MATHEMATIQUES. Semestre 1. Calcul et analyse COURS

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1 Départemet TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION MATHEMATIQUES Semestre Calcul et aalyse COURS % Documet e lige : sur l ENT, sectio «outils pédagogiques», plateforme Clarolie, TC, Cours «MATHS». IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page sur 3

2 SOMMAIRE POURCENTAGES ET INDICES 3. PROPORTIONNALITÉ 3.2 INDICES 4.3 TAUX ET POURCENTAGES 4 2 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 7 2. CONTEXTE LES INTÉRÊTS SIMPLES LES INTÉRÊTS COMPOSÉS LES EMPRUNTS INDIVIS 3 MÉTHODES DU ER DEGRÉ 3 3. PRÉSENTATION ET RÉSULTATS SYSTÈMES D ÉQUATIONS 5 4 ER DEGRÉ : INTRODUCTION À LA PROGRAMMATION LINÉAIRE 6 4. MISE EN ÉQUATION DES CONTRAINTES REPRÉSENTATION GRAPHIQUE - POLYGONE DES CONTRAINTES DROITES D'ISO-PROFIT (OU ISO-COÛT), OPTIMISATION 7 5 POLYNÔMES DU 2 D DEGRÉ 9 5. INTRODUCTION ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ SIGNE DU TRINÔME SENS DE VARIATIONS, EXTRÉMUM RÉCAPITULONS : 2 6 ETUDES DE FONCTIONS NOMBRE DÉRIVÉ D UNE FONCTION EN UN POINT FONCTION DÉRIVÉE DE F, VARIATIONS COMPLÉMENTS SUR LA FONCTION LN : LOGARITHME NÉPÉRIEN COMPLÉMENTS SUR LA FONCTION EXP : EXPONENTIELLE DE BASE E PLAN D ÉTUDE D UNE FONCTION ET CONSEILS GRAPHIQUES UTILISATION DE L OUTIL «FONCTIONS» DE VOTRE CALCULATRICE : 30 IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 2 sur 3

3 Pourcetages et idices. Proportioalité.. Listes proportioelles Ue liste L est u esemble de valeurs citées das u ordre bie précis. O souhaite comparer deux listes A = (a, a 2,, a ) et B = (b, b 2,, b ) formées du même ombre de termes (ici : «de logueur»), tous o uls. Par défiitio, dire que deux listes A et B sot proportioelles, c'est dire que pour tout etier i compris etre et le rapport b i /a i est costat. b b2 b3 b = = =... = a a a a 2 3 Notos "p" ce rapport uique, lorsqu'il existe, et appelos-le "coefficiet de proportio(alité) de A vers B", ombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obteir celles de B. Exemple : Soit les listes A = (2, 4, 6, 0, 5, 20) et B = (7, 4, 2, 35, 52,5, 70). Les rapports 7/2, 4/4, 2/6, 35/0, 52,5/5 et 70/20 sot tous égaux à 3,5. Les listes A et B sot doc proportioelles. Le coefficiet de proportio de A vers B est 3,5. Remarque : les rapports peuvet être testés das le ses iverse. Les rapports 2/7, 4/4, 6/2, 0/35, 5/52,5 et 20/70 sot tous égaux à 2/7 0,2857. Les listes A et B sot doc proportioelles. Le coefficiet de proportio de B vers A est 2/7...2 Formules rectagulaires Les formules rectagulaires motret l égalité de deux fractios, a = c, b et d o uls. b d Elles fot doc état d ue proportio respectée etre les listes (a, c) et (b, d) de logueur 2. Das ce cas, o a par équivalece l égalité des produits e croix : ad = bc. Mais o peut aussi placer ces quatre ombres das u tableau de proportio et cosidérer de faço mécaique que chaque trait itérieur de ce tableau peut représeter u trait de fractio : a c a b = permet la otatio, b d c d qui etraîe les égalités : a = b, b = d, c = d c d a c a b IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 3 sur 3

4 .2 Idices Lorsqu'o veut suivre das le temps l'évolutio d'ue valeur à itervalles réguliers, tout e gardat la possibilité d'ue comparaiso simple avec ce qu'elle était au départ, o peut utiliser u idice. La valeur iitiale sert de référece ; pour cela, elle est mise e correspodace avec ue valeur «rode», idice iitial de référece, au choix :, 0, 00, 000, 0000, Puis les valeurs suivates sot coverties proportioellemet à ce choix, pour deveir des idices. Exemple : Coût d achat moye du coto :,84 /kg e 202, 2,2 /kg e 203,,53 /kg e 204. E fixat l idice iitial du cours du coto à 000 e 202, calculer les idices du cours e 203 et ,84 2,2, ,7 83,52 idice 203 = 2,2 000/,84 52,7 idice 204 :,53 000/,84 83,52.3 Taux et pourcetages.3. Taux et pourcetages fixes * Le taux d'ue valeur v par rapport à ue valeur de référece V est le rapport t = v V. Taux de 20 par rapport à 25 : 20/25 = 0,8 = 80% Taux de 50 par rapport à 48 : 50/48,042 = 04,2% Taux de 8 par rapport à 32 : 8/32 = 0,25 = 25% (exercice 3) Taux de 56 par rapport à 28 : 56/28 = 2 = 200% * Le "symbole"%: «%» sigifie «/00» ; c est ue opératio. La coversio d u rapport e ue fractio sur 00, par exemple : 20/25 = 0,8 = 80/00 est extrêmemet courate depuis logtemps, et l écriture mauelle souvet rapide de cette divisio par 00 s est déformée au fil des siècles jusqu à ce que l u des zéros de 00 se retrouve du mauvais côté du trait de fractio et que le de 00 disparaisse. Dire 80%, c est doc dire 80/00, c est-à-dire : 80% = 0,8. * Pourcetage fixe : v Le pourcetage d'ue valeur v par rapport à ue valeur de référece V est le ombre p = 00 = t 00 V pourcetages de 20 par rapport à 25 : 80 de 50 par rapport à 48 : 04,2 de 8 par rapport à 32 : 25 de 56 par rapport à 28 : 200. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 4 sur 3

