Marches aléatoires : du nombre d Avogadro à Google

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1 1 / 40 Marches aléatoires : du nombre d Avogadro à Google Christophe Garban ENS Lyon, CNRS

2 2 / 40 Préambule: Einstein en 1905 : Annus Mirabilis A 26 ans, Einstein publie 4 articles fondateurs! Un premier article sur l effet photo-éléctrique particules de lumières ou photons Mécanique quantique

3 2 / 40 Préambule: Einstein en 1905 : Annus Mirabilis A 26 ans, Einstein publie 4 articles fondateurs! Un premier article sur l effet photo-éléctrique particules de lumières ou photons Mécanique quantique Un troisième article qui introduit la théorie de la relativité restreinte!

4 2 / 40 Préambule: Einstein en 1905 : Annus Mirabilis A 26 ans, Einstein publie 4 articles fondateurs! Un premier article sur l effet photo-éléctrique particules de lumières ou photons Mécanique quantique Un troisième article qui introduit la théorie de la relativité restreinte! Un quatrième sur l équivalence de la masse et de l énergie E = m c 2.

5 2 / 40 Préambule: Einstein en 1905 : Annus Mirabilis A 26 ans, Einstein publie 4 articles fondateurs! Un premier article sur l effet photo-éléctrique particules de lumières ou photons Mécanique quantique Un troisième article qui introduit la théorie de la relativité restreinte! Un quatrième sur l équivalence de la masse et de l énergie E = m c 2. Un deuxième sur le Mouvement Brownien Existence et dénombrement des atomes!

6 3 / 40 Plan de l histoire de ce soir 1827 : l observation de Robert Brown, botaniste écossais

7 3 / 40 Plan de l histoire de ce soir 1827 : l observation de Robert Brown, botaniste écossais Comment modéliser un Mouvement Brownien Marches aléatoires

8 3 / 40 Plan de l histoire de ce soir 1827 : l observation de Robert Brown, botaniste écossais Comment modéliser un Mouvement Brownien Marches aléatoires Etude des marches aléatoires (sur Z, Z 2, Z 3 )

9 3 / 40 Plan de l histoire de ce soir 1827 : l observation de Robert Brown, botaniste écossais Comment modéliser un Mouvement Brownien Marches aléatoires Etude des marches aléatoires (sur Z, Z 2, Z 3 ) Comment compter les atomes : l approche d Einstein (1905)

10 3 / 40 Plan de l histoire de ce soir 1827 : l observation de Robert Brown, botaniste écossais Comment modéliser un Mouvement Brownien Marches aléatoires Etude des marches aléatoires (sur Z, Z 2, Z 3 ) Comment compter les atomes : l approche d Einstein (1905) Débat sur l allure d une courbe typique au XIX e siècle. Marches aléatoires et comment bien mélanger les cartes : le Riffle Shuffle Marches aléatoires et Google

11 4 / 40 L observation de Robert Brown En 1827, Robert Brown observe des fines particules de pollen suspendues dans du liquide. Il observe au microscope que ces petites particules bougent dans tous les sens suivant un mouvement erratique. Ce mouvement portera plus tard le nom de Mouvement Brownien.

12 4 / 40 L observation de Robert Brown En 1827, Robert Brown observe des fines particules de pollen suspendues dans du liquide. Il observe au microscope que ces petites particules bougent dans tous les sens suivant un mouvement erratique. Ce mouvement portera plus tard le nom de Mouvement Brownien.

13 4 / 40 L observation de Robert Brown En 1827, Robert Brown observe des fines particules de pollen suspendues dans du liquide. Il observe au microscope que ces petites particules bougent dans tous les sens suivant un mouvement erratique. Ce mouvement portera plus tard le nom de Mouvement Brownien.

14 4 / 40 L observation de Robert Brown En 1827, Robert Brown observe des fines particules de pollen suspendues dans du liquide. Il observe au microscope que ces petites particules bougent dans tous les sens suivant un mouvement erratique. Ce mouvement portera plus tard le nom de Mouvement Brownien.

15 4 / 40 L observation de Robert Brown En 1827, Robert Brown observe des fines particules de pollen suspendues dans du liquide. Il observe au microscope que ces petites particules bougent dans tous les sens suivant un mouvement erratique. Ce mouvement portera plus tard le nom de Mouvement Brownien.

16 4 / 40 L observation de Robert Brown En 1827, Robert Brown observe des fines particules de pollen suspendues dans du liquide. Il observe au microscope que ces petites particules bougent dans tous les sens suivant un mouvement erratique. Ce mouvement portera plus tard le nom de Mouvement Brownien.

17 4 / 40 L observation de Robert Brown En 1827, Robert Brown observe des fines particules de pollen suspendues dans du liquide. Il observe au microscope que ces petites particules bougent dans tous les sens suivant un mouvement erratique. Ce mouvement portera plus tard le nom de Mouvement Brownien.

