Algorithmique numérique
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- Maxence Martel
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1 Algorithmique numérique Méthodes numériques de base(niveau L1/L2) François Cuvelier Laboratoire d Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée Université Paris XIII. 25 septembre 2013 Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
2 Plan 1 Introduction 2 Pseudo-langage algorithmique Les bases Les instructions structurées 3 Méthodologie de construction d un algoritme Exercices 4 Pseudo-langage algorithmique (suite) Les fonctions Exemple : résolution d une équation du premier degré Exemple : résolution d une équation du second degré Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
3 Définition Définition (Petit Robert 97) Algorithmique : Enchaînement d actions nécessaires à l accomplissement d une tâche. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
4 Exemple 1 : permutation Nous voulons permutter deux voitures sur un parking de trois places numérotées de 1 à 3 et ceci sans géner la circulation. La première voiture, une Saxo, est sur l emplacement 2, la seconde, une Clio, est sur l emplacement 3. Donner un algorithme permettant de résoudre cette tâche. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
5 Exemple 2 : équation du premier degré Donner un algorithme permettant de résoudre ax b Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
6 Caractéristiques d un bon algorithme Il ne souffre d aucune ambiguité très clair. Combinaison d opérations (actions) élémentaires. Pour toutes les données d entrée, l algorithme doit fournir un résultat en un nombre fini d opérations. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
7 Première approche méthodologique Etape 1 : Définir clairement le problème. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
8 Première approche méthodologique Etape 1 : Définir clairement le problème. Etape 2 : Rechercher une méthode de résolution (formules,...) Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
9 Première approche méthodologique Etape 1 : Définir clairement le problème. Etape 2 : Rechercher une méthode de résolution (formules,...) Etape 3 : Ecrire l algorithme (par raffinement successif pour des algorithmes compliqués). Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
10 Plan 1 Introduction 2 Pseudo-langage algorithmique Les bases Les instructions structurées 3 Méthodologie de construction d un algoritme Exercices 4 Pseudo-langage algorithmique (suite) Les fonctions Exemple : résolution d une équation du premier degré Exemple : résolution d une équation du second degré Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
11 Vocabulaire de base constantes,variables, opérateurs (arithmétiques, relationnels, logiques), expressions, instructions (simples et composées), fonctions. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
12 Données et constantes Donnée introduite par l utilisateur Constante symbole, identificateur non modifiable Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
13 Variables Définition Une variable est un objet dont la valeur est modifiable, qui possède un nom et un type (entier, caractère, réel, complexe, tableau, matrice, vecteur...). Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
14 Opérateurs arithmétiques Nom Symbole Exemple addition a b soustraction a b opposé a produit a b division ß aßb Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
15 Opérateurs relationnels Nom Symbole Exemple identique a b différent a b inférieur a b supérieur a b inférieur ou égal a b supérieur ou égal a b Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
16 Opérateurs logiques Nom Symbole Exemple négation a ou a b et & a&b Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
17 Opérateur d affectation Nom Symbole Exemple affectation a b Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
18 Expressions Définition Une expression est un groupe d opérandes (i.e. nombres, constantes, variables,...) liées par certains opérateurs pour former un terme algébrique qui représente une valeur (i.e. un élément de donnée simple) Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
19 Expressions Définition Une expression est un groupe d opérandes (i.e. nombres, constantes, variables,...) liées par certains opérateurs pour former un terme algébrique qui représente une valeur (i.e. un élément de donnée simple) Exemple d expression numérique Ôb b 4 a cõßô2 aõ Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
