Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisonnement Exercices

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1 Remise à Niveau Mathématiques Première partie : Calcul et raisonnement Exercices page sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

2 calcul numérique 3. définitions de base 3. puissances d un nombre 3.3 grandes et petites valeurs, ordre de grandeur 4.4 calcul fractionnaire 4.5 proportions et pourcentages 5.6 opérateur somme 5.7 différents types de moyennes 6.8 bases d écriture 6 calcul littéral 7. mise en forme et définitions 7. calcul littéral dans des cas simples 7.3 polynômes 7.4 opérations sur les polynômes 8 3 raisonnement et mise en équation 9 3. Raisonnement par récurrence 9 3. Mise en équation d un problème 9 page sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

3 Rappels/Conseils : Prendre le temps de bien lire l énoncé Tous les calculs sont à réaliser sans machine à calculer. Lorsque vous avez fini une opération pensez à vérifier le résultat (toujours sans machine). calcul numérique. définitions de base. Calculer le quotient et le reste de a divisé par b (division euclidienne) puis calculer le résultat (en posant la division) approché à la 5 ième décimale : a. a = 5 et b = 4 ; b. a = 5 et b = 6 ; c. a = 435 et b = 897. puissances d un nombre. Calculer : a. (,630 ) ; b.,8.0 0,3.0 ; c. (, 7.0 ) d. 3 45, , 3.0 ; e. 3, ,3.0 ; f. g.,44 0,6 0, 64 ; h Les réels x et y sont-ils égaux? a. x = 3 et y = 3 ; b. x = et y = 5 6 c. x = 0 5 et y = 50 ; d. x = 3 + et y = page 3 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

4 .3 grandes et petites valeurs, ordre de grandeur. Calculer la valeur exacte et l exprimer en notation scientifique : a. d ,780 0, 90 ; b.,8.0 0,3.0 c. (, 7.0 ) 3 45, , 3.0 ; e. 3, ,3.0. Ordre de grandeur : simplifier manuellement pour obtenir un résultat approché rapide, puis comparer avec le résultat plus précis donné par la calculatrice : a. c. e. 4,.0 5,3.0 7, 33.0, 3,07 6, , 7,34 9, 5, 3 6, 8, ,.0 5, 43.0 ; b. 8 3, 4,50 6,50 3 4,.0 4,.0 4,.0 ; d.,,, ; f calcul fractionnaire. Donner la valeur exacte du résultat sous la forme d une fraction irréductible : a ; ; b ; c d. + + ; e ; f g ,5 + 4 ; h. 9, ; i ; j page 4 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

5 .5 proportions et pourcentages a. Sachant qu il faut 300 grammes de farine et œufs pour faire trente petits gâteaux, combien faut-il de farine et d œufs pour faire soixante quinze petits gâteaux? Et si l on veut en faire cent cinquante? b. 8 petites bananes sont équilibrées par 3 poids de 50 grammes et poids de 5 grammes. Combien dois-je retirer de bananes si j ai retiré un poids de 50 grammes et que j ai rajouté poids de 5 grammes? c. Trois tuyaux débitants chacun 5 m 3 par heure permettent en une journée de 8 heures d arroser 50 hectares. Ayant augmenté la surface à arroser de 5 %, Pendant combien de temps dois-je arroser maintenant avec les 3 tuyaux? d. On place un capital C 0 = 5000 à intérêts composés au taux annuel t = 5 %. Chaque année, les intérêts sont calculés à partir du capital possédé à l année précédente puis viennent s ajouter à ce capital. Exprimer C n+ en fonction de C n et de t, calculer le capital possédé au bout de 0 ans, et dire au bout de combien de temps on obtiendra le double du capital de départ. e. Un capital de 5000 est déposé à intérêts composés pendant 7 ans. Déterminer le taux d intérêt annuel sachant que ce capital a produit 3569 d intérêts. f. Un article vaut 79 TTC. Le taux de TVA s élève à 8,6 %. Quel est le montant HT? g. Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 0%, puis a baissé de 5%. Entre les instants initial et final, quelle a été le taux de variation du prix du gasoil? h. Vous placez un capital le er janvier au taux annuel de 6% mais vous désirez retirer votre argent au bout de 6 mois. Combien retirerez-vous?.6 opérateur somme. Ecrire avec l'opérateur somme les expressions suivantes : a. n x + n x + n 3 x 3 + n 4 x 4 + n 5 x 5 ; b. x + x² + 3x³ + + nx n c. q 9 + p q 8 + p q 7 + p 3 q p 8 q + p 9 page 5 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

6 . Calculer les sommes proposées : a i ; b. ( i 00) 6 e. ( x + ) sachant que i ; c. ( 3i + 5b) 6 xi = 6 et 9 ; d. 5 6 xi = ; 0.7 différents types de moyennes Dans chaque exercice, résoudre le cas concrètement puis associer au résultat la définition d une des moyennes vues en remise à niveau, tout en vérifiant la formule donnée pour cette moyenne. a. Un avion fait un trajet entre la ville A et la ville B distantes de 650 km à la vitesse moyenne de300 km/h à vide. Lourdement chargé, il effectue le voyage retour à la vitesse moyenne de 00 km/h. Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet aller-retour? b. Soient cinq plaques carrées de côtés respectifs, 5, 7, 3 et 6 cm. Quelle est la mesure du côté du carré dont l'aire est la moyenne arithmétique des aires des cinq plaques? c. Le prix d'un article augmente de 0 % la première année, puis de 0 % la deuxième année, et baisse de 0 % la troisième année. Quel a été le pourcentage moyen d'augmentation par an?.8 bases d écriture page 6 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

