BREVET BLANC : vendredi 27 Avril 2007 L utilisation de la calculatrice est autorisée. PARTIE NUMERIQUE :

Transcription

1 REVET LNC : vendredi 7 vril 007 L utilisation de la calculatrice est autorisée. PRTIE NUMERIQUE : Exercice 1 : On considère l expression = (x )² 16 1) Développer et réduire. ) Factoriser. ) Calculer pour x = 1 puis pour x = (en donnant la réponse sous la forme a + b avec a et b entiers relatifs). 4) Résoudre l équation (x + )(x ) = 0 Exercice : On donne = et C = (5 + )² ( 7)² Ecrire sous la forme a et C sous la forme b où a et b sont deux entiers relatifs. Exercice : Un vendeur remarque qu il remplit des boîtes identiques avec 168 disquettes bleues et 10 disquettes jaunes sans mélanger les couleurs et en utilisant un nombre minimum de boîtes. 1) Combien chacune des boîtes contient-elle de disquettes? ) Combien utilise-t-il de boîtes? Exercice 4 : Le 1 er octobre 199, le débit de la Durance (la Durance est un affluent du Rhône) était de x m par seconde. près une semaine de pluie le débit augmentait de 0 %. 1) Sachant que le débit de la Durance était alors de 14 m par seconde, calculer le débit initial x. ) Une semaine après, le débit baissait de 0 %. Calculer ce dernier débit. PRTIE GEOMETRIQUE. Exercice 1 : Construire un triangle DS tel que S =,5 cm ; D = 5,5 cm et DS = 6 cm. Placer le point I milieu de [DS]. Sur cette figure : 1) a) Construire le point H symétrique du point par rapport à I. b) Démontrer que HD = S ) Construire le point R image du point D par la translation de vecteur S. ) Démontrer que le point D est le milieu du segment [HR]. Exercice : On sait que EF= 4 cm ; FG = cm EG = 5 cm ; E = 7 cm ; D = 0 ; les points, E et G sont alignés; les points D, E, F sont alignés. () est la hauteur issue de dans le triangle ED. On considère la figure ci-contre dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. 1) Démontrer que EFG est un triangle rectangle. ) En déduire que (FG) est parallèle à (). ) Calculer E et. 4) Calculer D. On donnera la valeur exacte en s aidant du tableau ci-contre. D 0 60 Cos Sin Tan 1 E 1 F G

2 5) Calculer l aire du triangle ED à 0,01 cm² près. Exercice : [N] et [M] sont deux segments qui se coupent en un point O comme sur la figure ci-contre et qui vérifient : N = 6 cm ; O = 1,5 cm ; O =,5 cm et M = 10 cm. Montrer que les droites () et (MN) sont parallèles. ttention cette figure n est pas en vraie grandeur. O M N PROLEME : Les trois parties sont indépendantes. Partie 1 : Une entreprise fabrique des saladiers en faïence ayant la forme d une demi-sphère de rayon 1 cm. 1) Vérifier que la valeur exacte du volume du saladier est 115π cm. ) Une ménagère a besoin de 1,5 litre de lait pour faire des crêpes. Pourra-t-elle utiliser ce type de saladier pour les préparer? Justifier. Partie : Les saladiers sont vendus 5,50 pièce. 1) Quel est le prix de vente de 800 saladiers? ) a) Soit x le nombre de saladiers achetés par un supermarché. Déterminer le prix f(x) qu il paiera à l entreprise. b) Déterminer le nombre dont l image par la fonction f est Interpréter le résultat. c) Représenter graphiquement la fonction f dans un repère orthogonal. On prendra l origine du repère en bas à gauche de la feuille. On prendra en abscisse : 1 cm pour 100 saladiers et, en ordonnées : 1 cm pour 400. ) En utilisant le graphique, retrouver le résultat de la question )b). Partie : Le responsable du supermarché a relevé le nombre de saladiers vendus par chacune de ses quatre vendeuses et l a inscrit dans le tableau suivant : Nom de la vendeuse Sofia Natacha Lorie Magali Nombre de saladiers vendus ) Combien de saladiers ont été vendus? ) Calculer le pourcentage de saladiers vendus par Natacha. rrondir au dixième. ) Le responsable du supermarché affirme qu il a vendu 80 % de son stock. Combien avait-il de saladiers?

