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1 Troisième DEMONSTRATIONS Arithmétique Séquence 1 : division euclidienne Définition du quotient et du reste d une division euclidienne Soient et deux nomres entiers naturels, 0. Poser la division euclidienne de par c est trouver deux entiers naturels et tels que : = +, avec 0 r <. On dit que est le quotient de cette division, et le reste. Attention La condition 0 r < est très importante! Par exemple si l on souhaite otenir la division euclidienne de 22 par 3, l écriture : 22 = ne traduit pas cette division euclidienne car 0 7 < 3. On ne peut poser la division que par un nomre entier naturel non nul. Séquence 2 : être un diviseur, être un multiple Soient N, N. On dit que est un diviseur de, ou que est un multiple de le reste de la division euclidienne de par est nul. 1 Cherchons la division euclidienne de 32 par 5 s écrit : il s agit de trouver deux entiers naturels et tels que : 32 = 5 +, avec 0 r < 5. Comme on a : 32 = , avec 0 2 < 5, on en déduit que le quotient est = 6 et le reste est = 2. Notons que c est le qui doit être «petit» puisqu il doit oéir à la contrainte «être strictement plus petit que le nomre par lequel on divise», mais le quotient peut parfois, comme dans notre exemple, être plus grand que. Comme le reste de cette division n est pas nul, le nomre 5 n est pas un diviseur de 32, ou ce qui revient au même : 32 n est pas un multiple de 5. 2 Cherchons la division euclidienne de 21 par 3 : il s agit de trouver deux entiers naturels et tels que : 21 = 3 +, avec 0 < 3. Comme on a : 21 = , avec 0 0 < 3, on en déduit que le quotient est = 7 et le reste est = 0. Comme le reste de cette division est nul, le nomre 3 est un diviseur de 21, ou ce qui revient au même : 21 est un multiple de 3. Soient N, N : est un diviseur de il existe N tel que = est un multiple de il existe N tel que = Preuve Les deux énoncés étant équivalents, montrons simplement la première assertion. Montrons que : «si est un diviseur de alors il existe N tel que =». Soit est un diviseur de : par définition «d être un diviseur», on en déduit que le reste de la division euclidienne de par est nul : = + 0 =. Il existe donc effectivement N tel que =, à savoir =. Montrons que : «s il existe N tel que =, alors est un diviseur de». = = + 0 ; cette dernière égalité traduit la division euclidienne de par avec un reste nul, et par définition de «être un diviseur», on en déduit que est un diviseur de. L égalité 45 = 15 3 montre que 15 est un diviseur de 45 ou de façon équivalente que 45 est un multiple de 15. Remarquons que l égalité 45 = 15 3 s écrit aussi 45 = 3 15 et donc 3 est un diviseur de 45 et 45 est un multiple de 3. i. Le nomre 1 est un diviseur de n importe quel nomre entier naturel. ii. Tout nomre entier non nul est un diviseur de 0. iii. Tout nomre entier non nul est un diviseur de lui-même. preuve i. Soit N, on a : = 1, donc il existe N tel que = 1, à savoir =, ce qui montre que 1 est un diviseur de. ii. Soit N, on a : 0 = 0, donc il existe N tel que 0 =, à savoir = 0, ce qui montre que : est un diviseur de 0.

