Suites. d 1 = 1 e 1 = 20 a 2 = 4 b 2 = 1 2. c 2 = 1,75= 7 4. d 2 = 3 e 2 = 4 a 3 = 9 b 3 = 1 3. c 3 = 1,875= c 4 = 1,9375= 31.

Transcription

1 1 Exemples simples Exercice 1.1 Á partir de leurs premiers termes On connaît les premiers termes de quelques suites. Suites Suite a n ) Suite b n ) Suite c n ) Suite d n ) Suite e n ) a 0 = 0 c 0 = 1 e 0 = 100 a 1 = 1 b 1 = 1 c 1 = 1,5= 3 d 1 = 1 e 1 = 0 a = 4 b = 1 c = 1,75= 7 4 d = 3 e = 4 a 3 = 9 b 3 = 1 3 c 3 = 1,875= 15 8 d 3 = 5 e 3 = 0,8 a 4 = 16 b 4 = 1 4 c 4 = 1,9375= d 4 = 7 e 4 = 0,16 a 5 = 5 b 5 = 1 5 c 5 = 1,96875= 63 3 d 5 = 9 e 5 = 0,03 1. Conjecturer, dans chaque cas, une formule explicite satisfaisante c est-à-dire, une formule vérifiée par les premiers termes connus).. À l aide des formules explicites obtenues, calculer, pour chacune des cinq suites ci-dessus, le terme d indice Étudier la monotonie de chacune de ces suites. 4. a. Montrer que, pour tout n N, a n 0. b. Montrer qu il existe deux réels m et M tels que, pour tout n N, m b n M. c. Montrer que pour tout n N, c n. 5. Déterminer une relation de récurrence pour les suites a n ), c n ), d n ) et e n ). 6. On note S n ) la suite définie par : S n = d 1 + d +...+d n a. Calculer S 1, S, S 3 et S 4. b. Montrer que : S n = n. 7. Quelles conjectures peut-on faire concernant ces suites quant à leur comportement quand n devient très grand? Exercice 1. Quelques calculs 1. Soit u n ) n N la suite définie par la formule : u n = 3n 5n 4. a. Calculer les 5 premiers termes de cette suite. b. Cette suite est-elle arithmétique? Géométrique? c. Existe-t-il des termes nuls? Justifier votre réponse.. Soit v n ) n N la suite définie par la formule : v n = 3n+. a. Calculer les 5 premiers termes de cette suite. b. v 33 est-il entier? Exercice 1.3 Monotonie 1 Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes : 1. u n = 1+ 1 n pour n 1 ;. v n = n+ 1 n pour n 1 ; 3. w n = 1 3) n pour n N. Exercice 1.4 Monotonie Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes : 1. u n = 1 n+ pour n N ;. v n = n+1 n+3 pour n N ; 3. u n = n n pour n N ; 4. w n = 3 n pour n N. Exercice 1.5 Un petit problème v n ) est la suite définie pour tout entier strictement positif par v n = n n Suites 1 Lycée M.Utrillo - Stains