18 Comment modeliser un tel mouvement erratique? 5 / 40

19 Comment modeliser un tel mouvement erratique? 5 / 40

20 Comment modeliser un tel mouvement erratique? 5 / 40

21 Comment modeliser un tel mouvement erratique? un système d environ équations differentielles à résoudre... 5 / 40

22 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

23 6 / 40 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire r

24 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

25 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

26 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

27 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

28 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

29 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

30 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

31 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

32 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

33 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

34 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire 6 / 40

35 6 / 40 Une modélisation plus simple : la marche aléatoire On va simplifier encore le modèle

36 Marche aléatoire sur Z2 N E W S 7 / 40

37 Marche aléatoire sur Z2 N E W S 7 / 40

38 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

39 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

40 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

41 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

42 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

43 Marche aléatoire sur Z2 Z2 7 / 40

44 Marche aléatoire sur Z2 Z2 7 / 40

45 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

46 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

47 Marche aléatoire sur Z2 7 / 40

48 Voici à quoi ressemble une marche aléatoire sur Z 2 vue de loin! Images prises sur Wikipedia 8 / 40

49 vue d un peu plus loin!! 9 / 40

50 2,000,000 de pas (belle image de Wikipedia) 10 / 40

51 11 / 40 Modèle très simple mais dont la limite est un objet riche Pour créer de telles images fractales, la seule source d aléa dont nous avons besoin peut être générée par :

52 12 / 40 Et en dimension 3? Z 3 W F N S B E On part suivant chaque direction avec probabilité 1/6

53 12 / 40 Et en dimension 3? Z 3 W F N S B E On part suivant chaque direction avec probabilité 1/6

54 A quelle vitesse une marche aléatoire diffuse -t-elle? 13 / 40

55 13 / 40 A quelle vitesse une marche aléatoire diffuse -t-elle? Vu que notre trajectoire est aléatoire, on devrait plutôt se demander à quelle vitesse EN MOYENNE une marche aléatoire s éloigne-t-elle de son point de départ?

56 13 / 40 A quelle vitesse une marche aléatoire diffuse -t-elle? Vu que notre trajectoire est aléatoire, on devrait plutôt se demander à quelle vitesse EN MOYENNE une marche aléatoire s éloigne-t-elle de son point de départ? Autrement dit, si S n est la position de notre marche aléatoire au temps n dans Z 2, on aimerait comprendre la fonction n E [ S n ] S n S n

57 A quelle vitesse une marche aléatoire diffuse -t-elle? Vu que notre trajectoire est aléatoire, on devrait plutôt se demander à quelle vitesse EN MOYENNE une marche aléatoire s éloigne-t-elle de son point de départ? S n Autrement dit, si S n est la position de notre marche aléatoire au temps n dans Z 2, on aimerait comprendre la fonction n E [ S n ] S n Pour comprendre cette vitesse moyenne, nous allons 1 Considérer le cas plus simple de la dimension 1 2 Expliquer ce que l on entend par E [ X ], la moyenne (appelée aussi l espérance) d une variable aléatoire X 13 / 40

58 13 / 40 A quelle vitesse une marche aléatoire diffuse -t-elle? Vu que notre trajectoire est aléatoire, on devrait plutôt se demander à quelle vitesse EN MOYENNE une marche aléatoire s éloigne-t-elle de son point de départ? Autrement dit, si S n est la position de notre marche aléatoire au temps n dans Z 2, on aimerait comprendre la fonction n E [ S n ] S n S n Par ailleurs, on s attend au comportement suivant 1 E [ S n ] n

59 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z t

60 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z t

61 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z t

62 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z t

63 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z t

64 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z S n t

65 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z S n t n E[ S n ]?

66 14 / 40 Marche aléatoire en dimension 1: sur Z Z S n t n E[ S n ]? n E[(S n ) 2 ]?

67 Lien avec la dimension deux : Z 2 15 / 40

68 15 / 40 Lien avec la dimension deux : Z Z

69 15 / 40 Lien avec la dimension deux : Z Z

70 15 / 40 Lien avec la dimension deux : Z Z

71 15 / 40 Lien avec la dimension deux : Z Z

72 15 / 40 Lien avec la dimension deux : Z Z

73 15 / 40 Lien avec la dimension deux : Z Z

74 16 / 40 Rappel sur la notion d espérance E [ ] E

75 16 / 40 Rappel sur la notion d espérance E [ ] E = 3, 5 = 1 6 (1) (2) (3) (6)

76 17 / 40 A quelle vitesse la marche aléatoire diffuse -t-elle sur Z? E[(S 1 ) 2 ]?

77 17 / 40 A quelle vitesse la marche aléatoire diffuse -t-elle sur Z? E[(S 1 ) 2 ]? S 1 = 1, p = 1/2 S 1 = 1, p = 1/2 E[(S 1 ) 2 ] = 1 2 (1) ( 1)2 = 1 E[(S 1 ) 2 ] = 1

78 17 / 40 A quelle vitesse la marche aléatoire diffuse -t-elle sur Z? E[(S 2 ) 2 ]? E[(S 1 ) 2 ] = 1

79 17 / 40 A quelle vitesse la marche aléatoire diffuse -t-elle sur Z? E[(S 2 ) 2 ]? S 2 = 2, p = 1/4 S 2 = 0, p = 1/2 S 2 = 2, p = 1/4 E[(S 2 ) 2 ] = 1 4 (2) (0) ( 2)2 = 2 E[(S 1 ) 2 ] = 1 E[(S 2 ) 2 ] = 2

