Analyser un circuit électrocinétique

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1 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 Le cous nalyse un cicuit électocinétique Cout-cicuite un généateu idéal de tension, ie elie ses deux bones pa un fil, evient à lui impose une ddp nulle ente ses deux bones alos que son ôle est justement d établi une difféence de potentiels (ddp) non nulle ente ces mêmes bones Cela n étant pas possible, il isque d en souffi et de se détéioe, même si nomalement les appaeils sont censés avoi une sécuité pou se pémuni des conséquences d un tel acte Dès qu un généateu idéal de couant est mis sous tension, celui-ci cheche à empli son ôle qui est de débite un couant de caactéistique pécise Seulement, comme il n est pas elié à un cicuit, il ne peut le faie et isque ainsi d en souffi, même si un dispositif de sécuité (intene) peut existe 3 Cicuit Les ésistos et sont en paallèle et leu association est en séie avec Cicuit Les tois ésistos, et sont tous en paallèle Cicuit 3, et 3 sont en séie et leu association est en paallèle avec Cicuit 4 et sont en séie (aucun couant ne cicule dans la banche maquée = 0) et leu association est en paallèle avec 4 Oui, la modélisation est possible Comme il n y a pas de sens obligatoie pou le généateu de Thévenin, il est possible de le mette dans n impote quel sens l fauda juste faie attention aux sens des flèches los des tansfomations ou au signe los du calcul diect de la fém th 5 Pocédons pa ode Cicuit, et 3 sont en séie donc nous pouvons écie 3 U = U De même l association /( 3) est en séie avec et 3 d où : ( ) U = ( ) U K emaque : il n y a pas gand intéêt à simplifie une expession telle que celle-là Cicuit L association / est en séie avec 3 et d où (attention au signe) : U = U et emaquons que ces ésultats sont indépendants de U = + U Cicuit 3 et sont en séie, donc U = U + De même,, et 3 sont en séie d où U = U Cicuit 4 Les associations / et / sont en séie donc : Matthieu igaut Éléments de coigé / 0 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 xecice U = U et + U = U + Dans ce cicuit, il y a : 6 nœuds :,, (CD), (FG), H et (JK) 3 nœuds pincipaux : (CD), (FG) et (JK) 5 banches CHJ, CJ (passant pa 5 ), DF, G et FK 3 mailles CJH, CDKJ et DGF Les points au même potentiel sont les points su un même nœud, à savoi : C, D et, ; F et G et J et K 3 Les ésistos,, 6 et le généateu idéal de tension sont en séie et leu association est en paallèle avec 5 Les ésistos 3 et 4 sont en paallèle et leu association est en séie avec le généateu idéal de couant η 4 Oui ce cicuit est éductible à un cicuit simple Le plus simple accessible est un cicuit à deux nœuds en associant 3 et 4 ; il este alos tois banches ente les nœuds CD et JK Pou obteni un cicuit à une maille, il est possible de tansfome la banche CHJ en un généateu modèle de Noton puis d associe la ésistance obtenue avec 5 puis de epasse en modèle de Thévenin 5 egoupons les ésultats dans un tableau Dipôle tension couant elation U 3 U 3 = + U 3 3 U 3 = + U 8 U 8 = U 8 3 U 8 = + 3 U 7 U 7 = + U 7 3 U 7 = 3 3 U 5 5 U 5 = U 6 4 U 6 = U 4 U 4 = 5 6 U U = U 3 U = 6 3 η U = +η 6 On ne peut donne aucun signe a pioi concenant les difféentes gandeus, ne seait-ce que pace que l on ne connaît pas les signes des généateus :e = +5,0 V oue =,7 V? etη = +5 m ou η = 0,357 m? Toutefois, même la connaissance des signes de e et de η ne seait pas suffisante : le cicuit est top complexe pou en faie une étude qualitative simple a pioi Matthieu igaut Éléments de coigé / 0

