Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P.

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1 Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 04 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et Sciences Mathématiques (SM) Module Mathématiques I NOTES DE COURS D ANALYSE I Chapitre V : Développements limités et applications Par Saïd EL HAJJI elhajji@fsr.ac.ma & Touria GHEMIRES ghemires:@fsr.ac.ma Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Page web : Année

2 TABLE DES MATIERES Comparaison de fonctions: 3. Fonctions équivalentes Fonctions négligeables: Développements limités 5. Définitions et propriétés: Opérations sur les développement limités Somme Produit Quotient Composition: Applications 0 3. Calcul des D.L de fonctions élémentaires Application au calcul de limites Position de la courbe par rapport à sa tangente Généralisation des développements Limités: Développement limité des fonctions usuelles 5

3 3 Chapitre IV : Développements limités et applications Soient f et g deu fonctions réelles définies au voisinage d un point 0 R, sauf peut être en 0. Comparaison de fonctions: Soient f et g deu fonctions réelles définies au voisinage d un point 0 sauf peut être en 0. Dans la suite V( 0 ) désigne un voisinage arbitraire de 0 et V 0 ( 0 ) = V( 0 ) \ { 0 }.. Fonctions équivalentes Définition : On dit que f et g sont équivalentes, quand 0, s il eiste une fonction h, définie dans V 0 ( 0 ), telle que: et on écrit alors f() = g()h(), V 0 ( 0 ), avec lim 0 h() = f 0 g ou tout simplement f g De manière analogue, on définit deu fonctions équivalentes au voisinage de + ou,à droite ou à gauche d un point. Remarques: ) f g peut s écrire aussi: f() = g() ( + ε()), V 0 ( 0 ), avec lim 0 ε() = 0 ) Si la fonction g ne s annule pas au voisinage de 0, la définition précédente signifie que: lim 0 f() g() =. En particulier f 0 l, où l est une constante non nulle, veut dire que f() 0 l. Eemples : ) sin(),au voisinage de 0, car lim sin() =. tg() ) tg(),au voisinage de 0, car lim =. 3) cos(),au voisinage de 0, car cos() = ( sin ) 0 ( ) =. e 4) ep(),au voisinage de 0, car lim =. 5) Pour la fonction polynômiale: P n () = a 0 + a + a + + a n n, avec a n 0 Au voisinage de l infini: P n () = a n n ( a 0 a n + a n a n + a n a n + + a n + ) n a n P lim n () a n = ( a n 0 l infini. Au voisinage de 0: a n + a n a n + a n S. EL HAJJI et T. GHEMIRES a n + + a n + ) = = P n a n n() a n n,au voisinage de

4 4 - Si a 0 0, P () a 0,au voisinage de 0. P () Car lim 0 a 0 = ( + a a 0 + a a a n n a 0 + a n n a 0 ) =. - Si a 0 = a =... = a i = 0 et a i 0, alors P () a i i,au voisinage de 0. Théorème : Si au voisinage de 0, f g et f g, alors au voisinage de 0 : ) f f g g ) f f g g 3) Si αf + βf 0 et αg + βg 0 alors αf + βf αg + βg. Remarque : ) Si f 0 g, les fonctions composées h f et h g ne sont pas nécessairement équivalentes au voisinage de 0. En effet au voisinage de l infini: + mais e + n est pas équivalent à e. De même sin( + ) n est pas équivalent à sin(). ) Au voisinage de 0 : sin() et tg() mais sin() tg() n est pas équivalent à 0. Théorème : Si f 0 g et si u() 0 0 et l ensemble image de u est inclus dans les ensembles de définition de f et de g, alors f(u()) 0 g(u()). Eemple : ) Au voisinage de 0: e e ) Au voisinage de 0: log( + ) log( + e ) e Propriété : Si une fonction f possède un développement de Taylor au voisinage de 0, le premier terme non nul rencontré dans ce développement est un équivalent de f au voisinage de 0. Eemples: D aprés les formules de Taylor (et de Mac-Laurin) de quelque fonctions usuelles. Toutes ces formules sont valables pour au voisinage de 0 (pour les obtenir au voisinage de a,il suffit de poser = a), on obtient :. ) Au voisinage de 0, e n! n! ) Au voisinage de 0, sin() 3 3! + 5 5! ( )p (p+)! p+. 3) Au voisinage de 0, cos()! + 4 4! ( )p (p)! p 4) Pour tout α R, on a: ( + ) α + α + α(α ) α(α )...(α (n ))! En particulier : ( ) n n, au voisinage de n, au voisinage de 0. 5) Au voisinage de 0, log( ) +! n n!.. Fonctions négligeables: n! n Définition: On dit que f est négligeable devant g, au voisinage de 0, et on note f = (g)