2 1. Calculer ses quatre premiers termes.. On cherche à montrer que la suite est croissante à partir du rang n= 3. a. Résoudre l inéquation x x+1) > 1. b. Montrer que v n+1 v n c. Conclure. = n n+1). Exercice 1.6 Suites définies par récurrence On définit la suite u n ) par la formule suivante : 1. Sachant que u 0 = 0, calculer u 1 ; u et u 3. u n+1 = u n u n+ 3. Pouvez-vous directement calculer u 18? Quel outil utiliseriez-vous pour le calculer? Exercice 1.7 Suite de Fibonacci On définit la suite u n ) par la formule suivante : u n+ = u n+1 + u n 1. Sachant que u 0 = 1, et u 1 = 1 calculer les 8 termes suivants.. Application : Partant d un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu après deux mois. Par exemple, au bout de combien de mois aura-t-on 4181 lapins, puis 6765 lapins? Exercice 1.8 Conjecture... On donne les suites définies par récurrence suivantes : { { u0 = 3 v0 = u n ) : u n+1 = 1 3 u n+ 1 v n ) : v n+1 = 1 Pour chacune de ces suites : 1. Calculer les premiers termes de chacune des suites ;. Conjecturer leur monotonie et leur comportement quand n devient grand. { ) w0 = 0 vn w n ) : w n+1 = w n+3 1+v n w n +4 Suites arithmétiques - Suites géométriques.1 Application directe Exercice.1 Suites arithmétiques 1. On considère la suite arithmétique u n ) de raison 0, et de premier terme u 0 = 7. a. Calculer u 53. b. Á partir de quel rang la suite u n ) est-elle positive?. On considère une suite u n ) arithmétique de premier terme u 0 = 1 et tel que u 94 = 17,76. Déterminer sa raison. 3. On considère la suite arithmétique u n ) telle que u 7 = 49 et u 19 = 43,6. Á partir de quel terme, cette suite sera-t-elle négative? Exercice. Autre exemple 1. La suite u n ) est artihmétique de raison r = 8. On sait que u 100 = 650. Que vaut u 0?. La suite u n ) est arithmétique de raison r. On sait que u 50 = 406 et u 100 = 806. a. Déterminer r et u 0. b. Calculer S= u 50 + u u 100. Exercice.3 Suites géométriques Suites Lycée M.Utrillo - Stains

3 1. On considère la suite géométrique v n ) de raison 1,04 et de premier terme u 0 = 10. a. Calculer v 5. b. Á partir de quel rang la suite v n ) est-elle située au-dessus de 30?. On considère une suite v n ) géométrique de premier terme v 0 = 1 et tel que v 8 = 16. Déterminer sa raison. 3. On considère la suite géométrique v n ) telle que v 7 = 5 et v 19 = 30. Déterminer la raison de cette suite. Exercice.4 Autre exemple 1. La suite u n ) est géométrique de raison q = 1. On sait que u 8= 1. Que vaut u 0?. La suite u n ) est géométrique de raison q. On sait que u 4 = 10 et u 6 = 0. a. Déterminer q et u 0. b. Calculer S= u 50 + u u 100. Exercice.5 Arithmétique ou géométrique? Pour chacune des suites données ci-dessous : u 0 = 0 et u n+1 = u n + 1 pour tout n N v n = 5 n pour tout n N w n = n+ 1) n pour tout n N 1. Calculer les trois premiers termes.. La suite est-elle géométrique? arithmétique? 3. Si elle est arithmétique ou géométrique : a. calculer le terme de rang 100 ; b. calculer la somme des termes jusqu au rang 100. x n = 3n pour tout n N n+ ) 1 1 n y n = pour tout n N Exercice.6 Quelques calculs 1. Calculer les sommes suivantes : a. S 1 = et S = b. S 3 = c. S 4 = et S 5 = d. A= et B = Lequel des deux nombres suivants est le plus grand? A= ) B = ). Problèmes concrèts Exercice.7 Mercatique - France - Septembre 008 Pierre se constitue une tirelire afin d acheter un vélo qui coûte 150. Après un dépôt initial dans cette tirelire de 8, il décide qu à la fin de chaque mois, il déposera une somme de plus en plus grande : la somme déposée à la fin de chaque mois sera augmentée de par rapport à celle du mois précédent. Ainsi, à la fin du premier mois, il déposera 10 et la tirelire contiendra 18. On note p0) le dépôt initial et pn) la somme déposée à la fin du n-ième mois. On obtient ainsi une suite notée p. 1. Calculer p1) et p).. Montrer que la suite p est arithmétique et donner sa raison. En déduire que pn)=n a. Quelle somme totale contiendra la tirelire au bout de deux mois? b. Montrer que la somme totale contenue dans la tirelire au bout de n mois est n+ 1)n+ 8). 4. Un ami de Pierre lui fait remarquer qu il devra attendre 9 mois pour pouvoir acheter son vélo. Justifier cette affirmation. Suites 3 Lycée M.Utrillo - Stains

