EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

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1 SESSION 005 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la lus grade mortace à la clarté, à la récso et à la cocso de la rédacto S u caddat est ameé à reérer ce qu eut lu sembler être ue erreur d éocé, l le sgalera sur sa coe et devra oursuvre sa comosto e exlquat les rasos des tatves qu l a été ameé à redre RACINES CARRÉES DE MATRICES Notatos Das ce sujet, est u eter aturel o ul et o ote : M la - algèbre des matrces carrées réelles de talle ( ) M, ( ) GL ( ) le groue des matrces versbles de ( ) I la matrce uté de M ( ) le - esace vectorel des matrces à lges et ue coloe Id l alcato detté de M, t A est sa matrce trasosée Pour ue matrce A de ( ) S ( ) le sous-esace vectorel des matrces symétrques de ( ) S + ( ) l esemble des matrces symétrques ostves de M ( ) t S ( ) vérfat : our toute matrce X M ( ) XAX,, 0 S x, x,, x sot des réels, o ote dag(,,, ) our coeffcets dagoaux les réels x, x,, x das cet ordre, c est-à-dre des matrces A de x x x la matrce dagoale de M ( ) S est u eter aturel o ul, o otera la orme fe sur : s ( ) S x = x,, x, x = max x qu admet a et r > 0, o ote B ( ar, ) la boule ouverte de cetre a et de rayo r our la orme Tourez la age SVP

2 Objectfs Sot A ue matrce de M ( ), o dt qu ue matrce R de M ( ) est ue race carrée de A s R = A O ote Rac( A ) l esemble des races carrées de A, c est-à-dre { ( ) } Rac( A) = R M, R = A Le roblème roose de détermer les races carrées de A das dfférets exemles, (o ourra costater qu ue matrce eut admettre arfos ue fté de races) et d étuder quelques rorétés toologques de Rac( A ) Les tros artes du roblème sot déedates Les tros remers exemles de la arte I sot tous déedats I DÉTERMINATION DE Rac(A) DANS QUELQUES EXEMPLES Exemle : Cas où A ossède valeurs rores dstctes O suose que la matrce A M ( ) admet valeurs rores réelles λ < λ < < λ Justfer l exstece d ue matrce P M ( ) versble telle que A= PDP où D = dag ( λ, λ,, λ ), us motrer que R est ue race carrée de A, s et seulemet s la matrce S = P RP est ue race carrée de D Races carrées de D Sot S ue race carrée de D a Motrer que DS = SD b E dédure que la matrce S est dagoale c O ote alors S = dag ( s, s,, s ) Que vaut s lorsque {,, }? d Que eut-o dre de Rac( A ) s A admet ue valeur rore strctemet égatve? e S o suose que toutes les valeurs rores de A sot ostves ou ulles, détermer,,, les races carrées de la matrce D O ourra oser ε { + } our { } 3 Écrre toutes les races carrées de A à l ade de la matrce P Combe de races carrées A admet-elle? (O dscutera selo le sge des valeurs rores de A) 4 Alcato : Écrre les races carrées de détermera 5 5 A = à l ade de la matrce P que l o

3 3 Exemle : Cas où A est la matrce ulle de M ( ) Das cet exemle, o cherche à détermer les races carrées de la matrce ulle Sot R M ( ), ue race carrée de la matrce ulle 5 Sot f l edomorhsme de ote r le rag de f a Comarer Im f et Ker f us motrer que dot R est la matrce das la base caoque de O r e,, e r ue base de Im f que l o comlète r Sot ( ) + our former ue base de Ker f Pour { } b O suose f o ul, doc avec ( e,, r e r),, r vecteur tel que f ( u ) = e Motrer que la famlle B = ( e,, e r, u,, ur) est ue base de matrce de f das la base B O otera M r cette matrce M de la matrce ulle 6 a Détermer les races carrées das ( ) b Alcato : détermer das M ( ) 4, les races carrées de la matrce ulle, o ote u le us écrre la Exemle 3 : Cas où A = I 7 Sot R ue race carrée de l uté I a Vérfer que R est ue matrce versble b Motrer que R est semblable à ue matrce dagoale que l o décrra 8 Détermer Rac( ) I O ourra oser ε {, + } our {,, } Exemle 4 : Cas où A est ue matrce symétrque réelle Das cet exemle, toutes les matrces que l o cosdérera aarteet à ( ) 9 Ue matrce symétrque admet-elle écessaremet ue race carrée? 0 Motrer qu ue matrce symétrque ostve admet au mos ue race carrée qu est elle même symétrque et ostve Remarque : O eut motrer l ucté de cette race carrée das S + ( ) our la sute du roblème mas ce e sera as utle II ÉTUDE TOPOLOGIQUE DE Rac(A) S A est ue matrce de ( ) osat N( A) = max a, j O mut ( ), j M qu a our coeffcets ( a, j) M de cette orme N, j, o déft ue orme e Tourez la age SVP