5 5 s il eiste une fonction ε définie dans V 0 ( 0 ) telle que: f() = ε()g(), V 0 ( 0 ), avec lim 0 ε() = 0 De manière analogue on définit des fonctions équivalentes au voisinage de + ou,à droite ou à gauche d un point. Remarque : Si g ne s annule pas au voisinage de 0 on a: f = (g), au voisinage de 0 f() lim 0 g() = lim ε() = 0 0 Eemple: Si α > β, α = ( β ),au voisinage de 0. Si α < β, α = ( β ),au voisinage de l. par eemple: 4 = ( ) au voisinage de 0 et = ( 4 ) au voisinage de l. Développements limités. Définitions et propriétés: Définition : Soit f une fonction numérique définie dans V 0 ( 0 ) = V( 0 ) \ { 0 }. On dit que f admet un D.L d ordre n, au voisinage de 0, s il eiste un polynôme P n de d n tel que: f() P n () = (( 0 ) n ) Si P n () = a 0 +a ( 0 )+ +a n ( 0 ) n,le DL de f peut s écrire sous la forme suivante: f() = a 0 + a ( 0 ) + + a n ( 0 ) n + ( 0 ) n ε( 0 ), V 0 ( 0 ) avec ε() 0, lorsque 0. P n () est appelé partie principale du D.L de f. ( 0 ) n ε() est appelé reste du D.L de f. Remarques importantes: ) Le développement limité est une notion locale: L égalité du DL de f,à l ordre n, au voisinage de 0 est vraie dans un voisinage de 0 uniquement. ) Le D.L en 0 peut être calculé en substituant 0 à dans le D.L en 0. Pour obtenir un D.L au voisinage de l, il suffit de substituer à dans le DL au voisinage de 0. Pour simplifier dans la suite, on étudie les DL en 0 = 0. Théorème : Unicité d un développement limité Si f admet un D.L d ordre n, en 0 alors il est unique. Remarque : l unicité est dans le sens que la partie entière du DL à l ordre n au voisinage de 0 est unique. Démonstration: Supposons que pour tout V 0 (0) : f() = a 0 + a + + a n n + n ε (), où lim ε () = 0, 0 et f() = b 0 + b + + b n n + n ε (), où lim ε () = 0, 0 avec (a 0, a,, a n ) (b 0, b,, b n ). Soit p le plus petit entier, entre 0 et n, tel que a p b p.

