8 Novembre PPE 1.6: Création d'un algorithme. U n U 0. n: l'indice (n est entier naturel). r: est la raison.

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Yolande Soucy
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1 PPE 1.6: Création d'un algorithme La demande La création d'un algorithme (1) avec un logiciel open source, et cet Algorithme devra calculer La somme (2) des termes d'une suite (3) : (d'une suite arithmétique (4) ou d'une suite géométrique (5) ). L'utilisateur va entrer les données (Le premier terme, l'indice, La Raison (6) et le genre de la suite), et l'algorithme donnera les résultats. La réalisation U n est une suite, ou: U 0 : est le premier terme. n: l'indice (n est entier naturel). r: est la raison. La formule générale d'une suite arithmétique La formule générale d'une suite géométrique S: la somme des termes de la suite. C est à dire: S = U + U + U + U + U U n La formule générale pour calculer la somme S d'une suite arithmétique Formule 1 (1) Un algorithme, c'est une méthode. Une façon systématique de procéder pour faire quelque chose : trier des objets, situer des villes sur une carte, multiplier deux nombres, On peut les décrire de manière générale, identifier des procédures, des suites d'actions ou de manipulations précises à accomplir séquentiellement. Il répond donc à des questions du type: «comment faire ceci?», «obtenir cela?», «trouver telle information?», «calculer tel nombre?»... (2) La somme de la suite, On note Sn = U 1 + U U n-1 + U n (3) En mathématiques, une suite (parfois nommée séquence) est une famille d'éléments indexée par les entiers naturels. Une suite finie est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé «longueur» de la suite. (4) On appelle suite arithmétique une suite de nombres où on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite arithmétique et est souvent noté r). (5) On appelle suite géométrique une suite de nombres où on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre (ce nombre est appelé raison de la suite géométrique et est souvent noté q). (6) - Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours un même nombre r, appelé raison de la suite arithmétique - Dans une suite géométrique, on passe toujours d'un terme au suivant en multipliant par un même nombre q, appelé raison de la suite géométrique. - Page 1/5 -

2 La formule générale pour calculer la somme S d'une suite géométrique Si r = 1 Si r 1 Formule 2 Formule 3 Dans la demande, l'algorithme devra calculer la somme des termes de la suite pour les deux cas (pour une suite arithmétique ou pour une suite géométrique). Ce qu'on remarque pour les formules de la somme, que l'algorithme va faire des étapes afin de montrer les résultats: Regarder si la suite est arithmétique, dans ce cas il appliquera la Formule 1. S'il trouvera que la suite est géométrique, alors il regardera au r de la suite. si ce dernier égale à 1, il appliquera la formule 2 et s'il est différent de 1, il appliquera la formule 3. Pour créer cet algorithme, on va utiliser le logiciel Open source AlgoBox (disponible pour le téléchargement ici (1) ) Après l'installation et l'exécution du logiciel, on se trouve par défaut face à un nouvel algorithme vide. On commence par déclarer les variables de l'algorithme, en cliquant sur le bouton (Déclarer nouvelle variable) en bas: n, r, s, a, et m à déclarer tant que Nombre, et U à déclarer tant que Liste. Sachant que: n est l'indice de la suite, r est sa raison, S est la somme des termes de la suite, a est le genre de la suite (a=1 quand la suite est arithmétique et différent de 1 quand la suite est géométrique) et m représente n dans l'algorithme qui va nous aider à déterminer le dernier terme de la suite. Dans Début d'algorithme, on commence a créer les opération en cliquant sur Nouvelle ligne. On va demander à l'utilisateur d'entrer les valeurs nécessaires (r, n, U 0 et a), en cliquant sur Ajouter LIRE Variable. Et pour expliquer à l'utilisateur qu'est ce que a représente, on va lui afficher un message avant la demander la valeur de a en cliquant sur Ajouter AFFICHER Message (l'utilisateur aura le message: Entrer 1 pour une suite arithmétique, autre pour géométrique). Après avoir les données, l'algorithme va entrer en action. Pour cela, il va voir si la suite est arithmétique ou géométrique (C'est à dire si a = 1 ou a 1). 1 (1) - Page 2/5 -

3 Pour ajouter cette condition on clique sur le bouton Ajouter SI... ALORS en cochant Ajouter SINON (et à écrire a==1 dans le champ de la condition), La partie "SI" est réservée pour la somme de la suite arithmétique et la partie "SINON" est réservée pour les deux formules de la somme de la suite géométrique. Dans la partie "SINON", l'algorithme aura le choix de calculer la somme des termes de la suite géométrique avec une des deux formules (Formule 2 ou Formule 3), Alors on va ajouter une autre condition dans le SINON de la condition précédente. On va maintenant remplir les lignes par les trois formules, et AlgoBox accepte d'écrire ces formules de cette façon: Formule 1, la condition ici est a=1: S = (n+1)*(u[0]+u[n])/2 U[n])/2 Formule 2, la condition ici est a 1 et r=1: S = U[0]*(n+1) Formule 3, la condition ici est a 1 et r 1: S = U[0]*(1-pow(r,n+1))/(1 pow(r,n+1))/(1-r) r) Après chaque formule, l'algorithme devra afficher cette somme. Alors après chaque ligne de calcule de la somme, on va ajouter une ligne pour l'affichage de S en cliquant sur le bouton Ajouter AFFICHER Variable. On peut ajouter d'autres lignes juste pour expliquer à l'utilisateur ou de donner des résultats supplémentaires. Comme de relire quel est le genre de la suite au moment de l'affichage des résultats, ou même de calculer le premier terme et le dernier terme de la suite. Après bien remplir les lignes de l'algorithme, la capture de l'interface AlgoBox est la suivante: - Page 3/5 -

4 La solution est disponible en format (.alg) (1) (1) - Page 4/5 -

5 Tests : r = 2, 2 n = 9 et U 0 = 1 Pour une suite arithmétique (a=1) Manuellement U0 = 1 U9 = U0 + nr = 19 S = (n+1) x (U0+U9)/2 =10 x 20/2 = 100 Algorithme Pour une suite géométrique (a=1) Manuellement r 1 U0 = 1 U9 = U0 x rn = 29 = 512 S = U0 x (1 - rn+1)/(1 - r) = 1023 Algorithme Démo (l'utilisation facile d'algobox) Voir la démo sur YouTube (1) Source : (1) - Page 5/5 -

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