5 * Pourcetage fixe et proportio : Calculer ue valeur v égale à u pourcetage p d'ue valeur V, c'est : calculer ue valeur v qui a le même rapport à V que le rapport de p à 00. Les listes (v; V) et (p; 00) sot proportioelles. Exemple : valeur pourcetage valeur pourcetage testée testée 8 25 référece référece " 20 représete 80 % de 25 ". valeur pourcetage testée 50 04,2 référece " 50 représete 04,2 % de 48 ". " 25 % de 32 valet 8 ". valeur pourcetage testée référece " 200 % de 28 valet 56 "..3.2 Taux et pourcetages de variatio O cosidère qu'ue gradeur a évolué d'ue valeur iitiale v vers ue valeur fiale v 2. La valeur de référece est das tous les cas v, la valeur iitiale. La variatio est égale à v 2 - v. Le taux de variatio est le ombre v v 2 (le pourcetage vaut cet fois le taux). v Taux de variatio de 20 vers 25 : = = 0, 25 = + 25% Taux de variatio de 50 vers 48 : = = 0, 04 = 4% Taux de variatio de 28 vers 56 : = = = + 00% Taux de variatio de 56 vers 28 : = = 0, 5 = 50% * Pourcetage de variatio et proportio : tableau de proportio mettat e rapport : * la valeur iitiale, * la variatio, * la valeur fiale Exemple : U article est vedu 35. Puis il est soldé : "-40%". A combie se ved-il, soldé? valeur pourcetage valeur iitiale (référece) variatio valeur fiale 2 60 "La remise vaut 4 et le prix soldé est 2. Le prix soldé représete 60% du prix iitial." IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 5 sur 3

6 * Coefficiet multiplicateur : Augmeter ue valeur v de p% pour obteir ue valeur v 2 reviet à coduire le calcul : v 2 = 00% v + p% v doc, v 2 = (00% + p%) v. p Mais comme % sigifie /00 : v = + v = ( + t ) v = c v 00 2 p v = v = t v = c v 00 Dimiuer ue valeur v de p%, ous doe ue valeur v 2 : ( ) 2 O voit doc qu'appliquer u pourcetage de variatio p à ue valeur, pour la dimiuer ou pour l'augmeter, reviet à la multiplier par u coefficiet c. Exemples :. Ue facture fait état d'u motat hors taxes (HT) de 248,5 sur lequel devra être appliquée ue TVA à 9,6%. Quel sera le motat TTC de la facture? p 9, 6 v2 = + v = + 248, 5 =, , 5 297, Ue autre facture affiche u prix à payer de 7,25 après remise de 5%. Quel était le prix ormal sas la remise? p 5 v2 7, 25 v2 = v = v = 0, 85 v, doc v = = 83, , 85 0, 85 * Variatios successives et taux moye : Exemple : le prix du baril de pétrole valait 32 $ à ue date, puis il est moté à 96 $ à ue date 2, 40 $ à ue date 3, et efi est redescedu à 40 $ à ue date 4.. Doer le détail des taux d'augmetatio ou de baisse etre chaque date t2 = = = 2 = + 200% t23 = = 0, 4583 = + 45, 83% t34 = = 0, 743 = 7, 43% Doer le taux global de variatio etre les dates et t 4 = = = 0, 25 = + 25% Quel a été le taux moye de variatio d'ue date à l'autre? O recherche u taux de variatio t M qui, appliqué trois fois de suite à partir de 32, ous fasse obteir 40 : ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) = = 40 + =, 25 ( t ) =, 25 =, 25, M M M M M M Doc t M = 0,07722 = 7,722%. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 6 sur 3

7 2 Mathématiques fiacières 2. Cotexte 2.. Itroductio La valeur de l arget évolue das le temps ; e gééral : u euro aujourd hui vaut mois qu u euro das le passé (il y a la plupart du temps iflatio des prix). D autre part, il est possible de faire fructifier ue somme déposée sur u compte, dot le motat augmete doc avec le temps. Efi, u motat empruté sera remboursé avec supplémets. Bref, que ce soit «aturellemet» ou «artificiellemet», ue somme d arget évolue avec le temps. Les mathématiques fiacières présetet les faços dot o peut calculer l évolutio d u motat (placé ou à rembourser). O e pourra metioer u motat qu e faisat clairemet référece à la période à laquelle o se place et o e pourra comparer deux motats que si o les exprime à la même période Itérêts Les créaciers prêtet des capitaux cotre ue rémuératio : les itérêts, ce que l o rembourse e plus du capital empruté. Nous percevos égalemet des itérêts lorsque ous plaços otre arget sur u produit bacaire qui rapporte u certai taux d itérêts (périodique). Les itérêts augmetet bie etedu avec la durée : plus ous mettos logtemps à rembourser u emprut, plus ous payos d itérêts (supplémets par rapport à la somme emprutée) ; plus ous laissos de temps à l arget que ous avos placé sur u compte rémuéré, plus ous gagos d itérêts (supplémets par rapport à la somme placée) Actualisatio et capitalisatio Le fait de «gager» de l arget e déposat ue somme sur u compte s appelle la capitalisatio d ue somme. Le fait de calculer quelle somme il faudrait placer actuellemet pour obteir u motat désiré au bout d ue certaie du rée s appelle l actualisatio : o cherche la valeur actuelle de la somme désirée Mesure du temps : Par covetio, o compte 365 jours das l aée civile, mais lorsque la durée de ce que l o evisage (placemet ou emprut) dépasse u a, o comptera 360 jours das l aée commerciale et comptable, partagés e 2 mois de 30 jours. Par exemple, u placemet effectué du er février 205 au 3 juillet 206 est fiacièremet parlat u placemet de 8 mois, soit 540 jours, ou ecore,5 aée alors qu e réalité ce placemet a duré 547 jours, soit 547/365 e de l aée. O voit par cet exemple que la règle suivie e fiace simplifie grademet les échages et les calculs. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 7 sur 3

