TD1: ANALYSE DE STABILITÉ ET DES PERFORMANCES D UN ASSERVISSEMENT. k p(1+0.5p) 2

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1 TD1: ANALYSE DE STABILITÉ ET DES PERFORMANCES D UN ASSERVISSEMENT On considère l asservissement suivant : k p(1+0.5p) 2 I. Cas où k = 1 1. Donner l allure dans les plan de Bode, Nyquist et Black du lieu de transfert de la fonction en boucle ouverte. 2. Déterminer la stabilité du système en boucle fermée à partir de la fonction de transfert en boucle ouverte. 3. Retrouver ce résultat à partir de la fonction de transfert du système asservi. 4. Donner les marges de gain et de phase dans les trois représentations (Bode, Black, Nyquist). II. Cas où k est variable 1. Evaluer l influence de k dans les plan de Bode et Black : stabilité, marges et précision. 2. Déterminer la valeur limite du gain k. 3. Etablir l erreur de position et de traînage en fonction du gain k. Ces résultats étaient ils prévisibles? 4. Conclure sur le compromis stabilité-précision. Rappels : Critère du Revers Un système en boucle fermée dont la fonction de transfert en boucle ouverte n admet pas de pôle à partie réelle positive et est à minimum de phase, est stable si et seulement si en parcourant le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte dans le sens des ω croissants, on laisse le point critique (1,0) gauche. Marges de stabilité Les marges de gain et de phase permettent d évaluer le degré de stabilité ou encore la robustesse d un système asservi. Les marges de stabilité d un système en boucle fermée sont determinées à partir de la fonction de transfert du système en boucle ouverte. La marge de phase est mesurée sur G(jω) (fonc. de trans. en BO), c est la différence entre la valeur de la phase pour laquelle le gain est égal à 1, et 180 : Mφ = arg[g(jω)] G(jω) =1 (180) = arg[g(jω)] G(jω) = La marge de gain est mesurée en db sur G(jω) (fonc. de trans. en BO), c est la différence entre 0dB et la valeur du gain pour lequel la phase est égale à 180 : MG db = 0 db G(jω) arg[g(jω)]=180 = G(jω) arg[g(jω)]=180.

2 TD2: PERFORMANCES D UN SYSTÈME ASSERVI ET REJET DE PERTURBATIONS On considère le bras manipulateur à six liaisons rotoïdes représenté sur la figure 1. Figure 1: Bras Manipulateur On souhaite réaliser une tâche consistant manipuler des produits finis sur une chaîne de montage dans le but de les déplacer vers une zone de stockage. Il s agit pour le robot de se placer au dessus de chaque objet, de le saisir et de le déplacer jusqu à la zone de stockage où il le dépose. Dans la première et la dernière phase de ce type de tâche, le bras du robot (et donc chaque liaison!) doit être positionné très précisément. Ces dernières étant actionnées par un moteur à courant continu, celui-ci doit être commandé de manière à ce que la liaison correspondante soit correctement positionnée. Le schéma de principe de l asservissement de position d un seul axe est proposé sur la figure 2. L objectif est ici de montrer l effet de la perturbation sur la qualité de l asservissement et comment il est possible de la rejeter en modifiant la structure du correcteur. d(p) ε Ve(p) + (p) + k 0 + G(p) θ s (p) Vs(p) 1/10 Figure 2: Asservissement de position Après une étape de modélisation, on montre que le moteur est caractrisé par la fonction de transfert suivante : 10 G(p) = p( p) On note V e (p) = L{v e (t)}, V s (p) = L{v s (t)}, Θ e (p) = L{Θ e (t)}, Θ s (p) = L{Θ s (t)}, ε(p) = L{ε(t)}, d(p) = L{d(t)} où :

3 v e (t) désigne une tension proportionnelle à la consigne de position angulaire θ e (t). θ e (t) doit être fixée de telle sorte que la tâche robotique soit parfaitement réalisée. Les choix θ e (t) = θ 0 e U(t) (ou de maniére équivalente v e (t) = e 0 U(t) et θ e (t) = θ 0 e t U(t) (ou encore v e (t) = A t U(t)) correspondent respectivement au positionnement de l effecteur par rapport à un objet fixe et au suivi d un objet mobile. θ s (t) correspond à la position angulaire de l arbre moteur; v s (t) est la tension proportionnelle à θ s (t) délivrée par le potentiomètre placé dans la chaîne de retour ; l entrée secondaire d(t) représente une perturbation additive sur la tension d entrée du moteur. ε(t) = v e (t)v s (t) correspond l erreur exprimée en volts entre la tension de référence v e et la tension v s proportionnelle à l angle θ s. Enfin, ε(+ ) désigne la limite lim ε(t), et U(t) la fonction échelon unité. t + I. Montrer que ε(p) = V e (p) V s (p) peut s écrire sous la forme ε(p) = ε 1 (p) + ε 2 (p), où ε 1 (p) est une fonction de l entrée principale V e (p), et ε 2 (p) est une fonction de la perturbation d(p). II. On suppose momentanément que la perturbation d(t) est absente. 1. Déterminer l erreur de position ε(+ ) = ε 1 (+ ) lorsque v e (t) = e 0 U(t). 2. Calculer le gain k 0 tel que l erreur de traînage (ε(+ ) lorsque l asservissement est soumis à l entrée v e (t) = AtU(t)) soit égale à 10% de A; ce réglage du gain k 0 sera conservé dans les questions suivantes. 3. La tâche du robot est-elle correctement réalisée? III. La perturbation est maintenant de la forme d(p) = d0 p, avec d 0 = 0.1Volts. Établir l expression de ε 2 (+ ) ainsi que la nouvelle valeur de ε(+ ) lorsque v e (t) = e 0 U(t). La tâche est-elle maintenant correctement réalisée? IV. Tracer l allure de la fonction de transfert en boucle ouverte dans les plans de Black et Bode. Mesurer sur les diagrammes les marges de gain et de phase du système bouclé. V. On rajoute un bloc de fonction de transfert K(1 + 1 T ip ) entre le détecteur d écart et le gain k 0 avec K = 1 et T i = 100 s. 1. Que devient ε 2 (+ )? 2. Mesurer la nouvelle marge de phase du système asservi, et la comparer à celle déterminée précédemment. 3. Comment évolue cette valeur avec K? avec T i? 4. Qu en est-il de la qualité de la réalisation de la tâche du robot? VI. Établir la valeur de ε(+ ) lorsque v e (t) = e 0 U(t), si le bloc de fonction de transfert K(1 + 1 T ip ) est placé en aval de la perturbation.

