Exercice corrigé sur le théorème de Norton
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- Christophe Robichaud
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1 Exercice corrigé sur le théorème de Norton E2 Figure 1 Nous voulons calculer la différence de potentiel entre les points A et B, c'est à dire U AB. Nous allons appliquer les différentes lois et théorèmes de l'électrocinétique. L'utilisation des seules lois des mailles et des noeuds nous conduit à résoudre un système de plusieurs équations à plusieurs inconnus. La méthode adaptée correspond à l'utilisation du calcul matriciel. L'introduction des théorèmes de superposition, de Thévenin, de Norton va nous permettre de couper le circuit en parties élémentaires qui ne comporteront qu'une maille. Nous obtiendrons des résultats intermédiaires en appliquant la formule du diviseur de tension le théorème de superposition le diviseur d'intensité. Méthode : Nous allons réduire le montage en appliquant le théorème de Norton entres les bornes A et B. Nous obtiendrons le schéma figure 2 figure 2 INAB RNAB
2 Pour arriver à obtenir ce circuit équivalent nous allons réduire ce qu'il reste du montage. Introduisons les points de coupure. Figure 3 E2 Nous allons commencer par transformer les générateurs de tension en générateur de courant équivalent. C'est l'application la plus simple du théorème de Norton. Figure 4 La transformation nous donne I = E 1 /R 1, les résistances sont identiques. Nous faisons la même chose pour transformer E 2 R 2.
3 Figure 5 IE2 Pour appliquer facilement le théorème de Norton, il faut l'appliquer pour une maille et une seule. Cela permet de toujours retrouver les mêmes calculs. Passons au premier montage lorsque nous coupons entre E et F afin de n'avoir qu'une maille. Appliquons le théorème de Norton entre E et F E Figure 6 F 1 Etape : Calculons la tension du générateur de courant de Norton équivalent.i thef. C'est l'intensité du courant qui apparaît aux bornes de EF aprés avoir enlevé la charge ( le reste du montage ) et fait un court circuit. Nous constatons que le circuit comporte deux générateurs de courant. Nous allons appliquer le théorème de superposition. 1 Sous étape seul I est remplacé par sa résistance interne. ( Le générateur de courant est idéal, sa résistance est infinie. c'est donc un circuit ouvert.)
4 E E I'NEF I'NEF figure 7 figure 7' F F Nous voyons que est court circuité par le fil traversé par I' NEF. On en déduit le schéma figure 7'. On applique la formule du diviseur de courant car les deux résistors sont en parallele et nous connaissons l'intensité du courant total ( ) 2 Sous étape I seul est remplacé par sa résistance interne. R g I ' NEF = R 3 Figure 8 Le court circuit neutralise les résistors, toute l'intensité passe par le fil. I''NEF I ' ' NEF =I 3 Sous étape Nous faisons la somme des résultats partiels pour obtenir I NEF. I NEF = R g R 3 I 2 Etape : Déterminons la résistance du modèle de thèvenin vue entres les bornes E et F.
5 figure 9 R THEF = R 1 R 3 R 1 R 3 3 Etape : Remplaçons la partie de montage étudiée par son modèle de Norton.I N EF et R NEF E2 INEF IE2 Figure 1 Figure 10 Déterminons à présent le modèle de Norton vu entres les bornes A et B. Nous constatons que ce montage est semblable à celui de la figure 6. Nous allons à nouveau utiliser le théorème de superposition. 1 Etape : Calcul de la tension du générateur de courant I NAB 1 Sous étape Commençons avec I NEF seul. On applique la formule du diviseur d'intensité sachant que R 2 est court circuité par le fil entre A et B
6 INEF I'NAB INEF I'NAB I ' NAB = I NEF R NEF R NEF R 4 Figure 11 Figure 11' 2 Sous étape On fait la même chose avec I E2 seul. Nous remarquerons que I E2 est de sens contraire à I'' NAB. Nous aurons un signe dans l'expression du courant de court circuit I'' NAB. I ' ' NAB = I E2 I''NAB R 2 est court circuité ainsi que l'association R 4 +R NEF IE2 Figure 12 donc I E2 passe enièrment dans le court circuit entre A et B. 3 Sous étape Nous faisons la somme des intensités précédentes pour obtenir la valeur du courant du générateur de Norton vu entres les bornes A et B. I NAB = I NEF R NEF R NEF R 4 I E2 2 Etape Calculons la valeur de la résistance de Norton.RN AB. R NAB = R 2 R thef R 4 R thef R 4 R 2
7 RthEF Figure 13 3 Etape Remplaçons le cicuit par son modèle équivalent ( voir figure 2 du début ) //RNAB INAB RNAB INAB RNAB Nous pouvons enfin calculer la tension aux bornes de R 5 en regroupant R 5 et R NAB ( en parallele ) U AB =I NAB R 5 R NAB R thab R 5
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