8 2.2 Les itérêts simples La rémuératio d ue somme déposée sur u compte est dite à itérêts simples lorsque tout au log du placemet ceux-ci sot calculés uiquemet sur la valeur du capital de départ placé. Lorsqu ue durée s est écoulée depuis le début du remboursemet, le motat total des itérêts simples payés est proportioel à (o parle de prorata temporis). Les itérêts simples sot utilisés pour des placemets ou des prêts de courte durée, e gééral : mois d u a ; ils sot souvet réglés e ue fois e début ou e fi de période. Attetio : lorsqu ue période courte est mise e jeu, le ombre de jours réel doit être pris e compte! Notos : C 0 le capital empruté ou placé iitialemet t le taux d itérêts auel la durée de remboursemet ou de placemet 2.2. Calcul de l itérêt simple : I e aées : I = C 0 t e jours : I = C 0 t Valeur acquise d u capital placé à itérêts simples : C Valeur acquise = valeur totale, otée le plus souvet C si est doé e aées : C = C 0 + i = C 0 ( + t) Valeur actuelle d u capital : C est la somme C 0 que l o doit placer aujourd hui pour obteir C das aées. O a immédiatemet : C 0 = C +t «Actualiser» u motat, c est détermier sa valeur actuelle Taux proportioels E itérêts simples, u taux auel t correspod par exemple à deux taux semestriels t/2. (placer 000 pedat u a au taux d itérêts de 8% auels reviet au même que de placer 000 pedat u a à 4% semestriels cela e sera plus vrai e itérêts composés!). E effet, au bout de six mois, = /2 aée ; aisi, u capital placé C 0 aura rapporté e itérêts la somme I = C 0 t /2, soit la moitié des itérêts qu il rapporterait e u a. O peut déduire de ce pricipe que les itérêts accumulés ou payés sot proportioels à la durée et que le taux correspodat l est aussi, bie etedu.. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 8 sur 3

9 2.3 Les itérêts composés U capital est dit placé ou rémuéré à itérêts composés lorsque les itérêts s ajoutet périodiquemet au capital actuel pour costituer le capital de la période suivate et pour géérer à leur tour des itérêts. O parle alors de capitalisatio. Ils sot utilisés das le cas d empruts ou de placemets à moye et log terme Valeur acquise d u capital placé à itérêts composés : C Notos : C 0 le capital empruté ou placé iitialemet t le taux d itérêts auel la durée de remboursemet ou de placemet, ici e aées Expliquos le processus e détail, période après période, sur l exemple d u placemet : # aée Capital de début (= période) d aée Itérêts de l aée Capital de fi d aée C 0 C 0 t C 0 + C 0 t = C 0 ( + t) 2 C 0 ( + t) C 0 ( + t) t C 0 ( + t) + C 0 ( + t) t = C 0 ( + t) 2 3 C 0 ( + t) 2 C 0 ( + t) 2 t C 0 ( + t) 2 + C 0 ( + t) 2 t = C 0 ( + t) 3 C 0 ( + t) - C 0 ( + t) - t C 0 ( + t) - + C 0 ( + t) - t = C 0 ( + t) ( t) C = C Valeur actuelle d u capital C est la somme C 0 que l o doit placer aujourd hui pour obteir C das aées. 0 ( t ) C = C + = C ( + t ) Itérêts Les itérês acquis au bout de périodes valet I C C C ( t ) 0 ( ) = 0 = 0 + Suivat la formule du poit 2.3.2, o peut aussi écrire : I = C C = C ( + t ) remarque : le ombre ( + ) t est appelé taux d actualisatio. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 9 sur 3

10 2.3.4 Taux o proportioel à la durée! E itérêts composés, les taux et les durées e sot pas proportioels! Par exemple, u placemet à 20% auels e correspod pas à u placemet sur deux semestres successifs au taux semestriel de 0%. E effet, si, à u capital iitial C 0, j appliquais à deux reprises tous les six mois u taux t/2, alors au bout d u a le capital vaudrait C 0 ( + t/2) 2, qui e vaut pas C 0 ( + t)! Pour s e covaicre, appliquos l exemple cité : Augmetos 000 deux fois de suite de 0% : 000,0,0 = 20 Augmetos 000 ue fois de 20% : 000,20 = 200 Sur deux périodes, l écart est pas très importat, mais il est pas ul ; plus le ombre de périodes augmete, plus l écart est grad par rapport aux valeurs. La solutio : les itérêts accumulés ou payés sur ue durée se calculet sur la base d u coefficiet multiplicateur égal à ( + t) cf formule du poit 2.3.) où, à exprimer e aées si le taux est auel, est pas teu d être u ombre etier. Repreos otre exemple : U taux auel de 20% correspod à u coefficiet multiplicateur de,20. Sur six mois, = 6/2 = /2 = 0,5, le coefficiet semestriel est,2 0,5,09545 soit u taux d itérêts semestriel d eviro 9,545 % (et o 0%). Sur u mois, = /2, le coefficiet correspodat est,2 /2,053, soit u taux d itérêts mesuel d eviro,53 % (et o,666667%) Taux équivalets U capital peut être placé pedat aées au taux d itérêts t, ou pedat p aées au taux d itérêts v. Les deux taux d itérêts sot dits équivalets lorsqu à l issue des périodes les capitaux acquis sot les mêmes. Exemple : plaços 000 à 5% sur 8 as. Quel taux serait équivalet sur 6 as? Valeur acquise : 000.,05 8 = 477,46. (+v) 6 =,47746, soit v =,47746 /6 = 0,06722 = 6,722% Capitaux équivalets U capital est, u jour doé, équivalet à plusieurs autres si leurs valeurs acquises (à la même date) sot égales. Soit trois capitaux iitiaux placés à 8% : 000 sur 2 as, 500 sur 4 as, 500 sur 5 as. Quelle est l échéace d u capital équivalet de 3200 iitiaux placés au même taux e itérêts composés? 000.,08² , ,08 5 = 4050, ,08 = 4050,64 doc,08 =,2658 doc = l(,2658)/l,08 = 3,0629 as = 36,75 mois IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 0 sur 3