20 Expressions Définition Une expression est un groupe d opérandes (i.e. nombres, constantes, variables,...) liées par certains opérateurs pour former un terme algébrique qui représente une valeur (i.e. un élément de donnée simple) Exemple d expression numérique Ôb b 4 a cõßô2 aõ Opérandes identifiants a, b, c, constantes 4 et 2. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
21 Expressions Définition Une expression est un groupe d opérandes (i.e. nombres, constantes, variables,...) liées par certains opérateurs pour former un terme algébrique qui représente une valeur (i.e. un élément de donnée simple) Exemple d expression numérique Ôb b 4 a cõßô2 aõ Opérandes identifiants a, b, c, constantes 4 et 2. Opérateurs symboles, et ß Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
22 Expressions Définition Une expression est un groupe d opérandes (i.e. nombres, constantes, variables,...) liées par certains opérateurs pour former un terme algébrique qui représente une valeur (i.e. un élément de donnée simple) Exemple d expression booléenne Ôx 3.14Õ Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
23 Expressions Définition Une expression est un groupe d opérandes (i.e. nombres, constantes, variables,...) liées par certains opérateurs pour former un terme algébrique qui représente une valeur (i.e. un élément de donnée simple) Exemple d expression booléenne Ôx 3.14Õ Opérandes identifiants x et contantes 3.14 Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
24 Expressions Définition Une expression est un groupe d opérandes (i.e. nombres, constantes, variables,...) liées par certains opérateurs pour former un terme algébrique qui représente une valeur (i.e. un élément de donnée simple) Exemple d expression booléenne Ôx 3.14Õ Opérandes identifiants x et contantes 3.14 Opérateurs symboles Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
25 Instructions Définition Une instruction est un ordre ou un groupe d ordres qui déclenche l exécution de certaines actions par l ordinateur. Il y a deux types d instructions : simple et structuré. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
26 Instructions simples affectation d une valeur a une variable. appel d une fonction (procedure, subroutine,... suivant les langages). Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
27 Instructions structurées 1 les instructions composées, groupe de pulsieurs instructions simples, 2 les instructions répétitives, permettant l exécution répétée d instructions simples, (i.e. boucles «pour», «tant que») 3 les instructions conditionnelles, lesquels ne sont exécutées que si une certaine condition est respectée (i.e. «si») Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
28 Exemple : boucle «pour» Données : n 1: S 0 2: Pour i 1 à n faire 3: S S cosôiˆ2õ 4: Fin Pour Mais que fait-il? Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
29 Exemple : boucle «pour» Données : n 1: S 0 2: Pour i 1 à n faire 3: S S cosôiˆ2õ 4: Fin Pour Mais que fait-il? Calcul de S nô i 1 cosôi 2 Õ Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
30 Exemple : boucle «tant que» 1: i 0, x 1 2: Tantque i 1000 faire 3: x x i i 4: i i 1 5: Fin Tantque Mais que fait-il? Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
31 Exemple : boucle «tant que» 1: i 0, x 1 2: Tantque i 1000 faire 3: x x i i 4: i i 1 5: Fin Tantque Mais que fait-il? Calcul de x ô i 0 iˆ2 Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
32 Exemple : instructions conditionnelles «si» Données : note : un réel. 1: Si note 12 alors 2: affiche( gagne ) 3: Sinon Si note 8 alors 4: affiche( oral ) 5: Sinon 6: affiche( perdu ) 7: Fin Si Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
33 Plan 1 Introduction 2 Pseudo-langage algorithmique Les bases Les instructions structurées 3 Méthodologie de construction d un algoritme Exercices 4 Pseudo-langage algorithmique (suite) Les fonctions Exemple : résolution d une équation du premier degré Exemple : résolution d une équation du second degré Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
34 Description du problème Spécification d un ensemble de données Origine : énoncé, hypothèses, sources externes,... Spécification d un ensemble de buts à atteindre Origine : résultats, opérations à effectuer,... Spécification des contraintes Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
35 Recherche d une méthode de résolution Clarifier l énoncé. Simplifier le problème. Ne pas chercher à le traiter directement dans sa globalité. S assurer que le problème est soluble (sinon problème d indécidabilité!) Recherche d une stratégie de construction de l algorithme Décomposer le problème en sous problèmes partiels plus simples : raffinement. Effectuer des raffinements successifs. Le niveau de raffinement le plus élémentaire est celui des instructions. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