80 17 / 40 A quelle vitesse la marche aléatoire diffuse -t-elle sur Z? S 3 = 3, p = 1/8 E[(S 3 ) 2 ]? S 3 = 1, p = 3/8 E[(S 3 ) 2 ] = 1 8 (3) (1) ( 1) ( 3)2 = 3! E[(S 1 ) 2 ] = 1 E[(S 2 ) 2 ] = 2 E[(S 3 ) 2 ] = 3

81 17 / 40 A quelle vitesse la marche aléatoire diffuse -t-elle sur Z? S 3 = 3, p = 1/8 E[(S 3 ) 2 ]? S 3 = 1, p = 3/8 E[(S 3 ) 2 ] = 1 8 (3) (1) ( 1) ( 3)2 = 3! E[(S 1 ) 2 ] = 1 E[(S 2 ) 2 ] = 2 E[(S n ) 2 ] = n?? E[(S 3 ) 2 ] = 3

82 Vitesse la marche aléatoire (suite) Théorème Si (S n ) n 0 est une marche aléatoire sur Z alors E [ (S n ) 2] = n

83 Vitesse la marche aléatoire (suite) Théorème Si (S n ) n 0 est une marche aléatoire sur Z alors E [ (S n ) 2] = n preuve : S n = X 1 + X X n, où les X i { 1, 1} sont indépendantes.

84 Vitesse la marche aléatoire (suite) Théorème Si (S n ) n 0 est une marche aléatoire sur Z alors E [ (S n ) 2] = n preuve : S n = X 1 + X X n, où les X i { 1, 1} sont indépendantes. E [ (S n ) 2] = E [ ( X i ) 2] i = E [ ] X i X j i,j

85 Vitesse la marche aléatoire (suite) Théorème Si (S n ) n 0 est une marche aléatoire sur Z alors E [ (S n ) 2] = n preuve : S n = X 1 + X X n, où les X i { 1, 1} sont indépendantes. E [ (S n ) 2] = E [ ( X i ) 2] i = E [ ] X i X j = E [ ] X i X j i,j i,j

86 Vitesse la marche aléatoire (suite) Théorème Si (S n ) n 0 est une marche aléatoire sur Z alors E [ (S n ) 2] = n preuve : S n = X 1 + X X n, où les X i { 1, 1} sont indépendantes. E [ (S n ) 2] = E [ ( X i ) 2] i = E [ ] X i X j = E [ ] X i X j = i i,j E [ X 2 i i,j ] + E [ ] X i X j i j

87 Vitesse la marche aléatoire (suite) Théorème Si (S n ) n 0 est une marche aléatoire sur Z alors E [ (S n ) 2] = n preuve : S n = X 1 + X X n, où les X i { 1, 1} sont indépendantes. E [ (S n ) 2] = E [ ( X i ) 2] i = E [ ] X i X j = E [ ] X i X j = i = i i,j E [ X 2 i i,j ] + E [ ] X i X j i j E [ (±1) 2] + i j E [ X i ] E [ Xj ] (indépendance)

88 Vitesse la marche aléatoire (suite) Théorème Si (S n ) n 0 est une marche aléatoire sur Z alors E [ (S n ) 2] = n preuve : S n = X 1 + X X n, où les X i { 1, 1} sont indépendantes. E [ (S n ) 2] = E [ ( X i ) 2] i = E [ ] X i X j = E [ ] X i X j = i i,j E [ X 2 i i,j ] + E [ ] X i X j i j = E [ (±1) 2] + i i j = n + 0 = n E [ X i ] E [ Xj ] (indépendance)

89 19 / 40 Remarques Le résultat précédent suggère que E [ S n ] n

90 19 / 40 Remarques Le résultat précédent suggère que E [ S n ] n Théorème Si (S n ) n 0 est la marche aléatoire sur Z d alors E [ S n 2] = n (preuve très similaire).

91 Remarques Le résultat précédent suggère que Théorème E [ S n ] n Si (S n ) n 0 est la marche aléatoire sur Z d alors (preuve très similaire). Remarque E [ S n 2] = n Si on regarde une marche aléatoire S n sur n importe quel réseau régulier du plan ou de l espace, on aura aussi E [ S n 2] = D n, où D est le coefficient de diffusion. 19 / 40

92 Comment compter les atomes? Quelles données sont à notre disposition? 20 / 40

93 Comment compter les atomes? Quelles données sont à notre disposition? 20 / 40

94 Comment compter les atomes? Quelles données sont à notre disposition? 20 / 40

95 20 / 40 Comment compter les atomes? Quelles données sont à notre disposition? δz 3 δ

96 20 / 40 Comment compter les atomes? Quelles données sont à notre disposition? δz 3 δ ce qu on ne connaît pas : Le pas du reseau δ?? t??

