Cours en salle d'informatique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tableau interactif

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Marie-Madeleine Nolet
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CTIVITÉ TICE : DÉRIVATIOND ACTIVITÉ Niveu : Bc Professionnel Type d'utilistion : Cours en slle d'informtique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tbleu interctif Mtériel : 1 ordinteur pr binôme et/ou

1 CTIVITÉ TICE : DÉRIVATIOND ACTIVITÉ Niveu : Bc Professionnel Type d'utilistion : Cours en slle d'informtique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tbleu interctif Mtériel : 1 ordinteur pr binôme et/ou un poste prof vec vidéo-projecteur ou un tbleu interctif. Logiciel : Grphmtic Objectifs : Vérifier l vlidité d'une loi, d'une hypothèse pr epérimenttion interctive En prennt comme support une fonction du second degré issue d'une sitution concrète (étude cinémtique du déplcement d'un véhicule) ; l'ordinteur permet de s'ffrnchir de clculs répétitifs de nombres dérivés pour trouver l reltion entre l'epression de l fonction et celle de s fonction dérivée.

2 DÉRIVATION VROUM... L Peugeot HDi modèle 2006 présente les crctéristiques suivntes : (source : ) : HDi Pri TTC à prtir de Emission CO 2 (g/km) 120 Puissnce Cylindrée 90 ch 1560 cc Nombre de cylindres 4 Couple mimum N.m (à tr/min) 215 (à 4000) Vitesse mimle (km/h) 182 Accélértion (0-100 km/h) 11,5 secondes 1. Schnt que l'éqution de l vitesse instntnée est v = t ( vitesse v en m/s ; ccélértion en m/s² ; temps t en s) et que l vleur de l ccélértion de l Peugeot 207 est 2,4 m/s², clculer les vitesses tteintes u temps t suivnts. Arrondir les résultts à 0,1. t en s v en m/s v en km/h 2. En combien de temps l voiture tteindr t-elle s vitesse mimle? Arrondir le résultt u diième de seconde. Rppel : d près l éqution horire d un mouvement rectiligne uniformément ccéléré sns vitesse initile, on peut écrire :, étnt l ccélértion. 3. Schnt que l vleur de l ccélértion de l Peugeot 207 est 2,4 m/s², écrire son éqution horire lors d un mouvement rectiligne uniformément ccéléré. derivtion.odt 2

3 L sitution précédente peut être représentée pr une fonction numérique : l brnche de prbole ci-dessous est l représenttion grphique, de l fonction f définie pr : f() = 1,2 2 sur l intervlle [0 ; 22]. y C 250 B A D On se propose de déterminer les vleurs des coefficients directeurs des deu droites (AC) et (DB), tngentes à l courbe respectivement u points A et B. y M y N A l ide de l reltion =, déterminer le coefficient directeur 1 de l droite (AC) M N schnt que les coordonnées des points A et C sont les suivntes : A(10 ; 120) C(18 ; 312) 2. Déterminer le coefficient directeur 2 de l droite (DB) schnt que les coordonnées des points D et B sont les suivntes : D(7,5 ; 0) B(15 ; 270) 3. Regrouper les résultts dns le tbleu ci-dessous : point A B bscisse coefficient directeur derivtion.odt 3

4 NOMBRE DÉRIVÉ On ppelle «nombre dérivé» le coefficient directeur de l tngente u point d bscisse o. Nottion : f ( 0 ) = y f ( 0 ) Reltion entre et 1. Démrrer grphmtic2 et chrger le fichier derive.gr 2. Cliquer sur le bouton «Dessiner une tngente» 3. Plcer le curseur sur le point de coordonnées (0 ; 0). Ajuster l vleur de l bscisse à 0 dns le chmp «Trcer tngente à =» et cliquer sur clculer. 4. Relever l vleur du coefficient directeur et compléter le tbleu de vleurs suivnt en modifint les vleurs de comme précédemment : Etblir une reltion entre et. 6. Comprer les résultts obtenus dns le tbleu précédent et celui des vitesses tteintes pr l voiture. Conclure. derivtion.odt 4