11 2.4 Les empruts idivis Ce sot des empruts cotractés auprès d u prêteur uique. Deux modalités existet : - le remboursemet par amortissemets costats - le remboursemet par auités costates (il existe d autres modes de remboursemet, mois réguliers, cosistat à rembourser le capital empruté e totalité e fi de période, soit e faisat de même pour les itérêts, soit e écheloat ces deriers voir par exemple le remboursemet i fie). L amortissemet est la valeur du capital remboursée chaque aée. L auité est la somme que l o débourse auellemet pour remboursemet de l emprut. ANNUITE = AMORTISSEMENT + INTERETS Les itérêts sot calculés pour chaque période sur la base du capital restat dû. Le coût du prêt représete le motat total des itérêts versés Remboursemet par amortissemets costats Exemple : l etreprise Alpha emprute le 0/0/N sur 5 as, remboursables par amortissemets costats, au taux de 5% l a. O calcule d abord l amortissemet auel, puis les capitaux restats dus, sur la base desquels le taux d itérêts est appliqué. Aées Capital restat dû Amortissemet Itérêts Auités de Capital restat (début de remboursemet dû (fi de période) période) N N N N N IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page sur 3

12 2.4.2 Remboursemet par auités costates (ça peut être, bie etedu, par mesualités plutôt que par auités) Notos «a» l auité que l empruteur devra rembourser chaque aée. A la fi du remboursemet, le prêteur devra avoir récupéré ue valeur C C ( t ) k Or, la valeur fiale acquise d ue auité a versée k aées avat la fi est a( + t ). Doc, la somme des valeurs fiales des auités devat coïcider avec C : k= 0 ( ) C = a + t terme a et de raiso ( t) k = +. 0, qui se trouve être la somme des premiers termes d ue suite géométrique de premier ( t ) ( t ) + + C = a = a + t t L auité à rembourser est doc : +. La formule cosacrée, pour ces suites, doe :, et comme C C ( t ) a = C 0 + t = 0 +, o a : C0 = a. t t + t. Exemple : l etreprise Alpha emprute le 0/0/N sur 5 as, remboursables par auités costates, au taux de 5% l a. O calcule d abord l auité par la formule ci-dessus, puis le premier itérêt (égal au taux appliqué au capital de départ) qui ous permet d e déduire le premier amortissemet, d où le capital restat dû e fi de première aée, et aisi de suite. Aées Capital restat dû (début de période) Amortissemet Itérêts Auités de remboursemet Capital restat dû (fi de période) N 00000, , , , ,52 N , , , , ,7 N ,7 9952,47 345, , ,69 N , ,0 247, , ,60 N , ,60 099, ,48 0,00 Motat total des itérêts («coût du prêt») : , , ,40 a C O peut remarquer que les amortissemets progresset géométriquemet, avec,05 pour raiso : l amortissemet de l aée N + k est celui de l aée N multiplié par,05 k. Il e découle qu e cours de remboursemet, l amortissemet total remboursé au bout de k aées, A k, s exprime comme suit : ( t ) + Ak = A. t k IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 2 sur 3

13 3 Méthodes du er degré 3. Présetatio et résultats 3.. Ue variable/icoue O traite ici des expressios affies, de type P(x) = ax + b, où a et b sot deux coefficiets réels fixés (si a est ul, l expressio est de degré zéro, cas que ous egloberos égalemet), et x ue variable réelle pouvat a priori parcourir R tout etier. Il est clair que lorsqu o fait varier x, le ombre P(x) varie à so tour. Nous avos ici pour objectifs : * de détermier quelles sot les valeurs de x qui redet P(x) égatif, ul, ou positif, ou ecore iférieur, égal ou supérieur à u certai ombre ; * d établir le ses de variatio de P(x) si x croît, P(x) fait-il de même? Nous admettros les résultats présetés ci-dessous : b a 0 : ax + b = 0 x = a k b a 0 : ax + b = k x = a b a > 0 : ax + b > 0 x > a b a < 0 : ax + b > 0 x < a a > 0 : ax + b > k k b x > a a < 0 : ax + b > k k b x < a ax + b strictemet croissat a > 0 ax + b strictemet décroissat a < 0 Les formes du premier degré présetet des «variatios proportioelles» : Si x varie de uité, ax + b varie de a uités ; Si x varie de 0 uités, ax + b varie de 0 a uités ; etc. Si ces propriétés e vous semblet pas évidetes, il est écessaire de vous réetraîer. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 3 sur 3

14 3..2 Représetatio graphique Travaillos das u pla que l o muit d u repère ( O, i, j ). Tout poit de ce pla peut être décrit de maière uique par le couple de ses coordoées (par projectio sur u axe parallèlemet à l autre), couple x, y. que ous oteros Das ce cadre, choisissos deux réels a et b. Les poits du pla dot les coordoées ot la particularité de vérifier l égalité y = ax + b sot tous les poits d ue même droite, i plus, i mois. Appelos (D) cette droite. Le ombre a est la pete, ou coefficiet directeur, de (D) ; le ombre b est l ordoée à l origie de (D) (à l itersectio de la droite avec l axe Oy) ; la relatio y = ax + b est l équatio (réduite) de (D). Les autres poits du pla dot les coordoées vérifiet y > ax + b (resp. y < ax + b) sot tous les poits du demi-pla qui se trouve «au-dessus» (resp. «au-dessous») de (D). IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 4 sur 3