97 20 / 40 Comment compter les atomes? Quelles données sont à notre disposition? δz 3 δ ce qu on ne connaît pas : Le pas du reseau δ?? t?? trajectoire t B(t)

98 21 / 40 Données du problème Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m

99 21 / 40 Données du problème Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r

100 21 / 40 Données du problème Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r 3 La température du fluide : T ENERGIE

101 21 / 40 Données du problème Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r 3 La température du fluide : T ENERGIE 4 La viscosité du fluide : η

102 21 / 40 Données du problème Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r 3 La température du fluide : T ENERGIE 4 La viscosité du fluide : η 5 Le coéfficient de diffusion D : E [ B(t) 2] = D t

103 21 / 40 Données du problème Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r 3 La température du fluide : T ENERGIE 4 La viscosité du fluide : η 5 Le coéfficient de diffusion D : Relation d Einstein D = R T π N a η r R = Cste des gaz parfaits R = 8.31 J.mol 1.K 1 P V = n RT E c = 3 2 n RT, n = Nb moles E [ B(t) 2] = D t

104 Données du problème Relation d Einstein Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r 3 La température du fluide : T ENERGIE 4 La viscosité du fluide : η 5 Le coéfficient de diffusion D : E [ B(t) 2] = D t D = R T π N a η r R = Cste des gaz parfaits R = 8.31 J.mol 1.K 1 P V = n RT E c = 3 2 n RT N a = mol 1, n = Nb moles = Nb d atomes dans 12g de Carbone C / 40

105 Données du problème Relation d Einstein Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r 3 La température du fluide : T ENERGIE 4 La viscosité du fluide : η 5 Le coéfficient de diffusion D : E [ B(t) 2] = D t D = R T π N a η r R = Cste des gaz parfaits R = 8.31 J.mol 1.K 1 P V = n RT E c = 3 2 n RT N a = mol 1, n = Nb moles = Nb d atomes dans 12g de Carbone C / 40

106 Données du problème Relation d Einstein Données/observations de l experience : 1 La masse de la particule : m 2 Le rayon de la particule : r 3 La température du fluide : T ENERGIE 4 La viscosité du fluide : η 5 Le coéfficient de diffusion D : E [ B(t) 2] = D t D = R T π N a η r R = Cste des gaz parfaits R = 8.31 J.mol 1.K 1 P V = n RT E c = 3 2 n RT N a = mol 1, n = Nb moles = Nb d atomes dans 12g de Carbone C 12 Il nous reste à comprendre la relation d Einstein! 21 / 40

107 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) 22 / 40

108 22 / 40 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t.

109 22 / 40 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] ( B(t) 2 = x(t) 2 + y(t) 2 + z(t) 2 ).

110 22 / 40 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] =

111 22 / 40 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)]

112 22 / 40 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)] = 2 m E[ m ẋ 2 + x mẍ ]

113 22 / 40 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)] = 2 m E[ m ẋ 2 + x mẍ ] mẍ = F frottment + F moleculaire

114 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)] = 2 m E[ m ẋ 2 + x mẍ ] v mẍ = F frottment + F moleculaire = F frottment }{{} +F moleculaire F = 6πη r v 22 / 40

115 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)] = 2 m E[ m ẋ 2 + x mẍ ] F = 6πη r v v mẍ = F frottment + F moleculaire = F frottment }{{} +F moleculaire = 6πη r ẋ + F moleculaire }{{} 22 / 40

116 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)] = 2 m E[ m ẋ 2 + x mẍ ] mẍ = F frottment + F moleculaire = F frottment }{{} +F moleculaire = 6πη r ẋ + F moleculaire }{{} 22 / 40

117 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)] = 2 m E[ m ẋ 2 + x mẍ ] mẍ = F frottment + F moleculaire = F frottment }{{} +F moleculaire = 6πη r ẋ + F moleculaire }{{} E [ F moleculaire ] = E [ x Fmoleculaire ] = 0 22 / 40

118 L argument de Paul Langevin (F = m a :-) On veut comprendre D tel que E [ B(t) 2] = D t. Etudions la fonction t E [ x 2 (t) ] d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = E [ d 2 dt 2 x 2 (t) ] = E [ d dt 2x(t)ẋ(t)] = 2 m E[ m ẋ 2 + x mẍ ] mẍ = F frottment + F moleculaire = F frottment }{{} +F moleculaire = 6πη r ẋ + F moleculaire }{{} E [ F moleculaire ] = E [ x Fmoleculaire ] = 0 d 2 dt 2 E[ x 2] = 2 m ( E [ m ẋ 2] }{{} E[ x 6πη r ẋ ] ) 22 / 40

119 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule)

120 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour 2 particules) m 1 v 1 A l équilibre, on a E [ 1 2 m 1v1 2 ] [1 = E 2 m 2 v2 2 ] Ce qui signifie m 2 v 2 T 0 T m 1 v 1 (t) 2 dt T m 2 v 2 (t) 2 dt 0

121 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour N particules) m v

122 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour N particules) m v m i v i

123 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour N particules) m v A l équilibre, on a pour tout i, j E [ 1 2 m ivi 2 ] [1 = E 2 m j vj 2 ] En particulier on a : m i v i U = i E i = N E [ 1 2 m v 2]

124 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour N particules) m v A l équilibre, on a pour tout i, j E [ 1 2 m ivi 2 ] [1 = E 2 m j vj 2 ] En particulier on a : m i v i U = i E i = N E [ 1 2 m v 2] Par ailleurs, l énergie interne est proportionnelle à la température T et vaut U = 3/2 n RT (approximation des gaz parfaits).

