RAPPORT DE FIN DE PROJET

Transcription

1 RAPPORT DE FIN DE PROJET Nom du programme (ou du pays) : P.H.C. Sakura (Japon) Titre du projet : Torsion of Abelian Schemes and Rational Points on Moduli Spaces (18732ZJ) Nom du responsable français : Anna CADORET I. Partenaires : Chef de projet : Nom : Fonction : Intitulé du laboratoire (mentionner le n d unité le cas échéant) : France Anna CADORET Maître de Conférences Institut de Mathématiques de Bordeaux (I.M.B.) U.M.R Pays partenaire Akio TAMAGAWA Professeur Research Institute for Mathematical Sciences (R.I.M.S.) Institution de rattachement (pour les Unités Mixtes, lister tous les partenaires) : U.F.R. de Mathématiques - Université Bordeaux 1 Ville : Bordeaux Kyoto Kyoto University

2 II. Résultats scientifiques obtenus : Décrire, en 30 lignes maximum, dans le cadre ci-dessous, les principaux résultats scientifiques obtenus à l issue du projet. Les principaux résultats obtenus dans le cadre du projet peuvent être énoncés comme suit. Soit k un corps de type fini et de caractéristique 0 et X un k-schéma de type fini, normal et intègre. On dit qu'une représentation l-adique du groupe fondamental \Pi(X) de X est GSRP (geometrically stricly rationally perfect) si l'abélianisée de l'algèbre de Lie de l'image du groupe fondamental géométrique est triviale. Thm 0: Soit Y->X un morphisme propre, lisse et géométriquement connexe de schémas intègres. Alors les représentations associées de \Pi(X) sur le i-ème groupe de cohomologie étale du faisceau l-adique Z_l à la fibre générique géométrique de Y -> X, i>= 0 sont GSRP. C'est le cas en particulier pour Y-> X un schéma abélien et i=1; on retrouve alors la représentation classique de \Pi(X) sur le module de Tate l-adique de la fibre générique de Y->X. Etant donnée une représentation l-adique, notons G et G^0 les images du groupe fondamental et du groupe fondamental géométrique respectivement. Etant donné un point fermé x de X, notons G_x l'image du groupe de décomposition en x (bien défini à conjugaison près par les éléments de G^0). Etant donné un entier positif d, on note X[d] l'ensemble des points fermés de X de degré résiduel au plus d sur k. Thm 1: Si X est une courbe, alors: 1- Pour toute représentation l-adique de \Pi(X) et pour tout entier positif d, l'ensemble des points fermés x de X[d] tels que G_x soit de codimension >3 dans G est fini. 2- Pour toute représentation l-adique GSRP de \Pi(X) et pour tout entier positif d, l'ensemble E_d des points fermés x de X[d] tels que G_x soit de codimension >0 (i.e. non-ouvert) dans G est fini. De plus, il existe un entier B_d tel que pour tout point fermé x de X[d]\E_d l'indice de G_x dans G est <= B_d. Ce théorème généralise très largement le théorème de l'image ouverte de Serre (1968) et a divers corollaires frappants. Mentionnons: - La borne uniforme pour la torsion l-primaire dans les fibres Y_x->k(x), x dans X[d] lorsque Y->X est un schéma abélien sur une courbe (et des versions tordues de ce résultat). - La Modular Tower Conjecture en dimension 1. Des généralisations de la variante géométrique du Thm 1 dans le cas des représentations l-adiques associées aux schémas abéliens Y->X ont été également obtenues: - dans le cas où X est une surface; - dans le cas des représentations mod l (et où X est une courbe); A. Cadoret a également énoncé une version champêtre de la conjecture de torsion l-primaire, décrit son lien avec la version schématique et, en utilisant le thm 1, en a déduit que la conjecture de Bombieri-Lang pour les surfaces impliquait la conjecture de torsion l-primaire pour les surfaces abéliennes à multiplication réelle par un anneau d'entiers quadratiques O donné (pour tout sauf un nombre fini de tels O). Ces résultats ont-ils donné lieu à une (des) publication(s) dans des revues ou communication(s) dans des colloques? Si oui, reporter ci-dessous les titres des travaux et les références correspondantes (veiller à mentionner le lieu des colloques).