5 FONCTION DÉRIVÉE Ouvrir un nouveu fichier dns grphmtic. Trcer, à l ide du logiciel, l représenttion grphiques de l fonction g suivntes telle que g() = 1,5 2 (entrer dns le chmp : y=-1.5*^2 et ppuyer sur "Entrée") 1. Trcer les tngentes pour les vleurs de du tbleu ci-dessous et relever l vleur du nombre dérivé (coefficient directeur de l tngente) correspondnt : 1,5 1 0,5 0,25 1 1,5 2. Opérer de l même mnière pour une fonction du second degré et des vleurs de de votre choi. Le menu déroulnt du chmp "Eqution" permet de choisir l fonction h : h() = conclure : si l epression de l fonction est de l forme f() = k 2 ; quelle est l epression du nombre dérivé? = Définition Soient les nombres réels et b. L fonction qui, à tout nombre de l'intervlle [ ; b] ssocie le nombre dérivé de f en, est ppelée fonction dérivée de l fonction f. On notre cette fonction dérivée f ' derivtion.odt 5

6 Dérivées de fonctions usuelles Fonction f + b Fonction dérivée f ' u + v u 1 2 u ' + v ' u ' 1. Déterminer f '() où f ' est l fonction dérivée de l fonction f telle que f() = 1,2 2 f ' () = En utilisnt l'epression de f '(), déterminer, en km/h, l vitesse tteinte pr l Peugeot 207 Hdi u bout de 21,1 s (rrondir le résultt à l'unité). Eercice : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivntes : f : f() = g : g() = 3... h : h() = i : i() = j : j() = derivtion.odt 6

7 ETUDE DU SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION imge : I E r U = E - ri L tension délivrée pr l btterie de l voiture, de f.e.m (force électromotrice) E et de résistnce interne r, est déterminée pr l reltion suivnte : U =E ri U : tension en volts ; E : f.e.m en volts r : résistnce interne en ohm ; I : intensité en mpères On cherche à déterminer les vritions de puissnce délivrée pr cette btterie pour des vleurs d'intensité comprises entre 0 et 400 mpères. 1. Eprimer l tension U en fonction de I pour une btterie de f.e.m E = 13,2 V et de résistnce interne r = 33 mω 2. En utilisnt l reltion précédente et schnt que l puissnce électrique est donnée pr l reltion P = U I, eprimer l puissnce P en fonction de I : L sitution précédente peut être représentée pr une fonction numérique. Soit l fonction f, définie sur l'intervlle [0 ; 400], telle que : f() = 0, ,2 3. Déterminer f '(), l fonction dérivée f ' de l fonction f 4. Etudier le signe de l dérivée en complétnt le tbleu de signes suivnt : f'() =... 0 Propriétés : A RETENIR Lorsque le signe de l dérivée est positif, l fonction est... Lorsque le signe de l dérivée est négtif, l fonction est... Lorsque l dérivée est nulle et chnge de signe, l fonction dmet un... derivtion.odt 7

8 5. Clculer : f(0) = f(200)= f(400) = 6. Compléter le tbleu de vrition suivnt à prtir des résultts et des propriétés énoncées précédemment signe de f '() vrition de f Conclure : L puissnce de l btterie ugmente pour des intensités comprises entre... et... mpères ; elle tteint le mimum de... wtt à... mpères ; elle diminue pour des intensités comprises entre... et... mpères. 8. Quelle est l vleur du nombre dérivé u point M (200 ; 1320)? Trcer l tngente en ce point dns le repère de l pge suivnte. Quelle est s prticulrité? 9. Compléter le tbleu et trcer l courbe représenttive de l fonction f sur l'intervlle [ 0 ; 400] f() = 0, ,2 derivtion.odt 8

9 y M derivtion.odt 9

10 ANNEXE : MISE EN COMMUN DES RÉSULTATS ÉLÈVES derivtion.odt 10

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