1 ANGLE INSCRIT ex. 1 et 2

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1 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 1 sur 9 h.g4 : ngles et polygones 1 G IIT ex. 1 et 2 DÉFIITI 1 Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle en des points distincts du sommet. a portion de cercle comprise entre les deux côtés de l'angle s'appelle l'arc de cercle intercepté. xemple 1 : Donne le nom des arcs de cercle interceptés par les angles inscrits dans le cercle ci-contre. olution : 'angle inscrit intercepte le petit arc de cercle. 'angle inscrit intercepte le petit arc de cercle. 'angle inscrit intercepte le grand arc de cercle. xemple 2 : es angles U ; V et sont-ils des angles inscrits dans le cercle )? i oui, donne le nom de l'arc intercepté. olution : e sommet de l'angle U appartient au cercle et ses côtés recoupent le cercle en U et : l'angle U est un angle inscrit dans le cercle ). Il intercepte l'arc U. e sommet de l'angle V n'est pas un point du cercle : l'angle V n'est pas un angle inscrit dans le cercle ). U U V e côté [) de l'angle ne coupe le cercle qu'en : l'angle n'est pas un angle inscrit dans le cercle ). xercice n 1 page 241 a figure ci-contre représente un cercle ) de centre. es points,, D et H sont alignés. es angles cités ci-après sont-ils des angles inscrits dans le cercle )? Justifie chaque réponse. a) c) GD e) GF b) G d) H f) G D F H appel de la définition : Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle en des points distincts du sommet. ) ) G ) [) [G) G G G ) G ) [G) [GD) D D GD ) [H) ) H ) F ) GF ) ) [) [) ) H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

2 xercice n 3 page e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 2 sur 9 eproduis la figure ci-contre. Trace et cite tous les angles inscrits interceptant l'arc vert et tous les angles inscrits qui interceptent l'arc rouge F. F F ) emarque : l'angle n'intercepte pas l'arc vert, car cet arc n'est pas entre les deux côtés de l'angle. 'angle intercepte le grand arc, tout ce qui n'est pas vert. F F F F F F ) F PPIÉTÉ 1 i deux angles sont inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. xemple 3 : ur la figure ci-contre, l'angle T mesure 67. Détermine la mesure de l'angle. olution : es angles T et sont inscrits dans le cercle ). Ils interceptent tous les deux l'arc. Donc ils ont la même mesure. 'angle T mesure 67, donc l'angle mesure 67. T xercice du cours n 1 page 240 ur la figure ci-contre, les angles et T ont-ils la même mesure? ) T T xercice du cours n 2 page 240 ur la figure ci-contre, les angles et ont-ils la même mesure? H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

3 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 3 sur 9 xercice n 5 page 241 a figure ci-contre représente un cercle ). H Détermine la mesure de l'angle. Justifie ta réponse. 27 appel de la propriété : i deux angles sont inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. H ) H = 27 = 27 xercice n 8 page 242 ur la figure ci-contre, les droites ) et ) se coupent en I, point d'intersection des cercles 1 ) et 2 ). xplique pourquoi =. ) 2 I 1 ) I 2 ) I I ) ) I I 1 ) = xercice n 9 page 242 ur la figure ci-contre, les droites ) et ) sont parallèles. es cercles 1 ) et ) se coupent en et. 2 Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle. 1 ) 40 2 ) 2 ) ) ) ) H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

4 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 4 sur 9 ) ) 1 ) = 40 = 40 = 2 G U T ex. 3 DÉFIITI 2 Un angle au centre du cercle ) est un angle dont le sommet est le centre du cercle ). a portion de cercle comprise entre les deux côtés de l'angle s'appelle l'arc de cercle intercepté. xemple 4 : ur la figure ci-contre, I est le centre du cercle. Quel est l'angle au centre associé à l'angle inscrit M? olution : 'angle au centre associé à l'angle inscrit M est l'angle MI. es deux angles interceptent le même arc. PPIÉTÉ 2 i un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre son sommet est le centre du cercle) interceptent le même arc de cercle, alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit. xemple 5 : a figure ci-contre représente un cercle ) de centre. I M I 'angle I mesure 76. Détermine la mesure de l'angle. olution : Dans le cercle ), l'angle inscrit I et l'angle au centre interceptent le même arc. Donc l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit I. = 2 I = 2 76 = 152. 'angle au centre mesure 152. xercice du cours n 3 page 240 a figure ci-contre représente un cercle ) de centre D. 'angle D mesure 122. Détermine la mesure de l'angle. D D D = D 2 = = xercice n 2 page 241 a figure ci-contre représente un cercle ) de centre. M es angles cités ci-après sont-ils des angles au centre dans ce cercle? a) MZ c) MH e) ZH b) Z d) U f) HU H Z U H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

5 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 5 sur 9 appel de la définition : Un angle au centre dans un cercle est un angle dont le sommet est le centre du cercle. M ) MZ ) ) Z ) ) MH ) U ) U ) H ) ZH ) ) HU ) xercice n 6 page 241 a figure ci-contre représente un cercle de centre I. Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle MI. 78 I appel de la propriété : i un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre de ce même cercle interceptent le même arc de cercle, alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit. MI ) M M MI M M = 78 MI = 2 78 = 156 M xercice n 7 page 242 a figure ci-contre représente un cercle ) de centre. Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle. 46 ) = 46 = 2 46 = 92 = 180 = = 88 ) H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