6 6 En faisant la soustraction des deu égalités précédentes, on obtient: 0 = f() f() = (a p b p ) p + (a p+ b p+ ) p+ + + (a n b n ) n + n (ε () ε ()) En divisant par p, on a 0 = (a p b p ) + (a p+ b p+ ) + + (a n b n ) n p + n p (ε () ε ()), V 0 (0). Lorsque 0, on a: a p b p = 0 a p = b p, ce qui est en contradiction } avec a p b p.d où a i = b i pour i =,, n. f() = P n () + n ε () f() = P n () + n = 0 = f() f() = ε () n (ε () ε ()) = ε = ε, dans V 0 (0). Théorème : Si f est de classe C n au voisinage de 0, alors f admet un développement limité d ordre n, au voisinage de 0 de la forme suivante: f() = f( 0 ) + f ( 0 ) (! 0 ) + f ( 0 ) (! 0 ) f (n) ( 0 ) n. avec lim ε( 0 )=0. 0 n! ( 0 ) n + ( 0 ) n ε( 0 ), Démonstration: D après le théorème de Taylor: c compris entre et 0 tel que: f() = f( 0 ) + f ( 0 ) (! 0 ) + f ( 0 ) (! 0 ) f (n) (c) ( n! 0 ) n = f( 0 )+ f ( 0 ) (! 0 )+ f ( 0 ) (! 0 ) f (n) ( 0 ) ( n! 0 ) n +[ f (n) (c) f (n) ( 0 ) ]( n! n! 0 ) n ( 0 ) = (c 0 ) et comme f (n) est continue en 0, on a lim [ f (n) (c) f (n) ( 0 ) ] = 0. n! n! 0 Donc f() = f( 0 )+ f ( 0 ) (! 0 )+ f ( 0 ) (! 0 ) f (n) ( 0 ) ( n! 0 ) n +( 0 ) n ε( 0 ), avec ε( 0 ) = [ f (n) (c) f (n) ( 0 ) ] 0, lorsque 0. n! n! Remarque: l hypothèse f de classe C n n est pas nécessaire pour l eistence d un DL d ordre { Par eemple: Soit f() = 3 sin( ), si 0 0, si = 0 Pour 0,on peut l écrire f() =. sin( ), et comme lim sin( ) = 0, car sin( ), on a: f() = ε(),avec limε() = 0 c est le DL d ordre de f, au voisinage de 0. Pourtant f n eiste pas en 0. En effet, pour 0, f () = 3 sin( ) cos( ) et f (0) = lim sin( ) = 0, mais f (0) n eiste pas, puisque f () f (0) = 3 sin( ) cos( 0. Propriété: Développements limités des fonctions paires et impaires Soit f une fonction numérique définie au voisinage de 0 et qui admet le D.L f() = P n () + n ε(), V 0 (0), et lim ε() = 0, ) n a pas de limite, lorsque avec P n () = a 0 + a + + a n n i) si f est paire alors le polynôme P n est pair, ce qui entraîne a k+ = 0, pour k+ n. ii) si f est impaire alors le polynôme P n est impair,ce qui entraîne a k = 0, pour 0 k n. Démonstration: i) Si f est paire alors f() = f( ), V 0 (0). L unicité du D.L entraîne alors: P n () = P n ( ), V 0 (0). Comme P n ( ) = a 0 a + a a ( ) n a n n + ( ) n a n n on a: 0 = P n () P n ( ) = a + a a k+ k+ + = a = a 3 = = a k+ = = 0

7 7 ii) Si f est impaire alors a 0 = a = = a k = = 0. En effet f impaire = f() = f( ), V 0 (0). Et l unicité du D.L = P n () = P n ( ), V 0 (0). Comme P n ( ) = a 0 a + a a ( ) n a n n + ( ) n a n n, on a: 0 = P n () + P n ( ) = a 0 + a + + a k k + = a 0 = a = = a k = = 0. Eemples: Le D.L d ordre 4 en 0 de cos() est cos() = ε().! 4! Le D.L d ordre 4 en 0 de sin() est sin() = ε(). 3!. Opérations sur les développement limités.. Somme f() = P n () + n ε (), limε () = 0 f() = Q n () + n ε (), limε () = 0 } { f() + g() = (Pn + Q n )() + n ε() = avec limε() = 0. Remarque : Si f et g admettent un développement limité d ordre n et m respectivement, au voisinage de 0, fini ou non, alors f + g admet un développement limité à l ordre Min(m, n), obtenu en ajoutant les deu développements limités de f et g Démonstration : Si f() = a 0 + a + + a n n + n ε (), limε () = 0, g() = b 0 + b + + b n n + n ε (), limε () = 0, alors f() + g() = (a 0 + b 0 ) + (a + b ) + + (a n + b n ) n + n (ε () + ε ()); Si on pose ε() = ε () + ε (), on a limε() = limε () + limε () = 0. Eemple: Si f() = ε (),avec lim ε () = 0, et g() = ε (),avec lim ε () = 0, alors f() + g() = ε(), avec lim ε() = 0,.. Produit Si f() = a 0 + a a n n + n ε (), avec limε () = 0, et g() = b 0 + b + + b n n + n ε (), avec limε () = 0, alors f().g() = n i=0 a i (b 0 + b + + b n i n i ) i + n ε(), avec lim ε() = 0. Démonstration : f().g() = (a 0 + a a n n + n ε ())(b 0 + b b n n + n ε ()) =(a 0 + a a n n )(b 0 + b b n n + b n n ) + n ε() avec ε() = (a 0 +a +...+a n n ).ε ()+(b 0 +b +...+b n n ).ε ()+ n ε (), etlim ε() = 0. = f().g() = n a i (b 0 + b b n i n i ) i + n a i (b n i b n i ) n + n ε() i=0 i= = n a i (b 0 + b b n i n i ) i + n ε() i=0

