Les suites. u : N R. n u(n) = e ln(n+1)+2 Compléter le tableau de valeurs (les images) par la suite u : n u n.

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1 Les suites 1 Suites généralités 1.1 Définition Une suite u est une fonction de l ensemble des entiers naturels N dans l ensemble des nombres réels R : Le terme u(n) est plus souvent noté u n. 1. Soit la suite u : 2. Soit deux suites u et v telles que : n u(n) n u(n) = e ln(n+1)+2 Compléter le tableau de valeurs (les images) par la suite u : n u n Montrer que n N, u n v n = 3(n 1)(n + 6). 3. Soit la suite w telle que : n u n = 3n 2 5n 6 v : N R n v n = 20n + 12 w : N R n w n = 2n + 5 Pour tout entier n, exprimer w n+1 en fonction de n, puis w n+1 en fonction de w n. 1.2 Représentation graphique Une suite u est représentée dans un repère (O, I, J) par un ensemble U de points M n de coordonnées (n; u n ) : U = {M n (n; u n ), n N}. Donner une représentation graphique de la suite u telle que : n u n = 2n 3 2n + 1 S.Mirbel page 1 / 7

2 1.3 Variations d une suite Soit une suite u. La suite u est strictement croissante si et seulement si : n N, u n < u n+1. La suite u est strictement décroissante si et seulement si : n N, u n > u n+1. La suite u est strictement constante si et seulement si : n N, u n = u n+1. Remarque : Pour prouver qu une suite u est croissante ou décroissante on peut : pour tout entier n, comparer u n+1 u n à 0, pour tout entier n, comparer un+1 u n à 1 (s assurer que u n 0). 1. Soit la suite u telle que : n u n = 2n + 5 Que dire des variations de la suite u? Justifier de deux manières. 2. Soit la suite v telle que : v : N R n v n = n+1 2 n Que dire des variations de la suite v? Justifier Somme des termes Soit la suite u définie pour tout entier naturel n. On définie la somme S des termes de la suites u par : S n = u 0 + u 1 + u u n 1 + u n. On note : S n = n u i 1. Soit la suite u définie par u 0 = 0 et u n+1 = u n Calculer S Donner un algorithme qui permet de calculer la somme S n précédente, où n sera un nombre saisi par l utilisateur. 3. Mettre en forme cet algorithme sur Python, puis sur un tableur. S.Mirbel page 2 / 7

3 2 Exemples de suites particulières 2.1 Les suites arithmétiques relation de récurrence et relation fonctionnelle Une suite u est dite arithmétique si et seulement si un premier terme est donné (par exemple u 0 R) et pour tout entier n on a la relation de récurrence u n+1 = u n + r, avec r R. r est appelé raison de la suite arithmétique u. u 0 R u n+1 = u n + r Soit u une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0. n N, u n = u 0 + nr. Réciproquement, si une suite u est définie pour tout entier n par u n = a + nb, (a; b) R R alors u est arithmétique de premier terme u 0 = a et de raison b. le relation u n = u 0 + nr est appelée relation fonctionnelle de la suite u. 1. Par récurrence, démontrer la première partie du théorème : soit u une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0. n N, u n = u 0 + nr. 2. En exprimant u n+1 en fonction de u n, démontrer la réciproque : si une suite u est définie pour tout entier n par u n = a + nb alors u est arithmétique de premier terme u 0 = a et de raison b. Remarque : n N, i N [0; n], u n = u i + (n i)r. En particulier pour i = 1, n N, u n = u 1 + (n 1)r. 1. Soit la suite u définie pour tout entier n par l expression u n = 3(n 5) n 2. Montrer que la suite u est arithmétique. 2. Soit la suite u définie par la relation de récurrence u n+1 = u n 3 et u 2 = 5. Exprimer u n en fonction de n. 3. Concevoir deux algorithmes (relationnel et fonctionnel) permettant de donner les termes d une suite arithmétique u dont l utilisateur donnera le premier terme, la raison et le nombre de terme à calculer. 4. Mettre en forme les algorithmes sur Python, puis sur tableur Représentation graphique Soit une suite arithmétique u de premier terme u 0 R, de raison r R et un repère (O, I, J) orthogonal. Les points M n de coordonnées (n; u n ) sont alignés sur la droite d équation y = u 0 + rx. Indication de démonstration (évidente) : u est arithmétique donc n N, u n = u 0 + nr. Représenter les 5 premiers points de la suite arithmétique définie par le premier terme u 0 = 1 et la relation de récurrence pour tout entier n u n+1 = u n + 2. S.Mirbel page 3 / 7

