Calibration bayesienne et prédiction de réglages. Marc Sancandi CESTA-DEV/SIS «Incertitudes et Simulation» 3-4 Octobre 2007

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1 Calibratio bayesiee et prédictio de réglages Marc Sacadi CEA/CESTA Séiaire «Icertitudes et Siulatio», DIF 3-4 Octobre 2007 CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

2 Qu est-ce que la «prédictio de réglage»? 1 fasceau laser «4 passages» LIL : 4 faisceaux laser LMJ : 240 faisceaux laser Ijectio Chabre d expérieces Microbille Réglages : Que ettre ici pour obteir desiré? «Systèe» SCF desiré Spécificatios du physicie : Puissace P(t) Eergie Isotropie d éclaireet Pour prédire les réglages o doit coaître le systèe!!! L roche adoptée repose sur l utilisatio de codes de calculs et sur l exploitatio des résultats issus d expérieces passées (spécifiques ou «de physique») CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

3 Systèe et systèe aret Systèe "" de paraètres iteres U Systèe " " : F ( U ) Paraètres «fixes» ais o esurés Erreurs de esure : + ε ; + ε Systèe "aret" F ( ) Systèe " U ε ε Coaître le systèe c est estier U à partir de et. CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

4 Ajusteet d u code de calcul : l roche covetioelle Expérieces Siulatios u k F(, U ) Miiiser : R 2 ( u) ( F( u ) u 1, Code calé optialeet F (, u ) CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

5 Attetio Questio : Quelle cofiace accorder à la valeur optiale u*? Quel aurait été le résultat si o avait eu des doées expérietales différetes, issues par exeple de répétitios des expérieces iitiales?? Est-o, au ois, certai que le code F représete fidèleet la réalité : F F O peut orter des éléets de répose 1. E faisat ces répétitios cher doc exclu!!! 2. E procédat par reéchatilloage : O estie u* sur ue partie des essais et o estie sa «qualité» sur la partie restate 3. E siulat uériqueet ce que qu auraiet pu doer ces répétitios oéreuses CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

6 Approche Mote-Carlo Algorithe C Choisir Pour Choix u, Fi Pour M " grad" 1 à M faire : aléatoire argi de 1 ε 1, ε ( + ε F ( + ε, u ), L ε Hypothèse : F F 1, L ε 2 SIMPLE (elder & Mead 1965) u iitial u solutio : u CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

7 ( a b ) a exp ε ( 0, 0.2) ; ε ~ ( 0, 0.2) ~ Algorithe C Distributio de u, Pour tous les exeples qui suivet : u 5 0, 1, 2, 3, ( a, b ) ( 1, 2 ) 4 MA, MB SA, SB, CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

8 Avatages et icovéiets de l Algorithe C Avatages : Siple à ettre e œuvre Peret de costruire la distributio des solutios optiales Icovéiets : Peut être «cher» (M problèes de iiisatio à résoudre) Et si le problèe à plusieurs iia? Rearques :, Cet algorithe e garatit pas que la valeur oyee de u coverge vers U lorsque M ted vers l ifii! E particulier car il e tiet pas copte d iforatios a priori sur les valeurs les plus probables de U CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

9 Algorithe C a ( a + b) ( k b ) ( 1, 1 3) ; ~ ( 2, 2 3) exp ~ b MA, MB SA, SB Haut : Bas : k k i Solutio doat le plus petit résidu R ( a, b) a* b* Solutio la plus proche de la valeur e a* b* R ( a, b) MA, MB SA, SB Rel : σ 0.2 CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

10 Ajusteet d u code de calcul : l roche bayesiee ou «Calibratio Bayesiee» Algorithe B Choisir M " grad" Hypothèse : F F Pour 1 à M faire : Choix aléatoire de u Fi Pour 1 à Fi Pour Calculer Q Calculer Q Pour faire ( H D ) ( H ID ) : Exeple d utilisatio u Bayes M u 1 M 1 Q Q ( H ID ) ( H ID ) CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

11 ( a b ) a exp ε ( 0, 0.2) ; ε ~ ( 0, 0.2) ~ Algorithe C Algorithe B MA, MB SA, SB, MA, MB SA, SB, CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

12 ( a + b) exp ( k b ) a ~ ( 0, 1 3) ; b ~ ( 0, 2 3) k 0.15 Algorithe C Algorithe B k 1 MA, MB SA, SB MA, MB SA, SB CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

13 a 1 exp 1 exp ( b ) ( b) a ~ ρ U 0 ( 0, 2) ; b ~ ( 0, 4) CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

14 Deux rearques cocerat l Algorithe B Algorithe coplèteet parallélisable Algorithe «dyaique» Rearque : prior Q Q Q Q Q 1 1 ( H ),D Q ( H ID ) ( U ) Q ( ) H ( H ID ), D Q ( H ID ) ( H ID ), D Q ( H ID ) D {,, ~ σ, σ } ~ 1 D L,D ID Rel rapidité potetielle ieux «tirage selo u a posteriori»??? robustesse perforaces CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

