SUITES NUMERIQUES. Archimède a défini dans les années 220 avant J.-C. deux suites permettant d'obtenir de très bonnes valeurs approchées de π.

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1 Quelques repères historiques SUITES NUMERIQUES Archimède a défii das les aées 220 avat J.-C. deux suites permettat d'obteir de très boes valeurs approchées de π. Héro d'alexadrie au premier siècle après J.-C. Met e place u algorithme de calcul de la racie carrée d'u ombre. Cet algorithme fourit ue suite de valeurs approchées de plus e plus précises du ombre cherché. Calcul approché de 2 : Léoard de Pise (Fiboacci) expose au 13ème siècle ue suite défiie par ue relatio etre termes cosécutifs : L'uité de base est le couple de lapis. Chaque couple met ue saiso pour deveir adulte, puis laisse passer ue saiso de gestatio. Esuite, il doe aissace à chaque saiso à u ouveau couple. Si o suppose que les lapis e meuret jamais, o a la relatio : F +2 =F + F +1, illustrée ci-cotre. Cette suite apparaît etre autre das la structure de certaies plates.

2 Ob Nicolas Oresme, mathématicie fraçais du 14ème siècle a étudié les suites arithmétiques et géométriques aisi que la somme des termes de certaies d'etre-elles. Oresme est le premier à utiliser le Fraçais das les textes mathématiques, il est aussi persuadé, bie avat Gallilée, de la rotatio de la Terre autour du Soleil. Il a iveté, avat Descartes, le premier système de coordoées. L'idée de foctio est plus récete, elle date des 17ème et 18ème siècles. Les mathématicies ot alors motré qu'ue suite est ue foctio particulière. Les fodemets rigoureux de la théorie des suites sot posés au début du 19ème siècle par le fraçais Augusti Cauchy, l'u des plus grads mathématicies de tous les temps. Développemets récets : suite de Syracuse, les fractales La cojecture de Syracuse (apparue vers 1930, elle s'est répadue vers 1950 à l'occasio d'u colloque à l'uiversité de Syracuse (USA)) : o cosidère l'algorithme suivat : choisir u ombre etier aturel o ul si ce ombre est pair, remplacer ce ombre par sa moitié et recommecer si ce ombre est impair, remplacer ce ombre par so triple augmeté de 1 il semble que quelque soit le ombre de départ, cet algorithme aboutisse à 1, puis au cycle 4,2,1... ce résultat 'est pas démotré à ce jour. Exemples : (résultats obteus avec XCas) La durée du vol pour 2012 est de 68 et so altitude est de La durée du vol pour 2048 est de 11 et so altitude est de 2048 Les fractales:apparues au XIXe siècle, les fractales sot cosidérées comme des curiosités mathématiques jusqu'au milieu du XXe siècle. Le Beoît Madelbrot e fait das les aées 1970 l'objet d'ue ouvelle disciplie mathématique : la géométrie fractale. Exemple : l'esemble de Medelbrot

3 I COMPORTEMENT GLOBAL 1 Défiitio : Ue suite umérique u est ue foctio de IN ou d ue partie de IN das IR. u() sera oté u. 2 Ses de variatio d ue suite. Soit (u ) ue suite de ombres réels, la suite (u ) est croissate si et seulemet si pour tout etier aturel, u +1 u. la suite (u ) est décroissate si et seulemet si pour tout etier, u +1 u. O dit qu ue suite est mootoe si et seulemet si elle est croissate ou décroissate. Remarques : o parle aussi de suite : - strictemet croissate, : il suffit de remplacer les iégalités larges par des iégalités strictes. - croissate à partir du rag 0 lorsque l iégalité est vraie pour tout etier supérieur ou égal à 0. Exemples : (u ) défiie sur N par : u = 2 +1 la suite 'est pas strictemet mootoe mais semble être strictemet croissate à partir du rag 3. Les pricipales méthodes : e gééral, pour comparer u +1 et u,o étudie le sige de la différece u +1 u autres méthodes : si pour tout etier, u > 0, o peut comparer le quotiet u +1/u à 1. si la suite (u ) est du type u = f(), la coaissace du ses de variatio de f permet de détermier le ses de variatio de la suite. exemple : Attetio : si la suite (u ) est du type u +1 = f(u ), le ses de variatio de f e permet pas e gééral de détermier directemet celui de la suite. Exemples : U 0 = 0,5 et pour tout etier aturel, u +1 = u ² v 0 = 2 et pour tout etier aturel, v +1 = 1/v 3 Suites borées. Soit (u ) ue suite de ombres réels, la suite (u ) est majorée si et seulemet si il existe u réel M tel que pour tout etier, u M. la suite (u ) est miorée si et seulemet si il existe u réel m tel que pour tout etier, u m. O dit qu ue suite est borée si et seulemet si elle est à la fois majorée et miorée. Exemples : u 1 = 1 et pour tout etier aturel, v 1 = 1 et pour tout etier aturel, 1 1 u +1 = u + (+1) 2 v +1 = v + +1 La suite (u ) est-elle borée? La suite (v ) est-elle borée? Cas particuliers : Toute suite croissate est miorée et toute suite décroissate est majorée.