4 Exercice.8 Mercatique - Pondichery - Avril 009 Florent a besoin d économiser au moins 150 pour acheter un scooter. Pour cela, il décide d effectuer un dépôt chaque mois. Avec un tableur, il effectue une simulation de deux formules d économies possibles : Formule A : le 1 er mois, il fait un dépôt de 150 ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 0. Formule B ; le 1 er mois, il fait un dépôt de 130 ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 0 %. On appelle A n et B n Ies montants respectifs du n-ième dépôt mensuel de Florent avec la formule A et la formule B. A B C 1 Mois n) A n B n Quelles formules destinées à être recopiées vers le bas Florent a-t-il écrites dans les cellules B3 et C3 pour compléter les colonnes B et C?. a. Déterminer la nature de la suite A n ) et préciser son terme initial et sa raison. b. Déterminer la nature de la suite B n ) et préciser son terme initial et sa raison. 3. Exprimer A n et B n en fonction de n. 4. Florent souhaite acheter son scooter dans 6 mois. a. Quel sera le montant du 6 e dépôt, arrondi à l euro, pour chaque formule? b. Quelle somme Florent aura-t-il économisée au bout de six mois, arrondie à l euro, avec chaque formule? c. Quelle formule va-t-il retenir pour acheter son scooter? Exercice.9 Mercatique - Antilles L entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis La première année d extraction l entreprise a récupéré 0000 tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d extraction, de l appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1 % par an. On appelle T n le nombre de tonnes extraites l année 1950+n). On a donc T 0 = Les résultats seront arrondis à la tonne. 1. Justifier que T 1 = puis calculer T et T 3.. Exprimer T n+1 en fonction de T n. 3. Quelle est la nature de la suite T n )? En déduire l expression de T n en fonction de n. 4. Quelle est la quantité extraite en 008? 5. Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l année 1950+n) est : S n = ,99 n+1). 6. En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé? Exercice.10 Un problème de pages... Jean est en train de lire un livre. En additionnant les numéros de toutes les pages qu il a déjà lues, il obtient 351. en additionnant les numéros de toutes les pages qu il lui reste à lire, il obtient À quelle page en est Jean?. Combien de pages comporte ce livre? On supposera que le livre commence à la page n 1. Exercice.11 Où l on transforme une suite en une suite arithmétique... Suites 4 Lycée M.Utrillo - Stains

5 On considère les deux suites u n ) et v n ) définies, pour tout n N, par : u n = 3 n 4n+ 3 et v n = 3 n + 4n 3 1. Soit w n ) la suite définie par w n = u n + v n. Démontrer que w n ) est une suite géométrique.. Soit t n ) la suite définie par t n = u n v n. Démontrer que t n ) est une suite arithmétique. 3. Exprimer la somme suivante en fonction de n : S n = u 0 + u u n Exercice.1 Comment gérer les départs à la retraites? Le 1 er janvier 005, une grande entreprise compte 1500 employés. Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l effectif du 1 er janvier partira à la retraite au cours de l année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l entreprise embauche 100 jeunes dans l année. Pour tout entier n on appelle u n le nombre d employés le 1 er janvier de l année 005+n). 1. Déterminer u 0, u 1, u et u 3. a. Montrer que u n+1 = 0,9u n b. Cette suite est-elle arithmétique? Cette suite est-elle géométrique? 3. On pose v n = u n a. Déterminer v 0, v 1, v et v 3. b. Montrer que v n ) est géométrique. c. En déduire v n en fonction de n. d. En déduire u n en fonction de n. e. En déduire quel sera l effectif de l entreprise le 1 er janvier de l année 07 Exercice.13 Problème de population Une ville comprenait habitants au premier janvier On estime que la ville accueille tous les ans % de nouveaux arrivants et a un taux annuel de natalité de 3%. On constate curieusement un nombre fixe de décès et de départ de 800 personnes par an. On veut déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double de la population en Quelle était la population estimée de la ville le premier janvier 1951?. On note p n la population de la ville à l année 1950+n. Exprimer p n+1 en fonction de p n. 3. On pose q n = p n a. Montrer que cette suite est une suite géométrique. b. Exprimer q n puis p n en fonction de n. 4. Montrer que p n ) est croissante. 5. Déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au double de la population en Exercice.14 Étude de suite On considère la suite u n ) définie par : u n ) u 0 = 7 u n+1 = 7u n+ 36 pour tout n N u n 5 1. Calculer u 1 et u. La suite u n ) est-elle arithmétique? géométrique?. On pose v n = 1 pour tout n N. u n + 6 a. Calculer v 0, v 1 et v. Que peut-on conjecturer sur la nature de v n )? b. Démontrer votre conjecture. c. En déduire l expression de v n en fonction de n puis celle de u n. d. Étudier la monotonie de u n ). e. Étudier la convergence de u n ). f. Calculer u 0. Suites 5 Lycée M.Utrillo - Stains

