a par une fonction f : - on calcule f a en remplaçant f

Transcription

1 I. GÉNÉRALITÉS : ) Définition : FONCTIONS () : NOTION ET REPRÉSENTATION Définition : Soit D une partie de l'ensemble R des réels. À chaque réel x de D, on associe un et un seul réel y. On dit alors que l'on a défini une fonction sur l'ensemble D. Appelons f cette fonction, on note : a) D R On lit «la fonction f qui va de D dans R f : x y et associe y à x». b) f x = y On lit «f de x égale y». Vocabulaire : D est l'ensemble de définition de la fonction f. x est la variable. Elle appartient forcément à D. y= f x y est l'image de x par la fonction f. x est l'antécédent de y par la fonction f. Exemple : Calculer une image par une fonction : Une fonction f est connue par son Soit f la fonction définie sur R par f x = x² 3 x 5. expression f x. Pour déterminer l'image d'un nombre Calculer les images par la fonction f de 5 et de a par une fonction f : - on calcule f a en remplaçant f 5 3 = = 5 5= 9 9 tous les x de l'expression par le nombre a ; - puis on calcule en respectant les ordres de priorité. Remarque importante : - L'image d'un réel de D est unique. - Par contre, un réel peut avoir plusieurs antécédents par f. f 3 2 = 3 2 ² = = =3 2 3 Exemple : R R On a f 3 = f 3 =9, donc 9 a deux antécédents qui sont 3 et 3. f : x x² 2) L'ensemble de définition d'une fonction : C'est l'ensemble des réels pour lesquels la fonction f est définie. Exemple : [-3 ; 5] R Ici, f est définie seulement pour les réels appartenant à [-3 ; 5]. f : x 2 x 3 On remarque qu'elle pourrait être «étendue» à tous les réels. La plupart des fonctions de seconde peuvent être définie sur tout R à l'exception des fonctions comportant : - la variable x au dénominateur ; - la variable x sous un radical (racine carrée). Si la variable x est au dénominateur, il faut exclure de l'ensemble de définition les nombres qui rendraient nul ce dénominateur : Exemple : f : x x Il faut exclure x =0 c'est-à-dire x=. On a alors D=R { } (lire R «privé de -», ou D= ] ;-[ ]-; [. Si x est sous un radical, il faut exclure de l'ensemble de définition les nombres qui rendraient négative l'expression sous la racine : Exemple : f : x x Il faut exclure x 0 c'est-à-dire x. On a alors D= [- ; [ Exemples : Déterminer l'ensemble de définition : f : x x ; g : x ;h: x 3 x ;i : x x 5 x 4 ; j : x x² ; k : x x²

2 3) La courbe représentative : a) Définition : Définition : Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction f est l'ensemble des points M x ; y tels que : - l'abscisse x appartient à l'ensemble de définition D de f ; - l'ordonnée y est l'image de x par f. f(x) M(x;f(x)) x ensemble de définition de la fonction f Exemple : Lire graphiquement une image par une fonction : Une fonction courbe C f. f est connue par sa Pour lire l'image de a par f : - on repère la graduation a sur l'axe des abscisses ; - on trace la verticale jusqu'à la courbe, puis, on lit l'ordonnée du point de la courbe. b) Construire une courbe : Méthode :. Recherche de l'ensemble de définition de la fonction, et noter sur le repère les valeurs interdites ; 2. Établir un tableau de valeurs ; 3. Placer les points sur le repère et tracer la courbe. Exemple : Construire la courbe de la fonction f : x x² x Pour que f soit définie, il faut exclure les nombres 4 tels que x =0 i-e x. 3 Donc D f =R { } 2 2. x f x / impossible 4 4, Remarque importante : La construction de la courbe à l'aide d'un tableau de valeurs ne permet que de conjecturer l'allure de la courbe. En effet, les valeurs choisies dans le tableau ne nous permettent pas toujours de détecter des "irrégularités" de la fonction entre deux valeurs choisies. Nous verrons plus tard des théorèmes permettant de lever tous les doutes. Exemple : f : x sin x

3 c) Conventions graphiques : Exemples : Trouver graphiquement l'ensemble de définition d'une fonction : Une fonction f est connue par sa courbe C f. L'ensemble de définition de la fonction est l'ensemble des abscisses des points de la courbe, comme si on «aplatissait» la courbe sur l'axe des abscisses. d) Utilisation de la calculatrice : Programmer la fonction tracer la courbe régler la fenêtre afficher les coordonnées de points éditer un tableau de valeurs régler la tableau de valeurs casio Menu Graph Draw Window trace Menu Table Form ou Range TI Y= Graph Window Trace Table Table Set

4 II. PARITÉ D'UNE FONCTION, SYMÉTRIE DE LA COURBE : ) Deux exemples : Soit f : x x² 3 a) Son ensemble de définition est... b) Compléter la tableau de valeurs avec un pas de 0,5 (à l'aide de la calculatrice) : x -3-2,5 3 f x c) Tracer la courbe dans le repère ci-dessous : d) On observe que la courbe est On retrouve cette propriété dans le tableau de valeurs en observant que deux nombres opposés ( par exemple :... ) On dit que la fonction f est.... Soit g : x x 3 x a) Son ensemble de définition est... b) Compléter la tableau de valeurs avec un pas de 0,5 (à l'aide de la calculatrice) : x -3-2,5 3 f x c) Tracer la courbe dans le repère ci-dessous : d) On observe que la courbe est On retrouve cette propriété dans le tableau de valeurs en observant que deux nombres opposés ( par exemple :... ) On dit que la fonction f est....

5 2) Définitions et propriétés : Définitions : Soit f une fonction définie sur D f, telle que pour tout x appartenant à D f, x appartient à D f (on dit que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à zéro). f est dite paire lorsque tous nombres opposés ont la même image par f, c'est-à-dire lorsque pour tout x D f f x = f x. f est dite impaire lorsque tous nombres opposés ont des images opposées par f, c'est-à-dire lorsque pour tout x D f f x = f x. Propriété (admise) : Dans un repère orthogonal du plan, La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère. Utilité : Lorsqu'il faut étudier une fonction paire ou impaire, il suffit de s'intéresser aux valeurs positives de la variable x ; on déduit ensuite ses propriétés pour les valeurs de x négatives par symétrie. 3) Étudier la parité d'une fonction : C'est démontrer si cette fonction est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Méthode :. Déterminer l'ensemble de définition, et vérifier s'il est symétrique par rapport à zéro (c'est-à-dire s'il contient l'opposé de chacun de ses nombres). 2. Exprimer f x et conclure. Exemples : étudier la parité des fonctions définies par : f : x x x² ; g : x x4 x 2 5 ; h: x x 3 ; j : x x