8 8 avec ε() = n a i (b n i b n i ) + ε() et on a limε() = 0. i= Remarques : ) La partie principale du DL de f().g() est formée de tous les termes de P n ().Q n (), de degré inférieur ou égal à n. ) Si f et g admettent un développement limité respectivement d ordre n et m, au voisinage de 0 ( 0 fini ou non) alors f.g admet un développement limité à l ordre Min(m, n), obtenu en multipliant les deu développements limités de f et g. Dans le calcul, on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à Min(m, n). Eemple: Si f() = ε () et g() = ε (), limε () = limε () = 0, alors f().g() = ε(), avec limε() = Quotient Si - f et g admettent un développement limité d ordre n, au voisinage de 0, ( 0 fini ou non) - lim g() 0 (c est à dire b 0 0) alors f admet un développement limité à l ordre n au voisinage de g 0. Pour déterminer la partie principale de f, on fait la division de P par Q,suivant les puissances g croissantes de, à l ordre n. Démonstration Si f() = P n () + n ε (), limε () = 0, et g() = Q n () + n ε (), limε () = 0, on fait la division suivant les puissances croissantes de,d ordre n,de P n par Q n : P n () = Q n ()S() + n+ R() avec R et S des polynômes et deg S n. = (f() n ε ()) = (g() n ε ())S() + n+ R() = f() = g().s() + n (ε () ε ()S() + R()). Si on pose ε 3 () = ε () ε ()S() + R(),on a f() = g().s() + n ε 3 () avec limε 3 () = 0 = f() = S() + g() n ε 3 () g() f() Donc = S() + g() n ε(), avec limε() = lim = 0. g() Remarques : i) Si g admet un D.L d ordre n en 0 et que lim ε 3 () g() 0 alors admet un D.L d ordre g n en 0. ii) Pour calculer le DL d ordre n de f, Il suffit de montrer que admet un développement g g limité à l ordre n, puis de faire le produit par celui de f. Eemples: ) Si f() = ε() et g() = ε() alors le DL d ordre 4 de f(),au voisinage de 0 : g() f() = + 5 g() ε(). ) DL d ordre 4 de, au voisinage de 0: cos() On a cos(0) = 0