6 3 Raisonnement par récurrence Exercice 3.1 Vers la découverte du raisonnement par récurrence { u0 = 1 On considère la suite u n ) définie par récurrence par : u n ) : u n+1 = 1 1+u n 1. Montrer que u 1, u et u 3 appartiennent à [0; 1].. Montrer que si 0 u n 1 alors 0 u n En déduire que 0 u n 1 pour tout n N Exercice 3. Autre démonstration { u0 = 1 et u 1 = On considère la suite u n ) définie par récurrence par : u n ) : u n+ = 6u n+1 5u n 1. Calculer u, u 3 et u 4.. On veut démontrer par récurrence que, pour tout n N, la propriété P suivante est vérifiée : P : u n = A 5 n + B où A et B sont deux réels à déterminer. a. À l aide de u 0 et u 1, déterminer les seules valeurs possibles pour A et B et regarder si u, u 3 et u 4 vérifient P. b. On suppose que u n et u n+1 vérifient P, c est-à-dire que u n = A 5 n + B et que u n+1 = A 5 n+1 + B. Montrer qu alors u n+ vérifie P. c. Conclure. 3. En déduire u 10. Exercice 3.3 On considère la suite u n ) définie par u 0 = 0 et pour tout entier u n+1 = u n Calculer les 5 premiers termes de cette suite.. Conjectuer une expression de u n en fonction de n. 3. Valider cette conjecture par un raisonnement par récurrence. Exercice 3.4 u est la suite définie par u 0 = et pour tout entier : u n+1 = 7u n 1. Démontrer par récurrence que pour tout n N, 0 u n 7.. Démontrer par récurrence que la suite u est croissante. Exercice 3.5 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : n n+ 1 Exercice 3.6 Un peu d arithmétique Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel, 4 n + est un multiple de 3. Exercice 3.7 Une démonstration de géométrie Démontrer par récurrence sur n que la somme des angles d un polygône convexe à n côtés pour n 3) vaut π. Exercice 3.8 Un petit problème pour finir On pose u 0 = et pour tout n u n+1 = u n 3 u n 1. Á quelle condition sur u n, u n+1 est-il ainsi bien défini?. Montrer par récurrence que la suite u est bien définie et que pour tout n u n < On pose v n = u n u n 1 Montrer que la suite v n ) est bien définie. 4. Montrer que v n ) est une suite géométrique et en déduire une expression de u n en fonction de n. 4 Comportement asymptotique d une suite Exercice 4.1 Quelques limites simples Étudier la convergence des suites : Suites 6 Lycée M.Utrillo - Stains

