Soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1, c.-à-d. a + , condition valable tout au long de ce chapitre.

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1 LGL Cours de Mthémtiques 26 Foctios epoetielles et foctios logrithmes fiche professeur 5) Défiitio des foctios logrithmes \, coditio vlble tout u log de ce chpitre Nous svos que les foctios ep sot des foctios bijectives de sur Il s'esuit qu'il eiste doc ue bijectio réciproque Soit u ombre réel strictemet positif et différet de, c-à-d { } Défiitio: L bijectio réciproque de l foctio epoetielle de bse, ep, est ppelée foctio logrithme de bse et est otée log () Il e découle imméditemet les résultts suivts: ) \:log {} : log b) E prticulier: dom( log ) et ( log ) im ; c) Comme l foctio ep est cotiue sur, l foctio log est cotiue sur d) : log( ep ) : ep( log) et log ep c-à-d log : : log et log E prticulier: ( ) et () ( ) log log log log () Tu compredrs plus trd ( 7) pourquoi il ps de touche spécile sur t V2 pour l foctio log MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - -

2 LGL Cours de Mthémtiques 26 e) L foctio ep étt l bijectio réciproque de l foctio log, o dispose du schém: log log doc, : log ep f) C log et C ep sot smétriques pr à l ère bissectrice: C ep 2 et C log2 C ep 2 et C log 2 g) Comme log est ue bijectio de sur, o :, : log log h) Si > lors log est strictemet croisste sur D'où:, : log < log < Si < < lors log est strictemet décroisste sur D'où:, : log < log > i) Si > lors lim log et Si < < lors lim log et lim log lim log MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 2 -

3 LGL Cours de Mthémtiques 26 j) Comportemet smptotique: Rppelos que: { } :ep et log sot des bijectios réciproques Il s'esuit: pour < < : Comme ep dmet ue BP de directio O pour ep dmet ue AH pour log dmet ue BP de directio ( O) pour log dmet ue AV et et pour > : Comme ep dmet ue AH pour et ep dmet ue BP de directio ( O) pour log dmet ue AV et log dmet ue BP de directio ( O) pour k) Comme comme l foctio ep est dérivble sur et comme ep ' sur, l foctio log est dérivble sur et o v démotrer plus trd que: \{} : : ( log ) c (*) où c est ue costte o ulle 6) Règles de clcul ) Propriété fodmetle des logrithmes: Propriété fodmetle II >, > : log log log L Propriété dmise b) >, > : log log log ( L ) c) > : log log ( L ) d) >, : log ( ) log ( L ) 2 3 MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 3 -

4 LGL Cours de Mthémtiques 26 Démostrtio (L ):, : log log log log log log (propriété fodmetle II) Coclusio:, : log log log qed Cs prticulier (L 2 ): Posos et : > : log log Démostrtio (L 3 ):, soit t log t Alors : ep est l bijectio réciproque de log t ( ) t t log log log log ( propriété fodmetle des epoetielles) ( log est l bijectio réciproque de ep ) log qed 7) L foctio logrithme turel Défiitio: L bijectio réciproque de l foctio epoetielle de bse e est l foctio logrithme de bse e, ppelée ecore foctio logrithme turel ou foctio logrithme épérie, et otée l Autre défiitio possible, celle du livre: Défiitio: L foctio logrithme dot l dérivée est [ c ds l propriété (*) ] est ommée foctio logrithme turel ou logrithme épérie, et otée l Aisi: > : ( l) MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 4 -

5 LGL Cours de Mthémtiques 26 C ep et C l Toutes les propriétés et règles de clcul vues précédemmet s ppliquet bie sûr à l foctio l (2) Etude de l foctio l Doml 2 l est cotiue et dérivble sur 3 l 'est i pire, i impire 4 lim l AV lim l ps d ' AH pour l H lim lim BP de directio O pour : l > ps d'etremum 5 : l < ps de poit d'ifleio, courbure égtive tbleu de vritio: ep ep ep 8 Tgetes à C l t l ( ) E géérl: Comme : ( l) (2) Voir muel pge 46 pour l foctio logrithme de bse, otée log MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 5 -