9 9 = = a cos() 0 + a + a + a a ε(). La fonction est paire = a cos() = a 3 = 0. cos(). cos() = ( ε()).(a! 4! 0 + a + a + a a ε()) = + a ) + ( a 0 + a + a 4 ) + 4 ε() = + a = 0 et a 0 a 4 + a 4 = 0) = a 0 + ( a 0 = (a 0 =, a 0 = (a 0 =, a = et a 4 = + = tg = sin() cos() = tg() = ε(). Une autre manière de développer f ( + ) α = + α + = cos() + 4 4! +4 ε() 4 ) cos() = ε() = ( ε ())( ε ()) α(α ) + +!, lorsque f(0) 0 = [ + ( + 4 4! + 4 ε())] α(α )(α ) (α n + ) n + n ε() n! = +( )( + 4 4! +4 ε())+ ( ).( )! ( + 4 4! +4 ε()) + ( ).( ).( 3) 3! ( + 4 4! +4 ε()) 3 = ε() ε(), avec 4 ε() = ( ).( ).( 3) 3! ( + 4 4! + 4 ε()) 3. = = + cos() ( 4 4 )4 + 4 ε () = = + cos() ε (). Remarque: Dans le cas où b 0 = lim g() = 0, on peut opérer d une manière analogue, mais on obtient un développement appelé développement limité généralisé. Par eemple: f() = ε() = g() ε() Si f() = ε() et g() = ε(), alors ε() = ( ) + 3 ε()...4 Composition: Si - f admet un développement limité d ordre n, au voisinage de 0, - g admet un développement limité d ordre n, au voisinage de 0, et limg() = 0, alors f g admet un développement limité d ordre n, au voisinage de 0, obtenu en développant la composée des développements limités de f et g. On substitue alors à, dans la partie principale du DL de f en 0, la partie principale de g et on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à n. Eemples : ) En substituant à dans le DL de : + = ( ) n n + n ε() on obtient + = ( ) n n + n ε(). ) En substituant à dans le DL de = (n ) n + n ε(), n! n on obtient = (n ) n! n n + n ε().

10 0 ) Calcul du DL d ordre 3 de e sin() au voisinage de 0: g() = sin() = ε() et sin(0) = 0; f() = e = ε(). donc e sin() = + ( 3 ) + 3 ( 6 6 ) + 3 ( 6 6 )3 + 3 ε() et si on ne garde que les termes de degré inférieur ou égal à 3 on obtient e sin() = ε() 3) Calcul du DL d ordre de h() = e cos() en 0. On a: cos() = + ε() et e = ε(). Comme cos(0) = 0, si on pose g() = cos(), on a g(0) = 0. Ainsi g() = + ε() et g(0) = 0; f() = e = ε() donc f g() = e (cos() ) = + ( ) + ( ) + ε() Comme on ne doit garder dans la partie principale que les termes de degré inférieur ou égal à : e (cos() ) = + ε() ainsi e cos() = ( )e + ε(). 3 Applications 3. Calcul des D.L de fonctions élémentaires Remarque : On note par ε() toute fonction qui tend vers 0, quand 0. Propriété : Si f() = f(0) + f (0) + f (0) + + n f (n) (0) + n ε(),! n! alors f () = f (0) + f (0) +! f (3) (0) + + n (n )! f (n ) (0) + n ε() et on constate que le polynôme principal de f est la dérivée du polynôme principal de f. c est à dire si f() = P n () + n ε() et si f eiste alors f () = P n() + n ε(). Eemples : ) Développement limité de f() = log( + ) au voisinage de 0. + = ( + ) = ( ) n n + n ε() = log( + ) = n n n+ ( ) + ( )n n n + + n+ ε() ) Développement limité de f() = Arctg() à l ordre 5 au voisinage de 0. f() = P 5 () + 5 ε() f () = + = ( + ) = ε() = P 5() = + 4 = P 5 () = = Arctg() = ε()

11 3) Développement limité de f() = cotg () à l ordre 5 au voisinage de 0. f() = cot g() = cos() sin() = ! +5 ε () 4) (Arc sin()) = = ( ) 3 3! + 5 5! +5 ε () = 3 4 cot g() = ε() cot g() = ε() ε() = ε() = Arc sin() = ε(). Voici les DL de quelques fonctions élémentaires: e = +! +! + + n n! + n ε() ch() = +! + + p (p)! + p ε() sh() =! + 3 3! + + p+ (p + )! + p+ ε() sin() = 3 3! + 5 5! + + ( )p p+ (p + )! + p+ ε() cos() =! + 4 p + + ( )p 4! (p)! + p ε() tg() = ε() ( + ) α = + α + α(α ) + +! + = ( ) n n + n ε() log( + ) = = Arc sin() = Arc cos() = π Arctg() = 3 3 α(α )(α ) (α n + ) n + n ε() n! n+ + ( )n n + + n+ ε().3...(p ) (p) p + p ε().3...(p ) p (p) p + + p+ ε().3...(p ) p (p) ( )p p+ p + + p+ ε() Argth() = p + p+ + p+ ε() p + + p+ ε()