15 3.2 Systèmes d équatios O cherche ici à répodre à la questio posée de l existece d ue liste (x 0, y 0, z 0, ) de valeurs icoues (au départ) d u certai ombre de variables x, y, z,, existece soumise à coditios par le biais d équatios qui les liet. Le ombre de variables/icoues, le ombre d équatios les mettat e relatio et la forme de ces relatios sot parfaitemet arbitraires et dépedet du cas cocret cosidéré. Nous ous catoeros ici à des systèmes de deux équatios à deux icoues «2,2», ou trois équatios à trois icoues «3,3», et qui plus est des systèmes liéaires, doc de la forme : a x + by + c z = d E ax + by = c ( E ) ou a x + b y + c z = d E a2x + b2y = c2 ( E2 ) a x + b y + c z = d E O peut savoir d emblée si tel ou tel système liéaire possède ue solutio uique u couple ( x, y ) triplet ( x, y, z ) ou alors si le système e possède ue ifiité, ou pas du tout. 0 0, u Das le cas de la solutio uique, rappelos ici simplemet les techiques «mauelles» de résolutio : L idetificatio Se pratique plus facilemet sur les systèmes «2,2» ; cosiste à choisir ue des deux icoues, l écrire das chaque équatio e foctio de l autre, puis dire que les deux expressios sot idetiques. La substitutio Cosiste, das ue équatio, à exprimer ue icoue e foctio des autres, puis d e faire le remplacemet das les autres équatios. La combiaiso liéaire Cosiste à remplacer ue des équatios, i E, par ue combiaiso liéaire d elle-même avec ue, deux ou plusieurs autres, doc par ue équatio de type a ( E ) b ( E ) c ( E )... élimier l ue des icoues das le but d y i j k Le pivot de Gauss (pour les férus de calcul) Cosiste à utiliser des combiaisos liéaires bie choisies qui redet le système triagulaire. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 5 sur 3

16 4 er degré : itroductio à la programmatio liéaire Programmatio liéaire : Recherche du maximum ou du miimum d'ue foctio (écoomique le plus souvet) compte teu de certaies cotraites représetées par des équatios ou des iéquatios du premier degré. Nous travailleros ici exclusivemet sur des problèmes liéaires et à deux variables (cas plus complexes traités e deuxième aée et heureusemet - sur tableur). Malgré la simplicité (o apparete) de ce que ous traiteros au-dessous, la méthodologie que ous allos suivre est très géérale : c est celle de la mise e équatio d u problème, quel qu il soit. Progressos par étapes, e suivat u exemple "fil rouge". Exemple fil rouge : Ue société met e bouteille de l'eau miérale, suivat deux coditioemets : * par bouteilles d'u litre et demi, vedues 80 le lot de cet bouteilles, * par bouteilles d'u demi litre, vedues 30 le lot de cet bouteilles. Pour être produite, chaque bouteille doit passer par 3 ateliers : atelier : remplissage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 68 h, atelier 2 : sertissage, étiquetage ; durée maximale de travail hebdomadaire : 88 h, atelier 3 : emballage, coditioemet ; durée maximale de travail hebdomadaire : 76 h. Le tableau ci-dessous idique les temps écessaires, e heures, à prévoir das chaque atelier pour chaque lot de 00 bouteilles à produire (les doées sot volotairemet simplistes, voire irréalistes, pour faciliter les calculs das le cadre de cet exemple) : atelier atelier 2 atelier 3,5 L 3 h 3 h h 0,5 L h 2 h 2 h Combie doit-o produire (et vedre) de chaque type de lot pour optimiser le chiffre d'affaires? Pour la résolutio de ce problème, voir les corrigés des exercices 54, 55 et 56 dot o repred les éocés ci-dessous (respectivemet TD 4., 4.2 et 4.3). 4. Mise e équatio des cotraites Les temps maximum passés das chaque atelier e permettet pas de produire à l'ifii TD4. : Système de cotraites a. Que sot ici les variables? b. Sur quelles gradeurs l éocé pose-t-il des cotraites? c. Pour ces quatités produites variables x et y, commet exprimer le temps passé das l'atelier? d. Faire de même pour les ateliers 2 et 3 e. Récapituler l'esemble des cotraites imposées aux quatités x et y das u système uique, où chaque iéquatio sera écrite sous sa forme réduite. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 6 sur 3

17 4.2 Représetatio graphique - polygoe des cotraites Ue iéquatio liéaire du premier degré à deux icoues a pour forme cartésiee : Ax + By + C < 0, et pour forme réduite : y < ax + b ou y > ax + b ou x < c ou x > c. Ses solutios sot les couples (x, y) correspodat aux poits d'u demi-pla délimité par la droite d'équatio y = ax + b ou d'équatio x = c. Les solutios d'u système composé de telles iéquatios sot les couples (x, y) correspodat aux poits commus aux demi-plas solutios de chaque équatio. O pratique là u régioemet du pla. TD4.2 : Polygoe des cotraites a. Représeter, das u repère orthogoal, les droites issues des iéquatios du système de cotraites obteu au TD : o légedera correctemet les axes du repère aisi que les droites tracées Mettre e évidece la régio du pla solutio du système. Marquer e gras le polygoe des cotraites, frotière de cette régio. b. Doer les coordoées des sommets de ce polygoe. c. L'etreprise peut-elle produire 5 lots de 00 bouteilles de,5 L et 5 lots de 0,5 L? d. L'etreprise peut-elle produire 20 lots de 00 bouteilles de,5 L et 20 lots de 0,5 L? 4.3 Droites d'iso-profit (ou iso-coût), optimisatio Ue équatio du type C = ax + by reliat deux variables x et y se traduit par ue droite du pla. Si b est différet de 0, so équatio réduite s'exprime aisi : y = -(a/b)x + C/b. -(a/b) est so coefficiet directeur, ou pete ; C/b est so ordoée à l'origie, ordoée du poit d'itersectio etre la droite et l'axe (Oy). Supposos a et b fixés, et gardos la possibilité de faire varier C. A chaque valeur de C correspod ue droite ; o peut doc créer ue famille de droites. Les droites de cette famille ot toutes la même pete (-a/b) : elles sot parallèles etre elles. Leurs ordoées à l'origie, C/b, sot proportioelles à C. TD4.3 : Foctio objectif, droites d'iso-profit O appelle C(x, y) le chiffre d'affaires réalisé par la vete de x lots de 00 bouteilles de,5 L et de y lots de 00 bouteilles de 0,5 L. C sera à optimiser : c'est otre foctio objectif. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 7 sur 3