2 iii. Soit N, on a : = 1, donc il existe N tel que =, à savoir = 1, ce qui montre que : est un diviseur de. Remarquons que l on exige 0 puisque on ne peut diviser que par un entier naturel 0. Les diviseurs d un entier naturel non nul sont nécessairement tous inférieurs ou égaux à ce nomre. preuve Soit N : N est diviseur de il existe N tel que =. Il est impossile que = 0, car alors = = 0 = 0 ce qui contredit N. On a donc : = avec, donc il faut multiplier par un nomre plus grand ou égal à 1 pour otenir, ce qui montre ien que est inférieur ou égal à. Séquence 3 : définition du PGCD Définition Soient et deux entiers naturels non nuls. Dans la liste des diviseurs en communs, il y en a un qui et le plus grand : il s appelle PGCD des deux entiers de départ. Preuve Soient N et N. La liste des diviseurs communs contient au moins le nomre 1 donc elle n est pas vide. Un diviseur de 0 lui est nécessairement inférieur ou égal, et de même pour le diviseurs de 0, si ien qu un diviseur commun de et est inférieur ou égal au minimum de ces deux nomres. La liste des diviseurs communs est non vide, est formée de nomre entiers, et est majorée par le plus petit des deux nomres et donc elle est constituée d un nomre fini d éléments : le plus grand d entre eux existe donc ien. Diviseurs de 20 : Diviseurs de 30 : La liste des diviseurs en commun est : Comme le plus grand élément de la liste des diviseurs en commun est 10, on en déduit que (20 ; 30) = 10. Soient et deux entiers naturels non nuls : i. ( ; ) = ii., ç é : ( ; ) = i. est un diviseur de lui-même, et comme 0 il n admet pas de diviseur qui soit plus grand que lui, donc le plus grand diviseur de et de lui-même est. ii. D une part : on sait déjà que ( ; ) est inférieur ou égal au minimum de ces deux nomres. Comme est un multiple non nul de, il est supérieur ou égal à, donc le minimum de et est, et par conséquent ( ; ). D autre part : est un diviseur de lui-même, et par hypothèse c est un diviseur de, donc est un diviseur commun de et, et comme le est le plus grand diviseur commun de et, on en déduit : ( ; ). Conclusion : ( ; ) et ( ; ) donc : = ( ; ). Séquence 4 : PGCD Algorithme des différences Propriété de la soustraction Soient N et N, >, alors : ( ; ) = ( ; ). Cette égalité signifie que : = ( ; ) Il suffit de montrer que la liste des diviseurs communs de et est la même que la liste des diviseurs communs de et. Première partie Soit un diviseur commun de et : il existe N et N tels que = et =. Remarquons que comme >, on a : >. On a alors : = = ( ). La différence de deux entiers est un entier donc ( ) N, l égalité = ( ) montre que est un diviseur de. Résumons : tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et.

3 Deuxième partie Soit un diviseur commun de et : il existe N et N tels que = et =. On a donc : + ( ) = + = ( + ). Comme + N, la dernière égalité montre que est un diviseur de. Comme est un diviseur de et est un diviseur de donc c est un diviseur commun de et. Résumons : tout diviseur commun de et est un diviseur commun de et. Synthèse La liste des diviseurs communs de et est la même que la liste des diviseurs communs de et donc ces deux listes ont le même plus grand élément, ce qui s écrit : ( ; ) = ( ; ) La propriété de la soustraction est la justification de l algorithme des soustractions successives permettant de calculer le de deux entiers non nuls. Séquence 5 : PGCD Algorithme des divisions euclidiennes Propriété du reste de la division euclidienne Soient N et N, >, et le reste de la division euclidienne de par, alors : ( ; ) = ( ; ). Cette égalité signifie que : = ( ; ). est le reste de la division euclidienne de par donc il existe N tel que : = + =. Première partie : montrons que «tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et». Soit un diviseur commun de et de : il existe N et N tels que : = et =. Comme : =, on en déduit : = = ( ). Comme le produit et la différence de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs, on en déduit que est un entier relatif. De plus est positif ou nul et est positif, donc est positif. Le nomre est entier et positif ou nul, donc c est un entier naturel. L égalité : = ( ) montre que est un diviseur de. On sait que est un diviseur de et est un diviseur de donc c est un diviseur commun de et. Résumons : tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et. 2 ième partie : montrons que «tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et». Soit un diviseur commun de et de ; il existe N et N tels que : = et =. Comme = +, on en déduit : = + = ( + ), qui montre que est un diviseur de. On sait que est un diviseur de et de donc c est un diviseur commun de et. Résumons : tout diviseur commun de et est aussi un diviseur commun de et. La liste des diviseurs communs de et est la même que la liste des diviseurs communs de et donc ces deux listes ont le même plus grand élément, ce qui s écrit : ; = ( ; ) La propriété du reste de la division euclidienne est la justification de l algorithme des divisions successives, aussi appelé algorithme d Euclide, permettant de calculer le de deux entiers non nuls. Séquence 6 : applications du PGCD Définition de «premiers entre eux» Par définition : N et N sont premiers entre eux ( ; ) = 1. Ce qui signifie : deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur vaut 1. Attention à ne pas confondre la notion «premiers entre eux», qui est une relation entre deux entiers naturels non nuls, avec la notion «être un nomre premier» qui est une notion de nature, donc une notion ne portant que sur un seul nomre. Complément hors programme en troisième : par définition on dit qu un entier naturel est premier lorsqu il admet exactement deux diviseurs. Ces deux diviseurs sont alors 1 et le nomre lui-même. 5 est un nomre premier ( deux diviseurs exactement : 1 et 5 ) 9 n est pas premier ( trois diviseurs : 1, 3, 9 ) 2 est premier ( deux diviseurs : 1 et 2 ) 1 n est pas premier ( un seul diviseur : 1)