2 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 xecice Pou Pocédons pa associations successives = = 3 4 Pou Pocédons aussi pa associations successives en emaquant qu un moceau n est aute que Nous avons ainsi : = + 4 = 5 = 0,733 Pou Chechons pa équivalence en notant n la ésistance équivalente pou n cellules (n ) cellules n cellules insi la loi d association nous donne n = + + n À la limite nous pouvons écie n = n =, d où : = + + = ++ (+) et 3/4 n n (+) = (3+) Nous obtenons ainsi l équation en suivante : + = 0 ( ) pès ésolution, nous obtenons : = 3 = 0,73 L aute solution pou est négative et n est donc pas physiquement acceptable K emaque : avec l écitue canonique de l équation S + P = 0, nous pouvons effectivement constate que le poduit P des acines vaut P = < 0 Nous touvons immédiatement 0, % Du point de vue de la valeu de la ésistance, est une tès bonne appoximation de Matthieu igaut Éléments de coigé 3 / 0 /4 +n PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 xecice 3 Étudions les deux cas n = Les lois d association des ésistos donnent = (/ ) d où = + + n = l est inutile de calcule pou éponde à la question Pou avoi =, il faut et il suffit que la patie entouée ait une ésistance égale à La condition = devient donc = () l faut ainsi = + + = + + = 0 + La ésolution founit une seule solution positive (et donc acceptable) : = Calculons n en fonction de n n n Du point de vue des associations de ésisto, nous avons n = (/ n ) ce qui donne n = + n + n Montons que pou tout n, n = = Ceci est vai au ang pa hypothèse (cf ()) Supposons n = et montons que n+ = Les lois d associations des ésistos donnent n+ = + + = = CQFD Pa le pincipe de écuence, on a bien pou tout n : n = K emaque : ceci est sans aucun doute la pemièe démonstation pa écuence de l année en physique Mais c est encoe plus sûement la denièe! 3 Calculons U k+ en fonction de U k u 0 u u k Matthieu igaut Éléments de coigé 4 / 0 uk+ u k uk+

3 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 Comme les deux ésistos sont en séie, nous pouvons utilise un diviseu de tension et écie : U k+ = U k Nous constatons alos que U k est une suite géométique de aison, ce qui pemet d écie immédiatement et sans éfléchi (apès tout, ce ne sont que des calculs) : ( ) k U k = U 0 ( ) 4 Nous chechons à avoi U k < U k 0 Cela evient à cheche k tel que < De manièe puement calculatoie, cette condition s écit : ( ) ( ) kln < ln kln < ln00 k > ln00 00 ln = 6,64 Compte tenu du fait que k soit un entie, cela donne finalement k 7 xecice 4 Chechons à simplifie le dipôle Pou cela, effectuons les tansfomations suivantes : association paallèle des deux ésistances et tansfomation Thévenin Noton pou le généateu du bas; association paallèle des deux ésistances du bas; tansfomation Thévenin Noton pou le généateu du haut et association des deux généateus de couant; association des deux généateus de couant / / / / / l estedeux ésistances en paallèle dont l association est équivalente à un ésisto de ésistance éq = 4 / / / / xecice 5 Pocédons uniquement pa tansfomation du cicuit : association en séie des deux ésistos de gauche et des deux généateus de tension et ; tansfomation Thévenin Noton de (,); Matthieu igaut Éléments de coigé 5 / 0 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 association paallèle des deux ésistos ; tansfomation Noton Thévenin du généateu de gauche l este alos un cicuit où deux généateus idéaux sont en séie Pou que le dipôle soit équivalentà un ésisto, il faut que leu association donne un généateu de tension de fém nulle, ie il faut = Le cicuit est maintenant équivalent à 3 ésistos dont l association est équivalente au schéma ci-dessous lui même équivalent à un ésisto de ésistance éq = xecice 6 Losque l ampèemète idéal se compote comme un inteupteu femé, le cicuit se éduit au généateu de tension avec la ésistance Nous pouvons alos diectement écie : = Losque l ampèemète se compote comme une ésistance e, le cicuit est équivalent à un généateu avec deux ésistances et e Dans ce cas, nous avons = + e 3 Nous pouvons constate que la valeu affichée pa l ampèemète éel est plus petite que celle attendue, ie que celle obtenue avec un ampèemète idéal L écat s écit donc = = + (+ ) Nous chechons à avoi 5 00 soit 5 ou encoe : Matthieu igaut Éléments de coigé 6 / 0