6 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 6 sur 9 = = = 44 xercice n 10 page 242 ur la figure ci-contre, les droites ) et ) se coupent en, point d'intersection des cercles 1 ) et ). e point est le centre du 2 cercle 1 ). 1 ) alcule la mesure de l'angle. Justifie ta démarche. 2 ) = = 62 = = = = = 62 1 ) = 2 = 2 62 = ) 3 PYG ÉGUI ex. 4 et 5 DÉFIITI 3 Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure. xemple 6 : Quelle est la mesure des angles d'un hexagone régulier? olution : ) DF est un hexagone de centre inscrit dans le cercle ) de centre. Tous ses côtés sont donc égaux au rayon du cercle. es triangles,, D, D, F et F sont équilatéraux donc leurs angles sont tous égaux à 60. n en déduit donc que tous les angles d'un hexagone sont égaux à 60 2 = 120. DÉFIITI 3 Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle. Tous les angles au centre déterminés par deux sommets consécutifs du polygone ont la même mesure. xemple 7 : onstruis un cercle de centre. Inscris un pentagone D dans ce cercle. olution : Un pentagone a cinq côtés. es angles au centre déterminés par deux sommets consécutifs du polygone sont tous égaux à : 5 = 72 ). F 120 D n construit le cercle et l'un de ses rayons [] et un autre rayon [] tel que = 72. n trace un autre rayon [] tel que = 72. D insi de suite jusqu'à obtenir le pentagone D. H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

7 @options; repereortho310,270,30,1,1){ 0, moyen, noir, = point -0.6, 0.6 ) { noir }; = point 1.8, 0.6 ) { noir }; ce = cercle, ) { noir }; s = segment, ) { noir }; d = droite, ) { i }; rd = droiteangle, d, 120 ) { i }; = intersection rd, ce, 1 ) { noir }; rd1 = droiteangle, d, 240 ) { i }; = intersection rd1, ce, 1 ) { noir }; s = segment, ) { rouge }; s = segment, ) { rouge }; s = segment, ) { rouge }; s = segment, ) { noir }; s = segment, ) { noir }; texte1 = texte -0.6, 1.4,"120 ") { noir, dec2 }; texte11 = texte -1.8, 0.9,"120 ") { noir, dec2 }; 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 7 sur 9 xercice du cours n 4 page 240 Quel est le nom du triangle et du quadrilatère régulier? xercice du cours n 5 page 240 Trace un cercle de centre et de rayon 4 cm. Inscris-y un triangle équilatéral. 360 : 3 = 120 [] [] = [] = 120 xercice n 12 page 242 es polygones ci-dessous sont-ils réguliers? Justifie tes réponses. a) b) c) d) appel de la définition : Un polygone est régulier lorsque tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure. a b c b d d H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

8 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 8 sur 9 xercice n 14 page 243 À partir d'un hexagone HXG est un hexagone régulier inscrit dans un cercle ) de centre. a) Quelle est la mesure de l'angle H? Justifie ta réponse. ) G X H appel de la propriété : Un polygone régulier à n côtés est inscriptible dans un cercle. Tous les angles au centre déterminés par deux sommets consécutifs du polygone ont la même mesure. HXG ) b) Détermine la mesure de l'angle H. Justifie. H = H H = 360 : 6 = 60 H = 60 H H = 60 c) Déduis-en la nature du triangle H. H d) ela justifie une méthode de construction de l'hexagone déjà vue, laquelle? e) xprime le périmètre de l'hexagone régulier en fonction du rayon r du cercle. Phexagone régulier) = 6r xercice n 17 page 243 PT est un pentagone régulier de centre tel que = 4 cm. a) alcule la mesure de l'angle P. PT P = 360 : 5 = 72 b) Utilise cette mesure pour construire le pentagone à l'aide du rapporteur. b) emarque : Il existe des constructions qui n'utilisent que la règle et le compas : voir dans les compléments c) Quelle est la nature du triangle P? P PT P = P P P 60 d) Place ' le milieu du côté [P]. Déduis-en la nature du triangle P'. P = [P] ' [P] ' [P] ' ) [P] ' ) P) P' P' ' e) Détermine la mesure de chacun des angles du triangle P'. P' = 90 ' ) [P] P ' ) P' = ' ' ) P P = 72 P' = 72 : 2 = 36 H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)

9 3 e - programme 2012 mathématiques ch.g4 cahier élève Page 9 sur 9 P' ' P' P' P' = 90 P' = = 54 f) alcule la longueur P' et déduis-en la longueur P. Tu donneras pour chacune la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième. P' ' P' = P sinp') P = 4 cm P' = 36 P' = 4 sin36 ) cm P' 2,35 cm ' [P] P = 2 P' P = 8 sin36 ) cm P 4,70 cm g) Détermine le périmètre du pentagone. Tu donneras la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième. PT P P PT) = 5 P = 40 sin36 ) cm P PT) 23,51 cm h) Détermine la longueur '. Déduis-en l'aire du triangle P puis l'aire du pentagone. Tu donneras pour chacune la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième. P' ' ' = P sinp') ' = 4 sin54 ) cm ' 3,2 cm P) = ' P : 2 P P) = 4 sin54 ) 8 sin36 ) : 2 cm 2 P) = 16 sin54 ) sin36 ) cm 2 P) 7,6 cm 2 PT P PT) = 5 P) PT) = 5 16 sin54 ) sin36 ) cm 2 PT) = 80 sin54 ) sin36 ) cm 2 PT) 38,0 cm 2 H. orthais ollège.d. de l bbaye à antes)