4 Fraction irréductile : définition «a est simplifiée au maximum». Par conséquent la supposition de départ doit être Soit N et N. Par définition, la fraction est irréductile ( ; ) = 1. rejetée, donc ( ; ) = 1 : la fraction a est irréductile. Propriété de non simplification d une fraction irréductile La fraction est irréductile La fraction est sous sa forme simplifiée au maximum. preuve Première partie : montrons que «si maximum». a est irréductile, alors elle est simplifiée au Soit a une fraction irréductile donc par définition d une fraction irréductile : ( ; ) = 1. Supposons que la fraction est simplifiale : il existe alors entier supérieur ou égal à 2, N, N tels que = et =. Ces deux égalités impliquent que est un diviseur commun de et. Le étant le plus grand des diviseurs communs de et, on a : ( ; ). Comme 2, on en déduit : ( ; ) 2, ce qui est impossile puisque ( ; ) = 1. Par conséquent la supposition de départ doit être rejetée et donc on peut affirmer que la fraction a n est pas simplifiale. Deuxième partie : montrons que «si a est simplifiée au maximum, alors a est irréductile». Soit a une fraction simplifiée au maximum. Supposons ( ; ) 1, alors ( ; ) 2, et il existe et tels que : = ( ; ) et = ( ; ). On alors : a PGCD( a; ) =, et par conséquent une simplification par ( ; ) PGCD( a; ) ' qui est un nomre supérieur ou égal à 2 serait possile, ce qui est contradictoire avec Règle de simplification des fractions ** Si l on simplifie une fraction par le de son numérateur et dénominateur, alors on otient la fraction irréductile qui lui est égale. Preuve Soit N et N, et considérons la fraction a. 1 ( ; ) = 1 On a alors : = ( ; ) ( ; ) = 1 1 = Comme a est irréductile, la simplification par ( ; ), qui ici n a aucun effet, donne ien la forme irréductile. 2 è ( ; ) 1 Il faut montrer que : (1) la fraction a est simplifiale par ( ; ) (2) la fraction otenue après simplification par le ( ; ) est irréductile. Montrons (1) Le ( ; ) est le plus grand diviseur commun de et, donc c est un diviseur commun de et donc il existe N et N tels que : = ( ; ) et = ( ; ). On a alors : ( ; ) = ( ; ) = a Soit finalement =, et comme et sont des nomres entiers, ' ' fraction, égale à la fraction a de départ. est ien une

5 (2) Montrons que la fraction ' est irréductile. Supposons que la fraction ne soit pas irréductile, c est-à-dire que : ' ( ; ) 1, alors ( ; ) 2. Il existe N et N tels que = ( ; ) et = ( ; ). On a : = ( ; ) = ( ; ) ( ; ) et = ( ; ) = ( ; ) ( ; ). Ces deux égalités montrent que ( ; ) ( ; ) est un diviseur commun de et, et comme ( ; ) 2, ce nomre est strictement supérieur à ( ; ) ce qui est asurde puisque ( ; ) est le plus grand des divieurs communs de et. La supposition de départ aouti à une chose asurde, donc elle doit être rejetée et par conséquent il est certain que la fraction est irréductile. '

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