125 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour N particules) m v A l équilibre, on a pour tout i, j E [ 1 2 m ivi 2 ] [1 = E 2 m j vj 2 ] En particulier on a : m i v i U = i E i = N E [ 1 2 m v 2] Par ailleurs, l énergie interne est proportionnelle à la température T et vaut U = 3/2 n RT (approximation des gaz parfaits). N E [ 1 2 m v 2] = 3 2 n RT

126 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour N particules) m v A l équilibre, on a pour tout i, j E [ 1 2 m ivi 2 ] [1 = E 2 m j vj 2 ] En particulier on a : m i v i U = i E i = N E [ 1 2 m v 2] Par ailleurs, l énergie interne est proportionnelle à la température T et vaut U = 3/2 n RT (approximation des gaz parfaits). N E [ 1 2 m v 2] = 3 2 n RT = 3 2 N N a RT

127 Equipartition de l énergie Il nous reste à comprendre le terme E [ m ẋ 2] ( énergie cinétique moyenne de la particule) Principe d équipartition de l énergie (pour N particules) m v A l équilibre, on a pour tout i, j E [ 1 2 m ivi 2 ] [1 = E 2 m j vj 2 ] En particulier on a : m i v i U = i E i = N E [ 1 2 m v 2] Par ailleurs, l énergie interne est proportionnelle à la température T et vaut U = 3/2 n RT (approximation des gaz parfaits). N E [ 1 2 m v 2] = 3 2 n RT = 3 2 N N a RT E [ m v 2] = 3 RT N a

128 Fin du raisonnement On obtient ainsi d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = 2 ( 3RT 6πη r E [ x ẋ ]) m N a

129 Fin du raisonnement On obtient ainsi d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = 2 ( 3RT 6πη r E [ x ẋ ]) m N a = 2 ( RT 6πη r 1 d m N a 2 dt E[ x 2 (t) ])

130 Fin du raisonnement On obtient ainsi d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = 2 ( 3RT 6πη r E [ x ẋ ]) m N a = 2 ( RT 6πη r 1 d m N a 2 dt E[ x 2 (t) ]) On introduit la fonction y(t) := d dt E[ x 2 (t) ] qui résout l équation différentielle y = 2 ( RT 6π η r ) y m N a 2

131 Fin du raisonnement On obtient ainsi d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = 2 ( 3RT 6πη r E [ x ẋ ]) m N a = 2 ( RT 6πη r 1 d m N a 2 dt E[ x 2 (t) ]) On introduit la fonction y(t) := d dt E[ x 2 (t) ] qui résout l équation différentielle y = 2 ( RT 6π η r ) y m N a 2 y(t) = RT + A e 6π η r m t exercice :-) 3π η r N a Ainsi, on retrouve E [ x 2 (t) ] = t 0 y(u)du RT 3π η r N a t

132 Fin du raisonnement On obtient ainsi d 2 dt 2 E[ x 2 (t) ] = 2 ( 3RT 6πη r E [ x ẋ ]) m N a = 2 ( RT 6πη r 1 d m N a 2 dt E[ x 2 (t) ]) On introduit la fonction y(t) := d dt E[ x 2 (t) ] qui résout l équation différentielle y = 2 ( RT 6π η r ) y m N a 2 y(t) = RT + A e 6π η r m t exercice :-) 3π η r N a Ainsi, on retrouve E [ x 2 (t) ] = t 0 y(u)du RT 3π η r N a t E [ B(t) 2] = D t = E [ x 2 (t) ] + E [ y 2 (t) ] + E [ z 2 (t) ] = RT π η r N a t

133 25 / 40 Protocole expérimental (Jean Perrin) D = RT π η r N a Jean Perrin : 1 Plusieurs particules de rayons r

134 25 / 40 Protocole expérimental (Jean Perrin) D = RT π η r N a Jean Perrin : 1 Plusieurs particules de rayons r 2 à différentes températures T

135 25 / 40 Protocole expérimental (Jean Perrin) D = RT π η r N a Jean Perrin : 1 Plusieurs particules de rayons r 2 à différentes températures T 3 A chaque fois, il mesure D via E [ B(t) 2] = D t.

136 25 / 40 Protocole expérimental (Jean Perrin) D = RT π η r N a Jean Perrin : 1 Plusieurs particules de rayons r 2 à différentes températures T 3 A chaque fois, il mesure D via E [ B(t) 2] = D t. En 1908, il obtient ainsi N a !! Pas si éloigné que ça de ! Prix Nobel en 1926 pour ses travaux sur la discontinuité de la matière

137 26 / 40 Résumé de l approche qu on a adoptée 1 On a d abord modélisé le mouvement erratique de la particule de pollen de Brown par une marche aléatoire dans Z 3.

138 26 / 40 Résumé de l approche qu on a adoptée 1 On a d abord modélisé le mouvement erratique de la particule de pollen de Brown par une marche aléatoire dans Z 3. 2 On a ensuite étudié cette marche aléatoire pour voir (rigoureusement) que E [ B t 2] = D t pour un certain coefficient de diffusion D.

139 26 / 40 Résumé de l approche qu on a adoptée 1 On a d abord modélisé le mouvement erratique de la particule de pollen de Brown par une marche aléatoire dans Z 3. 2 On a ensuite étudié cette marche aléatoire pour voir (rigoureusement) que E [ B t 2] = D t pour un certain coefficient de diffusion D. 3 On a enfin trouvé une expression de cette constante de diffusion en fonction de T,r,... et surtout de la quantité qui nous intéresse : N a.