4 TD3: SYNTHÈSE FRÉQUENTIELLE RÉSEAUX CORRECTEURS PROPORTIONNEL INTÉGRAL ET À AVANCE DE PHASE I. Etude d une correction intégrale On considère l asservissement présenté ci-aprés : 1 (1+p)(1+4p) 1. Faire l analyse harmonique du système en boucle ouverte dans les diagrammes de Bode. 2. Calculer l erreur de position de cet asservissement lorsque e(t) = e 0 U(t). 3. Calculer l erreur de trainage (ou de vitesse) de cet asservissement lorsque e(t) = e 0 t U(t). 4. On souhaite annuler cette erreur de position en introduisant un réseau correcteur de fonction de transfert D(p) dans la chaîne directe de l asservissement. Quel modèle élémentaire peut être utilisé pour D(p)? 5. Faire l analyse harmonique dans les diagrammes de Bode de la chaîne directe de l asservissement ainsi corrigé. Déduire la marge de gain et la marge de phase de ce système. Calculer la nouvelle erreur de trainage. 6. On propose de multiplier l intégrateur par une constante k. Calculer k de sorte que l erreur de vitesse soit de l ordre de 10%. Le système est-il encore stable? Quelles sont les valeurs des marges? 7. On souhaite donc que l effet de la correction intégrale n agisse qu en basses fréquences afin d éviter le déphasage de 90 près du point critique. Quelle modification peut on apporter au correcteur pour satisfaire cette propriété? Construire ce correcteur et analyser l asservissement. II. Synthèse d un correcteur à avance de phase On considère un télescope tel que celui représenté sur la figure ci-dessous : Ce télescope est motorisé de manière à améliorer la qualité et le confort de l observation des objets célestes. La motorisation permet en effet de piloter le télescope plus précisment, de l amener automatiquement sur l objet recherché, et surtout de pouvoir suivre cet objet une fois que celui-ci est dans le champ de vue. L astronome peut ainsi se concentrer sur l observation plutôt que sur l ajustage permanent du télescope. Il s agit donc ici de piloter automatiquement le moteur de manière à garantir de bonnes performances en poursuite, c est-à-dire que l objet observé ne soit jamais perdu. Pour cela, on modélise le moteur puis on identifie ses paramètres, et on montre que sa fonction de transfert s écrit : G(p) = 20 p( p) Dans le but de commander le moteur, on réalise l asservissement suivant :

5 Figure 3: Télescope automatique 20 p(1+0.2p) Afin de réduire des oscillations rédhibitoires pour l observation du ciel et d accroître les performances en poursuite du télescope, on désire porter la marge de phase de cet asservissement à 45 et réduire son erreur de traînage à la valeur 1 50 = 2%. 1. Faire l analyse de l asservissement sans correction: stabilité, marges, erreur de position et de traînage. 2. Effectuer une correction proportionnelle k pour satisfaire la contrainte sur l erreur de vitesse (ou traînage) du cahier des charges. Quelle est la nouvelle valeur de la marge de phase? 3. Proposer un réseau correcteur à avance de phase pour rétablir une marge de phase de 45.

6 TD4: SYNTHÈSE FRÉQUENTIELLE D UN CORRECTEUR PID I. On considère le système de pointage d une antenne satellite telle que celle représentée ci-dessous. Figure 4: Antenne satellite Celle-ci doit être pointée avec le plus de précision possible vers le satellite dans le but d obtenir le meilleur gain et donc la meilleure puissance de signal, qu il soit émis ou reçu. Pour cela, il faut utiliser un système de poursuite automatique du satellite qui ajuste constamment le pointage de l antenne vers le satellite. Celle-ci étant motorisée par un moteur à courant continu, le système de poursuite automatique est basé sur l asservissement présenté ci-aprés : 1 p(1+p)(1+0.05p) où e(t) désigne la consigne correspondant à la position du satellite, et la position de l antenne. Les performances de l asservissement seront améliorées par le biais d un correcteur PID noté D(p). 1. A partir de l analyse harmonique du système en boucle ouverte, déterminez les performances stabilité-précision du système asservi. 2. Ce système est-il capable de suivre une trajectoire de consigne de type échelon de position, de type échelon de vitesse? 3. Afin d ajuster constamment le pointage de l antenne vers le satellite, il est nécessaire de suivre une trajectoire de type échelon de vitesse avec une erreur nulle en régime permanent. De plus, afin de réduire les oscillations, on impose une marge de phase d au moins 45 degrés. A-t-on besoin d utiliser les 3 paramètres P, I et D du correcteur pour obtenir ces performances? Calculez les paramètres d un correcteur satisfaisant. 4. Le correcteur fourni est tel que la constante de temps τ I ne peut être choisie arbitrairement grande et est limitée par construction de telle manière que τ I < 5. (a) Qu en est-il du correcteur proposé précédemment? (b) Calculez les paramètres d un correcteur PID satisfaisant.

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