7 1. u n = 1+ 1 n pour n 1. u n = n+ 1 pour n 1 n Exercice 4. Un peu plus compliqué... 3sinn+ cosn+ 5n Étudier la convergence de la suite définie pour n 1 par : u n = n Exercice 4.3 Étude d une suite définie par récurrence u est la suite définie par u 0 = 6 et pour tout entier naturel n : u n+1 = 1,4u n 0,05u n 1. f est la fonction définie par f x)=1,4x 0,05x. Étudier les variations de f sur l intervalle [0 ; 8].. Démontrer que pour tout n N, 0 u n < u n En déduire que la suite u est convergente et déterminer sa limite l. Exercice 4.4 u est la suite définie par u 0 = 1 et u n+1 = u n Démontrer que pour tout n, u n > 0 et en déduire que la suite u est croissante.. Montrer que si u est majorée, alors elle converge vers un nombre réel négatif. 3. En déduire que u n est pas majorée et déterminer sa limite. Exercice 4.5 Quelques questions d approfondissement 1. La suite de terme général n+ 1 n est-elle majorée? Minorée?. Calculer la limite éventuelle de la suite u n ) définie par : u n = n+ 1 n Vrai ou faux? Si u n ) converge, alors u n ) est convergente. 4. Donner l exemple de deux suites divergentes dont la somme est convergente. 5. Soit u n ) une suite convergente. Démontrer que : limu n ) 0 il existe p N tel que si n> p, alors u n 0. Que pensez-vous de la réciproque? 5 Annales Exercice 5.1 Étrangers On considère une droite D munie d un repère O ; ) ı. Soit A n ) la suite de points de la droite D ainsi définie : A 0 est le point O ; A 1 est le point d abscisse 1 ; pour tout entier naturel n, le point A n+ est le milieu du segment [A n A n+1 ]. 1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A 0, A 1, A, A 3, A 4, A 5 et A 6. On prendra 10 cm comme unité graphique. b. Pour tout entier naturel n, on note a n l abscisse du point A n. Calculer a, a 3, a 4 a 5 et a 6. c. Pour tout entier naturel n, justifier l égalité : a n+ = a n+ a n+1.. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, a n+1 = 1 a n Soit v n ) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = a n 3. Démontrer que v n ) est une suite géométrique de raison 1. Suites 7 Lycée M.Utrillo - Stains

8 4. Déterminer la limite de la suite v n ), puis celle de la suite a n ). Exercice 5. Nouvelle-Calédonie { u0 = 1 Soit u n ) la suite définie par u n+1 = u n ln un + 1) pour tout entier naturel n. Partie A Soit f la fonction définie sur R par 1. Résoudre dans R l équation f x) = x. f x)= x ln x + 1 ).. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; 1]. En déduire que si x [0 ; 1] alors f x) [0 ; 1]. Partie B 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n 0, u n [0 ; 1].. Étudier le sens de variation de la suite u n ). 3. Démontrer que la suite u n ) est convergente. Déterminer sa limite. Exercice 5.3 Nouvelle-Calédonie - Septembre Soit f la fonction définie sur ]0 ; + [ par : f x)=ln 1+ 1 ) x. x a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en+. b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; + [. c. Montrer qu il existe un unique réel α appartenant à ]0 ; + [ tel que f α)=0. Déterminer une valeur approchée de α à 10 3 près.. Soit g la fonction définie sur ]0 ; + [ par : g x)=ln 1+ 1 ). x La suite u n ) n N est définie par u 0 = 1,5 et pour tout entier naturel n : u n+1 = g u n )=ln 1+ 1 u n ). On a représenté en annexe 1 à rendre avec la copie) la courbe C représentative de la fonction g et la droite d équation y = x. a. Construire sur l axe des abscisses, en laissant les traits de construction apparents, les cinq premiers termes de la suite u n ) n N b. Le graphique permet-il d émettre les conjectures suivantes? On recopiera sur la copie le numéro de la conjecture suivie de OUI ou NON. Aucune justification n est demandée. Conjecture n o 1 : «la suite u n ) n N est monotone.» Conjecture n o : «la suite u n ) n N est minorée par 0,5.» Conjecture n o 3 : «la suite u n ) n N converge vers 1.» c. On admet que la suite u n ) n N est convergente vers une limite l strictement positive. Montrer que ln 1+ 1 ) = l. l d. Montrer que l=α. Suites 8 Lycée M.Utrillo - Stains