36 Réalisation d un algorithme Le type des données et des résultats doivent être précisés. L algorithme doit fournir au moins un résultat. L algorithme doit être exécuté en un nombre fini d opérations. L algorithme doit être spécifié clairement, sans la moindre ambiguïté. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
37 Exercice 1 On cherche les solutions réelles de l équation ax 2 bx c 0, (1) en supposant que a È R, b È R et c È R sont donnés. Ecrire un algorithme permettant de résoudre cette équation. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
38 Exercice 2 Ecrire un algorithme permettant de calculer SÔxÕ nô k 1 k sinô2 k xõ Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
39 Exercice 3 Ecrire un algorithme permettant de calculer PÔzÕ kõ n 1 sinô2 k zßnõ k Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
40 Exercice 4 Soit la série de Fourier xôtõ 4A cosωt 13 π cos 3ωt 1 5 cos 5ωt 1 7 cos 7ωt. 1 Ecrire un algorithme permettant de calculer xôtõ tronquée au trois premiers termes, avec ω 2π et A 1. 2 Même question avec une troncature au n-ième terme. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
41 Exercice 5 Reprendre les quatre exercices précédants en utilisant les boucles «tant que». Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
42 Plan 1 Introduction 2 Pseudo-langage algorithmique Les bases Les instructions structurées 3 Méthodologie de construction d un algoritme Exercices 4 Pseudo-langage algorithmique (suite) Les fonctions Exemple : résolution d une équation du premier degré Exemple : résolution d une équation du second degré Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
43 Les fonctions Les fonctions permettent d automatiser certaines tâches répétitives au sein d un même algorithme, d ajouter à la clarté de la l algorithme, l utilisation de portion de code dans un autre algorithme,... Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
44 Les fonctions prédéfinies les fonctions d affichage et de lecture : Affiche, Lit Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
45 Les fonctions prédéfinies les fonctions d affichage et de lecture : Affiche, Lit les fonctions mathématiques : sin, cos, exp, Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
46 Les fonctions prédéfinies les fonctions d affichage et de lecture : Affiche, Lit les fonctions mathématiques : sin, cos, exp, les fonctions de gestion de fichiers... Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
47 Ecrire ses propres fonctions 1 Que doit-on calculer/réaliser précisement (but)? 2 Quelles sont les données (avec leurs limitations)? Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
48 Syntaxe Fonction Öargs 1,...,args n NOMFONCTION( arge 1,..., arge m ) instructions Fin Fonction Fonction args NOMFONCTION( arge 1,..., arge m ) instructions Fin Fonction Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
49 équation du premier degré Ecrire une fonction permettant de résoudre ax b 0 But : Données : Résultats : Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
50 équation du premier degré Ecrire une fonction permettant de résoudre ax b 0 But : trouver x È R solution de ax b 0. Données : Résultats : Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
51 équation du premier degré Ecrire une fonction permettant de résoudre ax b 0 But : trouver x È R solution de ax b 0. Données : a È R et b È R. Résultats : Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
52 équation du premier degré Ecrire une fonction permettant de résoudre ax b 0 But : trouver x È R solution de ax b 0. Données : a È R et b È R. Résultats : x È R. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
53 équation du premier degré Algorithme 1 Exemple de fonction : Résolution de l équation du premier degré ax b 0. Données : a : nombre réel différent de 0 b : nombre réel. Résultat : x : un réel. 1: Fonction x REPD( a, b ) 2: x bßa 3: Fin Fonction Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
54 équation du second degré On cherche les solutions réelles de l équation ax 2 bx c 0, (2) Pour celà, on pose b 2 4ac si 0 alors les deux solutions sont complexes, si 0 alors la solution est x b 2a, si 0 alors les deux solutions sont x 1 b 2a et x 2 b 2a. Exercice 1 Ecrire la fonction discriminant permettant de calculer le discriminant de l équation (2). 2 Ecrire la fonction RESD permettant de résoudre l équation (2) en utilisant la fonction discriminant. 3 Ecrire un programme permettant de valider ces deux fonctions. Cuvelier F. (Master 2 MPM) Algorithmique numérique 25 septembre / 40
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