La marice I 4. Si dim(e λ ) = 1 alors il exise P elle que J 4 (λ). On rouve une base de Jordanisaion en cherchan u el que (ϕ λid) 3 (u) 0. Si dim(e λ ) = 2 alors il y a deux sous cas, soi (ϕ λid) 2 = 0. exise P elle que 0 J 2 (λ) On rouve une base de Jordanisaion en cherchan deux veceurs indépendans x e v el que u = (ϕ λid)(x) 0 e w = (ϕ λid)(v) 0, (w, v, u, x) es la base cherchée. soi (ϕ λid) 2 0; alors il exise P elle que P 1 J3 (λ) 0 AP = 0 λ On rouve une base de Jordanisaion en cherchan un veceur u el que w = (ϕ λid) 2 (u) 0, on pose v = (ϕ λid)(v), on complèe la base du sous-espace propre par x, (w, v, u, x) es la base cherchée. Enfin si dim(e λ ) = 3 alors il exise P elle que J 2 (λ) λ λ On se reporera au cas (3, 3). 4

5 5 Classificaion des marices réelles e complexes (2, 2) récapiulaif Faire le récapiulaif au ableau. 6 Exponenielle de marices Cee secion es rajouée ici en complémen en fin de l algèbre linéaire. Ean donnée une marice carrée A (n, n) on pose A k = (a (k) i,j Proposiion 6.1. Pour oue marice A e ou (i, j) la série numérique de erme général (indexé par k) a(k) i,j k! converge absolumen. Définiion 6.2. La marice e A = exp(a) es donnée par exp(a) = ( k 0 a (k) i,j k! ) λ e λ exp( 0 λ ) = 0 e λ λ n... 0 e λn Si AB = BA alors exp(a + B) = exp(a) exp(b) = exp(b) exp(a) Calculer exp(n k ). (exp(a)) 1 = exp( A) exp(p 1 AP ) = P 1 exp(a)p d (exp(a)) = A exp(a) d Monrer que i... k 1 2 i! (k 1)! k 2 (k 2)! exp J k (λ) = e λ