6 LGL Cours de Mthémtiques 26 b Cs prticuliers: i ii : t t e: te l e e te e e e 9 Représettio: C ep e l te e t MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 6 -

7 LGL Cours de Mthémtiques 26 8) Lie etre les foctios logrithmes de bses différetes Soiet >, et b >, b > : logb log logb ( L4 ) E prticulier, pour b e: Démostrtio (L 4 ): log l > : log L log l, soit log Alors : ep est l bijectio réciproque de log logb logb ( b ) ( b \, {} : b ) ( propriété fodmetle I) logb b logb logb log b est l bijectio réciproque de ep log logb logb logb log qed log b 5 b E prticulier: Pour b: log b log b Démostrtio (L 5 ): log Pour b : log log l Pour b e: log qed l 9) Lie etre les foctios epoetielles de bses différetes Les formules suivtes sot utiles, mis leurs démostrtios e sot ps à svoir pour l'eme logb b, \ : : b logb E effet: b, \{} : : b b {} logb E prticulier, pour b e: \: l {} : e MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 7 -

8 LGL Cours de Mthémtiques 26 ) Dérivée des foctios epoetielles et logrithmes Nous svos, pr l défiitio de l foctio epoetielle à bse e, que: ' ' : l E géérl: : e e Démostrtio (L 5 ): l : e l ( e ) e l l ( e ) l l l qed l E prtt de l églité > : e, que tu dérivers membre pr membre l > : e e dérivt membre à membre d'près e l l l e l qed ( l ) ( les foctios e et l sot des bijectios réciproques) ' > : ( l) MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 8 -

9 LGL Cours de Mthémtiques 26 l : ( log ) l l l ( l ) l l ( pr défiitio de l foctio l) l qed Démotre esuite: ' > : log l ) Quelques limites remrqubles (uiquemet sectio B) Démotre: : lim ( e ) : lim e l : lim : lim l 2) Le ombre d Euler Mosieur X plce euro à u tu d itérêt uel de 3% ) Clcule le mott de so voir près u si les itérêts sot cpitlisés (c-à-d clculés et joutés u cpitl) fois pr 2 fois pr (c-à-d tous les 6 mois) chque trimestre tous les mois tous les jours (o dmet que l ée 365 jours) toutes les heures toutes les miutes cotiuellemet b) Démotre: : lim e, MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 9 -

10 LGL Cours de Mthémtiques 26 lim e, h ( h) h lim e ****************************************** MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - -

11 LGL Cours de Mthémtiques 26 Résolutio de 2) Notos pr c le mott de l voir de Mosieur X près u, si les itérêts sot cpitlisés fois pr O 3 c ( ) Aisi itérêts cpitlisés fois 2 fois chque trimestre tous les mois tous les jours toutes les heures toutes les miutes Si les itérêts sot cpitlisés de fço cotiue, lors le mott de l voir de Mosieur X près u ser 3 c lim c lim???? ( f i!) O choisit des vleurs de de plus e plus grdes: il semble que c ted vers ue limite si Mis ttetio:?????????????? Erreurs d rrodis? Si o trville e Mode Ect (u lieu du Mode Auto ) lors:,3 e,3454 MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - -

12 LGL Cours de Mthémtiques 26 Démotros doc que 3 lim c lim e,3 :,3 l,3 Comme c e, ous sommes meés à clculer,3 lim l???? ( f i!),3 l,3 lim l lim 3 H 2 ( 3) 3 3 lim lim ( 3) 2,3,3 l lim l 3,3 Pr coséquet lim c lim e e e e (cqfd) O démotre de l même fço que lim e, résultt cofirmé pr l V2: MthéTIC - Esjo - Ber Foctios logrithmiques Cours - 2 -