3 P-1 Publication dans des revues internationales à comité de lecture: A. Cadoret et A. Tamagawa. Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces. R.I.M.S. Kokyuroku Bessatsu (Proceedings of the R.I.M.S.) B12, p. 7-30, P-2 Articles soumis dans des revues internationales à comité de lecture: A. Cadoret et A. Tamagawa. On uniform boundedness of p-torsion on abelian schemes. A. Cadoret et A. Tamagawa. A uniform open image theorem for l-adic representations of the etale fundamental group of curves I. A. Cadoret et A. Tamagawa. A uniform open image theorem for l-adic representations of the etale fundamental group of curves II. P-3 Articles en cours de finalisation: A. Cadoret et A. Tamagawa. On a weak variant of the geometric torsion conjecture. A. Cadoret. A stack-theoretic variant of the uniform boundedness of l-primary torsion on abelian schemes. A. Cadoret. Growth of Kodaira dimension of the generic torsion for abelian schemes over surfaces. C-1 Communications dans des colloques internationaux: Nous ne citons ici que les communications directement liées au projet de recherche du PHC Sakura. A. Cadoret: - G.T.E.M. G.A.M.S.C. Summer school, Galatasaray Univ. - Istanbul (Turquie), juin Ehime Number Theory workshop, Ehime Univ., Matsuyama (Japon), février G.T.E.M. G.A.G.T. Summer school, Galatasaray Univ. - Istanbul (Turquie), juin Hiroshima 8th Number Theory workshop, Hiroshima Univ., Hiroshima (Japon), juillet N.A.G. "Anabelian Geometry" workshop, Isaac Newton Institute, Cambridge (UK), août Higher dimensional algebraic geometry workshop, R.I.M.S. - Kyoto Univ., Kyoto (Japon), programmé en Décembre "Groupes de Galois arithmétiques et différentiels", C.I.R.M., Luminy (France), programmé en Avril Outre ces communications, mentionnons les séminaires: - Number theory seminar, E.T.H.Z., Zurich (Suisse), décembre London Number Theory Seminar, UC London, Londres (UK), janvier S.A.G.A. - Univ. Paris 11 Orsay, Orsay (France), mars Séminaire de géométrie et de topologie, Univ. Montpellier 2, Montpellier (France), programmé en mars Séminaire de théorie des nombres, Univ. Besançon, Besançon (France), programmé en mars A. Tamagawa: - RIMS workshop "Algebraic Number Theory and Related Topics", R.I.M.S. _ Kyoto Univ, Kyoto (Japon), Décembre N.A.G. "Anabelian Geometry" workshop, Isaac Newton Institute, Cambridge (UK), août Outre ces communications, mentionnons les séminaires et séries de cours:: - Série de 4 exposés à Hokkaido University Arithmetic Geometry Seminar, Sapporo (Japon), juillet Osaka University Number Theory and Automorphic

4 Forms Seminar, Osaka (Japon), octobre Nottingham number theory seminar, Nottingham (UK), août C-2 Sakura workshop "Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces": Mentionnons pour conclure l'organisation du workshop Sakura "Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces" organisé à l'i.m.b., Univ. Bordeaux 1, du 25 au 29 janvier Ce workshop a pour objectif de faire le point sur les travaux des différents membres du projets (français et japonais) et de les confronter à ceux d'autres chercheurs de renommées internationales (eg. Bas A. Edixhoven - Leiden Univ., Marc Hindry - Univ. Paris 7, Minhyong Kim - U.C. London, Amilcar Pacheco - U.F. Rio do Janeiro, Richard Pink - E.T.H. Zurich). A. Cadoret et A. Tamagawa y donneront un mini-cours de 4 heures sur les résultats obtenus dans le cadre de leur coopération. Pour plus d'information sur ce workshop (qui comptait déjà 40 inscrits au moment de la rédaction de ce rapport), voir l'url: Ces résultats ont-ils donné lieu à des retombées socio-économiques (dépôt de brevet, valorisation, partenariat avec des collectivités locales, etc.)? Si oui, les mentionner cidessous (titre du brevet et sa référence, partenaires impliqués, etc.). Dans le cadre de l'organisation du workshop Sakura "Torsion of abelian schemes and rational points on moduli spaces" organisé à l'i.m.b., Univ. Bordeaux 1, du 25 au 29 janvier 2010, les partenaires suivants ont accordé leur soutien financier: - Réseau européen Pierre et Marie Curie G.T.E.M. (Galois Theory and Explicit Methods); - J.S.P.S. via le programme Core-to-core "New Developments of Arithmetic Geometry, Motives, Galois Theory and their Practical Applications"; - Le C.N.R.S. - L'I.M.B.; - Le Groupement de Recherche C.N.R.S. R.T.N. (Réseau de Théorie des Nombres); - L'Université Bordeaux 1; III. Formation par la recherche : Mentionner ci-dessous les thèses soutenues ou débutées éventuellement en cotutelle dans le cadre du projet, en précisant les noms des doctorants et les sujets de thèse.