140 26 / 40 Résumé de l approche qu on a adoptée 1 On a d abord modélisé le mouvement erratique de la particule de pollen de Brown par une marche aléatoire dans Z 3. 2 On a ensuite étudié cette marche aléatoire pour voir (rigoureusement) que E [ B t 2] = D t pour un certain coefficient de diffusion D. 3 On a enfin trouvé une expression de cette constante de diffusion en fonction de T,r,... et surtout de la quantité qui nous intéresse : N a. L approche ici était non-rigoureuse à plusieurs endroits : Equipartition[ de l énergie] Le fait que E Fmoleculaire = 0...

141 27 / 40 Suite de l exposé 1 Retour à l origine des marches aléatoires dans Z d, d = 1, 2, 3

142 27 / 40 Suite de l exposé 1 Retour à l origine des marches aléatoires dans Z d, d = 1, 2, 3 2 Courbes typiques dans le plan

143 27 / 40 Suite de l exposé 1 Retour à l origine des marches aléatoires dans Z d, d = 1, 2, 3 2 Courbes typiques dans le plan 3 Quelque applications pratiques des marches aléatoires : mélange de cartes Google

144 28 / 40 Problème du retour à l origine pour les marches aléatoires sur Z d, d = 1, 2, 3 Théorème Presque sûrement, une marche aléatoire sur Z reviendra toujours visiter l origine.

145 28 / 40 Problème du retour à l origine pour les marches aléatoires sur Z d, d = 1, 2, 3 Théorème Presque sûrement, une marche aléatoire sur Z reviendra toujours visiter l origine. En particulier, l ensemble des points visités {S n, n 0} = Z presque sûrement. On dit que la marche aléatoire sur Z est récurrente.

146 28 / 40 Problème du retour à l origine pour les marches aléatoires sur Z d, d = 1, 2, 3 Théorème Presque sûrement, une marche aléatoire sur Z reviendra toujours visiter l origine. En particulier, l ensemble des points visités {S n, n 0} = Z presque sûrement. On dit que la marche aléatoire sur Z est récurrente.

147 Problème du retour à l origine pour les marches aléatoires sur Z d, d = 1, 2, 3 Théorème Presque sûrement, une marche aléatoire sur Z reviendra toujours visiter l origine. En particulier, l ensemble des points visités {S n, n 0} = Z presque sûrement. On dit que la marche aléatoire sur Z est récurrente. Preuve : on veut montrer qu avec probabilité un, il existe un N > 0 tel que S N = / 40

148 Preuve de la récurrence sur Z 29 / 40

149 Preuve de la récurrence sur Z 29 / 40

150 Preuve de la récurrence sur Z 29 / 40

151 29 / 40 Preuve de la récurrence sur Z 2 1 0

152 29 / 40 Preuve de la récurrence sur Z Z 1 ±1

153 29 / 40 Preuve de la récurrence sur Z Z 1 = 1

154 29 / 40 Preuve de la récurrence sur Z Z 1 = 1 Z 2 = ±1

155 29 / 40 Preuve de la récurrence sur Z Z 1 = 1 Z 2 = 1

156 29 / 40 Preuve de la récurrence sur Z 2 3 = Z 1 = 1 Z 2 = 1

157 29 / 40 Preuve de la récurrence sur Z 2 3 = 8 p = 1/ Z 1 = 1 Z 2 = 1 p = 1/2 Z 3 = ±1

158 Preuve de la récurrence sur Z 2 3 = 8 p = 1/ Z 1 = 1 Z 2 = 1 p = 1/2 P [ S n 0, n 1 ] = 2P [ Z i = 1, i 1 ] = 2 = 2 P [ Z i = 1 ] i=1 i=1 Z 3 = ±1 P [ Z i = 1 ] 1 2 = 0 29 / 40

159 Théorème de George Polya (1921) : Récurrence sur Z 2 A B Comme sur Z, la marche aléatoire sur Z 2 finit toujours par revenir à son point de départ. Où encore, partant de n importe quel point A, on est sûr d arriver en B en temps fini.

160 Théorème de George Polya (1921) : Récurrence sur Z 2 A B Comme sur Z, la marche aléatoire sur Z 2 finit toujours par revenir à son point de départ. Où encore, partant de n importe quel point A, on est sûr d arriver en B en temps fini. La preuve utilise P [ S 2n = (0, 0) ] 1 n = n 1 n=1

161 Théorème de George Polya (1921) : Récurrence sur Z 2 A B Comme sur Z, la marche aléatoire sur Z 2 finit toujours par revenir à son point de départ. Où encore, partant de n importe quel point A, on est sûr d arriver en B en temps fini. La preuve utilise P [ S 2n = (0, 0) ] 1 n = n 1 n=1 Théorème de George Polya (1921) : Transcience sur Z 3 En revanche sur Z 3, la marche aléatoire se perd. Elle diverge vers +.