7 calcul littéral. mise en forme et définitions. calcul littéral dans des cas simples. Développez les produits remarquables suivants : a. (x + 3)² ; b. (5 - x)² ; c. (3x - 5)² ; d. (6x - 5)(6x + 5) e. (3 + x)(3 - x) ; f. (-x - )² ; g. (-7 - (-3x))² ; h. (y - (-3x))² i. (y - + x)² ; j. (x y)(y x). Etablir le triangle de VOUS (à l image du triangle de Pascal) qui permet d établir les coefficients des polynômes obtenus en calculant ( a + b) n. 3. Développer 4. Développer 7 ( x ), en déduire la valeur de ( ) 7 + x, en déduire la valeur de Soit le nombre M = On souhaite connaître sa valeur exacte. a. Calculer = ( 7 + 6)( 7 6) P sans calculatrice. b. Exprimer M² en fonction de P, puis conclure sur la valeur de M. 6. Résoudre dans R après avoir éliminé les valeurs interdites : 5 x + 3x 0 x + a. + = ; b. x + 3 = x + ; c. > 0 ; d. 4x + x x x x x 7. Trouver le moyen d obtenir une écriture simplifiée de A + B C forme a + b, A, B et C positifs, sous la c, lorsque c est possible (dire sous quelles conditions ça l est). Application : donnez une écriture simplifiée de polynômes page 7 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

8 .4 opérations sur les polynômes. Additions, multiplications ; simplifier : a. (x 3x + x 7) + (x 4x x ) =? b. c. ( x + )( x 3)(x ) = ( x + x 3x + 8 x ) + (5 + 9x 7x + 4 x ) ( x + ) =?. Donner les racines des polynômes ci-dessous : a. P( x) = ( ax + b)( cx + d) ; b. Q( x) = ( bx a)( dx c) = ; d. P ( x) = 3x 7x + ; e. ( ) c. P( x) Q( x) R( x) 3 f. P ( x) = 3x + ; g. ( ) 3. Divisions : P x = x 4x 3x + 70 a. Diviser selon les puissances CROISSANTES avec un reste de degré 5 : 3x + 5x P x = 3x 7x 3x + 5x x b. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : x 4 3 (5x 4x + 3x x + ) c. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : x+ x d. Diviser selon les puissances CROISSANTES avec un reste de degré 4 : 4 3 (5x 4x + 3x x + ) x + x 4 ( + 5x x + x ) e. Diviser selon les puissances CROISSANTES : x x 4 f. Diviser selon les puissances DÉCROISSANTES : ( + 5x x + x ) x x 4. Décomposition sur les racines du diviseur : Soit à diviser les deux polynômes suivants puis à obtenir la décomposition sur les racines du diviseur du reste (divisions par les puissances décroissantes) : 5 3 DIVIDENDE : P( x) = 5x 3x + x + x + 00 DIVISEUR : D( x) = x + x 3 a. Exprimer le quotient Q( x ) et le Reste R( x ) de P( x) D( x) b. Calculer les deux racines du diviseur D( x) = x + x 3 R( x) c. Décomposer à l aide des racines du diviseur. D( x) d) Calculer R() P() D() Q(), ce dernier étant exprimé sous la forme d une somme de D() deux fractions. Que peut on alors écrire? page 8 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

9 3 raisonnement et mise en équation 3. Raisonnement par récurrence. Montrer par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à :. Montrer par récurrence que la dérivée nième de la fonction x n n 3 i = i. x x + n e. x xe est ( ) x 3. La spirale de Pythagore : Cette «spirale» est une succession de côtés de triangles rectangles bâtis les uns à partir des autres. Le premier est isocèle est les côtés perpendiculaires sont de longueur. Son hypoténuse sert de base au triangle rectangle n, dont le côté perpendiculaire est à nouveau de longueur. L hypoténuse du triangle n sert de base au triangle n 3, et ainsi de suite. Montrer par récurrence que la longueur de l hypoténuse du triangle n n est n Mise en équation d un problème. Vol au vent : Un avion de tourisme, dont la vitesse dans l air calme est de 50 km/h, va d une ville A à une ville B et revient aussitôt à la ville A. la distance AB est de 308 km. Pendant la durée du vol, le vent a soufflé de manière uniforme dans la direction (AB), dans le sens A vers B. Calculez la vitesse du vent, sachant que l avion a mis, pour revenir une demi-heure de plus qu à l aller. On part de l hypothèse que le vent «pousse» l avion à l aller, et qu il le freine au retour. On notera v la vitesse du vent, en km/h. page 9 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc

10 . Vol aux vents : Dans la même situation que précédemment, mais dans un cas général, on note V la vitesse de l avion (fixée), v celle du vent (fixée) et D la distance AB (fixée). Montrer que quelle que soit la vitesse non nulle du vent, l avion mettra toujours plus de temps pour faire l aller-retour que s il n y avait pas de vent. 3. On fait le mur : Un maçon a mis jours pour monter son mur. Son collègue, moins expérimenté et plus frêle, a mis 4 jours pour le même travail. Ils s associent pour monter un troisième mur, identique aux deux premiers. Combien de temps mettront-ils en travaillant ensemble (on suppose qu ils ne perdent pas de temps à discuter et qu ils travaillent sans s arrêter jusqu à ce que le mur soit fini)? 4. Un cône est posé sur sa base circulaire, horizontale. A quelle hauteur faut-il faire une coupe horizontale de ce cône pour que les deux parties détachées aient le même volume? 5. Problèmes purement numériques : a. Trouver deux entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut 5. b. Montrer que si a² - b² est un nombre premier, alors a et b sont forcément deux entiers consécutifs (on pourra raisonner par contraposée, c'est-à-dire essayer de montrer que le contraire de la conclusion implique le contraire de l hypothèse). page 0 sur 0 RAN - Calcul - Ex - Rev 0.doc