18 a. Calculer C(5, 5) puis C(20, 20). b. Pour e simplifier l'écriture, o otera C le chiffre d'affaires défii ci-dessus. Exprimer C e foctio de x et y. Mettre cette expressio sous la forme de l'équatio réduite d'ue droite D C. c. Tracer sur le graphique du TD4.2, les droites D 200 et D d. Répodre graphiquemet aux questios suivates : Existe-t-il des productios réalisables - couples (x, y) - doat u chiffre d'affaires de 200? Existe-t-il des productios réalisables - couples (x, y) - doat u chiffre d'affaires de 2400? e. La droite d'iso-profit maximisat le chiffre d'affaires est celle qui, tout e possédat au mois u poit commu avec l'itérieur du polygoe des cotraites ou avec le polygoe lui-même, possède la plus grade ordoée à l'origie possible. Trouver cette droite, graphiquemet. f. Récapituler : Le chiffre d'affaires maximum possible correspod à la productio ( ; ) et vaut. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 8 sur 3

19 5 Polyômes du 2 d degré 5. Itroductio Ces polyômes sot de la forme P(x) = ax² + bx + c., où a, b et c sot des coefficiets réels fixés, avec a o ul, et x ue variable pouvat a priori parcourir R tout etier. Lorsqu aucu des coefficiets est ul, o peut appeler «triôme» ce polyôme (somme de trois moômes ) Il est clair que lorsqu o fait varier x, le ombre P(x) varie à so tour. Nous avos ici pour objectifs : * de détermier quelles sot les valeurs de x qui redet P(x) égatif, ul, ou positif * d établir le ses de variatio de P(x) si x croît, P(x) fait-il de même? Nous admettros les résultats présetés au-dessous. 5.2 équatio du secod degré Ue équatio du secod degré est ue équatio de la forme : ax² + bx + c = 0 O se place doc das le cas très particulier (s il est possible) de la recherche des valeurs de x qui peuvet redre P(x) ul. Ces valeurs de x, solutios de l équatio, sot aussi appelées racies du polyôme P(x). E foctio du polyôme choisi (doc des coefficiets a, b et c), ses racies réelles sot au ombre de zéro, ue ou deux. Pour détermier l existece et les valeurs de ces racies, il faut suivre u protocole bie défii :. Calculer le discrimiat du polyôme : il s agit du ombre = b² - 4ac 2. Regarder le sige de pour e déduire le ombre et la valeur des racies : Si < 0 : P(x) admet pas de racie réelle. Il e se factorise pas. b Si = 0 : P(x) admet ue seule racie réelle : x =. (racie «double») 2 a Sa forme factorisée est P(x) = a(x x )². b b + Si > 0 : P(x) admet deux racies réelles : x = et x =. 2a 2a Sa forme factorisée est P(x) = a(x x ).(x x ) IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 9 sur 3

20 Exemples : * P(x) = 2x² - 2x + 6 = 2² = = 6 ; > 0, doc P(x) admet deux racies réelles : (-(-2) 6)/4 = (2 4)/4 = 2 et (-(-2) + 6)/4 = (2 + 4)/4 = 4. forme factorisée : P(x) = 2(x 2)(x 4) Remarque : diviser ce polyôme par 2 e modifie pas ses racies : ½.P(x) = x² - 6x + 8 = 6² = = 4 ; deux racies réelles : (6 4)/2 = 2 et (6 + 4)/2 = 4. * P(x) = 2x² - 2x + 8 = 2² = = 0 ; = 0, doc P(x) admet ue racie réelle uique : -(-2)/4 = 3. forme factorisée : P(x) = 2(x 3)² * P(x) = 2x² - 2x + 20 = 2² = = -6 < 0, doc P(x) admet pas de racie réelle et e se factorise pas. 5.3 Sige du triôme Le sige du ombre ax² + bx + c est fortemet dépedat de celui de a : 'a pas de racie réelle a ue racie réelle double : P ( x ) a deux racies réelles P x sige P x = sige a pour tout x R P x x sige P x = sige a pour tout x R mais = 0 pour tout R [ ; ] = pour tout [ ; x ] P x x et x sige P x = sige a x x x sige P x sige a x x Remarque : Si le polyôme est plus simple qu u triôme (doc u biôme ou u moôme), il est pas écessaire de mettre e route toute la méthode (, racies, règles ci-dessus). Par exemple : * P(x) = 2x² + est la somme de deux ombres positifs et est doc positif quel que soit x. 2 * P(x) = 2x² - est égatif ssi x ssi x ; x 0 2x 0 * P(x) = 2x² + 6x se factorise : 2x(x + 3), qui est égatif ssi ou x x x 0 x 0 ssi ou ssi x [ 3 ; 0]. x 3 x 3 impossible IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 20 sur 3