5 IV. Ouverture à l international : Le projet a t il donné lieu à une ouverture vers d autres partenaires ou institutions européens ou internationaux? La participation à un programme de recherche européen ou international est-elle envisagée? Nous mentionnons ici uniquement: A - les participations à des manifestations scientifiques internationales d'envergure ou des invitations hors colloques et séminaire liées au projet; B - les interactions avec des programmes ou réseaux européens ou internationaux liées au projet. A - Invitation à des semestres spécialisés: - p-adic Arithmetic Geometry - Tata Institute of Fundamental Research, Mumbai (A. Cadoret - Octobre 2008); - Non Abelian Fundamental Groups in Arithmetic Geometry - Isaac Newton Institute, Cambridge (U.K.) (A. Cadoret - Octobre 2009). Autres invitations: - Academia Sinica, Taipei (Taiwan) dans le cadre du P.H.C. Orchid "Nouvelles méthodes en géométrie algébrique" (A. Cadoret - Décembre 2007); - Morning Side Center for Mathematics, Beijin (Chine) (A. Cadoret - Septembre 2010). B - 1 Interactions avec des réseaux ou programmes européens ou internationaux: - Réseau européen Pierre et Marie Curie G.T.E.M. (Galois Theory and Explicit Methods); - programme Core-to-core de la J.S.P.S. "New Developments of Arithmetic Geometry, Motives, Galois Theory and their Practical Applications"; B - 2 Candidatures: - Programme conjoint C.N.R.S./J.S.P.S. (2 ans); - P.H.C. Sakura (reconduction d'un an); Candidatures envisagées (en cas d'échec de la candidature au programme conjoint C.N.R.S./J.S.P.S.): - Programme C.N.R.S. P.I.C.S.; - A.N.R. France/Japon Chorus. B-3 Organisation du workshop Sakura "Torsion of Abelian Schemes and Rational Points on Moduli Spaces" à l'i.m.b. - Univ. Bordeaux 1 du 25 au 29 janvier 2010.

6 V. Utilisation des moyens : Déplacements En France Dans le pays partenaire Anna CADORET, Maître de Keisuke ARAI, Post-doc, 30 Conférences, 31 ans. ans. 07/08/ /09/2008 (R.I.M.S. - Kyoto Univ.) Pierre PARENT, Maîtrede Conférences, 36 ans. 20/10/ /10/2008 (Univ. of Tokyo) Anna CADORET, Maître de Conférences, 32 ans. 19/07/ /08/2009 (R.I.M.S. - Kyoto Univ.) Pierre PARENT, Maître de Conférences, 37 ans. 22/10/ /10/2009 (R.I.M.S. - Kyoto Univ.) 02/06/ /06/2008 (I.M.J. - Univ. Paris 7) Akio TAMAGAWA, Professeur, 42 ans. 08/03/ /03/2009 (I.M.B. - Univ. Bordeaux 1) Keisuke ARAI, Post-Doc, 32 ans. 17/01/ /01/2010 (I.M.B. - Univ. Bordeaux 1) Akio TAMAGAWA, Professeur, 43 ans. 24/01/ /01/2010 (I.M.B. - Univ. bordeaux 1) Kazuhiko YAMAKI, Lecturer, 33 ans. 24/01/ /01/2010 (I.M.B. - Univ. Bordeaux 1) VI. Commentaires et suggestions, difficultés rencontrées, etc. : Points positifs: - Simplicité et rapidité des procédures de commande de titre de transport et de versement des perdiem. - Flexibilité des lieux, période et durée des missions. Commentaires: - La durée de 2 ans nous semble un peu courte. Si le P.H.C. a effectivement permis de développer la collaboration entre les deux responsables, A. Cadoret et A. Tamagawa, il a seulement permis d'initialiser d'autres coopérations qui auraient demandé un peu plus de temps pour se construire (K. Arai - P. Parent, P. Parent - A. Tamagawa). En outre, A. Cadoret et A. Tamagawa ont plusieurs travaux en cours, qui nécessiteront des échanges pendant encore au moins un an.

7 Dans certains cas, une durée de 3 ans nous semblerait donc appropriée ou, du moins, la reconduction d'un an des projets en fonction des résultats obtenus. - Ce commentaire est lié au précédent. Lorsque le projet a donné lieu à des collaborations qui promettent de se developper encore sur deux ans ou plus, il serait souhaitable qu'egide (et son partenaire à l'étranger - ici la J.S.P.S.) puisse orienter les équipes vers des programmes / institutions leur permettant d'assurer les financements nécessaires.