9 y D 1 C O 1 x Exercice 5.4 Amérique du Sud - Novembre 011 Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 1 ; + [ par : On considère la suite définie pour tout n N par : f x)=3 4 x+ 1. { u0 = 4 u n+1 = f u n ) 1. On a tracé, en annexe 1, la courbe C représentative de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [ et la droite D d équation y = x. a. Sur le graphique en annexe 1, placer sur l axe des abscisses, u 0, u 1, u et u 3. Faire apparaître les traits de construction. b. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite u n )?. Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b. a. Démontrer par un raisonnement par récurrence que u n 1 pour tout n N. b. Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : u n+1 u n. c. Déduire des questions précédentes que la suite u n ) est convergente et calculer sa limite. ANNEXE 1 D 4 3 C 1 j 1 O ı Suites 9 Lycée M.Utrillo - Stains

10 Exercice 5.5 Polynésie - 01 Partie A On considère l algorithme suivant : Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N. Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul N. Traitement Affecter à U la valeur 0 Pour k allant de 0 à N 1 Affecter à U la valeur 3U k+ 3 Fin pour Sortie Afficher U Quel est l affichage en sortie lorsque N = 3? Partie B On considère la suite u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 3u n n Calculer u 1 et u.. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n n. b. En déduire la limite de la suite u n ). 3. Démontrer que la suite u n ) est croissante. 4. Soit la suite v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n n+ 1. a. Démontrer que la suite v n ) est une suite géométrique. b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 3 n + n Soit p un entier naturel non nul. a. Pourquoi peut-on affirmer qu il existe au moins un entier n 0 tel que, pour tout n n 0, u n 10 p? On s intéresse maintenant au plus petit entier n 0. b. Justifier que n 0 3p. c. Déterminer à l aide de la calculatrice cet entier n 0 pour la valeur p = 3. d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier n 0 tel que, pour tout n n 0, on ait u n 10 p. Exercice 5.6 Antilles - 01 Soit u n ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par 1. Calculer u,u 3 et u 4. u 1 = 1 u n+1 = n+ 1 n u n. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n est strictement positif. b. Démontrer que la suite u n ) est décroissante. c. Que peut-on en déduire pour la suite u n )? 3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose v n = u n n. Suites 10 Lycée M.Utrillo - Stains

11 a. Démontrer que la suite v n ) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v 1. b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u n = n n. 4. Soit la fonction f définie sur l intervalle [1 ; + [ par f x) = ln x x ln. a. Déterminer la limite de f en+. b. En déduire la limite de la suite u n ). Exercice 5.7 Asie On considère l algorithme suivant : Saisir un réel strictement positif non nul a Entrée Saisir un réel strictemenl positif non nul b b> a) Saisir un entier naturel non nul N Affecter à u la valeur a Initialisation Affecter à v la valeur b Affecter à n la valeur 0 TANTQUE n< N Affecter à n la valeur n+ 1 Affecter à u la valeur a+ b Traitement Affecter à v la valeur a + b Affecter à a la valeur u Affecter à b la valeur v Sortie Afficher u, afficher v Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour a = 4,b = 9et N =. Les valeurs successives de u et v seront arrondies au millième. n a b u v Dans la suite, a et b sont deux réels tels que 0< a< b. On considère les suites u n ) et v n ) définies par : u 0 = a, v 0 = b et, pour tout entier naturel n : u n+1 = u n+ v n et v n+1 = u n + v n. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u n > 0 et v n > 0. b. Démontrer que, pour tout entier naturel n : vn+1 u n+1 = un v ) n. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a u n v n. 3. a. Démontrer que la suite u n ) est croissante. b. Comparer v n+1 et v n. En déduire le sens de variation de la suite v n). 4. Démontrer que les suites u n ) et v n ) sont convergentes. Suites 11 Lycée M.Utrillo - Stains