4 4 Fermeture de Rac( A ) Sot A ue matrce de M ( ) Motrer que Rac( A ) est ue arte fermée de ( ) Étude du caractère boré de Rac( I ) a U exemle structf Pour tout eter aturel q, o ose arte borée de M ( )? I est-elle ue arte borée de ( ) b Rac( ) c Alcato : our cette questo, S q 0 = q Calculer S q Rac( I ) est-elle ue M our 3?, c est-à- Motrer qu l exste as de orme «surmultlcatve» sur GL ( ) dre vérfat our tous A et B das GL ( ), AB A B III ZÉROS DE FONCTIONS POLYNOMIALES APPLICATION À LA DÉTERMINATION DE L INTÉRIEUR DE Rac(A) Sot u eter aturel o ul O mut O ote s Γ l esemble des foctos olyomales sur de la orme fe, c est-à-dre : P Γ, l exste N u eter aturel et ue famlle de réels { a,,, },, N ( ) ( ),,,, N x, x,, x I I, P x, x,, x = a x x tels que 5 Par exemle s = 3, Px (, x, x3) = 5x + 3xxx 3+ 4x est ue focto olyomale sur S =, Γ est l esemble des foctos olyômes sur { } Ef, s,,, Z P = x,,,, 0 x x P x x x = des zéros de la focto olyomale P) ( ( ) P Γ, o ose ( ) ( ) ( ) 3 Z P est l esemble L objectf de cette arte est d étuder l téreur de Z ( P ), af de détermer l téreur de Rac( A ) O raelle que s Ω est ue arte de, u vecteur a de exste u ombre réel r strctemet ostf tel que B ( a, r) l esemble de ses ots téreurs est u ot téreur à Ω s l Ω et que l téreur d ue arte est

5 5 3 Questos rélmares : a Sot a= ( a,, a ) et r > 0 Motrer que B ( ar, ) eut s écrre comme rodut de tervalles b Soet F et G deux artes de O suose que F et G sot d téreur vde, motrer que F G est ecore d téreur vde 4 Exemles d esemble des zéros de foctos olyomales a Das cette questo est-l f? Justfer votre réose b Das cette questo = O cosdère P( x, x) x x Reréseter grahquemet das le la Z Q sot-ls fs? Z ( P ) et ( ) = Sot P ue focto olyôme sur Das quel cas Z ( P ) 5 Itéreur de l esemble des zéros d ue focto olyomale Sot P Γ Q x, x = x x = et ( ) les esembles Z ( P ) et Z ( Q ) a Soet I, I,, I des artes fes de Motrer ar récurrece que s la focto olyomale P s aule sur I I I, alors P est la focto ulle b E dédure que s P s aule sur ue arte d téreur o vde, P est la focto ulle c S l o suose que P est as la focto ulle, que vaut l téreur de Z ( P )? 6 Alcato à l étude de l téreur de Rac(A) Das cette questo, o cofodra les esaces vectorels M ( ) redra la lberté d écrre que our ( ), (, j) l ordre des termes Sot A ue matrce de M ( ) a Écrre Rac( A ) sous forme d u sous-esemble de élémets P, P,, P de b Détermer l téreur de Rac( A ) et, j Par exemle, o M M M = m, sas se soucer de Γ tels que Rac( A) Z( P) = l= us motrer qu l exste des l F de l éocé Tourez la age SVP