162 Théorème de George Polya (1921) : Récurrence sur Z 2 A B Comme sur Z, la marche aléatoire sur Z 2 finit toujours par revenir à son point de départ. Où encore, partant de n importe quel point A, on est sûr d arriver en B en temps fini. La preuve utilise P [ S 2n = (0, 0) ] 1 n = n 1 n=1 Théorème de George Polya (1921) : Transcience sur Z 3 En revanche sur Z 3, la marche aléatoire se perd. Elle diverge vers +. La preuve utilise P [ S 2n = (0, 0, 0) ] 1 n < 3/2 n 1 n=1

163 Sur la dérivabilité des fonctions 1 Au début du XIXe siècle, les mathématiciens pensent que toute fonction continue est dérivable, sauf peut-être en un nombre fini de points

164 Sur la dérivabilité des fonctions 1 Au début du XIXe siècle, les mathématiciens pensent que toute fonction continue est dérivable, sauf peut-être en un nombre fini de points 2 André-Marie Ampère essaye même de démontrer cette propriété en 1806!

165 Sur la dérivabilité des fonctions 1 Au début du XIXe siècle, les mathématiciens pensent que toute fonction continue est dérivable, sauf peut-être en un nombre fini de points 2 André-Marie Ampère essaye même de démontrer cette propriété en 1806! 3 En 1861, Bernhard Riemann surprend tout le monde en proposant la fonction suivante au cours d une conférence f (x) = + k=1 1 k sin(k2 x) f est continue sur R mais dérivable seulement en de rares points.

166 Sur la dérivabilité des fonctions 1 Au début du XIXe siècle, les mathématiciens pensent que toute fonction continue est dérivable, sauf peut-être en un nombre fini de points 2 André-Marie Ampère essaye même de démontrer cette propriété en 1806! 3 En 1861, Bernhard Riemann surprend tout le monde en proposant la fonction suivante au cours d une conférence f (x) = + k=1 1 k sin(k2 x) f est continue sur R mais dérivable seulement en de rares points. 4 En 1872, Karl Weierstrass obtient une famille de fonctions continues et nulle part dérivables : f (x) = + k=0 a k cos(b k πx)

167 Sur la dérivabilité des fonctions 1 Au début du XIXe siècle, les mathématiciens pensent que toute fonction continue est dérivable, sauf peut-être en un nombre fini de points 2 André-Marie Ampère essaye même de démontrer cette propriété en 1806! 3 En 1861, Bernhard Riemann surprend tout le monde en proposant la fonction suivante au cours d une conférence f (x) = + k=1 1 k sin(k2 x) f est continue sur R mais dérivable seulement en de rares points. 4 En 1872, Karl Weierstrass obtient une famille de fonctions continues et nulle part dérivables : f (x) = + k=0 a k cos(b k πx) 5 En 1920, on redécouvre des travaux de Bernard Bolzano qui remontent à 1833 où il obtenait déjà de telles courbes.

168 32 / 40 Comment l existence de telles fonctions a été perçue 1 Charles Hermite déclara en 1893 : «Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n ont point de dérivées.»

169 32 / 40 Comment l existence de telles fonctions a été perçue 1 Charles Hermite déclara en 1893 : «Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n ont point de dérivées.» 2 Henri Poincaré lui, les qualifie de monstres...

170 32 / 40 Comment l existence de telles fonctions a été perçue 1 Charles Hermite déclara en 1893 : «Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n ont point de dérivées.» 2 Henri Poincaré lui, les qualifie de monstres... Un parallèle intéressant Ca rappelle un peu la découverte des nombres irrationnels par les grecs!

171 32 / 40 Comment l existence de telles fonctions a été perçue 1 Charles Hermite déclara en 1893 : «Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n ont point de dérivées.» 2 Henri Poincaré lui, les qualifie de monstres... Un parallèle intéressant Ca rappelle un peu la découverte des nombres irrationnels par les grecs! Question Aujourd hui, considère-t-on ces fonctions comme des monstres ou à l inverse comme étant des fonctions typiques?

172 33 / 40 A quoi ressemble une courbe typique du plan? A votre avis, si on tire au hasard une courbe du plan, elle ressemblera à ou?

173 33 / 40 A quoi ressemble une courbe typique du plan? A votre avis, si on tire au hasard une courbe du plan, elle ressemblera à ou? Question Comment s y prendre pour tirer au hasard un courbe du plan?

174 33 / 40 A quoi ressemble une courbe typique du plan? A votre avis, si on tire au hasard une courbe du plan, elle ressemblera à ou? Question Comment s y prendre pour tirer au hasard un courbe du plan? Plus précisément, on veut choisir au hasard un courbe parmi toutes les courbes γ C([0, 1], R 2 ), l espace des chemins continus à valeurs dans R 2.

175 33 / 40 A quoi ressemble une courbe typique du plan? A votre avis, si on tire au hasard une courbe du plan, elle ressemblera à ou? Question Comment s y prendre pour tirer au hasard un courbe du plan? Plus précisément, on veut choisir au hasard un courbe parmi toutes les courbes γ C([0, 1], R 2 ), l espace des chemins continus à valeurs dans R 2. Problème : cet espace est très gros : vu comme espace vectoriel, il est de dimension infinie!