12 3. Application au calcul de limites ) Soit f() = ( + ), calcul de lim + f(). On a : log(f()) = log(( + ) ) = log( + ) au voisinage de + on a: d où log( + ) = + ε( ) log( + ) = + ε( ) lim log( + + ) = lim [ + + ε( )] = lim log(f()) = = lim f() = e + + ) Calcul de lim log( sin() ) Calculer le D.L d ordre au voisinage de 0 de log( sin() Comme log( sin() ) = log( + ( sin() log( + ) = + ε() et sin() = log( sin() ) = log( + ( sin() donc lim log( sin() ) = 0 3) Soit f() = ( log() ) )), = + ε() 3! )) = ( ) 3! ). Calcul de lim f(). On pose t =, de telle sorte que t 0, lorsque. On a: f() = ( ) = ( ) = log(+t) t. log() t log(+t) t log(+t) ( 3! ) + ε() = 6 + ε() Remarque : Lors du calcul des DL, on choisit l ordre n du DL le plus bas possible et tel que la partie principale du dénominateur ne soit pas nulle et on calcule tous les DL à cet ordre. au voisinage de t = 0, on a log( + t) = t + tε(t). Donc t log( + t) = t + t ε(t). Il faut calculer le DL du numérateur d ordre : log( + t) t = t + t ε(t). Ainsi donc log(+t) t t log(+t) log(+t) t lim t 0 t log(+t) = t t 4) Soit f() = sin() tg() sin()( cos()) + t ε(t), = lim( ) =. log().calcul de lim f(). Pour que la partie principale du dénominateur ne soit pas nulle, il suffit de calculer les DL d ordre 3, au voisinage de 0 On a : sin() = ε() et cos() = + 3 ε() cos() = + 3 ε(). Donc sin()( cos()) = ( 3 6 Comme )( ) + 3 ε() = ε().

13 3 tg() = ε(). on a sin() tg() = ( 3 6 Donc f() = ) ( ) + 3 ε() = ε(). sin() tg() = ε() = + 3 ε() sin()( cos()) 3 et lim =. sin()( cos()) sin() tg() 3.3 Position de la courbe par rapport à sa tangente Supposons qu au voisinage du point 0 : f() = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) + f ( 0) ( 0 ) + ( 0 ) ε( 0 ),avec lim 0 ε( 0 ) = 0. L équation de la tangente à C f,la courbe représentant f au point ( 0, f( 0 )) est y = f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 ) () Si f ( 0 ) 0 : Au voisinage de 0, f() [f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 )] a le même signe que f ( 0 ). Donc au voisinage du point 0 : - la courbe C f est située au dessus de la tangente, si f ( 0 ) > 0 - la courbe C f est située en dessous de la tangente, si f ( 0 ) < 0. () Si f ( 0 ) = 0 et au voisinage de 0, on a le D.L de f suivant: f() = f( 0 )+( 0 )f ( 0 )+ f (k) ( 0 ) k! ( 0 ) k +( 0 ) k ε( 0 ),avec lim 0 ε( 0 ) = 0, où k est un entier > et f (k) ( 0 ) 0, alors au voisinage de 0 : f() [f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 )] a le même signe que f (k) ( 0 )( 0 ) k. Dans ce cas: si k est pair: c est la même chose que pour k =, car f() [f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 )] a le même signe que f (k) ( 0 ), au voisinage de 0. si k est impair: c est un point d infleion et le signe de f() [f( 0 ) + ( 0 )f ( 0 )] est différent selon que soit à droite ou à gauche de 0. Eemple: sin() = ε() L équation de la tangente en 0 est y =. { > 0, si < 0 Au voisinage de 0: sin() a le même signe que 3 : 6 < 0, si > 0 Donc pour au voisinage de 0, la courbe représentant sin(), est située au dessus de la tangente, si < 0 et en dessous de la tangente si > Généralisation des développements Limités: Développements Limités au voisinage de l infini Soit f une fonction définie au voisinage de + (respectivement ), c est à dire f définie sur ]A, + [, avec A > 0 (respectivement sur ], B[, avec B < 0). Définition : On dit que f admet un D.L d ordre n au voisinage de de l infini si elle est de la forme f() = a 0 + a + a + + a n + n ε( n ) avec lim ε( ) = 0