4 II EXEMPLES FONDAMENTAUX : suites arithmétiques ; suites géométriques ce sot les suites de référece ; tous les résultats doivet être parfaitemet cous. 1 - Suites arithmétiques Ue suite est dite arithmétique si chacu de ses termes est obteu e ajoutat au précédet u ombre costat r. Si la suite ( u ) est arithmétique de raiso r alors : u 1 = u0 + r, u 2 = u1 + r,. u + 1 = u + r. Ses de variatio : Calcul direct du terme de rag : Si la suite ( u ) est arithmétique de raiso r alors u peut être calculé directemet à partir de u 0 ou à partir de u p et de r grâce aux formules : u =u 0 +r, u =u p +( p)r. Somme de termes d ue suite arithmétique : u 0 +u u = (+1) u 0 +u Suites géométriques Ue suite est dite géométrique si chacu de ses termes est obteu e multipliat le précédet par u ombre costat q. q est alors appelé raiso de la suite géométrique. Si la suite (u ) est géométrique de raiso q alors : u 1 =qu 0, u 2 =qu 1,. u +1 =qu. Calcul direct du terme de rag Si la suite (u ) est géométrique de raiso q o ulle, alors u peut être calculé.directemet à partir de u 0 et de q grâce à la formule : u =u 0 q Ses de variatio : Somme de termes d ue suite géométrique : u 0 +u u = u 0 1 q+1 1 q III COMPORTEMENT POUR DE GRANDES VALEURS DE 1 Suites covergetes Défiitios : Soiet (u ) ue suite et a u ombre réel, o dit que (u ) admet pour limite a si tout itervalle ouvert coteat a cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. O ote alors lim u = a. Si ue suite (u ) a ue limite fiie, alors o dit que la suite est covergete. Das le cas cotraire, o dit qu'elle est divergete. exemples fodametaux : - les suites de référece ot pour limite 0. - si (u ) est ue suite géométrique de raiso q telle que -1 < q < 1, alors (u ) coverge vers 0.

5 Propriété : si ue suite coverge, alors sa limite est uique. 2 Limites ifiies. Défiitio : O dit qu ue suite (u ) a pour limite + (resp - ) si tout itervalle du type ]A ; + [ (resp ]- ; A [) cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Défiitio : O dit qu ue suite (u ) a pour limite + si tout itervalle du type ] A ; + [ cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. Défiitio : O dit qu ue suite (u ) a pour limite - si tout itervalle du type ] - ; A [ cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag. exemples : les suites de référece ot pour limite +. si (u ) est ue suite géométrique de raiso q > 1 et de premier terme positif, alors (u ) a pour limite +. Remarques : ue suite qui a pour limite + est divergete. ue suite qui a pour limite - est divergete. 3 Limites et ordre. a) Théorème «des gedarmes» : Théorème : soiet trois suites (u ), ( v ) et ( w ) vérifiat les coditios suivates : u v w à partir d u certai rag, les suites (u ) et ( w ) sot covergetes et ot la même limite réelle L, alors la suite ( v ) est covergete et sa limite est L. b) Théorème de comparaiso : Théorème : soiet deux suites (u ) telles que u v à partir d u certai rag, si lim u = + alors lim v = +. si lim v = alors lim u =.

6 4 Limites et opératios. Théorème 1 : soiet (u ) des suites covergetes de limites respectives L et L, la suite ( u + v ) est covergete et sa limite est L+L. la suite ( uv ) est covergete et sa limite est LL. si de plus, L 0 pour tout etier, v 0, u la suite est covergete et sa limite est v Cas où au mois ue limite est ifiie : L L '. Théorème 2 : soiet (u ) des suites umériques si (u ) coverge vers u réel L et ( v) a pour limite + (resp. - ), alors la suite ( u + v ) est divergete et sa limite est + (resp. - ). si de plus L 0 la suite ( u v ) est divergete et sa limite est ifiie. si de plus, pour tout etier, v 0, la suite Théorème 3 : soiet (u ) des suites umériques si (u ) a pour limite + et ( v) a pour limite +, alors la suite ( u + v ) est divergete et sa limite est +. la suite ( u v ) est divergete et sa limite est +. u est covergete et sa limite est 0. v Remarque : les cas suivats sot des formes idétermiées, c'est-à-dire que les théorèmes e permettet pas de coclure. Ue étude particulière est alors écessaire. «+ + -» exemples : «0 x» exemples : «/» exemples :

7 IV COMPORTEMENT DES SUITES MONOTONES 1 Suites mootoes o borées. Si (u ) est ue suite croissate et o majorée, alors lim u = +. Si (u ) est ue suite décroissate et o miorée, alors lim u = -. exemple : 2 Théorème de la covergece mootoe. (Résultat admis) Si (u ) est ue suite croissate et majorée, alors elle est covergete. Si (u ) est ue suite décroissate miorée, alors elle est covergete. exemple : (u ) suite défiie par u 0 =1 et pour tout etier aturel : u +1 = 2u +3 a) Motrer que pour tout etier aturel, 0 u 3 b) Etudier alors le ses de variatio de la suite (u ). c) E déduire que la suite (u ) coverge. d) Calculer sa limite.

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