176 34 / 40 Une approche naturelle : discrétiser le problème Prenons un cas beaucoup plus simple : on voudrait tirer au hasard un réel x [0, 1]. 1 1/2 k 2 n n x 0

177 Une approche naturelle : discrétiser le problème Prenons un cas beaucoup plus simple : on voudrait tirer au hasard un réel x [0, 1]. 1 1/2 k 2 n n x 0 Mouvement Brownien 34 / 40

178 Le mouvement Brownien est dérivable NULLE-PART! 35 / 40

179 Le mouvement Brownien est dérivable NULLE-PART! 35 / 40

180 36 / 40 Marches aléatoires sur les groupes finis 1 On vient d étudier les marches aléatoires sur les groupes suivants (Z, Z 2, Z 3, +)

181 36 / 40 Marches aléatoires sur les groupes finis 1 On vient d étudier les marches aléatoires sur les groupes suivants (Z, Z 2, Z 3, +) 2 L exemple le plus simple de groupe fini : Z/NZ. On se pose des questions du type : quel est le temps de mélange?

182 36 / 40 Marches aléatoires sur les groupes finis 1 On vient d étudier les marches aléatoires sur les groupes suivants (Z, Z 2, Z 3, +) 2 L exemple le plus simple de groupe fini : Z/NZ. On se pose des questions du type : quel est le temps de mélange? Z/NZ

183 36 / 40 Marches aléatoires sur les groupes finis 1 On vient d étudier les marches aléatoires sur les groupes suivants (Z, Z 2, Z 3, +) 2 L exemple le plus simple de groupe fini : Z/NZ. On se pose des questions du type : quel est le temps de mélange? n N 2 Z/NZ

184 36 / 40 Marches aléatoires sur les groupes finis 1 On vient d étudier les marches aléatoires sur les groupes suivants (Z, Z 2, Z 3, +) 2 L exemple le plus simple de groupe fini : Z/NZ. On se pose des questions du type : quel est le temps de mélange? n N 2 Z/NZ

185 36 / 40 Marches aléatoires sur les groupes finis 1 On vient d étudier les marches aléatoires sur les groupes suivants (Z, Z 2, Z 3, +) 2 L exemple le plus simple de groupe fini : Z/NZ. On se pose des questions du type : quel est le temps de mélange? n N 2 Z/NZ Ici le temps de mélange était donc d ordre τ N N 2. 3 Un autre groupe intéressant : le groupe symétrique S N, cad le groupe de toutes les permutations à N éléments ( S N = N!).

186 37 / 40 Une marche aléatoire sur le groupe symétrique Dans les années 1980, Persi Diaconis a mis en évidence un phénomène important appelé phénomène de cut-off : il a trouvé des marches aléatoires qui restent longtemps loin de l équilibre et qui tout à coup se mélangent très rapidement.

187 37 / 40 Une marche aléatoire sur le groupe symétrique Dans les années 1980, Persi Diaconis a mis en évidence un phénomène important appelé phénomène de cut-off : il a trouvé des marches aléatoires qui restent longtemps loin de l équilibre et qui tout à coup se mélangent très rapidement. L un des exemples phares est celui d une marche aléatoire sur S N qui modélise le fameux riffle-shuffle.

188 37 / 40 Une marche aléatoire sur le groupe symétrique Dans les années 1980, Persi Diaconis a mis en évidence un phénomène important appelé phénomène de cut-off : il a trouvé des marches aléatoires qui restent longtemps loin de l équilibre et qui tout à coup se mélangent très rapidement. L un des exemples phares est celui d une marche aléatoire sur S N qui modélise le fameux riffle-shuffle. Lorsque N = 52?

189 37 / 40 Une marche aléatoire sur le groupe symétrique Dans les années 1980, Persi Diaconis a mis en évidence un phénomène important appelé phénomène de cut-off : il a trouvé des marches aléatoires qui restent longtemps loin de l équilibre et qui tout à coup se mélangent très rapidement. L un des exemples phares est celui d une marche aléatoire sur S N qui modélise le fameux riffle-shuffle. Lorsque N = 52? S 52 = 52! Donc ce groupe fini est énorme (comparer aux atomes dans l univers!)

190 Une marche aléatoire sur le groupe symétrique Dans les années 1980, Persi Diaconis a mis en évidence un phénomène important appelé phénomène de cut-off : il a trouvé des marches aléatoires qui restent longtemps loin de l équilibre et qui tout à coup se mélangent très rapidement. L un des exemples phares est celui d une marche aléatoire sur S N qui modélise le fameux riffle-shuffle. Lorsque N = 52? S 52 = 52! Donc ce groupe fini est énorme (comparer aux atomes dans l univers!) Diaconis montre que 7 riffle shuffles suffisent pour bien mélanger un paquet de cartes. En revanche avec seulement 6 shuffles, on est très loin d être bien mélangé! (Il a un tour de magie qui illustre ça). 37 / 40

191 38 / 40 Marches aléatoires et Google : le graphe du Web On s intéresse au graphe des pages web : G = (V, E). w v

192 38 / 40 Marches aléatoires et Google : le graphe du Web On s intéresse au graphe des pages web : G = (V, E). w v

193 Marches aléatoires et Google : le graphe du Web On s intéresse au graphe des pages web : G = (V, E). w v On 25 July 2008, Google software engineers Jesse Alpert and Nissan Hajaj announced that Google Search had discovered one trillion (i.e ) unique URLs #pages web = V / 40

194 page ranking : Altavista v.s. Google 39 / 40

195 39 / 40 page ranking : Altavista v.s. Google B A

196 40 / 40 The End MERCI!

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