15 La prédictio des réglages Distributio des réglages Modèle F désiré Distributio a posteriori de U Modèle calibré CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

16 La prédictio des réglages Distributio des réglages Modèle F désiré Distributio a posteriori de U Modèle calibré si l évaluatio de F e coûte pas cher!!! Sio, o se cotete d ue valeur particulière issue de cette distributio : oyee ou ode par exeple. CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

17 La prédictio des réglages Distributio des réglages Modèle F désiré Sélectio d u réglage R Distributio a posteriori de U Modèle calibré CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

18 La prédictio des réglages Distributio des réglages Modèle F désiré Sélectio d u réglage R Copte teu des erreurs des Distributio a posteriori Modèle calibré istruets de esure, o e peut de garatir U que la valeur du réglage «vue» par le systèe est réelleet celle que l o a «lue» sur l istruet de esure. Il iporte d estier l ipact que les iprécisios sur la valeur «vue» par le systèe peuvet avoir sur la valeur observable de. O utilise le code calibré pour réaliser cette estiatio. CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

19 La prédictio des réglages Distributio des réglages Modèle F désiré Sélectio d u réglage R Distributio a posteriori de U Modèle calibré lu R Modèle F Distributio des observable Coparaiso avec dés iré ε Distributio a posteriori de U ε désiré Robustesse Fiabilité CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

20 ❶ Calibratio : problèe iverse ( ) 1 E résué + Algorithe B + 1 Q Q H ID, D Q ( H ID ) Distributio a posteriori de U Q ❷ Prédictio des réglages : problèe iverse ( réglages ), + 1 ( H ID ) désiré Q, Algorithe B + 1 ( réglages ID ) Q, désiré Distributio a posteriori de ❸ Qualificatio du réglage χ : problèe direct de propagatio d icertitude χ + 1 ( réglages ID ) ~ Q, désiré ( ) + 1 I D, χ, désiré Q H Distributio des observables ❹ Choix d u réglage «optial» : e présece d icertitudes c est u problèe iverse coplexe CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

21 Calibratio sur deux paraètres (réflexios de iroirs) [ 5 J, 90 J ] Prédictio à x200 J Moyee Médiae Mode (+) Théorique CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

22 Prédictio de réglage Le tir 8 a doé J pour J ijectées : partat de désirée J, retrouver le réglage à liquer Calibratio bayesiee «dyaique» (sur 1 tir, puis 2, puis 3, ) Prédictio de la distribitio des réglages après chaque calibratio b tirs Moyee Ecart type CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

23 CALIBRATIO : Coclusio L roche «par iiisatio» doit être aiée avec beaucoup de précautios L roche bayesiee est Souple, robuste, «uiverselle», «aîtrisable» et facileet parallélisable Mais attetio aux teps de calculs l algorithe B est iefficace : c est ue illustratio et o l algorithe réel utilisé. PRÉDICTIO des RÉGLAGES Mêes rearques que précédeet Le choix du eilleur réglage est u problèe ouvert POITS DURS Erreurs sur «les etrées» : Très rareet traitées (correcteet) Doées et foctioelles : Actuelleet u vaste sujet de recherches L ivariace de U est fausse (vieillisseet, dégradatios) : Idée : calibratio «par lots» classificatio o supervisée Efi, o peut avoir plusieurs faisceaux partageat des éléets cous 30x2x4x1??? Où va-t-o??? CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

24 Distributio a priori de Mais pourrait être issu de cette distributio avec la êe seblace. ~ Mêe distributio Exeple pdf ( ) ~, σ ( ) postpdf Distributio à posteriori de sachat ( ) pdf ( ) pdf ( ) ( ) Φ ( ) ~ (, σ ( ) 2 ) Φ CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre

25 3-4 Octobre 2007 CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 25 H Hypothèse : u U copte teu des iforatios au site H Hypothèse : z y ( ) x, u z F ( ) ( ) ( ) 2, 2 2, ~ ~ u x F S σ σ + ( ) exp 1,,, S S z y x Q σ σ H H ( ) ( ) ~, ~ ~, ~ σ σ y x prior (U)

26 D {,, ~ σ, σ } ~ Probabilités coditioelles (forules de Bayes) Q Q ( H D ) Q ( H H, x, σ σ ) Φ ( x ) Φ ( y ) dx dy, ( H D ) est la seblace de l hypothèse H Hypothèse H : u U copte teu des iforatios aux sites 1,, Q ( H ID ) ID 1 D L, D ( H ID ) Q ( H ) D 1 Q est la seblace de l hypothèse H CESTA-DEV/SIS «Icertitudes et Siulatio» 3-4 Octobre