3 Correction du brevet blanc avril 007. Partie numérique Exercice 1 1) = 9 x x + 16 = 9 x 1 x = 9 x 1 x 1 ) Si x = 1 = ( ( 1 ) 6 ) ( ( 1 ) + ) = ( 1 6 ) ( 1 + ) = ( 7) 1 = 7 ) = ( x ) 4 = ( x 4 ) ( x + 4 ) = ( x 6 ) ( x + ) Si x = = = = 6 1 4) (x + )(x ) = 0 Un produit de facteurs est nul lorsqu'au moins l'un des facteurs est nul. x + = 0 ou x =0 x = ou x = x = ou x =. L'équation admet deux solutions: et. Exercice = = = = 1 C = C = C = 10 Exercice On note b le nombre de boîtes de disquettes bleues. On note j le nombre de boîtes de disquettes jaunes. On note n le nombre de disquettes dans une boîte. b n = 168 j n = 10 Donc n est un diviseur commun à 168 et 10. On veut un minimum de boites, donc un maximum de disquettes par boîte. Donc n est le PGCD de 10 et 168. On utilise l'algorithme d'euclide: 10 = = Le PGCD est le dernier reste non nul, donc PGCD (10;168) = 4. Conclusion: il y a 4 disquettes par boîte. ) nombre de boîtes: Exercice 4 1) x ( = 9 Il utilise 9 boîtes. 14 ) = 14 x 1, = 14 x = 1, Le débit initial était de 110 m par seconde. ) On note D le dernier débit: D = 14 ( 1 0 ) D = 14 0,7 D = 100,1 100 Ce dernier débit était de 100,1 m par seconde. Partie géométrique Exercice 1 H est le symétrique de par rapport à I. Par définition du symétrique d'un point par une symétrie centrale, I est le milieu de [H]. De plus, I est le milieu de [DS]. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc SHD est un parallélogramme. Donc HD = S. R x = 110 D I H S

4 ) R est l'image de D par la translation de vecteur S. Donc De plus HD = S. Donc HD = DR. DR = S. Par la caractérisation vectorielle du milieu d'un segment, D est le milieu de [HR]. Exercice 1) Dans le triangle EFG, [ EG] est le plus grand côté. EG = 5 EG = 5 EF + FG = + 4 EF + FG = EF + FG = 5 Donc EF + FG = EG D'après la réciproque du théorème de Pythagore, EGF est rectangle en F. ) () est la hauteur issue de dans le triangle ED. Donc () ( ED) donc () (EF). De plus, (GF) (EF). Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Donc () // ( FG). ) Dans les triangles E et FEG, les points, E, G d'une part et F, E, d'autre part sont alignés. De plus (FG) // ( ) On peut appliquer le théorème de Thales. E EG = E EF = FG En particulier, E EG = E EF E = E EF EG E = E EG = E FG = = 7 FG EG 5 4) D est un triangle rectangle en. tan a D = D D = tan a D D = 4, 5) [DE], donc DE = D + E. DE = (1,4 + 5,6) cm DE (1,4 + 5,6) 4, ED = ED = L'aire du triangle ED est environ égale à 16,85 cm. Exercice O [ N], donc N = O + ON ON = N O ON = 6 1,5 ON = 4,5 cm E = 8 5 cm = 1 5 E = 5,6 cm = 4, cm D = 1,4 cm O [M], donc M = O + OM OM = M O OM = 10,5 OM =,5 cm Dans les triangles O et OMN, les points, O, et N d'une part,, O et M d'autre part sont alignés dans cet ordre. De plus, O ON = 1,5 O 4,5 ON = 1 O OM =,5 O 7,5 OM = 1 Donc O ON = O OM. On peut appliquer la réciproque du théorème de Thales. Donc () // (MN) Problème Partie 1: 1) On note V le volume du saladier: V = 1 4 π 1 V = 178 π V = 115 π cm ) 1,5 L =1500 cm 115 π > Donc cette ménagère pourra utiliser ce saladier. Partie : 1) 800 5,5 = saladiers coûtent ) a) f (x ) = 5,5 x b) f (x ) = ,5 x = 6600 x = 6600 x = 100 5,5 100 est l'antécédent de 6600 par f. Le supermarché pourra acheter 100 saladiers avec 6600.

5 c) f est un fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère et un autre point de coordonnées (x, f (x)), par exemple (100; 6600) comme on l'a vu à la question précédente. ) graphiquement, l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 6600 est bien 100. Partie : 1) = saladiers ont été vendus. ) , Natacha a vendu environ 0,8 % des saladiers. ) = Le supermarché avait 100 saladiers. y x

6 D H R I y S x