4 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 Dès que la ésistance du cicuit vaut au moins 0 fois celle de l ampèemète, il est tout à fait acceptable de considée que l affichage de ce denie est identique à celui d un ampèemète idéal Dans ces conditions, l ampèemète est idéal xecice 7 Losque l inteupteu est femé, le voltmète affiche diectement la tension aux bones du généateu, ie U 0 = e (a) Losque K est ouvet, le cicuit est équivalent au schéma epésenté ci-dessous e Nous avons alos diectement = et comme U = cela donne U = + + Dans ces conditions le voltmète affiche U 0 losque + = soit pou = (b) Pou détemine, il est possible de pocéde comme suit : éalise le montage mesue U 0 diectement aux bones du généateu feme l inteupteu et modifie jusqu à ce que le voltmète affiche U 0 débanche et la avec un ohmmète pou obteni la valeu de (c) Ce potocole implique de pouvoi dispose d une ésistance de valeu identique à celle du voltmète Un oscilloscope a une ésistance d entée d envion MΩ, donc pas (top) de poblème Mais un voltmète peut avoi, lui, une ésistance d entée de 0 MΩ ou bien plus ce qui peut ête difficilement accessible pou une ésistance vaiable U 0 insi, comme U = +/, si U = 3 U 0, alos + = 3 et = De même avec U = 9 0 U 0, nous avons = Cela pemet d utilise des ésistos de ésistance 9 bien plus faible que celle du voltmète xecice 8 l s agit d un cicuit à tois nœuds dont deux pincipaux : la solution n est pas loin Tansfomons le généateu de Thévenin de doite pou en faie un généateu de Noton afin que le cicuit devienne un cicuit à deux nœuds U η La tension s écit alos : U i U η + Matthieu igaut Éléments de coigé 7 / 0 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 η + U = + U = ( η +) + l s agit d un cicuit à une maille l suffit alos d associe les généateus idéaux de tension Cela donne : Nous pouvons alos écie diectement : = l s agit d un cicuit à deux mailles et 5 nœuds dont deux pincipaux La solution n est cetainement pas loin Tansfomons les deux généateus de Thévenin en modèles de Noton en ayant, au péalable, associé les deux ésistos et en séie dans la banche de doite Cela donne : η avec η = + + Les tois ésistos étant en paallèle, nous pouvons alos utilise un diviseu de couant : = n multipliant numéateu et dénominateu pa (+ ), nous obtenons finalement : = (+ ) xecice 9 l s agit d un cicuit à deux mailles et 5 nœuds dont deux pincipaux Cette denièe caactéistique nous assue que la solution n est pas loin Comme nous chechons une intensité, mieux vaut tansfome le cicuit de manièe à ne faie appaaîte qu une seule maille tout en laissant la banche de gauche intacte Pou cela, effectuons les tansfomations suivantes : modèle de Thévenin en modèle de Noton pou et V ; association en paallèle de et u et des deux généateus idéaux de couants; modèle de Noton en modèle de Thévenin Matthieu igaut Éléments de coigé 8 / 0 +

5 PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 g u V u g u + u l ne este plus qu à utilise la loi connue qui donne : = pa + u le numéateu et le dénominateu, + V u g u + u V + u g + u + u = u( )+(V ) g + g u + u u + u u + V + u + u puis, en multipliant xecice 0 l s agit d un cicuit à tois mailles et 5 nœuds dont deux pincipaux Là encoe cette denièe caactéistique nous assue que la solution n est pas loin Comme nous chechons une tension, mieux vaut essaye de tansfome le cicuit en un cicuit à deux nœuds Pou cela, nous allons d abod mette les généateus sous la fome modèle de Noton Cela donne : PCS, Fabet (Metz) Électocinétique, TD n 00 0 Nous pouvons alos utilise la elation du diviseu de couant = + + η, ce qui donne, en 0 emplaçant η et 0 pa leus expessions et en simplifiant : = ( + ) +5+ Deuxième cicuit l s agit d un cicuit à tois mailles et quate nœuds Malheueusement, aucune paie de dipôles n est en séie ou en paallèle l n est donc pas possible de détemine pa tansfomation successives Nous veons dans le chapite suivant comment faie K emaque : il est tès impotant pou un scientifique de discene ce qu il n est pas possible de faie de ce qu il est possible de faie n ce sens, l execice n était pas un piège Cela se epoduia pafois en cous, en TD et, pouquoi pas, en DS! η 0 g g V c c u U η g c u U avec η = + g + V + V s g + V c, ce qui donne U = c u c g xecice Pemie cicuit l s agit d un cicuit à tois mailles et 5 nœuds dont tois pincipaux Nous allons donc le simplifie jusqu à obteni soit un cicuit à une maille avec un unique généateu, soit un cicuit à deux nœuds avec un unique généateu tout en consevant la banche dans laquelle cicule le couant n essayant, nous pouvons constate que cela nous mène aux tansfomations suivantes : modèle de Thévenin en modèle de Noton pou et ; association en paallèle des deux ésistances ; modèle de Noton en modèle de Thévenin pou et ; association séie de généateus idéaux de tension et de ésistances; tansfomation modèle de Thévenin en modèle de Noton avec η = + et 0 = + + Matthieu igaut Éléments de coigé 9 / 0 Matthieu igaut Éléments de coigé 0 / 0