14 4 Remarque : Si f admet un D.L en au voisinage de l infini, alors f admet une limite finie lorsque. Développements Limités généralisés Soit f une fonction définie au voisinage de 0, sauf peut être en 0. Si la fonction p f() admet un D.L au voisinage de 0: p f() = a 0 + a + a + + a n n + n ε() alors f() = a 0 + a p + a p + + a p n n p + n p ε() on dit alors que f admet un D.L généralisé au voisinage de 0. Remarque: Les D.L au voisinage de l infini sont utilisés pour l étude des branches infinies des courbes. Un D.L permet la détermination (éventuelle) des asymptotes, des directions asymptotiques et la position de la courbe par rapport à l asymptote. Asymptote: Une condition nécessaire et suffisante poue que (C) admette une asymptote à l infini et que l on puisse trouver a et b tels que: lim ( f() a b) = 0. Ce qui est équivalent à Eemple : f() = a + b + ε(), avec lim ε() = 0 f() = + f() = + Pour avoir le D.L au voisinage de l infini on fait le changement de variable = { X X ( + X) X X = f() ( + X) X, si X > 0 = ( + X) X, si X < 0 X = X + X ε(x) = f() = avec lim ε (X) = 0 et lim ε (X) = 0. X 0 X 0 { + X X + X ε (X), si X > 0 X + X + X ε (X), si X < 0 f() = { + f() = + ε ( ), si > ε ( ), si < 0 - Au voisinage de + : La droite y = + est une asymptote de la courbe y = f(). Cette asymptote est au-dessus de la courbe, puisque la différence f() a le même signe que (< 0). - Au voisinage de : La droite y = est une asymptote de la courbe y = f(). Cette asymptote est au-dessus de la courbe, puisque la différence f() ( ) a le même signe que (< 0). Direction asymptotique: Supposons que f admet un D.L au voisinage de l infini de la forme f() = a + b + ε() avec lim ε() = 0

15 5 Le coefficient directeur de l asymtote oblique est lim f(). Une condition nécessaire et suffisante pour qu il y ait direction asymptotique est que f() lim = a R Branche parabolique : La courbe admet une branche parabolique si f() admet une limite a finie, et f() a a une limite infinie, lorsque : f() lim = a et lim f() a = On dit alors que la courbe admet une branche parabolique dans la direction y = a. Eemple : Si f() = f(), lim + = lim + = 0 mais lim (f() 0.) = lim = On a une branche parabolique dans la direction de coefficient 0, c est à dire une branche parabolique dans la direction de l ae des coordonnées y = 0. 4 Développement limité des fonctions usuelles e = n + (!! n! 0 ) n ε() sin() = p+ p+ + + ( ) + ( 3! 5! (p+)! 0) p+ ε() cos() = ( ) p p + (! 4! (p)! 0) p ε() ( + ) α = + α + α(α ) + + α(α )(α ) (α n+) n + (! n! 0 ) n ε() tg() = ( 0 ) 9 ε() = n + ( 0 ) n ε() (Arc sin()) = = ( ) = ( 0 ) Arc sin() = ( 9 )