21 5.4 Ses de variatios, extrémum O admet que : Si a < 0 : P(x) est d abord croissat puis décroissat Si a > 0 : P(x) est d abord décroissat puis croissat So maximum est obteu pour x = -b/2a So miimum est obteu pour x = -b/2a 5.5 Récapitulos : = b² - 4ac > 0 = 0 < 0 ax² + bx + c admet deux racies réelles : ax² + bx + c admet ue seule racie réelle : ax² + bx + c admet pas de b b + b racie réelle. x = x = x = 2a 2a 2a ax² + bx + c se factorise : = a(x x )(x x ) ax² + bx + c se factorise : = a(x x )² ax² + bx + c e se factorise pas das R a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 x b b b b 2a 2a 2a 2a x x b x x b 2a 2a x ax² + bx + c est du sige de a tat ax² + bx + c est du sige de a (et que x est pas etre x et x. vaut 0 ssi x = x ). ax² + bx + c est du sige de a. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 2 sur 3

22 6 Etudes de foctios 6. Nombre dérivé d ue foctio e u poit 6.. Foctio O cosidère ue gradeur Y (par exemple, la taille d u idividu) dot l évolutio des valeurs déped d ue gradeur X (par exemple, so âge). O dit que Y est foctio de X et o ote cojoitemet Y = f(x). A ue valeur x de X doit correspodre ue uique valeur image y de Y. O ote : f : x y = f ( x) pour «la foctio f qui, à x, associe so image y». L esemble das lequel o a le droit de choisir les ombres x pour calculer les valeurs y est appelé esemble de défiitio de f, oté D f. Le lie etre x et y, e termes de calcul, est appelé expressio de la foctio f. Exemples d expressios : y f ( x) x 5x 4 ; y l ( 2x 5) ; f ( x) Das u pla mui d u repère,, = = + = + = x 2 4 O Ox Oy, o place des poits de coordoées (x, y). La courbe de la foctio f est l esemble C f des poits, M x f x. 4 Exemple : soit la foctio f : x y = f ( x) =, défiie sur [- ; [. x U tableau de quelques valeurs : x 0 0,2 0,5 0,9 f(x) Représetatio graphique de la foctio f : IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 22 sur 3

23 6..2 Taux de variatio O s itéresse ici à la variatio de y provoquée par ue variatio de x. Notatio : o ote le vocable «variatio de». Aisi, pour ue certaie valeur x, o veut calculer la valeur y correspodate. M Défiitio : E u poit A doé, o appelle taux de variatio de f le ombre Remarque : de par sa forme, il s agit de la pete du segmet [AM]. Exemple : calculer le taux de variatio de la foctio f : x y f ( x) coordoées de A : x = 0,5 ; y = f(0,5) = 8 coordoées de M : x = 0,7 ; y = f(0,7) = 3,333 y taux de variatio de A vers M : = 5,333 / 0,2 = 26,67 x y x. 4 = =, pour x = 0,5 et x = 0,2. x IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 23 sur 3

24 6..3 Nombre dérivé de f e x = a O souhaite savoir vers quelle valeur évolue ce taux de variatio lorsqu o red les poits A et M aussi proches que l o veut. Graphiquemet, la pete du segmet [AM] se rapproche de la pete de C f au poit A et c est justemet cette derière que l o veut savoir calculer. défiitio : Soit ue foctio f défiie sur u itervalle I de R et u réel a I. Le ombre dérivé de f e a est le ombre f ( a) f x f a y = lim = lim x a x a x a x f (a) est doc la limite du taux de variatio de f e a lorsque x 0, ou ecore la limite de la pete du segmet [AM] lorsque M ted vers A. Remarque : Nous supposeros das ce cours que ous ous plaços das le cas où cette limite existe, doc qu elle est pas ifiie, et qu elle est la même lorsque h est égatif (M est à gauche de A) et lorsque x - a est positif (M est à droite de A). f (a) est la pete de la [tagete à la] courbe au poit A. IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 24 sur 3

25 6.2 Foctio dérivée de f, variatios 6.2. Défiitio O appelle foctio dérivée de f la foctio f : x f ( x). Elle attribue à chaque réel x la valeur de la pete de C f au poit A d abscisse x Variatios et sige de la dérivée De la otio de pete d ue courbe, o déduit et o admettra les équivaleces suivates : Pour tout x I, f (x) > 0 f est strictemet croissate sur I. Pour tout x I, f (x) < 0 f est strictemet décroissate sur I. Pour tout x I, f (x) = 0 f est costate sur I. Pour u uique a I, f (a) = 0 La courbe de f admet u sommet (f(a) est u miimum ou u maximum) ou u poit d iflexio. Voir ci-dessous : IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 25 sur 3

26 6.2.3 Foctios dérivées des foctios usuelles Des expressios simples comme x², si(x), /x, etc. se dérivet directemet d après la défiitio du ombre dérivé, ou pour d autres d après leur propre défiitio. Exemple de f : x x Le ombre dérivé de f e a est : x a ( x a)( x + a) f x f a f ( a) = lim = lim = lim x a x a x a x a x a x a = lim x + a = a + a = 2a f a = 2a x a Ceci ous permet de dire que «la dérivée de x² est 2x». O récapitule ci-dessous les dérivées de quelques foctios usuelles : f (x) f (x) f (x) f (x) k costate réelle 0 exemples : x α, α réel x² 2x x 3 α.x α- 3x² puissaces o etières : x = x /2 x x = x 3/2 /(2 x ) 3/2 x x /x = x - /x² = x -2 -/x² -2/x 3 l(x) /x e x e x IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 26 sur 3