4 2.1.3 Variations Soit une suite arithmétique u de premier terme u 0 et de raison r : si r < 0 alors u est décroissante si r = 0 alors u est constante si r > 0 alors u est croissante A partir de la relation de récurrence (ou à partir de la relation fonctionnelle) démontrer le théorème Somme des termes Soit u une suite arithmétique dont la suite de la somme des termes est notée : S n = n u i. n N, S n = (n + 1) un+u0 2 Autrement dit : la somme des termes d une suite arithmétique est le produit du nombre de termes de la suite par la demi-somme du premier et du dernier terme. 1. Montrer : n N, i N [0; n], u n i + u i = u n + u 0 2. Montrer que pour tout entier naturel n, 2S n = n(u n + u 0 ) ; conclure. 3. Autre démonstration : par récurrence. Simplifier la somme suivante : n i=1 i. En déduire 1000 i=1 i. S.Mirbel page 4 / 7

5 2.2 Les suites géométriques relation de récurrence et relation fonctionnelle Une suite u est dite géométrique si et seulement si un premier terme est donné (par exemple u 0 R ) et pour tout entier n on a la relation de récurrence u n+1 = u n q, avec q R. q est appelé raison de la suite géométrique u. u 0 R u n+1 = u n q Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0. n N, u n = u 0 q n. Réciproquement, si une suite u est définie pour tout entier n par u n = a b n, (a; b) R R alors u est géométrique de premier terme u 0 = a et de raison b. le relation u n = u 0 q n est appelée relation fonctionnelle de la suite u. 1. Par récurrence, démontrer la première partie du théorème : Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0. n N, u n = u 0 q n. 2. En exprimant u n+1 en fonction de u n, démontrer la réciproque : si une suite u est définie pour tout entier n par u n = a b n, (a; b) R R alors u est géométrique de premier terme u 0 = a et de raison b. Remarque : n N, i N [0; n], u n = u i q n i. En particulier pour i = 1, n N, u n = u 1 q n Soit la suite u définie pour tout entier n par l expression u n = 2 n 2. Montrer que la suite u est géométrique. 2. Soit la suite u définie par la relation de récurrence u n+1 = 2u n et u 5 = 3. Exprimer u n en fonction de n. 3. Concevoir deux algorithmes (relationnel et fonctionnel) permettant de donner les termes d une suite géométrique u dont l utilisateur donnera le premier terme, la raison et le nombre de terme à calculer. 4. Mettre en forme les algorithmes sur Python, puis sur tableur Représentation graphique Soit une suite géométrique u de premier terme u 0 R, de raison q R et un repère (O, I, J) orthogonal. Les points M n de coordonnées (n; u n ) sont sur la courbe de la fonction exponentielle d équation y = u 0 q x. Représenter les 5 premiers points de la suite géométrique définie par le premier terme u 0 = 1 et la relation de récurrence pour tout entier n u n+1 = 2u n. S.Mirbel page 5 / 7

6 2.2.3 Variations Soit une suite géométrique u de premier terme u 0 et de raison q, q > 0 : si q < 1 alors u est décroissante si q = 1 alors u est constante si q > 1 alors u est croissante A partir de la relation de récurrence (ou à partir de la relation fonctionnelle) démontrer le théorème Somme des termes Soit u une suite géométrique dont la suite de la somme des termes est notée : S n = n u i. n N, S n = u 0 1 qn+1 1 q Autrement dit : la somme des termes d une suite géométrique est le produit du premier terme de la suite par le quotient de la différence de 1 avec la raison à la puissance le nombre de termes et la différence de 1 avec la raison. 1. Montrer : n N, i N [0; n], u i qu i = u 0 (q i q i+1 ) 2. Montrer que pour tout entier naturel n, S n qs n = u 0 (1 q n+1 ) ; conclure. 3. Autre démonstration : par récurrence. Simplifier la somme suivante : n 2 i. En déduire 10 i=1 2 i. S.Mirbel page 6 / 7

7 3 Limites d une suite 3.1 On définit deux comportements des termes u n lorsque n tend vers + : On dit que la suite u tend vers + si : a R +, n N, u n > a. (on choisira a assez grand pour que la définition prenne tout son sens.) On note : lim u n = + n + On dit que la suite u tend vers l lorsque n tend vers + si : p N, n N, u n l < 10 p. (on choisira p assez grand de manière que 10 p soit assez proche de 0 pour que la définition prenne tout son sens.) On note : lim u n = l n Application aux suites géométriques Soit une suite géométrique u de premier terme u 0 R et de raison q R +. Dans les deux cas suivants : q < 1 q > 1 1. A partir du logiciel géogébra paramétrer le graphe de la suite géométrique, puis conjecturer les limites dans les deux cas. 2. Avec la définition de la limite adaptée à la conjecture, donner un algorithme permettant de déterminer l entier n pour un réel a ou un entier p saisi par l utilisateur. 3. Mettre en forme cet algorithme sur Python, puis sur un tableur. S.Mirbel page 7 / 7