27 6.2.4 Dérivatio de foctios plus élaborées Pour des foctios costruites à partir des foctios usuelles, o admettra les résultats suivats (u et v représetet des foctios, et k ue costate réelle ; le poit «.» est ue multiplicatio) : f f f f u + k u k.u k.u v u v v v 2 uv uv 2 v u + v u + v u o v = u(v) v. u v u.v u v + uv Exemples : formule k.u : comme la dérivée de x² est 2x, alors celle de 5x² est 0x, celle de -3x² est -6x, etc. formule u.v : comme la dérivée de x est et celle de lx est /x, alors celle de x.lx est :.lx + x./x = lx + formule /v : comme la dérivée de x² + est 2x, alors celle de 3/(x² + ) est : -3.2x / (x² + )² = -6x / (x² + )² formule u o v = u(v) : comme la dérivée de x² est 2x et celle de lx est /x, alors celle de (lx)²est : /x. 2lx = 2lx / x formule u o v = u(v) : comme la dérivée de e x est e x et celle de 5x est 5, alors celle de e 5x est 5.e 5x formule u o v = u(v) : comme la dérivée de lx est /x et celle de 5x est 5, alors celle de l5x est : 5. /5x = /x IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 27 sur 3

28 6.3 Complémets sur la foctio l : logarithme épérie Défiitio : La foctio logarithme épérie l : x l ( x), défiie sur ]0 ; + [, Sige de la dérivée : Ses de variatio : = et = 0. x est l uique foctio telle que : l ( x) l Propriétés algébriques : pour tous réels a, b et α ; a et b strictemet positifs a l ( a b) = l ( a) + l ( b) ; l = l ( a) l ( b) ; b α l ( a ) = α l ( a) ; l = l ( b) b Dérivées des foctios composées basées sur u l : f u, alors f = u u Si = l 6.4 Complémets sur la foctio exp : expoetielle de base e Défiitio : La foctio otée exp, expoetielle de base e, défiie sur R, = et 0 =. est l uique foctio telle que exp ( x) exp( x) exp Propriétés immédiates : exp Sige de la dérivée et ses de variatio : x = e x où e 2,78 Pour tout réel x, e x > 0. Remarque : les foctios exp et l sot réciproques, c est à dire : lx x x y = e x = ly l e = x pour tout réel x e = x pour tout réel x strictemet positif Graphiquemet : leurs courbes sot symétriques par rapport à la droite y = x. Propriétés algébriques : a a+ b a b a b e e = e e ; e = ; b e a b a b b e = ( e ) ; e = b e Dérivées des foctios composées basées sur exp : Si f = e u, alors f = u. e u IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 28 sur 3

29 Représetatio graphique des foctios l et exp : 0 ; ; l ; l e = e = e = 0 e = e y = e x y = lx e 6.5 Pla d étude d ue foctio et coseils graphiques * S il y a lieu, rechercher D f (hors programme) * Dériver f ; étudier le sige de f (x) * Cosiger ces résultats das u tableau de variatio (sauf das des cas très simples) * Tracer u repère avec des échelles bie choisies (elles pourrot être doées e éocé) et des axes légedés * Créer u tableau de valeurs de la foctio * Placer précisémet u ombre suffisat de poits (au mois 4 par ses de variatio) * Idiquer par ue double flèche les tagetes horizotales, s il y a lieu * Marquer les coordoées des sommets de la courbe, s il y a lieu IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 29 sur 3

30 6.6 Utilisatio de l outil «foctios» de votre calculatrice : * Eregistrer l expressio d ue foctio Casio : meu Table ; TI : touche Y= ou f(x) suivat modèle. Pour etrer l expressio d ue foctio, écrire so expressio à la suite de Y= ; pour ue secode foctio, à la suite de Y2= ; et aisi de suite. * Elaborer puis visualiser u tableau de valeurs d ue foctio eregistrée - choix des valeurs mi et max de x, choix du pas : Casio : optio écra RANG ou SET suivat modèle ; TI : touche TblSet ou DefTable - visualisatio du tableau de valeurs : Casio : optio écra Tabl ; TI : touche Table * Cofigurer puis visualiser la courbe d ue foctio eregistrée - choix des valeurs mi et max de x et de y (feêtre), choix des graduatios Casio : meu Graph, touche V-Widow ; TI : touche Widow ou feêtre - visualisatio du graphique : Casio : optio écra Draw ou Trace ; TI : touche Draw ou Trace IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 30 sur 3

31 IUT - TC Mathématiques - Formulaire «Calcul et aalyse» Mathématiques fiacières Capital de départ : C 0 ; taux d itérêts auel : t ; ombre d aées : Itérêts simples Itérêts composés Valeur acquise au bout de aées Itérêts au bout de aées C 0 ( + t) C = C + t 0 i = C 0 t C C 0 Remboursemet par auités costates : a = C 0 t + t Secod degré : P(x) = ax² + bx + c P(x) est du sige de a, sauf si x se trouve etre ses racies (si elles existet). les racies de P(x) sot les valeurs de x qui le redet ul. Pour détermier les racies de P(x) :. Calculer le discrimiat du polyôme : il s agit du ombre = b² - 4ac 2. Regarder le sige de pour e déduire le ombre et la valeur des racies : Si < 0 : P(x) admet pas de racie réelle. b Si = 0 : P(x) admet ue seule racie réelle : x =. (racie «double») 2 a b b + Si > 0 : P(x) admet deux racies réelles : x = et x =. 2a 2a Etude de foctios f(x) f (x) f(x) f (x) f(x) f (x) a 0 x x ax + b a x 2 2x x x 3 3x 2 x x x - Opératios sur les dérivées : x 2 x + l(x) x u x l(u(x)) u x 2 f f f f f f u + v u + v v u o v v u o v k.u k.u v v 2 u.v u.v + u.v u u. v uv. u.u.u - v 2 v x e e x u x e x u ' x. e u x IUT de Sait-Etiee Départemet TC J.F.Ferraris Math S CalcA CoursEx Rev205 page 3 sur 3

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